Vidéo de la leçon : Applications sur la loi du sinus et la loi des cosinus Mathématiques

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la loi du cosinus et du sinus pour résoudre des problèmes du monde réel. Comme nous allons ici nous concentrer sur l’application de ces lois, nous supposerons que ces lois vous sont familières. Et nous n’expliquerons pas dans cette vidéo les bases de ces lois ni comment les démontrer.

Rappelons tout d’abord rapidement ce que sont la loi des sinus et la loi des cosinus, et quand elles peuvent être utilisées. Soit le triangle 𝐴𝐵𝐶 représenté ici. Rappelez-vous que par convention, on utilise des lettres majuscules pour représenter les angles et des lettres minuscules pour représenter les côtés, les côtés étant toujours opposés à l’angle avec la même lettre. Aucun des angles de ce triangle n’est nécessairement un angle droit. Donc, le premier point clé que nous devons rappeler est que les lois des sinus et des cosinus nous permettent de calculer des longueurs des côtés et des mesures d’angles dans les triangles non rectangles.

Commençons donc par la loi des sinus. Elle stipule que, dans tout triangle, le rapport entre chaque longueur de côté et le sinus de son angle opposé est constant, ce que l’on peut écrire par 𝑎 sur sinus 𝐴 égale 𝑏 sur sinus 𝐵 égale 𝑐 sur sinus 𝐶. Et rappelez-vous que les lettres minuscules représentent les longueurs des côtés et les lettres majuscules représentent les angles.

Il n’est pas toujours nécessaire d’utiliser les trois membres de la loi des sinus, deux membres de cette égalité sont généralement suffisants. Les informations nécessaires pour appliquer la loi des sinus sont donc deux angles et leurs côtés opposés. Il faut donc prendre le réflexe de penser à la loi des sinus lorsque l’on a des informations sur les angles et côtés opposés.

Cette première version de la loi des sinus est particulièrement utile pour calculer la longueur d’un côté inconnu, car les côtés sont aux numérateurs des fractions et moins de manipulations sont ainsi nécessaires. Il existe également une version inverse de cette loi, qui est particulièrement utile pour calculer la mesure d’un angle. sinus 𝐴 sur 𝑎 est égal à sinus 𝐵 sur 𝑏, qui est égal à sinus 𝐶 sur 𝑐. Voilà donc la loi des sinus, et nous pouvons à présent passer à la loi des cosinus.

La forme la plus courante sous laquelle vous la rencontrerez est la suivante. 𝑎 au carré est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins deux 𝑏𝑐 cosinus 𝐴. On l’utilise pour calculer une longueur de côté, dans ce cas la longueur du côté 𝑎, lorsque l’on connait les deux autres côtés du triangle et l’angle entre eux. C’est-à-dire quand on connait les côtés 𝑏 et 𝑐, et l’angle 𝐴.

On peut également réarranger la loi du cosinus sous une forme qui nous permet de calculer n’importe quel angle dans le triangle si on connait les trois longueurs de côté. Le réarrangement est simple, et donne cosinus 𝐴 égale 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins 𝑎 au carré sur deux 𝑏𝑐. Dans ce cas, comme nous l’avons dit, nous connaissons les trois longueurs de côté et nous souhaitons calculer l’un des angles.

Encore une fois, les démonstration et l’application de base de ces lois ne seront pas abordées dans cette vidéo. Nous allons plutôt nous concentrer sur l’application de ces lois à certains problèmes de la vie réelle. Passons donc au premier exemple.

Un avion parcourt 800 mètres le long de la piste avant de décoller avec un angle de 10 degrés. Il parcourt 1 000 mètres supplémentaires en l’air avec cet angle, comme le montre la figure. Calculez la distance entre l’avion et son point de départ. Donnez votre réponse au centième près.

En observant la figure, nous pouvons voir que nous avons un triangle. Nous souhaitons calculer la distance entre l’avion et son point de départ. Il s’agit de cette longueur ici, que nous pouvons appeler 𝑑 mètres. Nous connaissons les longueurs des deux autres côtés de ce triangle. Ils mesurent 800 mètres et 1 000 mètres. Et en utilisant le fait qu’un angle plat mesure 180 degrés, nous pouvons calculer la mesure de cet angle ici. Elle est égale à 180 degrés moins 10 degrés, soit 170 degrés.

Comme il s’agit d’un triangle non rectangle, nous devons répondre à ce problème en utilisant soit la loi des sinus, soit la loi des cosinus. La première étape consiste donc à décider quelle loi nous devons utiliser. Et cela dépend des informations qui nous sont données et de ce que nous souhaitons calculer.

