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Vidéo de la leçon : Applications sur les lois des sinus et des cosinus Mathématiques

Dans cette vidéo, nous apprendrons à utiliser les lois du cosinus et du sinus pour résoudre des problèmes du monde réel.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à utiliser la loi du cosinus et du sinus pour résoudre des problèmes du monde réel. Comme nous nous concentrons sur les applications de ces lois, nous supposerons à ce stade la connaissance des lois elles-mêmes. Et nous n’expliquerons pas les bases de ces lois ni comment les prouver dans cette vidéo.

Tout d’abord, un rappel rapide de ce que sont réellement les lois des sinus et des cosinus et quand elles peuvent être utilisées. Supposons que nous ayons un triangle 𝐴𝐵𝐶 étiqueté comme suit. N’oubliez pas que la convention consiste à utiliser des lettres majuscules pour représenter les angles et à utiliser des lettres minuscules pour représenter les côtés, les côtés étant toujours opposés à l’angle avec la même lettre. Aucun des angles de ce triangle n’est nécessairement un angle droit. Donc, le premier point clé que nous devons rappeler est que les lois des sinus et des cosinus nous permettent de calculer les longueurs des côtés et les mesures d’angle dans des triangles non droits.

La loi des sinus ou la loi des sinus tout d’abord alors. Cela nous dit que, dans tout triangle, le rapport entre chaque longueur de côté et le sinus de son angle opposé est constant, que nous pouvons écrire comme 𝑎 sur sin 𝐴 est égal à 𝑏 sur sin 𝐵, ce qui est égal à 𝑐 sur sin 𝐶. Et rappelez-vous, les lettres minuscules représentent les longueurs des côtés et les lettres majuscules représentent les angles.

Nous n’avons pas besoin d’utiliser les trois parties de la loi des sinus, seulement deux parties de cette égalité. Les informations nécessaires pour appliquer la loi des sinus sont deux angles et leurs côtés opposés. Nous pouvons donc reconnaître la nécessité de la loi des sinus lorsque nous travaillons avec des paires d’informations opposées.

Cette première version de la loi des sinus est particulièrement utile lors du calcul de la longueur d’un côté manquant, car les côtés sont dans les numérateurs des fractions, donc moins de réarrangement est nécessaire. Nous avons également une version réciproque, ce qui est particulièrement utile pour calculer la mesure d’un angle. sin 𝐴 sur 𝑎 est égal à sin 𝐵 sur 𝑏, ce qui est égal à sin 𝐶 sur 𝑐. Voilà donc la loi des sinus, et maintenant considérons la loi des cosinus ou la loi des cosinus.

La forme la plus courante sous laquelle vous voyez cet écrit est la suivante. 𝑎 au carré est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins deux 𝑏𝑐 cos de 𝐴. Nous l’utilisons pour calculer une longueur de côté, dans ce cas la longueur du côté 𝑎, lorsque nous connaissons les deux autres côtés du triangle et l’angle inclus. Nous connaissons donc les côtés 𝑏 et 𝑐 et l’angle 𝐴.

Nous pouvons également réorganiser la loi du cosinus sous une forme qui nous permet de calculer n’importe quel angle dans le triangle si nous connaissons les trois longueurs de côté. Le réarrangement est simple, et il donne cos de 𝐴 est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins 𝑎 au carré sur deux 𝑏𝑐. Dans ce cas, comme nous l’avons dit, nous connaissons les trois longueurs de côté et nous souhaitons calculer l’un des angles.

Encore une fois, les preuves et l’application de base de ces lois ne seront pas prises en compte dans cette vidéo. Au lieu de cela, nous allons nous concentrer sur l’application de ces lois à certains problèmes réels. Regardons notre première question.

Un avion parcourt 800 mètres le long de la piste avant de décoller à un angle de 10 degrés. Il parcourt 1000 mètres supplémentaires sous cet angle, comme le montre la figure. Calculez la distance de l’avion à partir de son point de départ. Donnez votre réponse à deux décimales.

En regardant la figure, nous pouvons voir que nous avons un triangle. Nous voulons calculer la distance de l’avion à partir de son point de départ. C’est cette longueur ici, que nous pouvons appeler 𝑑 mètres. Nous connaissons les longueurs des deux autres côtés de ce triangle. Ils sont à 800 mètres et 1000 mètres. Et en utilisant le fait que les angles sur une droite totalisent 180 degrés, nous pouvons calculer la mesure de cet angle ici. Il fait 180 degrés moins 10 degrés, ce qui correspond à 170 degrés.

Comme il s’agit d’un triangle non rectangle, nous devons répondre à ce problème en utilisant soit la loi des sinus, soit la loi des cosinus. La première étape consiste donc à décider de ceux dont nous avons besoin. Et cela dépendra de la combinaison spécifique d’informations qui nous a été donnée et de ce que nous voulons calculer.

