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Fiche explicative de la leçon : Représentation graphique d'une fonction en utilisant les dérivées Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter graphiquement une fonction à l’aide de ses dérivées.

Il existe de nombreuses techniques pour tracer la courbe représentative d’une fonction. Par exemple, pour tracer la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥), on peut résoudre l’équation en 𝑓(𝑥)=0 pour trouver les points d’intersections avec l’axe des 𝑥; nous savons que la courbe intersecte l’axe des 𝑦 au point d’abscisse 𝑓(0); nous pouvons essayer de déterminer les asymptotes horizontales et verticales en étudiant les limites de la fonction. Toutefois, ces informations ne sont pas toujours suffisantes pour pouvoir tracer la courbe de façon précise.

Une façon possible de tracer la courbe de manière plus précise consiste à utiliser des propriétés obtenues à partir de l’étude des dérivées première et seconde de la fonction. En d’autres termes, si on peut calculer 𝑓(𝑥) et 𝑓(𝑥), alors on peut en déduire beaucoup d’informations sur la courbe que l’on cherche à tracer.

Propriétés : Dérivée première

Si 𝑓(𝑥)=0 ou si la dérivée n’est pas définie en ce point, alors on dit que 𝑓 à un point critique en 𝑥. En particulier, si 𝑓(𝑥)=0, alors il est possible que la courbe change de monotonie à cette valeur de 𝑥. Nous pouvons également étudier le comportement de la première dérivée pour déterminer la nature des points critiques; ils peuvent être des extrema, des points d’inflexion ou des points de discontinuité.

Si 𝑓(𝑥)>0, pour tout 𝑥]𝑎;𝑏[, alors 𝑓 est strictement croissante sur l’intervalle ]𝑎;𝑏[.

Si 𝑓(𝑥)<0, pour tout 𝑥]𝑎;𝑏[, alors 𝑓 est strictement décroissante sur l’intervalle ]𝑎;𝑏[.

Si 𝑓 est continue, alors sa restriction à tout intervalle [𝑎;𝑏] atteint ses extrema globaux aux points critiques de 𝑓 ou aux bornes de l’intervalle fermé.

De même, s’il est possible de calculer 𝑓(𝑥), alors nous pouvons déterminer encore plus d’informations sur notre courbe.

Propriétés : Dérivée seconde

Soit 𝑦=𝑓(𝑥) une fonction deux fois dérivable sur ]𝑎;𝑏[.

Si 𝑓(𝑥)>0, pour tout 𝑥]𝑎;𝑏[, alors 𝑓 est convexe sur l’intervalle ]𝑎;𝑏[.

Si 𝑓(𝑥)<0, pour tout 𝑥]𝑎;𝑏[, alors 𝑓 est concave sur l’intervalle ]𝑎;𝑏[.

Si la fonction 𝑓(𝑥) a un point critique en 𝑥=𝑐, alors on peut utiliser le second test de la dérivée pour essayer déterminer de quel type de point s’agit.

  • Si 𝑓(𝑐)>0, le point est un minimum local.
  • Si 𝑓(𝑐)<0, le point est un maximum local.
  • Si 𝑓(𝑐)=0, le point peut être un minimum local, un maximum local ou un point d’inflexion. Nous devons alors étudier la dérivée première autour du point 𝑐 pour pouvoir déterminer sa nature. Pour vérifier s’il y a un point d’inflexion en 𝑥=𝑐, on vérifie si la dérivée seconde change de signe autour de 𝑐. Si elle change de signe, alors 𝑓(𝑥) a un point d’inflexion en 𝑥=𝑐.

Quand on nous demande de tracer une courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥), nous pouvons aussi vérifier si la fonction est dérivable et, le cas échéant, calculer ses dérivées pour nous aider à tracer cette courbe. Commençons par lister toutes les propriétés que nous pouvons vérifier pour révéler des informations sur la fonction et son graphique.

