Transcription de vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre en quoi les dérivées facilitent le tracé du graphe d’une fonction. Jusque là, nous nous sommes intéressés à des aspects particuliers des courbes, tels que les limites, la continuité et la concavité. Nous allons à présent synthétiser toutes ces informations afin de tracer des graphiques montrant toutes les caractéristiques des diverses fonctions.
Cette liste est destinée à servir de guide pour représenter des courbes. Il n’est pas nécessaire d’utiliser chaque élément à chaque fois. Mais pour commencer, il nous sera utile d’étudier chacun de ces points.
Le premier est l’ensemble de définition et l’image. Il peut être utile d’étudier l’ensemble de définition de la fonction. C’est-à-dire l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction est définie. Ensuite, on peut déterminer l’image, l’ensemble des valeurs de la fonction, bien qu’on les obtienne en général lors des autres étapes.
Deuxième point étudié, les intersections de la courbe avec les axes. On recherche l’ordonnée à l’origine et les zéros. Rappelons que l’ordonnée à l’origine s’obtient en calculant 𝑦 pour 𝑥 égale zéro, tandis que la ou les abscisses à l’origine, ou zéros, s’obtiennent en fixant 𝑦 à zéro et en cherchant 𝑥. On étudie la parité. La fonction est-elle paire ? Autrement dit, 𝑓 de moins 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥 ? Est-elle impaire ? Est-ce que 𝑓 de moins 𝑥 égale moins 𝑓 de 𝑥 ? Ou ni l’un ni l’autre. Ensuite, on peut étudier les asymptotes.
Pour rappel, si la limite de la fonction, lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini, est égale à une valeur donnée 𝐿, alors la droite d’équation 𝑦 égale 𝐿 est une asymptote horizontale de la courbe. Si la limite de la fonction, lorsque 𝑥 tend vers l’infini, est plus ou moins l’infini, alors il n’y a pas d’asymptote horizontale. Mais cette info reste utile pour tracer la courbe.
Rappelons également que la droite d’équation 𝑥 égale 𝑎 est une asymptote verticale si au moins une des conditions suivantes est remplie. La limite de la fonction lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 à droite est plus ou moins l’infini. Ou la limite de la fonction lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 à gauche est plus ou moins l’infini. Le cinquième point concerne les variations de la fonction.
Rappelons qu’une fonction est croissante lorsque sa dérivée est supérieure à zéro et décroissante lorsque sa dérivée est inférieure à zéro. Cela nous donne la forme du graphe sur divers intervalles. On recherche également les extrema locaux. Pour rappel, les valeurs critiques se produisent lorsque la dérivée est nulle ou n’existe pas. Ensuite, le test de la dérivée première précise la nature de ces points critiques.
On peut étudier la concavité et les points d’inflexion. Cette fois, on calcule la dérivée seconde. Si elle est supérieure à zéro sur un intervalle, alors la courbe est concave vers le haut. Et si elle est inférieure à zéro sur un intervalle, la courbe est concave vers le bas. Lorsque le sens de concavité s’inverse, on a un point d’inflexion. Enfin, on peut étudier le comportement aux extrémités de la fonction. On le déduit généralement des autres calculs effectués.
Il s’agit bien sûr d’une très longue liste. Beaucoup de ces caractéristiques peuvent se trouver à l’aide d’une calculatrice graphique. Mais vous n’y aurez pas toujours accès. Passons maintenant à des exemples qui nécessitent d’étudier ces caractéristiques.
Soit la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins un au carré fois 𝑥 plus deux. Calculez 𝑓 prime de 𝑥. Déterminez et caractérisez les points critiques de 𝑓. Étudiez les variations de 𝑓. Calculez la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini.
Et enfin, on demande d’identifier le graphe qui correspond à la fonction. Les choix proposés seront donnés une fois terminées les questions précédentes. Donc, comment calculer 𝑓 prime de 𝑥 ?
C’est la dérivée première de la fonction par rapport à 𝑥. En regardant la fonction, on voit différentes méthodes pour ce faire. On peut développer, puis dériver terme par terme. Sinon, on peut remarquer qu’on a un produit de deux fonctions, dont l’une est une fonction composée. On peut donc utiliser les formules de dérivation d’un produit et d’une puissance.