Dans ce triangle, nous connaissons deux côtés et l’angle inclus. Et nous voulons calculer le troisième côté. Nous rappelons alors que cela signifie que nous devrions utiliser la loi des cosinus. Rappelons la loi des cosinus. C’est 𝑎 au carré est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins deux 𝑏𝑐 cos 𝐴. Maintenant, il n’est pas nécessaire d’étiqueter réellement notre triangle en utilisant les lettres 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Au lieu de cela, nous nous souvenons simplement que les lettres minuscules 𝑏 et 𝑐 représentent les deux côtés que nous connaissons et la lettre majuscule 𝐴 représente l’angle inclus.

Donc, en utilisant 800 et 1000 comme les deux longueurs latérales 𝑏 et 𝑐 et 170 degrés comme angle 𝐴, nous avons l’équation 𝑑 au carré est égale à 800 au carré plus 1000 au carré moins deux fois 800 fois 1000 fois le cos de 170 degrés. Nous pouvons soit taper ceci directement dans notre calculatrice ou ce peut être une bonne idée de décomposer le calcul en plusieurs étapes. Dans les deux cas, nous arrivons à 𝑑 au carré soit 3215692.405.

Maintenant, nous devons nous rappeler que c’est 𝑑 au carré. Ce n’est pas 𝑑, donc nous n’avons pas fini. Nous devons racine carrée afin de trouver la valeur de 𝑑. C’est une erreur vraiment courante d’oublier de le faire. L’enracinement carré donne 𝑑 est égal à 1793.235178. La question nous demande de donner notre réponse à deux décimales. Donc, en arrondissant de manière appropriée, nous avons calculé la distance de l’avion à partir de son point de départ. Il est de 1793.24 mètres avec deux décimales.

Dans cet exemple, on nous a donné un diagramme à utiliser. Ce ne sera souvent pas le cas, et nous devrons utiliser les informations d’une description écrite pour dessiner notre propre diagramme afin de nous aider à répondre à la question. Prenons maintenant un exemple de cela.

Un navire navigue plein sud avec une vitesse de 36 kilomètres par heure. Un iceberg se trouve à 24 degrés au nord-est. Après une heure, le navire se trouve à 33 degrés au sud-ouest de l’iceberg. Trouvez la distance entre le navire et l’iceberg à ce moment, en donnant la réponse au kilomètre le plus proche.

Une grande partie de l’habileté impliquée dans cette question consiste à dessiner la figure. Commençons par une boussole montrant les quatre directions. Nous prendrons ensuite chaque déclaration séparément et examinerons comment la représenter. Premièrement, nous savons que le navire navigue plein sud. Au départ, on nous dit qu’un iceberg se trouve à 24 degrés au nord-est du point de départ du navire.

Maintenant, directement à l’est serait directement à droite du navire sur notre diagramme. 24 degrés au nord-est signifierait que l’iceberg se trouve quelque part le long de la droite comme celle-ci. On nous dit ensuite qu’après une heure, le navire se trouve à 33 degrés au sud-ouest de l’iceberg. Eh bien, l’ouest serait la direction directement à gauche de notre iceberg. Et en utilisant des angles alternés dans des droites parallèles, nous savons que l’angle formé ici est de 24 degrés.

Ainsi, l’angle complet entre l’horizontale et la position dans laquelle le navire s’est déplacé est de 33 degrés. Et nous pouvons maintenant voir que nous avons un triangle. Nous pouvons déterminer les angles de notre triangle. Par exemple, cet angle est ici la différence entre 33 degrés et 24 degrés. Il fait neuf degrés. Nous pourrions également calculer cet angle ici, il est de 24 degrés, plus l’angle entre le sud et l’est, qui est de 90 degrés, ce qui donne un total de 114 degrés.

La seule information que nous n’avons pas encore utilisée est que le navire se déplace à une vitesse de 36 kilomètres par heure. Et nous savons qu’il faut une heure au navire pour passer de sa position d’origine à sa nouvelle position. Le navire aura donc parcouru 36 kilomètres pendant cette période. Nous connaissons donc également une longueur de côté dans notre triangle.

Ce qu’on nous a demandé de calculer, c’est la distance entre le navire et l’iceberg plus tard. Voilà donc ce côté-ci, que nous pouvons appeler 𝑑 kilomètres. Nous avons maintenant configuré notre diagramme et nous voyons que nous avons un triangle non rectangle, ce qui signifie que nous allons appliquer la loi des sinus ou la loi des cosinus. Examinons la combinaison particulière d’informations que nous avons.

