Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de la leçon : Intégrales indéfinies : fonctions sécante, cosécante et cotangente Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les intégrales indéfinies de fonctions résultant en des fonctions sécante, cosécante et cotangente.

15:09

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les intégrales indéfinies de fonctions résultant en des fonctions sécante, cosécante et cotangente.

Nous rappelons tout d’abord que la dérivée par rapport à 𝑥 de secante de 𝑥, ou sec 𝑥, est égale à secante de 𝑥 fois tangente de 𝑥, ou sec 𝑥 tan 𝑥. Sachant que l’intégration est l’inverse de la dérivation, l’intégration des deux côtés de cette équation par rapport à 𝑥 annule l’opération de dérivation tout en ajoutant une constante arbitraire d’intégration. Nous pouvons considérer cela comme un résultat de référence. L’intégrale indéfinie de sec 𝑥 tan 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à sec 𝑥 plus une constante arbitraire 𝐶. Dans notre premier exemple, nous utiliserons cette formule pour déterminer une intégrale indéfinie.

Déterminez l’intégrale indéfinie de neuf tan trois 𝑥 sec trois 𝑥 par rapport à 𝑥.

L’intégrande contient ici le produit d’une fonction tangente et d’une fonction sécante, qui ont toutes deux le même argument trois 𝑥. On rappelle le résultat de référence. L’intégrale indéfinie de sec 𝑥 tan 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à sec de 𝑥 plus 𝐶. Pour utiliser ce résultat dans cet exemple, nous devons modifier l’argument trois 𝑥 des fonctions trigonométriques. Nous pouvons le faire en effectuant une substitution. Nous allons poser 𝑢 égale trois 𝑥.

Il s’ensuit que d𝑢 sur d𝑥 est égal à trois. Et bien que d𝑢 sur d𝑥 n’est pas une fraction, nous pouvons faire un peu comme si c’était le cas. Donc, de manière équivalente, d𝑢 est égal à trois d𝑥, ou un tiers de d𝑢 est égal à d𝑥. Nous pouvons maintenant effectuer cette substitution en remplaçant trois 𝑥 par 𝑢 et d𝑥 par un tiers de d𝑢 pour obtenir l’intégrale indéfinie de neuf tan 𝑢 sec 𝑢 un tiers de d𝑢. La constante dans l’intégrande se simplifie et donne trois, et nous pouvons alors faire sortir ce facteur de l’intégrale ce qui donne trois multiplié par l’intégrale indéfinie de tan 𝑢 sec 𝑢 par rapport à 𝑢.

Ainsi, d’après le résultat de référence, cela s’intègre en trois sec 𝑢 plus une constante d’intégration 𝐶. Il ne reste plus qu’à inverser notre substitution initiale, on remplace 𝑢 par trois 𝑥, ce qui nous donne la réponse au problème. Nous avons constaté que l’intégrale indéfinie de neuf tan trois 𝑥 sec trois 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à trois sec trois 𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶.

Dans notre prochain exemple, nous allons résoudre un problème de détermination d’intégrale indéfinie nécessite de commencer par simplifier l’intégrande.

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins huit sec sept 𝑥 multiplié par moins quatre cos carré de sept 𝑥 plus six tan sept 𝑥 par rapport à 𝑥.

Commençons par distribuer les parenthèses dans l’intégrande. L’intégrande devient 32 sec sept 𝑥 cos carré de sept 𝑥 moins 48 sec sept 𝑥 tan sept 𝑥. Maintenant, puisque sec de sept 𝑥 est égal à un sur cos de sept 𝑥, nous pouvons remplacer le premier terme par 32 cos carré de sept 𝑥 sur cos de sept 𝑥. Nous pouvons annuler un facteur de cos sept 𝑥 du numérateur et du dénominateur, de sorte que le premier terme se simplifie en 32 cos sept 𝑥. Et maintenant, nous devons déterminer l’intégrale indéfinie de 32 cos sept 𝑥 moins 48 sec sept 𝑥 tan sept 𝑥 par rapport à 𝑥.

Le premier terme de l’intégrande implique une fonction cosinus, et le deuxième terme implique un produit d’une fonction sécante et tangente ayant chacune le même argument de sept 𝑥. Nous devrons donc rappeler les intégrales de références suivantes. L’intégrale de cos 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à sin 𝑥 plus 𝐶. Et l’intégrale de sec 𝑥 tan 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à sec 𝑥 plus 𝐶.