D’après la formule du produit, la dérivée du produit de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Donc, soit 𝑢 égale 𝑥 moins un au carré et 𝑣 égale 𝑥 plus deux. On a besoin de la formule de la dérivée d’une puissance pour calculer la dérivée de 𝑥 moins un au carré. C’est un cas particulier de dérivation de fonctions composées. Ça consiste à multiplier la fonction par l’exposant, diminuer de un l’exposant, puis multiplier par la dérivée de la fonction intérieure.
La dérivée de 𝑥 moins un est un. d𝑢 sur d𝑥 égale deux fois 𝑥 moins un puissance deux moins un fois un. Et ça se simplifie à deux fois 𝑥 moins un. d𝑣 sur d𝑥 est beaucoup plus simple. C’est tout simplement un. On remplace donc ces expressions dans la dérivée du produit. C’est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 — donc 𝑥 moins un au carré fois un — plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. On développe, et la dérivée première de la fonction se simplifie à trois 𝑥 au carré moins trois.
La deuxième question demande de trouver et de caractériser les points critiques de la fonction. Rappelez-vous, ceux-ci se produisent lorsque la dérivée première est nulle ou n’existe pas. Or, toutes les fonctions polynomiales sont dérivables. Nous allons donc uniquement traiter le cas où la dérivée première est nulle. Autrement dit, trois 𝑥 au carré moins trois égale zéro.
Résolvons cette équation. On divise par trois. Comme c’est une différence de deux carrés, on peut factoriser 𝑥 au carré moins un. C’est 𝑥 plus un fois 𝑥 moins un. Or, pour que le produit de ces deux termes soit nul, l’un des facteurs doit être nul : soit 𝑥 plus un, soit 𝑥 moins un. En résolvant chaque équation, on obtient 𝑥 égale moins un ou 𝑥 égale un. Les points critiques sont donc pour 𝑥 égale plus ou moins un.
L’étape suivante consiste à les caractériser. On peut faire le test de la dérivée première et calculer la dérivée à gauche et à droite de chaque point critique. Faisons un tableau. On sait que la dérivée première est nulle pour 𝑥 égale plus ou moins un. La dérivée première en 𝑥 égale moins deux est trois fois moins deux au carré moins trois, soit neuf. La dérivée première en 𝑥 égale zéro est trois fois zéro au carré moins trois, ce qui fait moins trois. Et la dérivée première en 𝑥 égale deux est également neuf. La fonction est croissante à gauche de 𝑥 égale moins un et décroissante à droite. Ainsi, le point critique en 𝑥 égale moins un est un maximum local. Et pour 𝑥 égale un, c’est le contraire. Il s’agit donc d’un minimum local.
La troisième question demande d’étudier les variations de la fonction. Faisons de la place. Ça va paraître très semblable à ce qu’on vient de faire. Mais dans la question précédente, on ne s’intéressait qu’à la nature de la fonction en certains points. On cherche à présent à déterminer les intervalles sur lesquels la fonction croît ou décroît. Donc, on cherche quand la dérivée est négative et la fonction décroissante, et quand la dérivée est positive et la fonction croissante.
On sait que la courbe d’équation 𝑦 égale trois 𝑥 au carré moins trois ressemble à ceci. On voit que la courbe de la dérivée première est au-dessus de zéro ici et là. C’est-à-dire lorsque 𝑥 est inférieur à moins un ou supérieur à un. La dérivée première est en dessous de zéro ici. C’est lorsque 𝑥 est supérieur à moins un ou inférieur à un. Ainsi, la fonction est croissante sur les intervalles ouverts moins l’infini, moins un, et un, plus l’infini. Et la fonction est décroissante sur l’intervalle ouvert moins un, un.
Et enfin, on cherche la limite de la fonction lorsque 𝑥 tend vers l’infini. On peut la trouver par substitution directe. On voit que lorsque 𝑥 tend vers l’infini, la fonction elle-même croît de plus en plus. La fonction tend vers l’infini. En faisant la synthèse de tous ces résultats, on peut identifier le graphique de la fonction.
