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Fiche explicative de la leçon : Applications sur la loi du sinus et la loi des cosinus Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les lois des sinus et des cosinus pour résoudre des problèmes de la vie courante.

Ces deux lois ont des applications très diverses. Celles-ci peuvent notamment être appliquées dans le domaine de l’ingénierie, pour calculer des distances ou des angles d’élévations utiles à la construction de ponts ou de poteaux téléphoniques par exemple. En navigation, les pilotes ou les marins peuvent utiliser ces lois pour calculer la distance ou l’angle du cap nécessaire pour arriver à leur destination.

Commençons par rappeler ces deux lois. Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle de côtés de longueurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐.

Définition : Loi des sinus

Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶 ci-dessus, la loi des sinus stipule que 𝑎𝐴=𝑏𝐵=𝑐𝐶.sinsinsin

Les égalités entre les inverses sont également vraies:sinsinsin𝐴𝑎=𝐵𝑏=𝐶𝑐.

On sait que nous devrons appliquer la loi des sinus lorsque l’on dispose d’informations sur des paires de côtés et d’angles opposés dans un triangle non rectangle. En pratique, il n’est nécessaire d’utiliser que deux quotients dans nos égalités.

Définition : Loi des cosinus

Dans un triangle 𝐴𝐵𝐶 comme ci-dessus, la loi des cosinus stipule que 𝑎=𝑏+𝑐2𝑏𝑐𝐴.cos

On peut réécrire cette relation sous la forme cos𝐴=𝑏+𝑐𝑎2𝑏𝑐.

On peut reconnaitre deux types de situations dans lesquelles il est nécessaire d’appliquer la loi des cosinus:

  • On utilise la première relation dans le cas où l’on connait la mesure d’un angle ainsi que les longueurs de ses deux côtés adjacents dans un triangle non rectangle, et que l’on souhaite calculer la longueur du troisième côté.
  • On utilise la forme réarrangée lorsqu’on connait toutes les longueurs des côtés d’un triangle et que l’on souhaite calculer la mesure de n’importe lequel de ses angles.

Il est préférable de ne pas trop se soucier des noms des variables elles-mêmes, mais plutôt de comprendre ce qu’elles représentent géométriquement en termes des positions relatives des longueurs des côtés ou des mesures d’angles que nous souhaitons calculer. Par exemple, dans la seconde formulation de la loi des cosinus, les lettres 𝑏 et 𝑐 représentent les longueurs des deux côtés qui entourent l’angle dont nous calculons la mesure et 𝑎 représente la longueur du côté opposé à cet angle.

À condition que l’on se souvienne de cette configuration, il est possible d’appliquer la loi des cosinus sans avoir à réintroduire les noms des variables 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans chaque problème.

Nous devrions déjà être familiers avec l’utilisation de ces lois lors de la résolution de problèmes purement mathématiques, en particulier lorsque l’on nous donne une figure. L’objectif de cette fiche explicative est d’utiliser ces compétences pour résoudre des problèmes qui ont une application concrète. Il sera souvent nécessaire de commencer par faire une figure à partir d’une description textuelle, comme nous le verrons dans notre premier exemple.

Exemple 1: Application de la loi des cosinus au calcul d’une longueur dans un triangle donné par un problème textuel

Un fermier veut clôturer un terrain triangulaire. Les longueurs de deux des côtés de la clôture sont 72 mètres et 55 mètres, et l’angle entre ces deux côtés mesure 83. Calculez le périmètre de la clôture et donnez votre réponse au mètre près.

Réponse

Commençons par esquisser la parcelle de terrain à partir des informations de l’énoncé, comme sur la figure ci-dessous (qui n’est pas à l’échelle).

Afin de calculer le périmètre de la clôture, nous devons d’abord calculer la longueur du troisième côté du triangle. Nous pouvons voir sur la figure que nous connaissons les longueurs de deux côtés et la mesure de l’angle qu’ils forment. On peut donc calculer la longueur du troisième côté en appliquant la loi des cosinus:𝑎=𝑏+𝑐2𝑏𝑐𝐴.cos

Il peut être utile d’étiqueter les sommets et longueurs de côtés de notre figure de façon cohérente avec l’expression de la loi des cosinus, comme illustré ci-dessous.