Cependant, avant de pouvoir appliquer ces formules pour résoudre l’intégrale indéfinie donnée, nous devons modifier l’argument des fonctions trigonométriques. Pour ce faire, nous pouvons effectuer une substitution. On pose 𝑢 égale sept 𝑥, ce qui implique que d𝑢 sur d𝑥 est égal à sept. Maintenant, d𝑢 par d𝑥 n’est pas une fraction, mais nous pouvons la traiter comme telle. Donc, de manière équivalente, un septième de d𝑢 est égal à d𝑥. En effectuant la substitution, nous obtenons l’intégrale indéfinie de 32 cos 𝑢 moins 48 sec 𝑢 tan 𝑢 un septième de d𝑢.

Nous pouvons simplifier cela en divisant l’intégrande et en plaçant chaque facteur constant en tête de l’intégrale ce qui donne 32 sur sept multiplié par l’intégrale indéfinie de cos 𝑢 d𝑢 moins 48 sur sept multiplié par l’intégrale indéfinie de sec 𝑢 tan 𝑢 d𝑢. A l’aide des résultats de référence nous obtenons 32 sur sept sin 𝑢 plus une constante d’intégration 𝐶 un moins 48 sur sept sec 𝑢 plus une constante d’intégration 𝐶 deux. Nous pouvons combiner les deux constantes d’intégration en une seule constante 𝐶. Enfin, nous devons inverser la substitution en remplaçant 𝑢 par sept 𝑥. Et ainsi nous obtenons notre réponse finale, qui est 32 sur sept sin sept 𝑥 moins 48 sur sept sec sept 𝑥 plus 𝐶.

Prenons un autre exemple impliquant le produit de sec 𝑥 et de tan 𝑥.

Déterminez l’intégrale indéfinie de sept sec 𝑥 multiplié par tan 𝑥 moins cinq sec 𝑥 par rapport à 𝑥.

Puisque nous avons une expression factorisée dans l’intégrande, nous commençons par distribuer les parenthèses, ce qui donne l’intégrale indéfinie de sept sec 𝑥 tan 𝑥 moins 35 sec carré de 𝑥 par rapport à 𝑥. Le premier terme est le produit d’une fonction sécante et d’une fonction tangente, et le second terme est le carré de la fonction sécante. Pour résoudre ce problème, nous devrons rappeler deux intégrales de référence. L’intégrale indéfinie de sec 𝑥 tan 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à sec 𝑥 plus 𝐶. Et l’intégrale indéfinie de sec au carré de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à tan 𝑥 plus 𝐶.

En séparant l’intégrande et en mettant les facteurs constants en tête de chaque intégrale, on obtient sept multiplié par l’intégrale indéfinie de sec 𝑥 tan 𝑥 par rapport à 𝑥 moins 35 multiplié par l’intégrale indéfinie de sec carré de 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous pouvons maintenant appliquer les résultats de référence à ce problème. En intégrant, on obtient sept sec 𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶 un moins 35 tan 𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶 deux. En combinant les deux constantes arbitraires en une seule constante 𝐶, nous obtenons notre réponse finale. L’intégrale indéfinie de sept sec 𝑥 multiplié par tan 𝑥 moins cinq sec 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à sept sec 𝑥 moins 35 tan 𝑥 plus 𝐶.

Dans les exemples que nous avons vus jusqu’à présent, nous avons utilisé la formule des intégrales indéfinies qui donnent des résultats impliquant les fonctions sécantes et tangentes. Considérons maintenant un autre type d’intégrale indéfinie impliquant une fonction trigonométrique réciproque différente.

Rappelons que la dérivée de cosécante de 𝑥, ou csc 𝑥, par rapport à 𝑥 est égale à moins cosécante de 𝑥 fois cotangente de 𝑥. En intégrant des deux côtés par rapport à 𝑥 comme précédemment, nous obtenons une autre intégrale de référence. L’intégrale indéfinie de csc 𝑥 cot 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins csc 𝑥 plus 𝐶. Notez la similitude entre cette intégrale de référence et la précédente. En remplaçant chaque fonction trigonométrique dans l’intégrale par sa complémentaire, nous obtenons le même résultat, mis à part le fait que nous changeons le signe négatif en signe positif. Cette ressemblance n’est pas une coïncidence.