Dans ce triangle, nous connaissons deux côtés et l’angle entre eux. Et nous souhaitons calculer le troisième côté. Cela signifie donc que nous devons utiliser la loi des cosinus. Rappelons alors cette loi. Elle stipule que 𝑎 au carré égale 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins deux 𝑏𝑐 cosinus 𝐴. Maintenant, il n’est pas nécessaire de nommer notre triangle en utilisant les lettres 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Il faut simplement se rappeler que les lettres minuscules 𝑏 et 𝑐 représentent les deux côtés que l’on connait et que la lettre majuscule 𝐴 représente l’angle entre eux.

Donc, en utilisant 800 et 1 000 pour les deux longueurs de côté 𝑏 et 𝑐, et 170 degrés pour l’angle 𝐴, on obtient l’équation 𝑑 au carré égale 800 au carré plus 1 000 au carré moins deux fois 800 fois 1 000 fois cos de 170 degrés. On peut taper cela directement une notre calculatrice ou il peut être judicieux de décomposer le calcul en plusieurs étapes. Dans les deux cas, on obtient 𝑑 au carré égale 3 215 692,405.

Mais il faut se rappeler qu’il s’agit de 𝑑 au carré. Ce n’est pas 𝑑, donc nous n’avons pas encore fini. Nous devons donc prendre la racine carrée de cette valeur pour trouver la valeur de 𝑑. C’est une erreur vraiment courante d’oublier de le faire. Prendre la racine carrée donne alors 𝑑 égale 1 793,235178. La question nous demande de donner notre réponse au centième près. Donc, en arrondissant correctement, nous avons calculé la distance entre l’avion et son point de départ. Elle est de 1793,24 mètres au centième près.

Dans cet exemple, une figure était fournie pour nous aider à répondre. Ce n’est cependant souvent pas le cas, et il faut alors utiliser les informations de l’énoncé pour dessiner notre propre figure afin de nous aider à répondre à la question. Étudions donc maintenant un exemple de cela.

Un bateau navigue vers le sud avec une vitesse de 36 kilomètres par heure. Un iceberg se trouve à 24 degrés au nord de l’est par rapport au bateau. Après une heure, le bateau se trouve à 33 degrés au sud de l’ouest de l’iceberg. Calculez la distance entre le bateau et l’iceberg à ce moment, en donnant votre réponse au kilomètre le plus proche.

Une compétence clé pour pouvoir répondre à cette question est de savoir dessiner une figure du problème. Commençons par une boussole indiquant les quatre directions. Nous allons ensuite étudier chaque affirmation séparément et voir comment la représenter. Tout d’abord, nous savons que le bateau navigue vers le sud. Nous savons également qu’un iceberg se trouve à 24 degrés au nord de l’est du point de départ du bateau.

Maintenant, directement à l’est serait directement à droite du bateau sur notre figure. Et 24 degrés au nord de l’est signifie que l’iceberg se trouve quelque part le long de cette droite. On nous dit ensuite qu’après une heure, le bateau se trouve à 33 degrés au sud de l’ouest de l’iceberg. Eh bien, l’ouest serait la direction directement à gauche de notre iceberg. Et en utilisant des angles alternes-internes pour des droites parallèles, nous savons que l’angle formé ici est de 24 degrés.

Donc, l’angle complet entre l’horizontale et la position du bateau est maintenant de 33 degrés. Et nous pouvons voir que nous avons en fait un triangle. Nous pouvons calculer les angles de ce triangle. Par exemple, cet angle est ici la différence entre 33 degrés et 24 degrés. Il mesure donc neuf degrés. On peut également calculer cet angle ici, il est de 24 degrés, plus l’angle entre le sud et l’est, qui est de 90 degrés, ce qui donne un total de 114 degrés.

La seule information que nous n’avons pas encore utilisée est que le bateau se déplace à une vitesse de 36 kilomètres par heure. Et nous savons qu’il faut une heure au bateau pour passer de sa position initiale à sa nouvelle position. Le bateau aura donc parcouru 36 kilomètres pendant cette période. Nous connaissons donc également une longueur de côté dans notre triangle.

On rappelle que nous devons calculer la distance entre le bateau et l’iceberg à ce moment. Il s’agit donc de ce côté-ci, que l’on peut appeler 𝑑 kilomètres. Nous avons maintenant complété notre, et nous voyons que nous avons un triangle non rectangle, ce qui signifie que nous allons devoir appliquer la loi des sinus ou la loi des cosinus. Voyons donc de quelles informations nous disposons exactement.

Nous connaissons un angle de neuf degrés et le côté opposé de 36 kilomètres. Nous connaissons également un angle de 114 degrés. Et nous souhaitons calculer le côté opposé de 𝑑 kilomètres. Nous avons donc des paires de côtés et d’angles opposés, donc nous devons utiliser la loi des sinus pour répondre à cette question.

