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Fiche explicative de la leçon : Cas ambigu de la loi des sinus Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à utiliser la loi des sinus pour résoudre des triangles ambigus CCA (côté-côté-angle).

Commençons par nous rappeler la loi des sinus.

Propriété : La loi des sinus

La loi des sinus s’applique à tout triangle, en égalant les rapports des sinus des angles aux longueurs des côtés correspondants.

C’est-à-dire sinsinsin(𝐴)𝑎=(𝐵)𝑏=(𝐶)𝑐.

Nous pouvons utiliser la loi des sinus pour trouver des mesures d’angle et des longueurs inconnues dans des triangles où nous connaissons soit deux longueurs et la mesure d’un angle opposé, soit les mesures de deux angles et d’un côté opposé.

Pour illustrer l’utilisation de la loi des sinus, considérons le triangle 𝐴𝐵𝐶 avec 𝑎=6cm, 𝑏=8cm et 𝑚𝐴=40, où nous souhaitons identifier la mesure de l’angle 𝐵.

Dans ce triangle, la longueur de deux côtés ainsi que la mesure d’un angle opposé sont connues;nous commençons par établir les rapports des sinus et de leur côté opposé. C’est-à-dire sinsin(𝐵)8=(40)6.

Ensuite, nous calculons la valeur de l’inconnue:sinsinsinsin(𝐵)=8×(40)6𝐵=8×(40)6𝐵=58,9869.

Par conséquent, 𝐵=58,992.àdécimalesprès

Nous pouvons tracer le triangle comme suit.

Nous pouvons aussi utiliser la loi des sinus pour calculer une longueur inconnue. Par exemple, supposons que pour un triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝑎=6cm, 𝑚𝐴=40 et 𝑚𝐵=121,01, nous aimerions déterminer la longueur de 𝑏 arrondie au centimètre près.

Pour ce faire, nous pouvons substituer directement les valeurs connues dans la formule suivante:𝑏(121,01)=6(40)𝑏=8,00.sinsincm

Par conséquent, 𝑏=8cm, arrondi au centimètre près.

Nous pouvons tracer ce deuxième triangle comme suit.

Si nous comparons maintenant ces deux triangles, nous pouvons remarquer qu’ils possèdent deux côtés de longueurs respectivement égales ainsi qu’un angle de même mesure. Ce point est intéressant:si nous avions essayé de définir un triangle par ces deux longueurs de côté et cette mesure d’angle, nous aurions été en mesure de dessiner les deux triangles tracés précédemment. Par conséquent, les informations auraient été ambiguës.

Cela signifie que, dans certains cas particuliers, les informations qui nous sont données pour décrire un triangle peuvent être ambiguës;nous devons donc être vigilants lors de prochains calculs. Heureusement, ces cas sont bien définis;nous pouvons donc effectuer des vérifications minutieuses avant de faire des calculs afin de déterminer si plus d’un triangle peut être tracé à partir des mêmes données.

Définition : Cas ambigu de la loi des sinus

Utiliser la loi des sinus pour déterminer une longueur inconnue peut donner lieu à une réponse ambiguë à cause de la possibilité de l’existence de deux solutions (à savoir, lorsque l’on vous donne deux longueurs de côté et la mesure d’un angle aigu opposé). Si l’angle 𝐴 est aigu et <𝑎<𝑏, alors les deux triangles, 𝐴𝐶𝑀 et 𝐴𝐶𝐵, existent.

L’ambiguïté de la loi des sinus découle du fait que deux angles différents peuvent avoir le même sinus.

Il est important de souligner que ce cas ne peut se produire que si l’on nous donne les longueurs de deux côtés et un angle opposé;cependant, il y a trois possibilités à distinguer dans ce cas:aucun triangle n’existe, un triangle existe ou deux triangles existent.

Nous avons résumé les cas possibles lorsque deux côtés 𝑎 et 𝑏, et un angle opposé 𝐴 sont connus dans le tableau ci-dessous.