Rappelons que les fonctions trigonométriques complémentaires cosinus, cotangente et cosécante prennent les angles complémentaires de leurs homologues. En d’autres termes, cosinus de 𝑥 est égal au sinus de 𝜋 sur deux moins 𝑥, cotangente de 𝑥 est égal à tangente de 𝜋 sur deux moins 𝑥, et cosécante de 𝑥 est égal à secante de 𝜋 sur deux moins 𝑥. En revenant à notre intégrale de référence, nous pouvons réécrire l’intégrale indéfinie de csc 𝑥 cot 𝑥 par rapport à 𝑥 comme l’intégrale indéfinie de sec 𝜋 sur deux moins 𝑥 tan 𝜋 sur deux moins 𝑥 par rapport à 𝑥. On peut alors utiliser la substitution 𝑢 égale 𝜋 sur deux moins 𝑥 de sorte que d𝑢 sur d𝑥 égale moins un ou encore moins d𝑢 égale d𝑥.

En effectuant cette substitution dans l’intégrale ci-dessus, nous obtenons que l’intégrale de csc 𝑥 cot 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à la moins l’intégrale de sec 𝑢 tan 𝑢 par rapport à 𝑢. En utilisant l’intégrale de référence de sec 𝑢 tan 𝑢 par rapport à 𝑢, nous obtenons moins sec 𝑢 plus 𝐶. Et en remplaçant 𝑢 par 𝜋 sur deux moins 𝑥, nous obtenons moins sec 𝜋 sur deux moins 𝑥 plus 𝐶. Et enfin, en remplaçant à la fois par l’argument complémentaire et par la fonction complémentaire, nous obtenons csc 𝑥 plus 𝐶. Le signe moins par rapport aux deux intégrales de référence précédentes résulte de la substitution de 𝑢 égale 𝜋 sur deux moins 𝑥, conduisant à moins d𝑢 égale d𝑥, c’est ce moins que l’on retrouve devant l’intégrale.

Prenons maintenant un exemple d’intégrale indéfinie qui utilise cette formule.

Déterminez l’intégrale indéfinie de deux csc trois 𝑥 cot trois 𝑥 par rapport à 𝑥.

L’intégrande donnée est le produit d’une fonction cosécante et d’une fonction cotangente, toutes deux avec l’argument de trois 𝑥. Nous rappelons l’intégrale de référence du produit des fonctions cosécante et cotangente. L’intégrale indéfinie de cosécante de 𝑥 multiplié par cotangente de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins csc 𝑥 plus 𝐶. Dans l’intégrande donnée, l’argument pour les deux fonctions est trois 𝑥 au lieu de 𝑥. Donc, pour appliquer l’intégrale standard, nous devons utiliser une substitution.

On pose 𝑢 égale trois 𝑥, ce qui implique que d𝑢 sur d𝑥 est égal à trois. Et donc un tiers de d𝑢 est équivalent à d𝑥. En faisant ce changement de variable dans l’intégrale, nous obtenons l’intégrale indéfinie de deux csc 𝑢 cot 𝑢 un tiers de d𝑢. En sortant le facteur constant deux tiers de l’intégrale, puis en utilisant notre résultat de référence, on obtient moins deux tiers de csc 𝑢 plus une constante d’intégration 𝐶. Il ne reste plus qu’à inverser la substitution en remplaçant 𝑢 par trois 𝑥.

Et ainsi nous obtenons notre réponse finale. L’intervalle indéfini de deux csc trois 𝑥 cot trois 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins deux tiers de csc trois 𝑥 plus 𝐶.

Pour finir, une dernière intégrale de référence, nous voulons déterminer l’intégrale indéfinie de csc carré de 𝑥 par rapport à 𝑥. Pour commencer, rappelons que l’intégrale de sec carré de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à tangente de 𝑥 plus 𝐶. Comme indiqué précédemment, nous pouvons obtenir la contrepartie complémentaire de ce résultat en remplaçant sec carré de 𝑥 et tan 𝑥 par leurs complémentaires, cosécante carré de 𝑥 et cotangente de 𝑥. Mais alors nous devons également mettre un moins dans le membre de droite.

Cela nous donne notre intégrale de référence. L’intégrale indéfinie de csc carré de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins cotangente de 𝑥 plus 𝐶. Si jamais nous devons intégrer tangente carré de 𝑥 ou cotangente carré de 𝑥, nous pouvons utiliser les identités trigonométriques tan carré de 𝑥 est égal à sec carré de 𝑥 moins un et cotangente carré de 𝑥 est égal à cosécante carré de 𝑥 moins un pour réécrire ces deux intégrales à l’aide des intégrales de référence que nous connaissons déjà.