Rappelez-vous qu’elle stipule que le rapport entre la longueur de chaque côté, représentée en lettres minuscules, et le sinus de son angle opposé, représenté en lettres majuscules, est constant. 𝑎 sur sinus 𝐴 égale 𝑏 sur sinus 𝐵 égale 𝑐 sur sinus 𝐶. Nous n’avons besoin d’utiliser que deux membres de cette égalité. Et il n’est pas nécessaire de nommer notre triangle en utilisant les lettres 𝐴, 𝐵 et 𝐶 tant que nous savons ce qu’ils représentent.

Le côté 𝑑 est opposé à l’angle de 114 degrés, et le côté de 36 kilomètres est opposé à l’angle de neuf degrés. On a donc 𝑑 sur sinus de 114 degrés égale 36 sur sinus de neuf degrés. On peut résoudre cette équation en multipliant chaque membre par sinus de 114 degrés, qui n’est qu’une constante. Et cela donne 𝑑 égale 36 sinus de 114 degrés sur sinus de neuf degrés. En l’évaluant sur une calculatrice, et en s’assurant quelle est paramétrée en degrés, on obtient 210,23267.

La question nous demande de donner notre réponse au kilomètre le plus proche. Donc, en arrondissant correctement, on conclut que la distance entre le bateau et l’iceberg à ce moment est de 210 kilomètres.

Nous avons maintenant vu un exemple utilisant la loi des sinus et un autre nécessitant la loi des cosinus pour calculer une longueur de côté. Avec le prochain exemple, nous allons voir comment appliquer la loi des cosinus pour calculer tous les angles d’un triangle lorsque nous connaissons ses trois longueurs de côté.

Los Angeles est à 1 744 miles de Chicago, Chicago est à 1 112 miles de New York, et New York est à 2 451 miles de Los Angeles. Calculez les mesures des angles du triangle dont les sommets sont ces trois villes.

Bien qu’un peu de connaissance de la géographie des États-Unis puisse être utile ici, cela n’est pas essentiel pour pouvoir répondre au problème. Nous pouvons simplement dessiner un triangle en utilisant les trois longueurs données dans l’énoncé. Et ce n’est pas très grave si notre triangle se révèle ne pas être exactement dans la bonne direction à la fin. Le triangle devrait donc ressembler à peu près à ceci, et nous pouvons ajouter les trois distances.

Maintenant, ce triangle ne ressemble vraiment pas à un triangle rectangle. Nous allons donc devoir appliquer la loi des sinus ou la loi des cosinus à ce problème. Nous connaissons les trois longueurs des côtés et nous souhaitons calculer la mesure de chacun des angles, ce qui nous dit que nous devons utiliser la loi des cosinus. Sa version réarrangée utile pour calculer des mesures d’angles est cosinus 𝐴 égale 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins 𝑎 au carré sur deux 𝑏𝑐. Si vous ne vous souvenez pas de cette version, il vous suffit d’effectuer le réarrangement de la loi des cosinus dans sa forme traditionnelle par vous-même.

Nous allons ici utiliser 𝐴 pour représenter Los Angeles, 𝐶 pour représenter Chicago et 𝐵 pour représenter New York. Et nous utiliserons les lettres minuscules correspondantes pour représenter leurs côtés opposés. Pour calculer la mesure du premier angle, cet angle ici, on remplace les valeurs pertinentes. Cela donne cosinus 𝐴 égale 1 744 au carré plus 2 451 au carré moins 712 au carré sur deux fois 1 744 fois 2 451.

On peut alors évaluer cela sur une calculatrice. Et pour trouver la mesure de 𝐴, on doit ensuite utiliser la réciproque de la fonction cosinus. Cela donne 𝐴 égale 2,334 degrés. Nous avons donc trouvé le premier angle du triangle. Et nous donnerons notre réponse finale au centième près.

Pour calculer l’angle suivant de ce triangle, l’angle 𝐶, nous n’avons pas besoin de renommer notre triangle. Il suffit de se rappeler que les lettres 𝑏 et 𝑐 représentent les deux côtés adjacents à l’angle et que la lettre 𝑎 représente le côté opposé. On utilise donc 1 744 et 712 pour les deux côtés qui entourent l’angle et 2 451 pour le côté opposé. Et cela donne cosinus 𝐶 égale moins 0,9901. Et encore une fois, en appliquant la réciproque de la fonction cosinus, on trouve que l’angle 𝐶 est égal à 171,939 degrés.