Nous connaissons un angle de neuf degrés et le côté opposé de 36 kilomètres. Nous connaissons également un angle de 114 degrés. Et nous souhaitons calculer le côté opposé de 𝑑 kilomètres. Nous avons donc des paires de côtés et d’angles opposés, ce qui nous dit que nous devrions utiliser la loi des sinus pour répondre à cette question.

Rappelez-vous, cela nous indique que le rapport entre chaque longueur de côté, représentée en lettres minuscules, et le sinus de son angle opposé, représenté en lettres majuscules, est constant. 𝑎 sur le sin 𝐴 est égal à 𝑏 sur le sin 𝐵, ce qui est égal à 𝑐 sur le sin 𝐶. Nous avons seulement besoin d’utiliser deux parties de ce rapport. Et il n’est pas nécessaire d’étiqueter notre triangle en utilisant les lettres 𝐴, 𝐵 et 𝐶 tant que nous savons clairement ce qu’ils représentent.

Notre côté 𝑑 est opposé à l’angle de 114 degrés, et le côté de 36 kilomètres est opposé à l’angle de neuf degrés. Nous avons donc 𝑑 sur le sin de 114 degrés est égal à 36 sur le sin de neuf degrés. Nous pouvons résoudre cette équation en multipliant chaque côté par un sin de 114 degrés, ce qui n’est qu’une valeur. Et cela donne 𝑑 est égal à 36 sin 114 degrés sur le sin de neuf degrés. Évaluation sur une calculatrice, en s’assurant que notre calculatrice est en mode degré, et nous avons 210.23267.

La question nous demande de donner notre réponse au kilomètre le plus proche. Donc, en arrondissant convenablement, nous avons que la distance entre le navire et l’iceberg en ce moment est de 210 kilomètres.

Nous avons maintenant vu un exemple d’utilisation de la loi des sinus et de la loi des cosinus pour calculer une longueur de côté. Dans notre exemple suivant, nous verrons comment appliquer la loi des cosinus pour calculer tous les angles manquants dans un triangle lorsque nous connaissons ses trois longueurs latérales.

Los Angeles se trouve à 1744 milles de Chicago, Chicago à 712 milles de New York et New York à 2451 milles de Los Angeles. Trouvez les angles dans le triangle avec ses sommets comme les trois villes.

Maintenant, bien qu’un peu de connaissance de la géographie des États-Unis d’Amérique puisse être utile ici, il n’est pas essentiel de répondre au problème. Nous pouvons simplement dessiner un triangle en utilisant les trois longueurs données dans la question. Et si notre triangle est à l’envers, ce n’est pas la fin du monde. Le triangle devrait ressembler à quelque chose comme ça, et nous pouvons ajouter les trois distances.

Maintenant, ce triangle ne ressemble certainement pas à un triangle rectangle. Nous allons donc devoir appliquer la loi des sinus ou la loi des cosinus à ce problème. Nous connaissons les trois longueurs des côtés et nous voulons calculer chacun des angles, ce qui nous dit que nous devrions utiliser la loi des cosinus. La version réarrangée de cela, qui est utile pour calculer les angles, est cos de 𝐴 égale à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins 𝑎 au carré sur deux 𝑏𝑐. Si vous ne vous en souvenez pas, vous devrez effectuer vous-même le réarrangement à partir de la loi des cosinus dans sa forme traditionnelle.

Dans cette question, utilisons donc 𝐴 pour représenter Los Angeles, 𝐶 pour représenter Chicago et 𝐵 pour représenter New York. Nous utiliserons les lettres minuscules correspondantes pour représenter les côtés opposés. Pour calculer notre premier angle alors, c’est cet angle ici, nous substituons les valeurs pertinentes. Donner cos de 𝐴 est égal à 1744 au carré plus 2451 au carré moins 712 au carré multiplié par 1744 multiplié par 2451.

Nous pouvons évaluer cela sur une calculatrice. Et puis, pour trouver la valeur de 𝐴, nous devons utiliser la fonction cosinus inverse. Cela donne 𝐴 est égal à 2.333 degrés. Nous avons donc trouvé le premier angle dans le triangle. Et nous donnerons notre réponse à deux décimales.

Pour calculer l’angle suivant dans ce triangle, qui cette fois nous utiliserons l’angle 𝐶, nous n’avons pas besoin de renommer notre triangle. Il suffit de se rappeler que les lettres 𝑏 et 𝑐 représentent les deux côtés qui entourent l’angle et la lettre 𝑎 représente le côté opposé. Nous utilisons donc 1744 et 712 pour les deux côtés qui entourent l’angle et 2451 pour le côté qui est opposé. Cela donne cos de 𝐶 égal à moins 0.9901. Et encore une fois, en appliquant la fonction cosinus inverse, nous constatons que l’angle 𝐶 est égal à 171.939 degrés.