Comment tracer des courbes en utilisant les dérivées

Pour tracer une courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) nous devons, lorsque cela est possible, vérifier les propriétés suivantes:

  1. Ensemble de définition et image
    L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs sur lesquelles la fonction est définie. Graphiquement, il s’agit des coordonnées en 𝑥 des points de sa courbes représentative.
    L’image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs que peut prendre la fonction sur son ensemble de définition.Graphiquement, il s’agit des coordonnées en 𝑦 des points de la courbe représentative.
  2. Intersections avec les axes
    On peut trouver les coordonnées en 𝑥 des points d’intersections de la courbe avec l’axe des abscisses en résolvant l’équation 𝑓(𝑥)=0.
    Si 0 est dans l’ensemble de définition de la fonction, alors nous pouvons trouver la coordonnée en 𝑦 de l’intersection avec l’axe des ordonnées (c.-à-d. l’ordonnée à l’origine) en évaluant 𝑓(0).
  3. Parité
    Si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥) pour tout 𝑥 dans l’ensemble de la définition de la fonction, alors on dit que la fonction est paire.Les graphiques des fonctions paires sont symétriques par rapport à l’axe des 𝑦.
    Si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥) pour tout 𝑥 dans l’ensemble de définition de la fonction, alors on dit que la fonction est impaire.Les graphiques de fonctions impaires sont invariants par la rotation d’angle 180 autour de l’origine.
  4. Intervalles de monotonie
    Si 𝑓(𝑥)>0 sur un intervalle, alors 𝑓 est strictement croissante sur cet intervalle.
    Si 𝑓(𝑥)<0 sur un intervalle, alors 𝑓 est strictement décroissante sur cet intervalle.
  5. Extrema locaux
    Les extrema locaux se produisent nécessairement aux points critiques de la fonction (c.-à-d. où 𝑓(𝑥)=0, n’existe pas ou aux bornes d’intervalles non ouverts).
    On peut utiliser cette propriété pour déterminer les valeurs de 𝑥 où la fonction atteint des extrema potentiels, puis étudier la dérivée première ou seconde afin de déterminer la nature de ces points critiques.
  6. Concavité et points d’inflexion
    Nous pouvons déterminer la concavité de la courbe si elle est dérivable deux fois sur un intervalle.
    Si 𝑓(𝑥)>0 sur un intervalle, alors la courbe 𝑦=𝑓(𝑥) est convexe sur cet intervalle.
    Si 𝑓(𝑥)<0 sur un intervalle, alors la courbe 𝑦=𝑓(𝑥) est concave sur cet intervalle.
    Nous rappelons également que les points d’inflexions sont les points où la fonction change de concavité. En d’autres termes, la fonction passe de convexe à concave ou inversement.
  7. Asymptotes / Comportement asymptotique
    Enfin, nous pouvons étudier les asymptotes et le comportement aux extrémités de la courbe.
    On rappelle que la courbe a une asymptote verticale en 𝑎 si
    • lim𝑓(𝑥)=±,
    • lim𝑓(𝑥)=±,
    • lim𝑓(𝑥)=±.

La courbe peut avoir plusieurs comportements possibles lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini, c’est ce qu’on appelle le comportement asymptotique de la courbe. La meilleure façon de déterminer ce comportement est d’étudier lim𝑓(𝑥) et lim𝑓(𝑥).

Un des cas possibles est lorsque la courbe a une asymptote horizontale; la courbe a une équation horizontale d’équation 𝑦=𝐿 lorsque lim𝑓(𝑥)=𝐿 ou lim𝑓(𝑥)=𝐿.

Un autre cas est celui où l’une (ou les deux) des limites est égale à plus ou moins l’infini. Bien sûr, ce ne sont pas les seuls comportements asymptotiques possibles de la courbe, mais en calculant ces limites, nous pouvons généralement en déduire le comportement asymptotique.

Nous n’aurons pas nécessairement besoin d’étudier tous les points de cette liste pour chaque fonction que nous devrons tracer; il suffit en général de seulement vérifier les propriétés qui seront utile pour tracer la courbe.

Dans nos deux premiers exemples, allons voir comment utiliser cette feuille de route pour tracer des graphiques de fonctions polynomiales.

Exemple 1: Identification du graphique d’une fonction du troisième degré

Déterminez, à l’aide des fonctions dérivées, laquelle des courbes ci-dessous est la courbe représentative de la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥+6𝑥9𝑥+1.

Réponse

Ici, on nous demande d’identifier la courbe représentative de 𝑓(𝑥)=𝑥+6𝑥9𝑥+1 à l’aide de ses dérivées. Commençons d’abord par déterminer tout ce que nous pouvons sur la courbe sans avoir recours aux dérivées.

Premièrement, tous les polynômes sont définis pour tout 𝑥 réel, de sorte que l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥) est l’ensemble des nombres 𝑥 réels. La fonction 𝑓 considérée étant polynomiale, on peut se donner une idée de quelle est son image en étudiant le terme de plus haut degré. Ici, la courbe est une cubique de coefficient de plus haut degré négatif. En particulier, comme ce polynôme a un degré impair, son image est égale à l’ensemble des nombres réels.