Ceci n’est toutefois pas indispensable si nous comprenons la structure de la loi des cosinus. Si on se souvient que 𝑏 et 𝑐 sont les deux côtés connus et qu’ils forment l’angle 𝐴, alors nous pouvons substituer les valeurs directement dans la loi des cosinus sans avoir à étiqueter explicitement les côtés et les angles.

En évaluant la loi des cosinus en 𝑏=55, 𝑐=72 et 𝐴=83, on obtient 𝑎=55+72(2×55×72)83.cos

En développant, évaluant le cosinus, et en simplifiant, on trouve 𝑎=3025+5184792083=7243,794.cos

On peut résoudre cette équation en 𝑎 simplement en prenant la racine carrée. Nous pouvons en effet ignorer la solution strictement négative puisque nous cherchons une longueur:𝑎=7243,794=85,110.mm

Enfin, rappelons que nous devons calculer le périmètre de la clôture. La somme des longueurs des trois côtés, arrondie au mètre près, comme l’exige la question, nous donne:périmètre=72+55+(85,110)=212,110212.

Le périmètre du champ, arrondie au mètre près, est égal à 212 mètres.

On peut également appliquer les lois des sinus et des cosinus dans le cadre de problèmes de voyages. Il se pourrait que l’on nous donne une description textuelle du mouvement d’un objet ou des positions d’objets multiples les uns par rapports aux autres et que l’on nous demande de calculer des distances ou des angles entre ces objets. Dans des problèmes plus complexes, nous pouvons être amenés à appliquer à la foi la loi des sinus et la loi des cosinus. Étudions à présent un tel exemple.

Exemple 2: Calcul du sens et de la norme du déplacement d’un corps en utilisant les lois des sinus et des cosinus

Une personne fait du vélo et parcourt d’abord 72km vers l’est, puis parcourt 21 km à 45 vers le sud-est. Calculez la norme et le sens du déplacement, en arrondissant le sens à une minute d’arc près.

Réponse

Commençons par esquisser le voyage effectué par cette personne, en fixant le nord comme étant le haut de l’écran. On note 𝐴 son point de départ, et on prolonge le premier segment en pointillés afin de faciliter le dessin de la deuxième partie du voyage. On trace un angle de 45 vers le sud-est en mesurant 45 vers le bas (c.-à-d. dans le sens des aiguilles d’une montre) à partir de cette droite en pointillés.

On doit calculer la norme et le sens de ce déplacement. La norme est donnée par la longueur du segment entre les points 𝐴 et 𝐶. Le sens de déplacement du point 𝐶 à partir du point 𝐴 est vers le sud-est, et est donné par l’angle 𝐵𝐴𝐶.

Considérons le triangle 𝐴𝐵𝐶 dont on connait deux des longueurs des côtés. On peut calculer la mesure de l’angle, 𝐴𝐵𝐶 formé par ces côtés, puisque tout angle formé par deux demi-droites alignées est égal à 180. En soustrayant 45 à 180 on obtient 𝑚𝐴𝐵𝐶=18045=135.

Puisque nous connaissons à présent les longueurs de deux des côtés ainsi que la mesure de l’angle qu’ils forment, on peut appliquer la loi des cosinus pour calculer la longueur du troisième côté:𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶(2×𝐴𝐵×𝐵𝐶×𝐴𝐵𝐶).cos

En évaluant cette expression pour les valeurs 𝐴𝐵=72, 𝐵𝐶=21 et 𝑚𝐴𝐵𝐶=135, on obtient 𝐴𝐶=72+212×72×21×135=833.cos

On résout cette équation en 𝐴𝐶 en prenant la racine carrée des deux côtés et on obtient:𝐴𝐶=833=717.kmkm

Nous ajoutons les informations que nous avons calculées à notre figure.

Pour calculer la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶, nous avons le choix entre plusieurs méthodes:

  • On pourrait appliquer la loi des cosinus en utilisant les trois longueurs des côtés connues.
  • On pourrait appliquer la loi des sinus en utilisant le côté de longueur 21 km opposé à l’angle recherché et le côté et l’angle opposés représentés en orange.

Nous choisissons d’appliquer la loi des sinus, en utilisant la formulation qui comporte des angles au numérateur:sinsin𝐴𝑎=𝐵𝑏.

