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𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que 𝐴𝐵 égale petit 𝑐, 𝐶𝐴 égale petit 𝑏 et 𝐵𝐶 égale petit 𝑎. Si le périmètre du triangle 𝐴𝐵𝐶 est égal à 𝑝, laquelle des relations données peut-on utiliser pour écrire le périmètre en fonction du sinus des angles à l'aide de la loi des sinus? Est-ce la réponse (A) 𝑝 égal sin de l’angle en 𝐴 plus sin de l’angle en 𝐵 plus sin de l’angle en 𝐶, le tout divisé par sin de l’angle en 𝐴? (B) 𝑝 égale petit 𝑎 fois sin 𝐴 plus sin 𝐵 plus sin 𝐶, le tout sur par sin 𝐴 ? (C) 𝑝 égale petit 𝑏 fois sin 𝐴 plus sin 𝐵 plus sin 𝐶, le tout sur sin 𝐴? (D) 𝑝 égale petit 𝑐 fois sin 𝐴 plus sin 𝐵 plus sin 𝐶, le tout sur sin 𝐴? Ou enfin (E) : le périmètre est égal à petit 𝑎 fois le produit de sin 𝐴, sin 𝐵 et sin 𝐶, le tout sur sin 𝐴?
Cette question nous donne des informations sur un triangle. Donc ce que nous pouvons commencer par faire est de le dessiner. On nomme tout d’abord les sommets de notre triangle 𝐴, 𝐵 et 𝐶. On peut ensuite nommer les longueurs des côtés du triangle. Il convient également de souligner ici que grand 𝐴, grand 𝐵 et grand 𝐶 représentent non seulement les sommets du triangle mais également les angles du triangle en ces sommets. Mais cela ne représente pas beaucoup d’informations pour avancer. Cela pourrait être en fait n’importe quel triangle.
Et nous devons déterminer une expression du périmètre de ce triangle. On rappelle qu’il est égal à la somme de toutes les longueurs de côté du triangle. Nous allons donc commencer par l’équation suivante : le périmètre est égal à la somme des longueurs de côté du triangle. Donc, 𝑝 égale petit 𝑎 plus petit 𝑏 plus petit 𝑐. Rappelez-vous que nous devons exprimer le périmètre en fonction des sinus des angles de notre triangle, et que nous devons utiliser pour cela la loi des sinus.
Commençons donc par la rappeler. Une version de cette formule stipule que si petit 𝑎, petit 𝑏 et petit 𝑐 sont les longueurs de côté d’un triangle respectivement opposés aux angles grand 𝐴, grand 𝐵 et grand 𝐶, alors petit 𝑎 sur sin de grand 𝐴 égale petit 𝑏 sur sin de grand 𝐵 égale petit 𝑐 sur sin de grand 𝐶. Et comme 𝐴𝐵𝐶 représente également un triangle dans cette question, la loi des sinus doit s’y appliquer.
Il existe en réalité de nombreuses façons d’utiliser la loi des sinus pour reformuler ce périmètre. Et nous devons déterminer celle que nous devons utiliser. Nous allons pour cela examiner les réponses proposées. On remarque alors que toutes les réponses on un élément en commun. Tous les dénominateurs des fractions sont égaux à sinus de grand 𝐴. Cela signifie que pour reformuler le périmètre, nous devons avoir sinus de grand 𝐴 au dénominateur. Nous allons donc reformuler petit 𝑎, petit 𝑏 et petit 𝑐 en fonction du sinus de grand 𝐴.
Et il y a plusieurs façons de le faire. Commençons par les deux premières parties de cette équation. On a petit 𝑎 sur sin de grand 𝐴 égale petit 𝑏 sur sin de grand 𝐵. Nous voulons utiliser cela pour trouver une expression de petit 𝑏 en fonction de sin de grand 𝐴. Eh bien, il suffit seulement de réarranger cette équation pour isoler petit 𝑏. On multiplie donc par sin de grand 𝐵. Et on obtient petit 𝑏 égale petit 𝑎 fois sin de grand 𝐵 sur sin de grand 𝐴.
Et comme attendu, sin de grand 𝐴 est au dénominateur de cette expression. Nous pouvons alors remplacer cela dans l’équation du périmètre 𝑝. Bien sûr, nous pouvons faire exactement la même chose pour petit 𝑐. Mais nous allons cette fois utiliser petit 𝑎 sur sin de grand 𝐴 égale petit 𝑐 sur sin de grand 𝐶.
Et comme précédemment, nous allons utiliser cette équation pour trouver une expression de la longueur petit 𝑐. On multiplie donc les deux membres par sin de grand 𝐶. Cela nous donne petit 𝑐 égale petit 𝑎 fois sin de grand 𝐶 sur sin de grand 𝐴. Et on remplace à nouveau cela dans l’expression du périmètre 𝑝.
Mais il semble maintenant que nous soyons face à un problème. Nous ne pouvons pas faire exactement la même chose pour trouver une expression de petit 𝑎. On rappelle cependant que nous recherchons simplement à écrire petit 𝑎 avec un dénominateur égal à sin de grand 𝐴. Et on peut pour cela l’écrire sous forme de fraction. Il est simplement égal à petit 𝑎 fois sin de grand 𝐴 sur sin de grand 𝐴. Nous avons ainsi trouvé l’expression suivante pour le périmètre du triangle.
Avant de continuer, il y a une chose intéressante à souligner au sujet de sin de grand 𝐴. Rappelez-vous que la question indique que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle. Cela signifie en particulier que la mesure de l’angle en 𝐴 n’est pas égale à zéro, ni à 180 degrés. Sa mesure est comprise entre ces deux valeurs. Et cela est utile car cela signifie que sin de grand 𝐴 est différent de zéro. En d’autres termes, nous ne divisons pas par zéro dans cette expression.
Nous pourrions alors simplement laisser notre réponse comme ceci. Mais nous allons la factoriser par petit 𝑎. Puis écrire tout cela comme une seule fraction sur sin de grand 𝐴. On trouve alors que le périmètre 𝑝 du triangle est égal à petit 𝑎 fois sin 𝐴 plus sin 𝐵 plus sin 𝐶, le tout divisé par sin 𝐴, ce qui correspond à la réponse (B).
Dans cette question, nous avons ainsi utilisé la loi des sinus pour trouver une expression du périmètre d’un triangle en ne connaissant qu’une seule longueur de côté et tous les angles de ce triangle. Nous avons montré que son périmètre 𝑝 est égal à petit 𝑎 fois sin 𝐴 plus sin 𝐵 plus sin 𝐶, le tout divisé par sin 𝐴.