Deuxièmement, nous pouvons trouver la coordonnée en 𝑦 de l’intersection de la courbe avec l’axe des ordonnées en évaluant la fonction en 𝑥=0, 𝑓(0)=0+6(0)9(0)+1=1.

Donc, la courbe coupe l’axe des 𝑦 en un point d’ordonnée l.

On pourrait essayer de calculer les 𝑥 où la courbe intersecte l’axe des abscisses en résolvant 𝑓(𝑥)=0; cependant, nous ne pouvons pas trouver de racines par le calcul. On sait en outre que ce polynôme a au moins une racine puisque 𝑓 a pour image l’ensemble des nombres réels. Si nous devions tracer nous-mêmes cette courbe, nous pourrions utiliser notre calculatrice pour déterminer la valeur exacte des racines. Cependant, puisque nous devons seulement identifier la courbe parmi plusieurs options, cela ne sera pas nécessaire.

Par la suite, nous allons déduire à partir des dérivées plus d’informations sur la courbe.

On peut trouver les coordonnées des extrema locaux pour nous donner une meilleure idée de la forme de la courbe. Pour ce faire, nous voulons résoudre 𝑓(𝑥)=0: 𝑓(𝑥)=3𝑥+12𝑥93𝑥+12𝑥9=03(𝑥3)(𝑥1)=0.

Ainsi, d’après cette équation, on a deux points critiques; un au point 𝑥=1 et l’autre au point 𝑥=3. Puisque la fonction est polynomiale, sa dérivée est définie sur tous les nombres réels, et donc ces deux points sont les seuls points critiques.

Nous pouvons vérifier si ce sont des extrema locaux en évaluant la pente de la courbe autour de ces valeurs:

𝑥01234
𝑓(𝑥)90309

Puisque la pente change de signe en 𝑥=1 pour passer de négative à positive, ce point correspond à un minimum local. De la même façon, la pente change de signe autour de 𝑥=3 et passe de positive à négative, ce point correspond donc à un maximum local. En évaluant la fonction étudiée en ces deux valeurs, on obtient les coordonnées de ces deux points: 𝑓(1)=3;𝑓(3)=1.

Jusqu’à présent, nous avons trouvé tous les extrema locaux et le point d’intersection avec l’axe des 𝑦 de la courbe, et nous avons également montré qu’elle a la forme d’un polynôme cubique avec un coefficient de plus haut degré négatif.

Cela suffit pour tracer cette courbe.

On peut constater que la courbe est celle donnée par l’option D.

Voyons comment nous pouvons appliquer cette méthode pour tracer des courbes représentatives de fonctions polynomiales avec plus de précision.

Exemple 2: Traçage du graphique d’une fonction polynomiale en utilisant ses dérivées

On considère la fonction 𝑓(𝑥)=(𝑥1)(𝑥+2).

  1. Calculez 𝑓(𝑥).
  2. Déterminez et classifiez les points critiques de 𝑓.
  3. Déterminez les intervalles de monotonie de 𝑓.
  4. Calculez lim𝑓(𝑥).
  5. Laquelle des courbes suivantes est la courbe représentative de 𝑓?

Réponse

Ce problème nous guide pas à pas pour pouvoir tracer complètement le graphique d’une fonction polynomiale 𝑓(𝑥)=(𝑥1)(𝑥+2).

Partie 1

Nous voulons tout d’abord calculer la dérivée de cette fonction et il y a plusieurs façons de procéder. Nous utiliserons les formules des dérivées d’un produit de fonction et d’une puissance de fonction: 𝑓(𝑥)=[2(𝑥1)](𝑥+2)+(𝑥1)[1]=2(𝑥1)(𝑥+2)+(𝑥1)=(𝑥1)(2𝑥+4+𝑥1)=(𝑥1)(3𝑥+3)=3(𝑥1)(𝑥+1).

En développant cette expression, on obtient 𝑓(𝑥)=3𝑥3.

On rappelle que, puisque 𝑓(𝑥) est une fonction polynomiale, toutes les dérivées de 𝑓(𝑥) sont des fonctions polynomiales.

Partie 2

Ensuite, l’énoncé nous incite à déterminer et classifier les points critiques de la fonction 𝑓.

On rappelle qu’un point est critique s’il annule la dérivée ou si celle-ci n’est pas définie en ce point; ici, puisque 𝑓 est une fonction polynomiale, sa dérivée est définie partout. Ainsi, les points critiques sont exactement les points d’annulation de la dérivée.

