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Vidéo de la leçon : La loi des sinus : le cas ambigu Mathématiques

Découvrez le cas ambigu de la loi des sinus et pourquoi il conduit à deux solutions possibles pour d’autres longueurs et angles dans un triangle non rectangle. Suivez un exemple dans un triangle rectangle et un autre dans un triangle non rectangle.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons regarder le cas ambigu de la loi des sinus. Supposons que l’on vous donne des informations sur un triangle, telles que les longueurs de deux de ses côtés et la taille de l’un de ses angles. Le cas ambigu se produit lorsque ces informations ne définissent pas un triangle unique. Mais en fait, il est possible de dessiner plus d’un triangle en utilisant les informations fournies. Plus précisément, cela se produit lorsque l’angle qui vous est donné n’est pas inclus entre les deux côtés. Regardons donc un exemple pour clarifier ce que nous voulons dire.

J’ai ici un triangle dans lequel j’ai les longueurs de deux côtés, cinq centimètres et six centimètres, et la taille d’un angle. Et vous verrez que cet angle n’est pas inclus entre les deux côtés. Ce n’est donc pas entre les côtés de six centimètres et cinq centimètres. On me demande de calculer la taille de l’angle 𝐴. Je vais donc essayer de répondre à ce problème en utilisant ensuite la loi des sinus. Je dois donc rappeler ce qu’il me dit. Rappelez-vous alors qu’il me dit que le rapport entre chaque côté et le sinus de son angle opposé est égal. Maintenant, j’ai choisi de l’écrire dans ce format ici où les sinus des angles sont dans le numérateur parce que cette question particulière m’a demandé de calculer un angle, donc il sera légèrement plus simple d’utiliser cette version que ce ne sera le cas, la version où les côtés sont au numérateur.

Je vais donc écrire cette loi des sinus en utilisant les informations de cette question. Je vais donc avoir ce sinus d’angle 𝐴 sur six est égal à sinus de 50 sur cinq. Cela me donne une équation que je peux résoudre afin de calculer 𝐴. La première étape consiste donc à multiplier les deux côtés de cette équation par six. Et ce faisant, j’ai ce sinus de 𝐴 est égal à six sin 50 sur cinq. Maintenant, pour calculer l’angle 𝐴, je dois faire un sinus inverse des deux côtés. J’ai donc que 𝐴 est égal à sin inverse de six sin 50 sur cinq. Maintenant, je vais utiliser ma calculatrice pour évaluer cela. Et quand je le fais, cela me dit que 𝐴 est égal à 66.817 ou 67 degrés au degré le plus proche.

Alors, génial ! Fantastique ! Nous avons terminé la question que vous pourriez penser. Mais regardez le diagramme et regardez spécifiquement l’angle 𝐴. Maintenant, ce diagramme n’est pas censé être délibérément trompeur. Et ce que vous remarquez, c’est que l’angle 𝐴 est un angle obtus. Il n’y a donc aucun moyen que l’angle 𝐴 puisse être égal à 67 degrés. Il doit se situer entre 90 et 180 degrés. Alors qu’est-ce qui ne va pas ? Eh bien, rien dans les calculs que nous avons faits jusqu’à présent n’est incorrect. Toutes ces étapes que nous avons suivies sont parfaitement bien. C’est juste que ces étapes ne nous ont pas réellement trouvé d’angle 𝐴 dans ce triangle particulier parce qu’il y a un autre triangle que nous pouvons dessiner qui utiliserait ces mêmes informations.

Si je prolonge la base du triangle dans cette direction ici, et si je devais ensuite prendre ma boussole et la mettre sur le point 𝐵 et la régler sur cinq centimètres, puis dessiner un petit arc de points, vous verriez qu’en fait il franchit à nouveau cette ligne. Et en fait, il y a un autre point sur cette ligne de base ici qui est encore à cinq centimètres de 𝐵. Et je vais alors étiqueter cela comme 𝐴 tiret. J’ai donc deux triangles : j’ai le triangle 𝐴𝐵𝐶, le triangle d’origine, et j’ai le triangle 𝐴 tiret 𝐵𝐶. Et ces deux triangles contiennent les mêmes informations. Donc, dans ces deux triangles, il est vrai que la mesure de l’angle 𝐶 est de 50 degrés, 𝐵𝐶 est de six centimètres, et 𝐴𝐵 ou 𝐴 tiret 𝐵 — selon le triangle dont vous parlez — est égal à cinq centimètres. Cette collection d’informations ne spécifie donc pas de manière unique un seul triangle.

Tout cela signifie alors que l’angle que nous venons de calculer, 67 degrés, n’est pas réellement l’angle 𝐴. C’est l’angle 𝐴 tiret que nous pouvons voir est un angle aigu. Nous avons donc cet angle ici. Cependant, nous pouvons l’utiliser pour calculer l’angle 𝐴. Si vous regardez le triangle formé par les 𝐴 tiret, 𝐵 et 𝐴, vous verrez que c’est un triangle isocèle car il a ces deux côtés de la même longueur, tous les cinq centimètres. Cela signifie donc que l’autre angle de base doit également être égal à 67 degrés. Et puis, nous pouvons calculer l’angle 𝐴 que nous recherchons en faisant 180 moins 67, car vous verrez ces deux angles assis en ligne droite ensemble. Donc, soustraire 67 de 180 nous donne une valeur de 113 degrés. Et c’est alors la taille de l’angle 𝐴 que nous recherchions.