Examinons certains de ces cas dans les exemples suivants.

Exemple 1: Utiliser la loi des sinus pour déterminer combien de triangles peuvent être formés

Soit un triangle 𝐴𝐵𝐶 avec 𝑎=2cm, 𝑏=5cm et 𝑚𝐴=35. Combien de triangles peuvent être formés?

Réponse

Ici, les longueurs de deux côtés ainsi que la mesure d’un angle opposé sont connues, de sorte que nous pouvons utiliser la loi des sinus;sinsin(𝐵)𝑏=(𝐴)𝑎.

En substituant les valeurs données dans la question, nous obtenons sinsinsinsinsin(𝐵)5=(35)2(𝐵)=(35)2×5(𝐵)=1,434.

Par conséquent, sinàdécimalesprès(𝐵)=1,41.

Cependant, ce résultat est impossible car le sinus d’un angle ne peut pas être égal à 1,4;la plus grande valeur que le sinus d’un angle peut avoir est 1.

Aussi, notez que 𝐴 est aigu, et que en calculant la hauteur de ce triangle, nous obtenons =5(35)=2,87sincm;𝑎=2cm, il est impossible de tracer ce triangle. Nous illustrons cela dans le diagramme suivant.

En effet, nous voyons qu’aucun triangle ne peut être formé.

Exemple 2: Utiliser la loi des sinus pour déterminer combien de valeurs la mesure d’un angle peut prendre.

Soit un triangle 𝐴𝐵𝐶 avec 𝑎=3cm, 𝑏=9cm et 𝑚𝐴=10. Déterminez toutes les mesures possibles de 𝐵 au degré près..

Réponse

Nous pouvons déterminer combien de triangles existent à partir de ces données en utilisant le fait que 𝐴 est aigu et que la hauteur du triangle est =9(10)=1,56sincm. Ensuite, étant donné que <𝑎<𝑏, nous savons qu’il est possible de dessiner deux triangles..

Etant donnés deux côtés et un angle opposé, nous pouvons utiliser la loi des sinus pour résoudre ce problème. C’est-à-dire sinsin(𝐵)𝑏=(𝐴)𝑎.

En substituant les valeurs données dans l’énoncé, nous obtenons sinsinsinsinsinsin(𝐵)9=(10)3(𝐵)=(10)3×9(𝐵)=0,521𝐵=(0,521)=31,396.

Par conséquent, 𝐵=31 arrondi au degré près..

Maintenant, étant donné que le sinus d’un angle aigu est égal au sinus de son supplémentaire, il existe une autre valeur de 𝐵 pour laquelle sin(𝐵)=0,521. L’angle supplémentaire de 𝐵=31 est 18031=149.

Il reste à vérifier la validité de cette réponse. Nous avons 10+149<180 et donc la valeur obtenue est possible pour l’angle 𝐵.

Par conséquent, il y a deux mesures possibles pour 𝐵, 31 et 149, de sorte que deux triangles différents peuvent être formés. Les triangles sont les suivantes.

Dans le cas où il y a plus d’une valeur pour l’angle que nous cherchons à calculer, une calculatrice ne donnera pas les deux valeurs possibles;dès lors, nous devons calculer l’autre mesure d’angle et vérifier si celle-ci est possible.

Exemple 3: Utiliser la loi des sinus pour déterminer combien de triangles peuvent être formés

Soit un triangle 𝐴𝐵𝐶 avec 𝑎=6cm, 𝑏=5cm et 𝑚𝐴=40. Combien de tels triangles peuvent être formés?

Réponse

Nous observons tout d’abord que 𝐴 est aigu et que 𝑎>𝑏. Par conséquent, un seul triangle existe pour ce problème.

Il ne nous a pas été demandé de calculer les mesures d’angles dans cette question;toutefois nous pouvons confirmer notre résultat précédent en effectuant les calculs. Il nous a été donné les longueurs de deux côtés et un angle opposé, de telle sorte que nous pouvons utiliser la loi des sinus, à savoir, sinsin(𝐵)𝑏=(𝐴)𝑎.