Lequel des graphiques suivants représente 𝑓 ? Si on développe l’expression de la fonction, on a une fonction cubique dont le premier coefficient est positif. Autrement dit, le coefficient de 𝑥 au cube est positif. Cela indique que la forme du graphique ressemble à ceci. On sait qu’il possède deux points critiques en 𝑥 égale plus ou moins un, qui correspondent respectivement à un maximum et à un minimum.
On peut calculer la valeur de la fonction en ces points pour 𝑥 égale plus et moins un. On trouve que 𝑓 de moins un égale quatre et 𝑓 de un égale zéro. On en déduit que le graphique a un maximum en moins un, quatre, et un minimum en un, zéro. On a également vu que la fonction était croissante sur l’intervalle ouvert moins l’infini, moins un, et un, plus l’infini ; et décroissante sur l’intervalle ouvert moins un, un. Le seul graphique qui remplit tous ces critères est A. En fait, on aurait pu très rapidement éliminer D et E, car ces graphes sont des fonctions du second degré. C est un graphe cubique pour lequel 𝑥 au cube a un coefficient négatif. Donc, il ne restait que deux possibilités.
Notez qu’on ne cherche pas les limites des fonctions pour rechercher des asymptotes. Comme on le sait, un graphe cubique n’en possède pas.
Dans le prochain exemple, nous étudierons un graphique qui a au moins une asymptote.
Dessinez la courbe de 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥 au carré sur 𝑥 au carré moins quatre.
Commençons par déterminer l’ensemble de définition et l’image de la fonction. On sait qu’une fonction rationnelle n’est pas définie aux points où le dénominateur du quotient s’annule. On pose donc 𝑥 au carré moins quatre égale zéro et on résout cette équation pour en déduire l’ensemble de définition de la fonction. On ajoute quatre de chaque côté de l’équation. Ensuite, on prend la racine carrée de chaque côté de l’équation, en pensant à prendre les racines carrées positive et négative de quatre. On trouve que si 𝑥 au carré moins quatre est égal à zéro, 𝑥 est égal à plus ou moins deux. Ainsi, l’ensemble de définition de cette fonction est l’ensemble des réels privé des valeurs plus et moins deux. On cherche maintenant l’image, l’ensemble des valeurs possibles de la fonction. On peut le déterminer en traçant le graphe.
Ensuite, on cherche les points d’intersection avec les axes. En posant 𝑥 égale zéro et en déterminant 𝑦, on trouve l’ordonnée à l’origine. On obtient 𝑦 égale trois fois zéro au carré sur zéro au carré moins quatre, ce qui est égal à zéro. Donc, l’ordonnée à l’origine est en 𝑦 égale zéro. Ensuite, posons 𝑦 ou 𝑓 de 𝑥 égale zéro et déterminons 𝑥. On a zéro égale trois 𝑥 au carré sur 𝑥 au carré moins quatre.
Or, pour que ce soit vrai, le numérateur de cette fraction doit lui-même s’annuler. Et pour que trois 𝑥 au carré soit nul, 𝑥 doit être nul. Il n’y a donc qu’un seul point d’intersection avec les axes. Il se trouve à l’origine : zéro, zéro. Maintenant, étudions la parité. Une fonction paire est une fonction telle que 𝑓 de moins 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥 ; une fonction impaire est une fonction telle que 𝑓 de moins 𝑥 égale moins 𝑓 de 𝑥. Or, 𝑓 de moins 𝑥 égale trois fois moins 𝑥 au carré sur moins 𝑥 au carré moins quatre, ce qui est égal à 𝑓 de 𝑥. Donc, la fonction est paire. Cela implique qu’elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées 𝑦.
À présent, recherchons les asymptotes. On cherche les asymptotes horizontales en étudiant la fonction lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini. On ne peut pas faire une substitution directe, car si on prend 𝑥 égale plus ou moins l’infini, on trouve l’infini sur l’infini, ce qui est indéfini. Donc, on va plutôt diviser le numérateur et le dénominateur de l’expression par 𝑥 au carré. Cela donne trois sur un moins quatre sur 𝑥 au carré.
