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Déterminez l’intégrale de cosécante carré de moins huit 𝑥 plus sept sur sept par rapport à 𝑥.
Dans cette question, nous commençons par remarquer que l’argument de notre fonction trigonométrique est sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏. Nous pouvons réécrire moins huit 𝑥 plus sept sur sept comme moins huit septièmes 𝑥 plus sept septièmes, ce qui se simplifie en moins huit septièmes de 𝑥 plus un. Nous allons maintenant effectuer l’intégration par substitution en posant d’abord 𝑢 égale moins huit septièmes 𝑥 plus un.
En dérivant, nous avons d𝑢 sur d𝑥 est égal à moins huit septièmes, ce qui peut être réarrangé de telle sorte que d𝑥 est égal à moins sept huitièmes de d𝑢. En remplaçant moins huit 𝑥 plus sept sur sept par 𝑢 et d𝑥 par moins sept huitièmes d𝑢, nous avons l’intégrale de cosécante au carré 𝑢 multipliée par moins sept huitièmes de d𝑢. Nous pouvons alors factoriser la constante moins sept huitièmes, ce qui nous donne moins sept huitièmes multiplié par l’intégrale de cosécante au carré 𝑢 d𝑢.
Ensuite, nous rappelons le résultat standard pour l’intégrale sans borne du carré de la fonction cosécante. L’intégrale de cosécante carré de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins cotangente 𝑥 plus 𝐶. En appliquant cela à notre question, nous obtenons moins moins sept huitièmes de cotangente 𝑢 plus 𝐶, ce qui se simplifie en sept huitièmes de cotangente 𝑢 plus 𝐶. Enfin, nous pouvons remplacer 𝑢 par moins huit 𝑥 plus sept sur sept de telle sorte que l’intégrale de cosécante au carré de moins huit 𝑥 plus sept sur sept par rapport à 𝑥 est égale à sept huitièmes de cotangente de moins huit 𝑥 plus sept sur sept plus 𝐶.