En substituant les valeurs données dans l’équation précédente, nous obtenons sinsinsinsinsinsin(𝐵)5=(40)6(𝐵)=(40)6×5(𝐵)=0,536𝐵=(0,536)=32,388.

Par conséquent, 𝐵=32,392.àdécimalesprès

Vérifions maintenant le résultat pour l’autre angle ayant un sinus égal à 0,536. C’est-à-dire 18032,29=147,61. Vérifions tout d’abord qu’une telle mesure d’angle est possible. Si 𝑚𝐴=40 et 𝑚𝐵=147,61, alors la somme de ces deux angles dépasse 180.

Cela confirme qu’il n’y a qu’un seul triangle possible qui peut être formé.

Ces trois exemples ont démontré les trois possibilités que nous pouvons observer lorsque nous traitons le cas ambigu de la loi des sinus. En résumé, si l’on considère un triangle 𝐴𝐵𝐶 avec hauteur , nous distinguons les trois cas suivants:

  • Aucun triangle n’existe (par exemple lorsque la valeur du sinus est hors limites). Cela se produit lorsque 𝐴 est aigu et 𝑎<, ou 𝐴 est obtus et 𝑎<𝑏 ou 𝑎=𝑏.
  • 1 triangle existe (l’angle supplémentaire est hors limites). Cela se produit lorsque 𝐴 est aigu et 𝑎= ou 𝑎>𝑏, ou quand 𝐴 est obtus et 𝑎>𝑏.
  • 2 triangles existent (l’angle supplémentaire est possible). Cela se produit lorsque 𝐴 est aigu et <𝑎<𝑏.

Exemple 4: Utiliser la loi des sinus pour calculer toutes les valeurs possibles d’une longueur dans un triangle

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle, où 𝐵𝐶=13,8cm, 𝐴𝐶=21,2cm et 𝑚𝐴=21. Déterminez toutes les valeurs possibles de la longueur 𝐴𝐵 en donnant la réponse au millième près.

Réponse

Nous pouvons commencer par tracer rapidement le triangle pour mieux visualiser le problème.

Nous ne pouvons pas utiliser directement la loi des sinus pour égaler le rapport du sinus de l’angle 𝐶 et du côté 𝐴𝐵 avec le rapport du sinus de l’angle 𝐴 et du côté 𝐵𝐶;car cela nous n’avons pas de valeur pour l’angle 𝐶. Cependant, si l’on utilise en premier lieu sinsin(𝐵)𝑏=(𝐴)𝑎, alors nous pouvons trouver l’angle 𝐵:sinsinsinsinsinsin(𝐵)21,2=(21)13,8(𝐵)=(21)13,8×21,2(𝐵)=0,551𝐵=(0,551)=33,404.

Nous devons maintenant vérifier l’autre angle qui a également un sinus égal à 0,551 , c’est-à-dire l’angle supplémentaire de 𝐵:18033,404=146,596.

Cet angle alternatif pour 𝐵 donnerait aussi un triangle possible car 146,596+21<180.

Il y a deux triangles possibles que nous pouvons tracer.

Les deux valeurs possibles pour l’angle 𝐵 vont nous donner deux valeurs possibles pour l’angle 𝐶. Ces valeurs sont 1802133,404=125,596 et 18021146,596=12,404.

PournousavonsPournousavonssinsinsinsinsinsinsinsincmàdécimalesprèscmàdécimalesprès𝑚𝐶=125,596,𝑚𝐶=12,404,𝑐(125,596)=13,8(21)𝑐(12,404)=13,8(21)𝑐=13,8(21)×(125,596)𝑐=13,8(21)×(12,404)𝑐=31,3123.𝑐=8,2723.

Par conséquent, nous avons trouvé que les longueurs possibles de 𝐴𝐵 sont 𝐴𝐵=31,312cm et 𝐴𝐵=8,272cm.