En évaluant cette expression pour les valeurs 𝑎=21, 𝑏=717 et 𝐵=135, on obtient sinsin𝐴21=135717.

Puis, en multipliant chaque membre de cette expression par 21, on obtient sinsin𝐴=21135717.

On résout cette équation en 𝐴 en appliquant l’inverse de la fonction sinus:𝐴=21135717=30,963.sinsin

On rappelle que l’on doit donner notre réponse à une minute d’arc près, donc, en utilisant la calculatrice pour convertir un angle en degrés en une angle en degrés et en minutes d’arc, on trouve 3058.

La norme du déplacement est donc égale à 717km et le sens du déplacement à une minute d’arc près est de 3058 vers le sud-est.

Nous avons vu dans l’exemple précédent que, dès lors que nous disposons de suffisamment d’informations sur le triangle, on a le choix de la méthode que nous pouvons employer. L’application de la loi des sinus et de la loi des cosinus aboutira bien sûr à la même réponse et ces deux méthodes sont aussi efficaces l’une que l’autre. Il est également possible d’appliquer la loi des sinus ou la loi des cosinus plusieurs fois dans le même problème.

Les lois des sinus et des cosinus peuvent également être appliquées pour résoudre des problèmes impliquant d’autres formes géométriques, telles que les quadrilatères, car ils peuvent être divisées en triangles. Considérons maintenant un exemple de cela, dans lequel nous appliquons la loi des cosinus deux fois pour calculer la mesure d’un angle dans un quadrilatère.

Exemple 3: Calcul d’un angle d’un quadrilatère en utilisant la loi des cosinus

Un quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 a des côtés de longueurs 𝐴𝐵=31cm, 𝐵𝐶=40cm, 𝐶𝐷=43cm, 𝐷𝐴=32cm, et un de ses angles 𝑚𝐴=64. Calculez 𝑚𝐶𝐵𝐷 en donnant votre réponse au degré près.

Réponse

Commençons par esquisser le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 comme sur la figure ci-dessous (qui n’est pas à l’échelle).

On trace également la diagonale 𝐵𝐷 et on identifie l’angle 𝐶𝐵𝐷 dont on nous demande de calculer la mesure.

La diagonale 𝐵𝐷 divise le quadrilatère en deux triangles. On remarque que l’angle 𝐶𝐵𝐷 est un des angles du triangle 𝐵𝐶𝐷, dont on connaît les longueurs de deux des côtés. Si on connaissait la longueur du troisième côté, 𝐵𝐷, on pourrait appliquer la loi des cosinus pour calculer la mesure de n’importe quel angle dans ce triangle.

Le côté 𝐵𝐷 appartient également à l’autre triangle sur la figure, le triangle 𝐴𝐵𝐷, alors considérons ce triangle. On connait les longueurs de deux côtés (𝐴𝐷 et 𝐴𝐵) et la mesure de l’angle qu’ils forment;ainsi nous pouvons appliquer la loi des cosinus pour calculer la longueur du troisième côté. En appliquant la loi des cosinus dans ce triangle on trouve 𝐵𝐷=𝐴𝐵+𝐴𝐷(2×𝐴𝐵×𝐴𝐷×𝐴).cos

En évaluant cette expression en 𝐴𝐵=31, 𝐴𝐷=32 et 𝐴=64, on obtient 𝐵𝐷=31+32(2×31×32×64)=1985198464=1115,271.coscos

Nous résolvons cette équation en 𝐵𝐷 en prenant la racine carrée des deux côtés et en ignorant la solution négative puisque 𝐵𝐷 est une longueur:𝐵𝐷=(1115,271)=33,395.cmcm

On ajoute la longueur de 𝐵𝐷 à notre figure.

Les trois longueurs des côtés du triangle 𝐵𝐶𝐷 sont maintenant connues, et ainsi nous pouvons calculer la mesure de n’importe quel angle de ce triangle. Rappelons la forme réarrangée de la loi des cosinus:cos𝐴=𝑏+𝑐𝑎2𝑏𝑐,𝑏 et 𝑐 sont les longueurs des côtés qui forment l’angle dont nous voulons calculer la mesure et 𝑎 est la longueur du côté opposé à cet angle. Sur notre figure, les côtés adjacents à l’angle 𝐵 sont de longueurs 40 cm et 33,395cm, et le côté opposé à cet angle est de longueur 43 cm. En substituant ces valeurs dans la loi des cosinus, nous avons cos(𝐶𝐵𝐷)=40+(33,395)432×40×(33,395)=0,324.

