Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment trouver des intégrales indéfinies de fonctions trigonométriques inverses.
On peut identifier plusieurs intégrales indéfinies impliquant des fonctions trigonométriques inverses grâces à leurs dérivées. On rappelle d’abord la dérivée : Cela conduit à l’intégrale indéfinie suivante.
Résultat standard : Intégrale indéfinie du produit des fonctions sécante et tangente
Dans le premier exemple, nous allons utiliser cette formule pour résoudre une intégrale indéfinie.
Exemple 1: Intégrer des fonctions trigonométriques impliquant des fonctions trigonométriques inverses
Déterminez .
Réponse
On remarque que l’intégrande contient le produit de la sécante et de la tangente. On rappelle donc l’intégrale indéfinie suivante :
Pour utiliser cette formule dans cet exemple, on doit modifier l’argument des fonctions trigonométriques. On peut le faire en utilisant le changement de variable
En effectuant ce changement de variables dans l’intégrale, on a
On peut maintenant appliquer la formule ci-dessus pour écrire cette intégrale indéfinie comme
Comme est une constante arbitraire, on peut simplement désigner la constante par dans la réponse. En substituant à nouveau dans l’expression résultante, on obtient
Dans le prochain exemple, nous devons d’abord simplifier l’intégrande avant de déterminer l’intégrale indéfinie.
Exemple 2: Déterminer l’intégrale indéfinie d’une fonction impliquant des fonctions trigonométriques
Déterminez .
Réponse
Lorsque l’intégrande est une expression factorisée comme ici, on doit commencer par développer les parenthèses de l’intégrande. On obtient
Comme , on peut simplifier le premier terme en utilisant
En le substituant dans l’intégrande, on obtient
On doit maintenant évaluer l’intégrale indéfinie suivante :
Le premier terme de l’intégrande implique un cosinus et le second terme implique le produit d’une sécante et d’une tangente. On rappelle les formules suivantes :
Avant de pouvoir appliquer ces formules pour déterminer l’intégrale définie, on doit modifier l’argument des fonctions trigonométriques. On utilise le changement de variable
On peut réarranger la deuxième équation avec . En appliquant ce changement de variable, on obtient
On applique les formules ci-dessus pour obtenir pour des constantes arbitraires et . Après avoir distribué les termes, l’expression finale contiendra une combinaison de et , on peut donc remplacer cette expression par une autre constante arbitraire et écrire la solution comme
En substituant à nouveau dans l’expression, on obtient la primitive
Étudions un autre exemple impliquant le produit de et .
Exemple 3: Intégrer des fonctions trigonométriques impliquant des fonctions trigonométriques inverses
Déterminez .
Réponse
L’intégrande contient une expression factorisée, on commence donc par développer les parenthèses de l’intégrande. On obtient
Le premier terme est le produit des fonctions sécante et tangente et le deuxième terme est le carré de la fonction sécante. Afin de résoudre ce problème, on rappelle les intégrales indéfinies suivantes :
En appliquant ces formules à l’intégrale, on obtient pour des constantes arbitraires et . Après avoir distribué les parenthèses, l’expression finale contiendra une combinaison de et , on peut donc remplacer cette expression par une autre constante arbitraire et écrire la solution comme
Dans les exemples précédents, nous avons utilisé la formule de l‘intégrale indéfinie du produit des fonctions sécante et tangente. Nous allons maintenant étudier les intégrales des autres fonctions trigonométriques inverses, et . Rappelons que
Donc, en intégrant les deux membres de l’équation, nous obtenons l’intégrale indéfinie suivante.
Résultat standard : Intégrale indéfinie du produit des fonctions cosécante et cotangente
Pour se rappeler de cette formule, on remarque la ressemblance entre cette formule et la première formule que l’on a étudiée, c’est-à-dire
À partir de cette intégrale, on peut remplacer chaque fonction trigonométrique par la fonction trigonométrique de l’angle complémentaire correspondante et placer un signe négatif devant la fonction sur le membre droit de l’équation pour trouver la nouvelle formule. Cette ressemblance n’est pas une coïncidence. On détaille ci-dessous pourquoi ce résultat était prévisible.
On rappelle les égalités suivantes des fonctions trigonométriques cosinus, cotangente et cosécante pour des angles complémentaires.
On peut donc écrire
On peut utiliser le changement de variable en définissant
On peut écrire la dernière équation avec . En effectuant ce changement de variable, on obtient
En appliquant la formule de l’intégrale indéfinie de , on obtient
En substituant à nouveau dans l’expression résultante, on obtient
On note que lors de l’intégration de fonctions trigonométriques pour des angles complémentaires, on attend un signe négatif résultant du changement de variable défini par , ce qui conduit à . On peut ensuite déduire la formule de l’intégrale des fonctions trigonométriques ci-dessus à partir des égalités des fonctions trigonométriques pour des angles complémentaires.
