Vidéo : Représentation graphique à l’aide de dérivées

Dans cette vidéo, nous apprendrons à utiliser des dérivées pour représenter graphiquement une fonction.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment trouver la dérivée peut rendre la courbe d’une fonction beaucoup plus simple à réaliser. Jusqu’à ce stade, il est probable que nous nous sommes concentrés sur des aspects particuliers pour l’esquisse d’une courbe, tels que les limites, la continuité et la concavité. Il est maintenant temps de combiner toutes ces informations pour nous aider à esquisser des graphiques qui révèlent toute l’étendue des caractéristiques des différentes fonctions.

La liste de contrôle donnée est destinée à être utilisée comme un ensemble de lignes directrices lors de l’esquisse d’une courbe. Nous n’aurons pas besoin d’utiliser chaque point à chaque fois. Mais c’est une bonne idée de commencer par examiner chacune de ces fonctionnalités à tour de rôle.

Le premier est l’ensemble de définition et l’ensemble image. Il peut être utile de considérer l’ensemble de définition de la fonction. En d’autres termes, l’ensemble des valeurs de 𝑥, pour lesquelles la fonction est définie. Et à partir de cela, nous pourrions considérer l’ensemble image, l’ensemble complet des valeurs résultantes de la fonction, bien que cela se développe généralement à travers les autres étapes.

Le second est les interceptions. Nous recherchons des deux interceptions 𝑦 et 𝑥. Rappelez-vous, l’interception 𝑦 est obtenue en posant 𝑥 égal à zéro et en résolvant pour 𝑦, tandis que les interceptions 𝑥 sont obtenues en posant 𝑦 égal à zéro et en résolvant pour 𝑥. Nous recherchons la symétrie. Les fonctions sont-elles égales ? En d’autres termes, est-ce que 𝑓 de moins 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥 ? Sont-elles impaires ? Est-ce que 𝑓 de moins 𝑥 est égal à moins 𝑓 de 𝑥 ? Ou ni l’un ni l’autre. Et puis nous pourrions envisager des asymptotes.

Souvenez-vous que si la limite 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini de la fonction est égale à une valeur 𝐿, alors la droite 𝑦 égale 𝐿 est une asymptote horizontale de la courbe. S’il s’avère que la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de la fonction est plus ou moins l’infini, alors nous n’avons pas d’asymptote. Mais ce fait est toujours utile pour esquisser la courbe.

Nous rappelons également que la droite 𝑥 égale 𝑎 est une asymptote verticale si au moins une des conditions suivantes est vraie. La limite telle que 𝑥 tend vers 𝑎 à droite de la fonction est plus ou moins l’infini. Ou la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 à gauche de la fonction est plus ou moins l’infini. Le cinquième point concerne les intervalles de croissance ou de décroissance.

Nous rappelons qu’une fonction augmente lorsque sa dérivée est supérieure à zéro et diminue lorsque sa dérivée est inférieure à zéro. Cela nous indique la forme de la courbe sur différents intervalles. Nous recherchons également des extrema locaux. N’oubliez pas que les valeurs critiques se produisent lorsque la dérivée est égale à zéro ou n’existe pas. Ensuite, le test de la dérivée peut nous dire la nature de ces points critiques.

Nous pouvons considérer la concavité et les points d’inflexion. Et cette fois, nous évaluons la dérivée seconde. Si elle est supérieure à zéro sur un certain intervalle, la courbe est concave vers le haut. Et si elle est inférieure à zéro sur un certain intervalle, la courbe est concave vers le bas. Lorsque la concavité change, nous savons que nous avons un point d’inflexion. Enfin, nous pourrions considérer le comportement asymptotique de la fonction. Et cela nous arrive généralement à la suite des autres travaux que nous avons effectués.

Il s’agit, bien sûr, d’une liste extrêmement longue. Et il y aura des moments où de nombreuses fonctionnalités peuvent être prédites en utilisant une calculatrice graphique. Mais l’un d’eux ne sera pas toujours accessible. Nous allons maintenant considérer un certain nombre d’exemples qui nécessitent la prise en compte de ces fonctionnalités.

Considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 moins une fois au carré 𝑥 plus deux. Trouvez 𝑓 prime de 𝑥. Trouvez et classifiez les points critiques de 𝑓. Trouvez les intervalles de croissance et de décroissance pour 𝑓. Trouvez la limite lorsque 𝑥 s’approche de l’infini de 𝑓 de 𝑥.

Et puis il y a une autre partie de cette question, qui nous demande d’identifier la courbe correct pour notre fonction. Nous allons donc examiner nos options lorsque nous aurons terminé les quatre premières parties. Alors, comment allons-nous évaluer 𝑓 prime de 𝑥 ?

