Transcription de la vidéo
Utilisez des dérivées pour déterminer laquelle des représentations graphiques suivantes correspond à la fonction 𝑓 de 𝑥 égale huit multiplié par moins 𝑥 au carré plus 𝑥 le tout au carré. Options (A), (B), (C), (D) et (E).
Dans cette question, nous devons identifier laquelle des cinq courbes données est celle de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à huit multipliée par moins 𝑥 au carré plus 𝑥 le tout au carré. Et on nous dit de le faire en utilisant des dérivées. Et il convient de noter qu’il est possible de répondre à cette question en utilisant d’autres méthodes. Une façon de le faire serait de remplacer les valeurs de 𝑥 dans notre fonction 𝑓 de 𝑥 et de déterminer leurs images. Nous pourrions alors construire un tableau de valeurs pour déterminer les points par lesquels le graphe de la fonction doit passer. Et bien que cela fonctionne, la question nous demande spécifiquement d’utiliser des dérivées. Alors trouvons plutôt une expression de 𝑓 prime de 𝑥. Et pour ce faire, commençons par faire de la place et regardons la fonction 𝑓 de 𝑥.
Nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 est la composée de deux fonctions. C’est le polynôme, le tout au carré. Cela signifie que nous avons plusieurs options différentes pour déterminer 𝑓 prime de 𝑥. Une façon de le faire est d’utiliser la règle de la chaîne. Et c’est un bon moyen de trouver 𝑓 prime de 𝑥. Cependant, notre fonction externe n’est que la fonction carrée, nous pouvons donc aussi développer 𝑓 de 𝑥 en utilisant la double distributivité. Les deux méthodes fonctionnent, et vous pouvez choisir celle qui vous convient le mieux. Dans cette vidéo, nous allons utiliser la double distributivité. Ce faisant, nous obtenons que 𝑓 de 𝑥 est égale à huit multiplié par 𝑥 à la puissance quatre moins deux 𝑥 au cube plus 𝑥 au carré.
Maintenant, nous pouvons dériver 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 terme par terme en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous voulons multiplier par l’exposant de 𝑥, puis réduire chaque exposant de un. Cela nous donne que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à huit multiplié par quatre 𝑥 au cube moins six 𝑥 au carré plus deux 𝑥. Et nous pouvons simplifier cette expression de 𝑓 prime de 𝑥 en remarquant que chacun des trois termes à l’intérieur des parenthèses partage un facteur deux et qu’ils partagent également un facteur 𝑥. Cela nous permet de réécrire 𝑓 prime de 𝑥 comme 16𝑥 multiplié par deux 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus un.
Voyons maintenant ce que la dérivée nous dit sur le graphe de la fonction. Nous pouvons nous rappeler que lorsque 𝑓 prime de 𝑥 est égale à zéro ou n’existe pas, nous disons que la courbe a un point critique. En particulier, puisque dans notre cas, 𝑓 de 𝑥 est un polynôme, nous savons qu’elle est définie pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. De même, sa dérivée est définie pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Ainsi, les points critiques ne surviendront que lorsque la dérivée est égale à zéro. Par conséquent, nous pouvons trouver tous les points critiques de notre fonction en résolvant 𝑓 prime de 𝑥 égale zéro. Nous voulons le faire en factorisant, nous allons donc devoir factoriser le polynôme deux 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus un. Et il y a plusieurs façons de le faire. Nous pouvons noter que la factorisation donne deux 𝑥 moins un multiplié par 𝑥 moins un. Et en multipliant par 16𝑥 on obtient 𝑓 prime de 𝑥.
Nous pouvons maintenant résoudre 𝑓 prime de 𝑥 est égale à zéro en posant chacun des trois facteurs comme étant zéro. Résoudre le premier facteur égal à zéro nous donne 𝑥 égal à zéro. Résoudre le deuxième facteur égal à zéro nous donne 𝑥 égal à un demi. Et la résolution du troisième facteur égal à zéro nous donne 𝑥 égal à un. Par conséquent, le graphique de notre fonction a trois points critiques : un lorsque 𝑥 est nul, un lorsque 𝑥 vaut un demi et un lorsque 𝑥 vaut un. Ce seront tous des points sur le graphe où la dérivée est nulle, donc la pente du graphe est nulle, ce qui signifie que les droites tangentes sont horizontales en ces points.