On résout l’équation en 𝐶𝐵𝐷 en appliquant la fonction inverse de cosinus:𝐶𝐵𝐷=(0,324)=71,08071.cos

La mesure d’angle 𝐶𝐵𝐷 arrondie au degré près est égale à 71.

Nous avons vu des exemples de calcul de longueurs de côtés et de mesures d’angles inconnus dans des triangles et des quadrilatères, en utilisant à la fois la loi des sinus et la loi des cosinus. Une autre application de la loi des sinus est liée au diamètre du cercle circonscrit à un triangle. Rappelons que le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle, comme illustré sur la figure ci-dessous.

Définition : Lien entre la loi des sinus et le cercle circonscrit

Pour tout triangle 𝐴𝐵𝐶, le diamètre de son cercle circonscrit est égal au rapport de la loi des sinus:𝑎𝐴=𝑏𝐵=𝑐𝐶=2𝑟.sinsinsin

Nous allons voir comment calculer l’aire du cercle circonscrit d’un triangle étant donnés la mesure de l’un de ses angles et la longueur de son côté opposé.

Exemple 4: Calcul de l’aire d’un cercle circonscrit à partir de la mesure d’un angle et de la longueur du côté opposé

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que 𝑚𝐴=152 et 𝐵𝐶=11cm. Calculez l’aire du cercle circonscrit et donnez votre réponse au centimètre carré près.

Réponse

Rappelons que le cercle circonscrit d’un triangle est le cercle passant par les trois sommets de ce triangle. Pour calculer l'aire d'un cercle, nous utilisons la formule aire=𝜋𝑟, nous devons donc réfléchir à la façon dont nous pouvons déterminer le rayon de ce cercle.

Grâce à l’énoncé, on dispose de la mesure d’un des angles et de la longueur de son côté opposé. C’est le cas car le côté entre les sommets 𝐵 et 𝐶 est opposé à l’angle du troisième sommet 𝐴. On peut aussi noter ce côté 𝑎.

On rappelle la relation entre la loi du rapport des sinus et le diamètre du cercle circonscrit:𝑎𝐴=𝑏𝐵=𝑐𝐶=2𝑟.sinsinsin

En évaluant le premier rapport dans les valeurs 𝑎=11 et 𝐴=152 et en ignorant les deux autres rapports qui ne sont pas nécessaires, on obtient 11152=2𝑟.sin

Nous résolvons cette équation pour déterminer le rayon du cercle circonscrit:𝑟=112152=11,715.sincm

Nous sommes maintenant en mesure de calculer l’aire du cercle circonscrit:aire=𝜋𝑟=𝜋×(11,715)=431,178431.

L’aire du cercle circonscrit arrondie au centimètre carré près est donc égale à 431 cm2.

Nous pouvons également utiliser les lois des sinus et cosinus en conjonction avec d’autres résultats sur les triangles non rectangles. On rappelle que l’aire d’un triangle est donnée par la formule trigonométrique airesin=12𝑎𝑏𝐶,𝑎 et 𝑏 sont les longueurs de deux des côtés du triangle et 𝐶 est la mesure de l’angle formé par ces côtés. Dans le dernier exemple, nous allons appliquer la loi des sinus et la formule trigonométrique de l’aire d’un triangle pour résoudre un problème impliquant une aire.

Exemple 5: Calcul de l’aire entre des cordes et des arcs de cercle en utilisant les lois des sinus et des cosinus

Calculez l’aire de la partie verte de la figure, sachant que 𝑚𝐶𝐴𝐵=77, 𝑚𝐵𝐶𝐴=57 et 𝐶𝐵=19cm. Donnez votre réponse au centimètre carré près.

Réponse

Commençons par représenter les données de l’énoncé sur la figure. Il peut être utile d’étiqueter également les côtés par les lettres 𝑎, 𝑏 et 𝑐.

L’aire coloriée est la différence entre l’aire du cercle et l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶:airecoloriéeaireducercleairedutriangle=𝐴𝐵𝐶.