Nous avons donc trouvé deux angles dans le triangle. Et en fait, pour trouver le troisième, nous pourrions soustraire les deux angles que nous avons calculés de 180 degrés. Mais si nous n’utilisons pas cette méthode, ce sera une vérification utile. Exactement de la même manière, mais cette fois en utilisant 712 et 2 451 comme deux côtés qui entourent l’angle et 1744 comme côté opposé, nous trouvons que la mesure de l’angle 𝐵 est de 5.726 degrés.

Ajouter les trois angles que nous avons trouvés, maintenant arrondissez chacun à deux décimales, donne en effet 180 degrés. Nous pouvons donc avoir une certaine confiance dans notre réponse. Les mesures des trois angles dans le triangle formé par ces trois villes, chacune à deux décimales alors, sont de 2.33 degrés, 5.73 degrés et 171.94 degrés.

Dans notre dernier exemple, voyons comment nous pouvons utiliser la loi des sinus et la loi des cosinus pour résoudre des problèmes dans d’autres contextes mathématiques.

𝑀 est le centre d’un cercle, et 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont des points sur la circonférence. Si 𝐵𝐶 est égal à 13 centimètres et que la mesure de l’angle 𝐶𝑀𝐵 est de 84 degrés, trouvez l’aire du cercle 𝑀, en donnant la réponse au centimètre carré le plus proche.

Nous savons que l’aire d’un cercle est 𝜋𝑟 au carré. Donc vraiment, ce problème consiste à trouver le rayon de ce cercle. Commençons par mettre les informations qui nous ont été données sur la figure. 𝐵𝐶 est de 13 centimètres et la mesure de l’angle 𝐶𝑀𝐵 est de 84 degrés. Nous ne connaissons pas les longueurs de 𝑀𝐶 ou 𝑀𝐵, mais elles représentent chacune le rayon du cercle.

Maintenant, il existe de nombreuses approches différentes que nous pourrions adopter. Mais une approche consiste à appliquer la loi des cosinus dans le triangle 𝐶𝑀𝐵. Cela indique que 𝑎 au carré est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins deux 𝑏𝑐 cos 𝐴, où 𝑏 et 𝑐 représentent les deux côtés d’un triangle et 𝐴 représente l’angle inclus. Dans notre triangle, 𝑎 est de 13 centimètres. L’angle 𝐴 est de 84 degrés. Et les deux côtés qui entourent cet angle 𝐴 sont chacun le rayon du cercle 𝑟.

On peut donc former une équation. 13 au carré est égal à 𝑟 au carré plus 𝑟 au carré moins deux 𝑟 au carré cos de 84 degrés. Nous pouvons résoudre cette équation pour trouver la valeur de 𝑟 au carré, que nous pourrons ensuite remplacer directement dans notre formule d’aire. En factorisant le côté droit de notre équation par 𝑟 au carré, nous avons 169 égal à 𝑟 au carré multiplié par deux moins deux cos de 84 degrés. En divisant, nous avons que 𝑟 au carré est égal à 169 sur deux moins deux cos 84 degrés. Et nous garderons notre valeur pour 𝑟 au carré sous cette forme exacte.

Nous pouvons ensuite remplacer cette valeur de 𝑟 au carré dans la formule de l’aire et évaluer sur une calculatrice. En arrondissant notre réponse, nous avons que l’aire du cercle 𝑀 au centimètre carré le plus proche est de 296 centimètres carrés.

Comme je l’ai mentionné, il existe en fait de nombreuses approches à ce problème, que vous pouvez essayer vous-même si vous le souhaitez. Nous aurions pu appliquer la loi des sinus dans le triangle 𝐶𝑀𝐵. Ou nous aurions pu le diviser en deux pour former deux triangles rectangles, puis utiliser la trigonométrie du triangle rectangle.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Premièrement, la loi des sinus et la loi des cosinus peuvent être utilisées pour calculer les longueurs des côtés et les mesures d’angle dans les triangles non droits. La loi des sinus sous l’une ou l’autre de ses deux formes peut être utilisée pour calculer un côté ou un angle lorsque nous travaillons avec des paires d’informations opposées. La loi des cosinus dans sa première forme peut être utilisée pour calculer une longueur de côté lorsque nous connaissons les deux autres côtés et l’angle inclus. Et dans sa forme réarrangée, il peut être utilisé pour calculer n’importe quel angle lorsque nous connaissons les trois côtés.

Nous pouvons appliquer la loi des sinus et la loi des cosinus à de nombreux problèmes impliquant des triangles. Et bien que nous n’en ayons pas vu d’exemple, nous pouvons également appliquer les deux règles dans le même problème.

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