Nous pouvons déterminer les coordonnées exactes des points critiques en remplaçant 𝑥 par zéro, 𝑥 par un demi et 𝑥 par un dans notre fonction 𝑓 de 𝑥. Si nous faisons cela et évaluons, nous obtenons que 𝑓 de zéro est égale à zéro ; 𝑓 de un demi est égale à un demi et 𝑓 de un est égale à zéro. Par conséquent, le graphe de la fonction a des points critiques en zéro, zéro ; un demi, un demi ; et un, zéro. Ce n’est pas la seule chose que nous pouvons faire avec la dérivée. Rappelez-vous, lorsque 𝑓 prime de 𝑥 est positive, la courbe de notre fonction croît ; elle monte. Cependant, lorsque 𝑓 prime de 𝑥 est négative, la courbe de notre fonction descend, elle décroît.
Par conséquent, le signe de la dérivée première nous dira quand notre fonction croît ou décroît. Nous pouvons déterminer le signe de la dérivée première en regardant l’expression factorisée de 𝑓 prime de 𝑥. Premièrement, lorsque tous les facteurs sont positifs, 𝑓 prime de 𝑥 sera positive. Pour que le premier facteur soit positif, 𝑥 doit être positif. Pour que le deuxième facteur soit positif, 𝑥 doit être supérieur à un demi. Et pour que le troisième facteur soit positif, 𝑥 doit être supérieur à un. Les trois conditions sont satisfaites lorsque 𝑥 est supérieur à un, donc 𝑓 prime de 𝑥 est positive lorsque 𝑥 est supérieur à un. Ainsi, le graphe de notre fonction croît lorsque 𝑥 est supérieur à un.
Voyons maintenant ce qui arrive à la dérivée de notre fonction entre deux des points critiques, 𝑥 égale un demi et 𝑥 égale un. Lorsque 𝑥 est compris entre un demi et un, 16 fois 𝑥 est positif. De même, puisque 𝑥 est compris entre un demi et un, deux 𝑥 moins un sera positif car 𝑥 est supérieur à un demi. Cependant, notre troisième facteur sera négatif puisque 𝑥 est inférieur à un. Nous avons donc un nombre positif multiplié par un nombre positif multiplié par un nombre négatif. Par conséquent, la dérivée première de 𝑓 par rapport à 𝑥 est négative sur cet intervalle. La courbe de la fonction décroît lorsque 𝑥 est supérieur à un demi et 𝑥 est inférieur à un.
Suivons le même raisonnement lorsque 𝑥 se situe entre les deux autres points critiques, lorsque 𝑥 est supérieur à zéro et inférieur à un demi. Puisque 𝑥 est supérieur à zéro sur cet intervalle, nous savons que 𝑥 va être positif. Donc, 16 fois 𝑥 est positif. Cependant, sur cet intervalle, 𝑥 est inférieur à un demi, donc deux 𝑥 moins un est négatif. De même, sur cet intervalle, les valeurs de 𝑥 sont inférieures à un. Cela signifie que 𝑥 moins un est négatif. Ainsi, lorsque 𝑥 est compris entre zéro et un demi, nous avons un nombre positif multiplié par un nombre négatif multiplié par un nombre négatif. Cela donne un résultat positif. Donc, sur cet intervalle, la dérivée première de 𝑓 est positive. Par conséquent, notre fonction croît lorsque 𝑥 est compris entre zéro et un demi.
Il y a un dernier intervalle que nous voulons considérer : qu’est ce qui se passe lorsque les valeurs de 𝑥 sont inférieures à zéro. Lorsque nos valeurs de 𝑥 sont inférieures à zéro, 𝑥 est négatif. Donc, 16 multiplié par 𝑥 est négatif. De la même manière, les valeurs de 𝑥 sont inférieures à un demi et inférieures à un. Donc, deux 𝑥 moins un est négatif et 𝑥 moins un est également négatif. Ainsi, lorsque les valeurs de 𝑥 sont inférieures à zéro, 𝑓 prime de 𝑥 est le produit de trois nombres négatifs, il est donc négatif. Cela signifie que la fonction décroît sur cet intervalle.