C’est la dérivée première de notre fonction par rapport à 𝑥. Eh bien, en jetant un œil à notre fonction, il existe un certain nombre de façons de le faire. Nous pourrions distribuer nos parenthèses et dériver terme par terme. Notez également que nous avons un produit de deux fonctions, dont l’une est une fonction composite. Nous pourrions donc utiliser la règle du produit à côté de la règle générale de puissance.

La règle du produit dit que la dérivée du produit de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Soit donc 𝑢 égal à 𝑥 moins un le tout au carré et 𝑣 égal à 𝑥 plus deux. Nous devrons utiliser la règle de puissance générale pour trouver la dérivée de 𝑥 moins un au carré. Il s’agit d’un cas particulier de la règle de chaîne. Et il dit que nous pouvons multiplier la fonction entière par l’exposant, réduire l’exposant par un, puis multiplier tout cela par la dérivée de la fonction intérieure.

Eh bien, la dérivée de 𝑥 moins un n’est qu’un. Donc d𝑢 sur d𝑥 est deux fois 𝑥 moins un à la puissance de deux moins une fois un. Et cela simplifie à deux fois 𝑥 moins un. d𝑣 sur d𝑥 est beaucoup plus simple. C’est tout simplement un. Nous substituons donc ce que nous avons à la règle du produit. C’est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 — c’est 𝑥 moins un tous les carrés fois un — plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. La distribution de nos parenthèses, et la dérivée première de notre fonction se simplifie vraiment bien à trois 𝑥 au carré moins trois.

Dans la deuxième partie de cette question, nous devons trouver et classer les points critiques de notre fonction. Rappelez-vous, ceux-ci se produisent lorsque notre dérivée première est égale à zéro ou n’existe pas. Eh bien, nous savons en fait que les fonctions polynomiales sont toutes dérivables. Nous allons donc simplement considérer le cas pour lequel notre dérivée première est égale à zéro. Autrement dit, trois 𝑥 au carré moins trois est égal à zéro.

Résolvons pour 𝑥. Nous divisons par un. Et puis nous utilisons la différence de deux carrés pour factoriser 𝑥 au carré moins un. C’est 𝑥 plus une fois 𝑥 moins un. Maintenant, pour que le produit de ces deux termes soit égal à zéro, soit 𝑥 plus un doit être égal à zéro, soit 𝑥 moins un doit être égal à zéro. Et en résolvant chaque équation pour 𝑥, nous obtenons que 𝑥 doit être soit moins un, soit 𝑥 égal à un. Nous avons donc des points critiques où 𝑥 est égal à plus ou moins un.

Notre prochain travail consiste à les classer. Nous pouvons effectuer le test de la dérivée première et évaluer la dérivée première juste avant et juste après chaque point critique. Ajoutons un tableau. Nous savons que la dérivée première est égale à zéro lorsque 𝑥 est égal à plus ou moins un. La dérivée première évaluée à 𝑥 est égale à moins deux est trois fois moins deux au carré moins trois, ce qui est neuf. La dérivée première évaluée lorsque 𝑥 est égal à zéro est trois fois zéro au carré moins trois, ce qui est moins trois. Et la dérivée première évaluée à 𝑥 est égale à deux est également neuf. La fonction augmente avant que 𝑥 soit égal à moins un et diminue après. Donc, le point critique 𝑥 est égal à un moins un est un maximum local. L’inverse est vrai lorsque 𝑥 est égal à un. Cela doit donc être notre minimum local.

Dans la troisième partie de cette question, nous cherchons à trouver les intervalles de croissance et de décroissance pour notre fonction. Dégageons de l’espace. Maintenant, cela pourrait sembler terriblement similaire à ce que nous venons de faire. Mais à ce stade, nous considérions simplement la nature de la fonction à des points spécifiques. Nous voulons maintenant savoir sur quels intervalles la fonction augmente ou diminue. Nous allons donc travailler lorsque la dérivée première est inférieure à zéro, décroissante ou supérieure à zéro, augmentant.

Nous savons que la courbe de 𝑦 est égal à trois 𝑥 carré moins trois ressemble à quelque chose comme ça. Nous pouvons voir que la courbe de la dérivée première est supérieur à zéro ici et ici. En d’autres termes, lorsque 𝑥 est inférieur à moins un ou supérieur à un. La dérivée première est ici inférieure à zéro. C’est alors que 𝑥 est supérieur à moins un ou inférieur à un. Les intervalles de croissance sont donc les intervalles ouverts de moins l’infini à moins un et de un à plus l’infini. Et l’intervalle de décroissance est l’intervalle ouvert de moins un à un.