Nous avons donc trouvé deux angles dans le triangle. Et, pour trouver le troisième, nous pourrions en fait soustraire ces deux angles à 180 degrés. Mais si nous n’utilisons pas cette méthode, ce sera une vérification utile à la fin. De la même manière que précédemment donc, mais en utilisant cette fois 712 et 2 451 pour les deux côtés adjacents à l’angle et 1 744 pour le côté opposé, on trouve que la mesure de l’angle 𝐵 est de 5,726 degrés.

Et en additionnant les trois mesures que nous avons trouvées, arrondies maintenant au centième, on obtient bien 180 degrés. Nous pouvons donc avoir confiance en notre réponse. Les mesures des trois angles du triangle formé par ces trois villes, sont donc 2,33 degrés, 5,73 degrés et 171,94 degrés au centième près.

Dans le dernier exemple, nous allons voir comment nous pouvons utiliser la loi des sinus et la loi des cosinus pour résoudre des problèmes dans d’autres contextes mathématiques.

𝑀 est le centre d’un cercle et 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont des points sur le cercle. Sachant que 𝐵𝐶 est égal à 13 centimètres et que la mesure de l’angle 𝐶𝑀𝐵 est de 84 degrés, calculez l’aire du cercle de centre 𝑀, en donnant votre réponse au centimètre carré le plus proche.

Nous savons que l’aire d’un cercle est égale à 𝜋𝑟 au carré. Donc, ce problème consiste en réalité à trouver le rayon de ce cercle. Commençons par indiquer les informations fournies sur la figure. 𝐵𝐶 mesure 13 centimètres et l’angle 𝐶𝑀𝐵 mesure 84 degrés. Nous ne connaissons pas les longueurs de 𝑀𝐶 ou 𝑀𝐵, mais elles sont toutes les deux égales au rayon du cercle.

Nous pouvons utiliser plusieurs approches pour résoudre ce problème. Une de ces méthodes consiste à appliquer la loi des cosinus dans le triangle 𝐶𝑀𝐵. Elle stipule que 𝑎 au carré est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins deux 𝑏𝑐 cosinus 𝐴, où 𝑏 et 𝑐 représentent les deux côtés d’un triangle et 𝐴 représente l’angle entre eux. Dans ce triangle, petit 𝑎 est égal à 13 centimètres. L’angle 𝐴 est de 84 degrés. Et les deux côtés adjacent à cet angle 𝐴 sont tous les deux égaux au rayon du cercle, 𝑟.

Nous pouvons donc former une équation. 13 au carré égale 𝑟 au carré plus 𝑟 au carré moins deux 𝑟 au carré cosinus de 84 degrés. On peut alors résoudre cette équation pour trouver la valeur de 𝑟 au carré, que l’on pourra ensuite substituer directement dans la formule de l’aire. En factorisant le membre droit de l’équation par 𝑟 au carré, on a 169 égale 𝑟 au carré fois deux moins deux cosinus de 84 degrés. Et en divisant les deux membres par deux moins deux cos de 84 degrés, on obtient 𝑟 au carré égale 169 sur deux moins deux cosinus de 84 degrés. Et nous allons conserver 𝑟 au carré sous cette forme pour la suite.

Nous pouvons alors remplacer 𝑟 au carré par cette expression dans la formule de l’aire et l’évaluer sur une calculatrice. En arrondissant notre réponse, on trouve que l’aire du cercle de centre 𝑀 est de 296 centimètres carrés au centimètre carré le plus proche.

Comme je l’ai mentionné, il existe en fait plusieurs approches pour résoudre ce problème, et vous pouvez les essayer par vous-même si vous le souhaitez. Nous aurions en effet pu appliquer la loi des sinus dans le triangle 𝐶𝑀𝐵. Ou nous aurions pu le diviser en deux pour former deux triangles rectangles, puis utiliser la trigonométrie des triangles rectangles.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Tout d’abord, la loi des sinus et la loi des cosinus peuvent être utilisées pour calculer des longueurs de côté et des mesures d’angle de triangles non rectangles. La loi des sinus sous l’une ou l’autre de ses deux formes peut être utilisée pour calculer un côté ou un angle lorsque l’on travaille avec des paires d’informations opposées. La loi des cosinus dans sa première forme peut être utilisée pour calculer une longueur de côté lorsque l’on connait les deux autres côtés et l’angle entre eux. Et sous sa forme réarrangée, elle peut être utilisée pour calculer n’importe quel angle lorsque l’on connait les trois côtés.

On peut appliquer la loi des sinus et la loi des cosinus à de nombreux problèmes impliquant des triangles. Et bien que nous n’en ayons pas vu d’exemple, il est parfois nécessaire d’appliquer les deux lois dans un même problème.