Et maintenant, on peut procéder par substitution directe. Lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini, quatre sur 𝑥 au carré tend vers zéro. La limite de la fonction est donc trois sur un, c’est-à-dire trois. Et donc, la droite d’équation 𝑦 égale trois est une asymptote horizontale.
Rappelez-vous, on a dit que lorsque 𝑥 est égal à plus ou moins deux, le dénominateur est nul. On cherche donc les limites suivantes. La limite de la fonction lorsque 𝑥 tend vers deux à droite est l’infini. Et la limite de la fonction lorsque 𝑥 tend vers deux à gauche est moins l’infini. Et la limite de la fonction lorsque 𝑥 tend vers moins deux à droite est moins l’infini. Et lorsqu’elle tend vers moins deux à gauche, c’est plus l’infini. On a donc deux asymptotes verticales d’équations 𝑥 égale plus ou moins deux.
Faisons un peu de place et étudions les variations de la fonction. Commençons par utiliser la formule de dérivation d’un quotient pour calculer la dérivée première de la fonction. On pose 𝑢 égale trois 𝑥 au carré et 𝑣 égale 𝑥 au carré moins quatre, on calcule les expressions de d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥. Et donc, la dérivée première de la fonction est 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 sur 𝑣 au carré. En développant, on trouve que la dérivée première est moins 24𝑥 sur 𝑥 au carré moins quatre le tout au carré.
Or, comme 𝑥 au carré moins quatre au carré est supérieur à zéro pour tout 𝑥, la dérivée première de la fonction est donc inférieure à zéro lorsque 𝑥 est supérieur à zéro. Donc, pour les valeurs de 𝑥 supérieures à zéro, on obtient moins 24 multiplié par un nombre positif, ce qui donne une valeur négative. Et donc, pour 𝑥 supérieur à zéro, la dérivée première est inférieure à zéro. Et vice versa. Lorsque 𝑥 est inférieur à zéro, la dérivée première est supérieure à zéro. Comme on sait que la fonction n’est pas définie en 𝑥 égale moins deux, on en déduit qu’elle est croissante de moins l’infini à moins deux et de moins deux à zéro. Et elle est décroissante sur les intervalles ouverts zéro, deux, et deux, plus l’infini.
Or, si on regarde bien, on observe que la dérivée première est égale à zéro pour 𝑥 égale zéro. Donc, il existe un point critique au point zéro, zéro. Il se trouve que c’est aussi le point où la courbe coupe les axes.
On a maintenant tout ce qui est nécessaire pour tracer la courbe. On sait qu’il existe une asymptote horizontale d’équation 𝑦 égale trois et des asymptotes verticales d’équations 𝑥 égale moins deux et 𝑥 égale deux. Il y a un point critique et un point d’intersection en zéro, zéro. Et c’est important parce qu’on voit que la courbe ne peut pas couper l’axe des abscisses ici ou là. Ça nous permet de savoir par où passent ces deux parties de la courbe. La courbe croît sur l’intervalle ouvert moins l’infini, moins deux, et décroît sur l’intervalle ouvert deux, plus l’infini. Et bien sûr, il y a ces asymptotes. De plus, la fonction est paire, et donc symétrique par rapport à l’axe des 𝑦. Cela confirme qu’on est probablement sur la bonne voie. On utilise ensuite les informations restantes pour dessiner la partie restante de la courbe. Voilà, on a tracé la courbe de 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥 au carré sur 𝑥 au carré moins quatre.
Dans cette vidéo, on a vu que les dérivées peuvent aider à représenter graphiquement des fonctions compliquées. On a vu un vaste ensemble de techniques, dont la recherche des ensembles de définition et image, les intersections avec les axes et la parité de la courbe. On recherche les asymptotes, les variations, les extrema locaux, la concavité et les points d’inflexion. Et on étudie également le comportement de la fonction aux extrémités. Bien sûr, cette liste est très longue. Mais il n’est pas nécessaire de tout étudier à chaque fois.