Évaluons une intégrale indéfinie en utilisant cette formule.
Exemple 4: Déterminer l’intégrale indéfinie d’une fonction impliquant des fonctions trigonométriques
Déterminez .
Réponse
L’intégrande est un produit des fonctions cosécante et cotangente. On rappelle donc l’intégrale indéfinie suivante :
Avant d’appliquer cette formule, on utilise un changement de variable en définissant
On peut donc écrire la dernière équation avec . En effectuant ce changement de variables, on a
On peut maintenant appliquer la formule ci-dessus pour écrire cette intégrale indéfinie comme
Comme est une constante arbitraire, on peut simplement désigner la constante par dans la réponse. En substituant à nouveau dans l’expression résultante, on obtient
La dernière formule de cette fiche explicative est l’intégrale indéfinie de . Pour obtenir cette primitive, on rappelle d’abord l’intégrale indéfinie de :
Comme précédemment, on peut obtenir cette formule en remplaçant et par les fonctions et de l’angle complémentaire correspondantes et en plaçant un signe négatif sur le membre droit.
Résultat standard : Intégrale indéfinie du carré de la fonction cosécante
Lorsque l’on intègre ou , on peut utiliser les identité trigonométriques suivantes pour exprimer la fonction en fonction de ou respectivement :
Ces deux identités peuvent être déduites de l’identité de Pythagore lorsque les deux membres de l’équation sont divisés par ou .
Dans le dernier exemple, nous allons évaluer une intégrale indéfinie impliquant en appliquant d’abord cette identité trigonométrique puis la formule de l’intégrale indéfinie de .
Exemple 5: Intégrer une fonction trigonométrique inverse dont l’argument a la forme 𝑎𝑥 + 𝑏
Déterminez .
Réponse
Comme est une constante, on peut commencer par la sortir de l’intégrale :
On peut utiliser le changement de variable en définissant
On peut alors écrire la dernière équation avec . En effectuant ce changement de variable, on obtient
On remarque que l’intégrande contient le carré de la fonction cotangente. L’intégrale indéfinie de n’est pas directement connue, mais on sait que peut être exprimée en fonction de et on connaît la intégrale indéfinie de :
Pour obtenir la relation entre et , on divise les deux membres de l’identité de Pythagore par :
Cela est équivalent à
On remarque que l’intégrande contient précisément . En appliquant cette identité à l’intégrale, on obtient donc
On peut maintenant appliquer la formule de l’intégrale indéfinie de pour évaluer cette primitive :
On peut remplacer par car est une constante arbitraire. On peut également remplacer par . Donc,
Résumons quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Exemple 6: Trouver la primitive d'une fonction impliquant des fonctions trigonométriques et identifier la constante d'intégration
Identifiez la fonction vérifiant et .
Réponse
Comme on nous donne la dérivée de , nous pouvons écrire comme une intégrale indéfinie de la fonction donnée et simplifier comme suit
On peut évaluer la première intégrale en utilisant la règle de puissance : pour tout . Application de cette règle avec ,
Pour la deuxième intégrale, nous commençons par substituer , ce qui signifie . En utilisant la substitution , nous pouvons écrire
En rappelant que , on peut écrire l'expression ci-dessus sous la forme . En remplaçant dans cette expression, on obtient
En utilisant les équations (1) et (2), on obtient
Identifions la constante d'intégration . On nous donne que . La substitution de dans l'équation ci-dessus nous donne
Notez que
Ainsi, . Pour remplir la condition donnée , la constante doit satisfaire
Cela conduit à . On peut substituer cette valeur dans l'équation (3) pour obtenir
Récapitulons quelques concepts importants de cet explicateur.
Points clés
- L'intégrale indéfinie du produit de et est
- Des intégrales indéfinies impliquant les fonctions trigonométriques complémentaires peuvent être obtenues en remplaçant chaque fonction trigonométrique par sa contrepartie complémentaire et en plaçant un signe négatif sur le résultat de l'intégrale. Les intégrales indéfinies importantes impliquant des fonctions trigonométriques réciproques complémentaires sont
- Les intégrales de ou ne sont pas facilement disponibles. Pour calculer une intégrale impliquant l'une de ces fonctions, nous pouvons utiliser l'identité trigonométrique suivante pour la relier à ou , respectivement :
- Si on dispose de conditions aux limites suffisantes de la primitive, nous pouvons identifier la valeur de la constante d'intégration et trouver l'expression exacte de la primitive.