Et enfin, nous devons trouver la limite lorsque 𝑥 s’approche de l’infini de la fonction. Nous pouvons le faire par substitution directe. Nous voyons qu’à mesure que 𝑥 approche de l’infini, la fonction elle-même grandit de plus en plus. La fonction se rapproche donc également de l’infini. Combinons maintenant tout ce que nous avons fait pour identifier la courbe de notre fonction.

Lequel des éléments suivants est la courbe de 𝑓 ? Si nous devions distribuer les parenthèses de notre fonction, nous verrions que nous avons une courbe cubique avec un coefficient de tête positif. En d’autres termes, le coefficient de 𝑥 cube est positif. Cela nous dit que la forme de la courbe sera un peu quelque chose comme ça. Nous savons qu’il a des points critiques 𝑥 est égal à moins un et un et un maximum et un minimum en ces endroits, respectivement.

Nous pouvons déterminer la valeur de notre fonction en ces points en remplaçant moins un par un. Et quand nous le faisons, nous voyons que 𝑓 de moins un est quatre et 𝑓 de un est zéro. Nous savons donc que la courbe a un maximum à moins un, quatre et un minimum à un, zéro. Nous avons également vu qu’il avait des intervalles de croissance sur l’intervalle ouvert de moins l’infini à moins un et de un à plus l’infini et de décroissance sur l’intervalle ouvert moins un à un. La seule courbe qui satisfait à toutes ces conditions est A. En fait, nous aurions pu très rapidement repérer qu’ils ne pouvaient pas être D ou E car ce sont des courbes de fonctions quadratiques. C est une courbe cubique qui a un coefficient négatif pour 𝑥 cube. Nous n’avions donc vraiment que deux options.

Notez que nous ne nous sommes pas inquiétés d’évaluer les limites de nos fonctions pour rechercher des asymptotes. Comme nous le savons, une courbe cubique n’en a pas.

Dans notre exemple suivant, nous considérerons une courbe qui a au moins une asymptote.

Esquissez la courbe de 𝑓 de 𝑥 égal à trois 𝑥 au carré de 𝑥 au carré moins quatre.

Commençons par considérer l’ensemble de définition et l’ensemble image de notre fonction. Nous savons qu’une fonction qui est un quotient n’existera pas aux points où le dénominateur du quotient est nul. Nous avons donc mis 𝑥 au carré moins quatre égal à zéro et résolu pour 𝑥 pour trouver l’ensemble de définition de notre fonction. Nous pouvons ajouter quatre des deux côtés de cette équation. Ensuite, nous prenons la racine carrée des deux côtés de notre équation, en nous souvenant de prendre à la fois la racine carrée positive et négative de quatre. Et nous obtenons que lorsque 𝑥 au carré moins quatre est égal à zéro, 𝑥 est égal à plus ou moins deux. L’ensemble de définition de notre fonction est donc toutes les valeurs réelles, sauf que 𝑥 est égal à plus ou moins deux. Maintenant, l’ensemble image est un ensemble de sorties possibles sur la fonction. Et nous pouvons en déduire à travers le processus graphique.

Ensuite, nous déterminerons s’il existe des interceptions. En fixant 𝑥 égal à zéro et en résolvant pour 𝑦, nous trouverons l’interception 𝑦. Lorsque nous le faisons, nous obtenons que 𝑦 soit égal à trois fois zéro carré sur zéro carré moins quatre, ce qui est zéro. Il y a donc une interceptions 𝑦 à 𝑦 égal à zéro. Ensuite, nous mettons 𝑦 ou 𝑓 de 𝑥 égal à zéro et résolvons pour 𝑥. Autrement dit, zéro est égal à trois 𝑥 au carré sur 𝑥 au carré moins quatre.

Or, pour que cela soit vrai, nous savons que le numérateur de cette fraction doit lui-même être égal à zéro. Et pour que trois 𝑥 au carré soit égal à zéro, 𝑥 doit être égal à zéro. Nous n’avons donc en fait qu’une seule interception. Et c’est à l’origine : zéro, zéro. Ensuite, nous pouvons vérifier la symétrie. Une fonction paire est une fonction pour laquelle 𝑓 de moins 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥, tandis qu’une fonction impaire est une fonction pour laquelle 𝑓 de moins 𝑥 est égal à moins 𝑓 de 𝑥. Eh bien, 𝑓 de moins 𝑥 est trois fois moins 𝑥 au carré sur moins 𝑥 au carré moins quatre, ce qui est égal à 𝑓 de 𝑥. Notre fonction est donc égale. Et cela signifie que ça va être symétrique par rapport à l’axe 𝑦.