Ceci illustre une propriété générale du rapport sinus, qui est que pour un angle 𝜃 compris entre zéro et 180 degrés, le sinus de 𝜃 est en fait égal au sinus de 180 moins 𝜃. Cette relation est toujours vraie pour les angles supplémentaires. Donc dans cette question, nous avons appliqué correctement la loi des sinus et nous avons obtenu une réponse pour l’angle 𝐴. Mais ensuite, nous avons vu que notre réponse ne pouvait pas être la bonne valeur étant donné le contexte de la figure et le fait que l’angle 𝐴 est un angle obtus. Si on ne nous avait pas donné la figure auquel se référer et à la place on vient de nous donner la liste des informations en vert, alors ces deux valeurs pour 𝐴 seraient valides. Donc 𝐴 pourrait être de 67 degrés ou 113 degrés. Et nous aurions à fournir deux réponses possibles à ce problème.

Ce problème nous dit que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle où la mesure de l’angle 𝐵 est de 110 degrés, le côté 𝑏 est de 16 centimètres et 𝑐, le côté 𝑐, est de 12 centimètres. Combien de solutions possibles existe-t-il pour les autres longueurs et angles ?

Maintenant, l’inclusion du mot « possible » ici me dit qu’il y a quelques situations qui pourraient exister. Il se pourrait que les informations que je possède ne décrivent pas du tout un triangle et qu’il n’est pas possible de dessiner un triangle qui réponde à ces exigences. Ou il se pourrait que ces informations décrivent un triangle unique, auquel cas il n’y a qu’une seule solution possible pour les autres longueurs et angles. Il se pourrait également que ce soit un exemple du cas ambigu de la loi des sinus et qu’il existe en fait deux solutions possibles pour les autres longueurs et angles.

Je vais donc commencer par un croquis de ce à quoi pourrait ressembler le triangle 𝐴𝐵𝐶. Maintenant, comme je l’ai dit, il se peut que cela n’existe pas du tout ou qu’il y ait plus d’un triangle que je pourrais dessiner. Mais je vais commencer avec une seule idée. Le triangle 𝐴𝐵𝐶 pourrait donc ressembler à ceci. Et j’ai mis toutes les informations pertinentes sur ma figure. Maintenant, je suis va commencer en essayant de calculer l’angle 𝐶. Et je vais utiliser la loi des sinus pour cela. Rappelez-vous que c’est ce que la loi des sinus me dit, que le rapport entre le sinus de chaque angle et le côté opposé est constant tout au long du triangle. Je vais donc utiliser les informations que je connais, qui sont le côté 𝑏 et l’angle 𝐵 ainsi que le côté 𝑐. Et c’est l’angle 𝐶 que je cherche à calculer.

Donc, substituer cette information me donne alors que le sinus de 110 sur 16 est égal à sin 𝐶 sur 12. Maintenant, je cherche à résoudre cette équation pour calculer l’angle 𝐶. Je vais donc multiplier les deux côtés par 12. Et je viens d’échanger l’ordre des deux côtés ici. Mais cela me dit que le sinus de 𝐶 est égal à 12 sin 110 sur 16. Afin de calculer l’angle 𝐶 alors, j’ai besoin d’utiliser la fonction sinus inverse. Et cela me dit que l’angle 𝐶 est égal à l’inverse sinus de 12 sin 110 sur 16. Maintenant, je vais utiliser ma calculatrice pour évaluer cela. Et ce faisant, j’obtiens que 𝐶 est égal à 44.8109 ou 45 degrés, lorsqu’il est arrondi au degré le plus proche.

Cela me dit donc qu’il existe au moins une solution possible pour les autres longueurs et angles. J’ai calculé que l’angle 𝐶 est de 45 degrés. J’ai donc pu calculer l’angle 𝐴 en soustrayant les 45 degrés et les 110 degrés de 180, qui est la somme des angles du triangle. Et puis par conséquent, je pourrais appliquer à nouveau la loi des sinus pour déterminer la taille du côté 𝑎. Alors maintenant, la question est de savoir s’il existe en fait deux solutions possibles. Est-ce un exemple du cas ambigu de la règle du sinus quand il y a une autre valeur possible pour 𝐶 et donc une autre valeur possible pour 𝐴 et ainsi de suite ?

Donc, si vous vous souvenez de la façon dont nous avons calculé l’autre valeur possible de l’angle, nous soustrayons cela à 180. Et si je le faisais, j’obtiendrais que 𝐶 est égal à 135 degrés. Maintenant, la question est, est-ce possible ? Est-il acceptable que 𝐶 soit égal à 135 degrés ? Et pour déterminer si c’est le cas, nous devons revenir sur le triangle d’origine. Nous savions déjà que l’angle 𝐵 dans le triangle était de 110 degrés. Cela signifie donc qu’il ne peut pas être possible que l’angle 𝐶 soit de 135 degrés car si j’additionne ces deux ensemble, il dépasserait 180 degrés, ce qui est la somme des angles pour un triangle. Ce que cela signifie alors, c’est que l’angle 𝐶 doit être celui de 45 degrés que j’ai calculé à l’origine. Et par conséquent, il existe une solution unique à ce problème. Il n’y a donc qu’une seule solution possible pour les longueurs des côtés et les tailles des angles. Cette vérification est donc essentielle. Si vous pensez qu’il existe une deuxième solution possible, vous devez regarder les autres angles du triangle et confirmer qu’elle ne dépasse pas la somme des angles.

En résumé donc, nous avons vu quel est le cas ambigu de la loi des sinus. Nous avons vu comment et pourquoi augmenter. Et nous avons vu comment déterminer une deuxième solution possible, s’il en existe une.

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