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L’échelle d’une carte est de un centimètre pour 1,35 kilomètre. Les positions de trois villes sur la carte forment un triangle. Les villes 𝐵 et 𝐶 sont éloignées de 17 centimètres, et les angles 𝐶𝐴𝐵 et 𝐴𝐵𝐶 mesurent respectivement 83 degrés et 65 degrés. Calculez la distance réelle entre les villes 𝐴 et 𝐵, et entre les villes 𝐴 et 𝐶 en donnant la réponse au kilomètre près.
Avant toute chose, nous pouvons simplement commencer par déterminer la mesure de l’angle 𝐶. Nous savons que dans un triangle, la somme des angles est égale à 180 degrés, donc l’angle 𝐶 est égal à 180 degrés moins 83 plus 65 degrés. Par conséquent, l’angle 𝐶 est égal à 32 degrés.
Nous devons ensuite prendre en compte le fait qu’on recherche la distance réelle entre les villes. Nous pouvons utiliser notre échelle pour convertir la longueur que nous connaissons en une distance réelle. Sur notre dessin, la distance entre 𝐵 et 𝐶 est de 17 centimètres. Chaque centimètre correspond à 1,35 kilomètres dans la réalité, nous pouvons donc déterminer la distance réelle entre 𝐵 à 𝐶 en multipliant 17 par 1,35, ce qui nous donne 22,95 kilomètres.
Pour plus de facilité, nous allons nommer les trois côtés du triangle Nous notons 𝑎 minuscule le côté opposé à l’angle 𝐴. 𝑏 minuscule est le côté opposé à l’angle 𝐵. 𝑐 minuscule est le troisième côté. Nous avons donc un triangle non rectangle dont nous connaissons les mesures des trois angles et la longueur d’un côté. Nous pouvons donc utiliser la loi des sinus pour calculer les longueurs des deux autres côtés. Nous savons que nous ne pouvons pas utiliser la loi des cosinus, car il faudrait pour cela connaître les longueurs de deux côtés du triangle.
D’après la loi des sinus, 𝑎 sur sinus 𝐴 est égal à 𝑏 sur sinus 𝐵 qui est égal à 𝑐 sur sinus 𝐶. Cela peut aussi s’écrire sinus 𝐴 sur 𝑎 égale sinus 𝐵 sur 𝑏 égale sinus 𝐶 sur 𝑐. Nous pouvons utiliser l’une ou l’autre de ces deux formes. Seulement, puisque nous cherchons à déterminer les longueurs des côtés, nous allons utiliser la première forme car elle demandera moins de réarrangements.
Commençons par calculer la longueur du côté 𝑐. Il s’agit de la distance entre la ville 𝐴 et la ville 𝐵. Nous remplaçons les informations que nous connaissons dans l’équation et nous obtenons 22,95 sur sinus de 83 degrés égale 𝑐 sur sinus de 32 degrés. Notons que nous remplaçons 𝑎 par la distance réelle et non par la longueur sur le dessin. Pour résoudre cette équation, nous multiplions par sinus de 32 degrés des deux côtés. Nous obtenons 𝑐 égale 22,95 sur sinus de 83 degrés fois sinus de 32 degrés. La saisie du membre de droite dans notre calculatrice nous donne un résultat de 12,252 etc. Si vous n’avez pas obtenu ce résultat, vérifiez si votre calculatrice est réglée en mode degré et non en mode radian.
Nous arrondissons au kilomètre près et nous obtenons que 𝑐 mesure 12 kilomètres. Il s’agit de la distance entre la ville 𝐴 et la ville 𝐵.
Nous allons procéder de la même manière pour calculer la longueur du côté 𝑏, soit la distance entre la ville 𝐴 et la ville 𝐶. Nous allons utiliser 𝑎 sur sinus 𝐴 égale 𝑏 sur sinus 𝐵. Notons que nous pourrions utiliser 𝑐 sur sinus 𝐶 au lieu de 𝑎 sur sinus 𝐴. Cependant, il faudrait faire attention à ne pas utiliser de valeurs arrondies qui impacteraient la précision du résultat final. Nous allons donc plutôt utiliser 𝑎 sur sinus 𝐴.
Nous remplaçons par les valeurs que nous connaissons et nous obtenons 22,95 sur sinus de 83 degrés égale 𝑏 sur sinus de 65 degrés. Nous résolvons l’équation de la même manière que précédemment, en multipliant par sinus de 65 degrés des deux côtés. Nous obtenons 𝑏 égale 22,95 sur sinus de 83 degrés fois sinus de 65 degrés, ce qui est égal à 20,955 etc. Nous arrondissons au kilomètre près et nous obtenons 21 kilomètres. Par conséquent, la distance entre les villes 𝐴 et 𝐶 est de 21 kilomètres.
En utilisant la loi des sinus, nous avons calculé que la distance réelle entre les villes 𝐴 et 𝐵 est de 12 kilomètres au kilomètre près et que la distance réelle entre les villes 𝐴 et 𝐶 est de 21 kilomètres au kilomètre près.