Ensuite, nous chercherons des asymptotes. Nous chercherons des asymptotes horizontales en considérant ce qui arrive à notre fonction lorsque 𝑥 s’approche de plus ou moins l’infini. Nous ne pouvons pas utiliser la substitution directe car lorsque nous substituons dans 𝑥 est égal à plus ou moins l’infini, nous nous retrouvons avec l’infini sur l’infini, ce qui n’est pas défini. Donc, à la place, nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre expression par 𝑥 au carré. Cela nous donne trois sur un moins quatre sur 𝑥 au carré.

Et maintenant, nous pouvons utiliser la substitution directe. Lorsque 𝑥 s’approche de plus ou moins l’infini, quatre sur 𝑥 se rapprochent de zéro. La limite de notre fonction est donc de trois sur un, ce qui n’est que de trois. Et nous voyons que la droite 𝑦 égale trois doit être une asymptote horizontale.

Rappelez-vous, nous avons dit que lorsque 𝑥 est égal à plus ou moins deux, le dénominateur est zéro. On retrouve donc les limites suivantes. La limite lorsque 𝑥 s’approche de deux à droite de notre fonction est l’infini. Et la limite lorsque 𝑥 s’approche de deux à gauche de la fonction est moins l’infini. Et la limite lorsque 𝑥 s’approche de moins deux à droite de la fonction est moins l’infini. Et comme il s’approche de moins deux de la gauche, c’est plus l’infini. On obtient donc 𝑥 égal à plus ou moins deux pour être des asymptotes verticales.

Dégageons de l’espace et recherchons des intervalles de croissance et de décroissance. Nous allons commencer par utiliser la règle du quotient pour trouver la dérivée première de notre fonction. En posant 𝑢 égal à trois 𝑥 au carré et 𝑣 égal à 𝑥 au carré moins quatre, nous obtenons des expressions pour d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥. Et donc la dérivée première de notre fonction est 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 sur 𝑣 au carré. Et en distribuant nos parenthèses, nous trouvons que la dérivée première est moins 24𝑥 sur 𝑥 au carré moins quatre au carré.

Maintenant que 𝑥 au carré moins quatre, tous au carré doit être supérieur à zéro pour tout 𝑥, cela signifie que la dérivée première de notre fonction doit être inférieure à zéro lorsque 𝑥 est supérieur à zéro. Donc, pour des valeurs de 𝑥 supérieures à zéro, nous obtenons moins 24 multiplié par plus un, ce qui nous donne une valeur négative. Et donc pour 𝑥 supérieur à zéro, la dérivée première est inférieure à zéro. L’inverse est vrai. Lorsque 𝑥 est inférieur à zéro, la dérivée première est supérieure à zéro. Puisque nous savons que la fonction n’existe pas lorsque 𝑥 est égal à moins deux, nous pouvons dire que ses intervalles de croissance sont de moins l’infini à moins deux et de moins deux à zéro. Et il a des intervalles ouverts de décroissance de zéro à deux et de deux à plus l’infini.

Maintenant, en fait, si nous regardons attentivement, nous voyons également que la dérivée première est égale à zéro lorsque 𝑥 est égal à zéro. Il y a donc un point critique au point zéro, zéro. Par coïncidence, c’est aussi le point où nos courbes croisent les axes.

Nous avons maintenant tout ce dont nous avons besoin pour terminer notre croquis. Nous savons qu’il existe une asymptote horizontale à 𝑦 égale à trois et des asymptotes verticales à 𝑥 égale à moins deux et 𝑥 égale à deux. Il y a un point critique et une interception à zéro, zéro. Et c’est important parce que nous voyons que la courbe ne pourra pas traverser l’axe 𝑥 ici ou ici. Cela nous aide à décider où vont ces deux parties de la courbe. La courbe croît sur l’intervalle ouvert de moins l’infini à moins deux et décroît sur l’intervalle ouvert de deux à plus l’infini. Et bien sûr, nous avons ces asymptotes. La fonction est également régulière et symétrique par rapport à l’axe 𝑦. Cela confirme donc que nous sommes probablement sur la bonne voie. Nous utilisons ensuite les informations restantes pour esquisser la dernière partie de notre courbe. Et nous avons réussi à esquisser la courbe de 𝑓 de 𝑥 égal à trois 𝑥 au carré de 𝑥 au carré moins quatre.

Dans cette vidéo, nous avons vu que l’utilisation de dérivées peut nous aider à représenter graphiquement des fonctions complexes. Nous avons un ensemble de directives assez complet, y compris la recherche de l’ensemble de définition ou de l’ensemble image, les intersections, la symétrie de la courbe. Nous recherchons des asymptotes, des intervalles de croissance ou de décroissance, tout extremum local, concavité ou points d’inflexion. Et nous considérons également le comportement asymptotique de notre fonction. Et bien sûr, cette liste est extrêmement longue. Mais nous n’aurons pas besoin d’utiliser chaque point à chaque fois.

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