Si vous ne vous souvenez pas de l’une ou l’autre de ces identités, elles peuvent chacune être dérivées de l’identité pythagoricienne de sin carré de 𝑥 plus cos carré de 𝑥 est égal à un. Dans notre dernier exemple, nous déterminerons une intégrale indéfinie impliquant cotangente carré de 𝑥 en appliquant d’abord cette identité trigonométrique et ensuite en appliquant la formule de la primitive de cosécante carré de 𝑥.

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins cinq multiplié par cotangente carré de quatre 𝑥 plus sept plus un par rapport à 𝑥.

Pour commencer, puisque moins cinq est une constante, nous pouvons la sortir de l’intégrande. Ensuite, puisque l’argument de la fonction trigonométrique est quatre 𝑥 plus sept au lieu de 𝑥, nous pouvons faire une substitution. Nous pouvons poser 𝑢 égale quatre 𝑥 plus sept. Et il s’ensuit que d𝑢 sur d𝑥 est égal à quatre ou, de manière équivalente, un quart de d𝑢 est égal à d𝑥. En faisant ce changement de variable dans l’intégrale, nous obtenons moins cinq multiplié par l’intégrale indéfinie de cotangente carré de 𝑢 plus un fois un quart de d𝑢, que nous pouvons écrire moins cinq sur quatre multiplié par l’intégrale indéfinie de cotangente carré de 𝑢 plus un par rapport à 𝑢.

L’intégrande contient le carré de la fonction cotangente. La primitive de cotangente carré de 𝑥 n’est pas immédiate, mais nous savons que cotangente carré de 𝑥 peut s’exprimer comme cosécante carré de 𝑥, dont nous connaissons la primitive. Nous rappelons que cotangente carré de 𝑥 est égal à cosécante carré de 𝑥 moins un. Et cela peut être obtenu à partir de l’identité pythagoricienne. Par conséquent, l’intégrande devient csc carré 𝑢 moins un plus un ou simplement csc carré 𝑢. Nous pouvons maintenant procéder en rappelant le résultat de référence selon lequel l’intégrale indéfinie de csc carré de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins cotangente de 𝑥 plus 𝐶.

En appliquant ce résultat, nous obtenons moins cinq sur quatre multiplié par moins cotangente 𝑢 plus 𝐶. On inverse maintenant notre substitution, en remplaçant 𝑢 par quatre 𝑥 plus sept, nous obtenons ainsi notre réponse finale, à savoir que l’intégrale indéfinie de moins cinq multiplié par cotangente carré de quatre 𝑥 plus sept plus un par rapport à 𝑥 est égale à cinq sur quatre multiplié par cotangente de quatre 𝑥 plus sept plus 𝐶.

Récapitulons maintenant quelques points clés de cette vidéo. Premièrement, l’intégrale indéfinie du produit de sécante de 𝑥 et de tangente de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à sécante de 𝑥 plus 𝐶. Pour trouver l’intégrale d’une fonction trigonométrique complémentaire, nous remplaçons chaque fonction par sa fonction complémentaire et changeons le signe de la primitive. Par exemple, pour l’intégrale de la fonction complémentaire de la fonction au premier point clé, l’intégrale indéfinie de cosécante de 𝑥 multiplié par cotangente de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins cosécante de 𝑥 plus 𝐶. Et de même, pour l’intégrale de cosécante carré de 𝑥 par rapport à 𝑥, nous utilisons notre connaissance de l’intégrale de référence de sec carré de 𝑥 par rapport à 𝑥 qui est moins cotangente de 𝑥 plus 𝐶.

Enfin, les résultats de référence pour les intégrales de tan carré de 𝑥 et de cotangente carré de 𝑥 ne s’obtiennent pas de manière immédiate, pour les obtenir, il faut utiliser les identités trigonométriques tan carré de 𝑥 plus un est égal à sécante carré de 𝑥 et cotangente carré de 𝑥 plus un est égal à cosécante carré de 𝑥 ce qui nous permet d’exprimer les intégrales de tan carré de 𝑥 et de cotangente carré de 𝑥 en fonction des intégrales de référence de sécante carré de 𝑥 et de cosécante carré de 𝑥 que nous connaissons.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.