Pour notre dernier exemple, appliquons ce que nous avons appris sur les triangles ambigus pour déterminer si un triangle est ambigu et, ensuite, calculer ses périmètres possibles.

Exemple 5: Déterminer le périmètre de chaque solution d’un triangle en utilisant la loi des sinus

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle où 𝑏=28cm, 𝑐=17cm et 𝑚𝐶=32. Déterminez toutes les valeurs possibles du périmètre en donnant la réponse au centième près.

Réponse

Tout d’abord, notez que 𝐶 est aigu et que la hauteur de ce triangle (dans ce cas, nous la considérons comme la droite joignant 𝐴 à 𝐵𝐶) est =28(32)=14,84sincm. Ensuite, nous avons <𝑐<𝑏, ce qui nous indique qu’il y a deux solutions possibles à ce problème.

Traçons ce triangle.

Pour déterminer le périmètre, il nous faudra la longueur du côté opposé à l’angle 𝐴. Afin de trouver cette longueur en utilisant la loi des sinus, nous avons d’abord besoin de la mesure de l’angle 𝐴. Pour trouver cela, nous commençons par trouver la mesure de l’angle 𝐵:sinsinsinsinsinsin(𝐵)28=(32)17(𝐵)=(32)17×28(𝐵)=0,873𝐵=(0,873)=60,787.

Maintenant, vérifions l’autre angle ayant également un sinus égal à 0,873, c’est-à-dire l’angle supplémentaire de 𝐵:18060,787=119,213.

Cela nous donne les deux triangles possibles.

Le triangle alternatif avec 𝑚𝐵=119,213 est possible car 32+119,213<180.

Cela nous donne deux mesures possibles de l’angle 𝐴:1803260,787=87,213 et 18032119,213=28,787.

On peut maintenant utiliser ces valeurs pour l’angle 𝐴 pour déterminer la longueur opposée à l’angle 𝐴.

Lorsque 𝑚𝐴=87,213 , 𝑎(87,213)=17(32)𝑎=17(32)×(87,213)𝑎=32,042.sinsinsinsincmàdécimalesprès

Nous pouvons représenter cela à l’aide du schéma suivant.

Lorsque 𝑚𝐴=28,787 , 𝑎(28,787)=17(32)𝑎=17(32)×(28,787)𝑎=15,452.sinsinsinsincmàdécimalesprès

Nous pouvons représenter notre deuxième triangle comme suit.

Dans le premier cas, où 𝑚𝐴=87,21 et 𝑎=32,04cm, le périmètre du triangle est 28+17+32,04=77,04.cmcmcmcm

Dans le second cas, où 𝑚𝐴=28,79 et 𝑎=15,45cm, le périmètre du triangle est 28+17+15,45=60,45.cmcmcmcm

Terminons en rappelant quelques points clés de cette leçon.

Points clés

  • Pour un triangle 𝐴𝐵𝐶 avec hauteur , il y a 3 possibilités lors de l’utilisation de la loi des sinus avec un problème de type côté-côté-angle (CCA);celles-ci déterminent si un triangle est ambigu, possible, ou unique:
    • Aucun triangle n’existe (par exemple, si la valeur du sinus est hors limites) lorsque 𝐴 est aigu et 𝑎<, ou 𝐴 est obtus et 𝑎<𝑏 ou 𝑎=𝑏.
    • 1 triangle existe (l’angle supplémentaire est hors limites) lorsque 𝐴 est aigu et 𝑎= ou 𝑎>𝑏, ou lorsque 𝐴 est obtus et 𝑎>𝑏.
    • 2 triangles existent (la mesure de l’angle supplémentaire est possible) lorsque 𝐴 est aigu et <𝑎<𝑏.
  • Avant de commencer des calculs afin de déterminer des mesures inconnues dans un triangle (face à un problème du type CCA), il est conseillé de vérifier d’abord le nombre de triangles possibles en utilisant les classifications décrites ci-dessus. Cela peut permettre d’éviter des calculs inutiles et fournit un aperçu des calculs qui doivent être effectués.

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