Nous pouvons maintenant analyser la dérivée seconde pour déterminer les intervalles sur lesquels la courbe de la fonction est convexe vers le haut et convexe vers le bas. Et cela est déterminé par le signe de la dérivée seconde. Nous pouvons également vérifier les points où la convexité change. Ce seront des points d’inflexion. Cependant, il s’avère qu’il n’est pas nécessaire d’analyser la dérivée seconde pour répondre à cette question en utilisant des dérivées. Donc, bien que nous puissions analyser la dérivée seconde, nous ne le ferons pas ici.
Voyons maintenant les cinq options plus en détail. Commençons par l’option (A). Nous pouvons noter les points critiques de notre fonction là où la pente est nulle. Ce seront les points sur le graphe où les droites tangentes sont horizontales. Nous pouvons voir qu’il y a trois points répondant à cette description, et nous pouvons lire les coordonnées de ces trois points : le point zéro, zéro ; le point un demi, moins un demi ; et le point un, zéro. Cela suffit pour conclure que ce n’est pas la courbe de notre fonction car, rappelez-vous, nous avons déjà trouvé les coordonnées des trois points critiques de la courbe de 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥. En particulier, l’un de nos points critiques a pour coordonnées un demi, un demi, et non un demi, moins un demi. Par conséquent, cela ne peut pas être le graphe de la fonction.
Nous pouvons maintenant suivre exactement le même processus pour l’option (B). Commençons par regarder ses trois points critiques. Ce sont les points où la pente du graphe est nulle. Nous pouvons voir qu’il y a trois points de ce type dans l’option (B). Cependant, nous pouvons voir que deux des abscisses 𝑥 de ces points critiques sont négatives. Ce ne sont pas les points critiques que nous avons trouvés lorsque 𝑥 égale un demi et lorsque 𝑥 égale un, donc l’option (B) n’est pas la bonne. Passons donc à l’option (C) et regardons encore une fois les trois points critiques. Encore une fois, il y a trois points critiques sur ce graphe, et nous pouvons voir que l’un de ces points a des coordonnées un demi, zéro. Et ce ne sont pas les coordonnées de l’un des points critiques que nous avons trouvés. Donc l’option (C) n’est pas la bonne
Passons donc à l’option (D). Regardons une fois de plus les points critiques de ce graphe. Il y a trois points critiques et nous pouvons noter que l’un d’entre eux a les coordonnées moins un, zéro. Cela n’est pas en accord avec les trois points critiques que nous avons trouvés précédemment. Une fois de plus, nous pouvons éliminer cette option. La réponse ne peut pas être l’option (D). Il reste donc l’option (E). Cependant, afin de rester sérieux, vérifions que les points critiques sont les bons et que les intervalles de croissance et de décroissance sont également les bons sur ce graphe. Tout d’abord, nous pouvons voir que le graphe a trois points critiques : un à l’origine, un au point avec les coordonnées un demi, un demi et un dernier point critique au point de coordonnées un, zéro. Cela concorde avec les trois points critiques que nous avons trouvés plus tôt.
Ensuite, regardons là où la fonction croît et décroît. Nous pouvons voir que lorsque nos valeurs de 𝑥 sont supérieures à un, la courbe de la fonction monte, elle croît. De même, nous pouvons voir que lorsque les valeurs de 𝑥 sont comprises entre zéro et un demi, la courbe de la fonction monte. Elle croît. Et cela concorde avec les deux intervalles de croissance que nous avons trouvés plus tôt. La fonction devrait augmenter lorsque 𝑥 est supérieur à un et lorsque 𝑥 est compris entre zéro et un demi.
De la même manière, nous pouvons déterminer les intervalles où la courbe de la fonction décroît. Nous pouvons voir que lorsque 𝑥 est inférieur à un demi, la fonction descend. Elle décroît. De même, lorsque les valeurs de 𝑥 sont comprises entre un demi et un, la courbe descend. Elle décroît. Et cela concorde avec les intervalles de décroissance que nous avons trouvés plus tôt. La courbe devrait décroître lorsque 𝑥 est compris entre un demi et un, ainsi que lorsque 𝑥 est inférieur à zéro. Par conséquent, en utilisant des dérivées, nous avons pu identifier laquelle des cinq courbes données était celle de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à huit multipliée par moins 𝑥 au carré plus 𝑥 le tout au carré. Il s’agit de l’option (E).