On rappelle que l’aire d’un triangle peut s’exprimer en fonction des longueurs de deux de ses côtés et de la mesure de l’angle qu’ils forment, grâce à la formule géométrique suivante:airedutrianglesin=12𝑎𝑏𝐶.

Ainsi, pour calculer l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶, on doit d’abord calculer la longueur du côté 𝑏. On connait déjà la longueur d’un des côtés de ce triangle (le côté 𝑎) et la mesure de l’angle opposé (l’angle 𝐴). On peut déterminer la mesure de l’angle opposé au côté 𝑏 en soustrayant les mesures des deux autres angles du triangle à 180:𝑚𝐵=1807757=46.

Comme les informations dont nous disposons consistent en des paires de longueurs de côtés et de mesures d’angles opposés, nous devons appliquer la loi des sinus:𝑏𝐵=𝑎𝐴.sinsin

En évaluant cette expression dans les valeurs 𝑎=19, 𝐴=77 et 𝐵=46, on obtient 𝑏46=1977.sinsin

On résout cette équation en 𝑏 en multipliant sin46 des deux côtés:𝑏=194677=14,026.sinsincm

Nous sommes maintenant en mesure de remplacer 𝑎=19, 𝑏=14,026 et 𝐶=57 dans la formule trigonométrique de l’aire d’un triangle:airedutrianglesincm𝐴𝐵𝐶=12×19×(14,026)×57=111,758.

Pour pouvoir calculer l’aire du cercle, nous devons d’abord déterminer son rayon. Ce cercle est en fait le cercle circonscrit au triangle 𝐴𝐵𝐶 puisqu’il passe par les trois sommets du triangle. On rappelle la relation entre la loi des sinus et le diamètre du cercle circonscrit:𝑎𝐴=𝑏𝐵=𝑐𝐶=2𝑟.sinsinsin

En évaluant cette expression dans les valeurs de la longueur du côté 𝑎 et de la mesure de l’angle 𝐴, on obtient l’équation:1977=2𝑟.sin

La résolution de cette équation en 𝑟 donne 𝑟=19277=9,749.sincm

Ainsi, on calcule l’aire du cercle comme suit:aireducerclecm=𝜋×(9,749)=298,640.

Enfin, on soustrait l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 à l’aire du cercle circonscrit:airecoloriéeaireducercleairedutriangle=𝐴𝐵𝐶=(298,640)(111,758)=186,882187.

L’aire de la zone coloriée arrondie au centimètre carré près est égale à 187 cm2.

Résumons quelques points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Pour un triangle 𝐴𝐵𝐶 étiqueté comme sur la figure ci-dessous, la loi des sinus stipule que 𝑎𝐴=𝑏𝐵=𝑐𝐶.sinsinsin La loi des cosinus stipule que 𝑎=𝑏+𝑐2𝑏𝑐𝐴.cos
  • La loi des sinus et la loi des cosinus peuvent être appliquées à des problèmes concrets pour calculer des longueurs et des mesures d’angles inconnus dans des triangles non droits. Ces questions peuvent prendre diverses formes, y compris des problèmes textuels, des problèmes impliquant le sens de mouvement et des problèmes impliquant d’autres formes géométriques.
  • Si on ne nous donne pas de figure, notre première étape devrait être de produire une figure à main levée en utilisant toutes les informations données dans l’énoncé.
  • Le choix de la loi à utiliser est déterminé par les informations dont nous disposons sur les longueurs des côtés et les mesures d’angles. Nous pourrions avoir le choix dans la méthode à utiliser, ou nous pourrions avoir besoin d’appliquer les lois des sinus et des cosinus à plusieurs reprises pour traiter un même problème.
  • Nous pourrons parfois utiliser nos connaissances sur les lois des sinus et cosinus en conjonction avec d’autres résultats de nature géométrique, comme par exemple la formule trigonométrique de l’aire d’un cercle airesin=12𝑎𝑏𝐶.
  • La loi des sinus est liée au diamètre du cercle circonscrit à un triangle. Pour tout triangle 𝐴𝐵𝐶, le diamètre de son cercle circonscrit est égal au rapport de la loi des sinus:𝑎𝐴=𝑏𝐵=𝑐𝐶=2𝑟.sinsinsin

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