Nous allons utiliser la forme factorisée de 𝑓(𝑥) pour trouver les points d’annulation en résolvant: 3(𝑥1)(𝑥+1)=0.

Cette fonction a donc deux points critiques: 𝑥=1 et 𝑥=1.

Nous pouvons classifier ces points en étudiant la dérivée première. Nous évaluons la pente de la fonction de chaque côté du point critique pour déterminer sa nature.

𝑥21012
𝑓(𝑥)90309

Le changement de signe de la pente autour de 𝑥=1, de positif à négatif, implique que ce point est un maximum local, et le changement de signe de la pente autour de 𝑥=1, de négatif à positif, implique que ce point est un minimum local.

On peut alors évaluer la fonction en ces points pour déterminer les coordonnées de ses extrema locaux: 𝑓(1)=0;𝑓(1)=4.

Ainsi, la courbe de 𝑓 a un minimum local en (1;0) et un maximum local en (1;4).

Partie 3

Ensuite, on doit déterminer les intervalles de monotonie de la fonction. Pour ce faire, on rappelle que, dans le cas d’une fonction dérivable, si 𝑓(𝑥)>0 sur un intervalle, alors cette fonction est strictement croissante sur cet intervalle. De même, si 𝑓(𝑥)<0 sur un intervalle, alors 𝑓 est strictement décroissante sur cet intervalle. Puisque 𝑓 est une fonction polynomiale, elle est dérivable sur l’ensemble des nombres réels, et il suffit donc de déterminer les intervalles sur lesquels 𝑓(𝑥) est strictement positive ou strictement négative.

Il y a plusieurs façons de procéder. Ici, 𝑓(𝑥)=3(𝑥1)(𝑥+1) est une fonction du second degré de coefficient de plus haut degré strictement positifs et dont la courbe intersecte l’axe des 𝑥 aux points 1 et 1; on peut donc tracer le graphique de cette fonction.

On voit que 𝑓(𝑥) est strictement positive pour 𝑥];1[ et 𝑥]1;+[. On peut aussi voir que 𝑓(𝑥) est strictement négatif pour 𝑥]1;1[. Ceci nous donne le signe de la pente de 𝑓 sur ces intervalles et, donc, les intervalles sur lesquels 𝑓 est strictement croissante ou strictement décroissante.

Donc, 𝑓 est strictement croissante sur ];1[ et ]1;+[, et est strictement décroissante sur ]1;1[.

Partie 4

Dans cette partie du problème, on doit évaluer lim𝑓(𝑥); pour ce faire, nous devons évaluer les limites de la fonction quand 𝑥+ et quand 𝑥; nous commencerons par ce premier cas: limlimlim𝑓(𝑥)=(𝑥1)(𝑥+2)=𝑥3𝑥+2.

Puisque 𝑓 est une fonction polynomiale, son comportement asymptotique est déterminé par son terme de plus haut degré: limlim𝑥3𝑥+2=𝑥.

On peut alors évaluer cette limite directement. Lorsque 𝑥 tend vers l’infini, 𝑥 croît au-delà de toute borne, ainsi on a lim𝑓(𝑥)=+.

Il convient également de noter que nous pouvons faire la même chose lorsque 𝑥 tend vers : limlimlimlim𝑓(𝑥)=(𝑥1)(𝑥+2)=𝑥3𝑥+2=𝑥=.

Partie 5

La dernière partie de cette question nous demande d’identifier la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥). Nous pourrions procéder par élimination; cependant, nous disposons presque de suffisamment d’informations pour tracer complètement cette courbe.

On peut trouver les points d’intersection avec l’axe des 𝑥 en résolvant l’équation 𝑓(𝑥)=0. Nous savons que 𝑓(𝑥)=(𝑥1)(𝑥+2); de sorte que nous devons résoudre en 𝑥 l’équation (𝑥1)(𝑥+2)=0.

Les solutions sont 𝑥=1 et 𝑥=2. On peut aussi trouver l’ordonnée à l’origine (intersection avec l’axe des 𝑦) en évaluant 𝑓(0)=2.

Nous savons également que la courbe a un minimum local en (1;0) et un maximum local en (1;4). Enfin, on sait que lim𝑓(𝑥)=+ et que lim𝑓(𝑥)=.

Cela nous donne le graphique suivant.

La courbe recherchée est donc celle donnée par l’option D.

Jusqu’à présent, nous n’avons vu que des exemples impliquant des fonctions polynomiales. Cependant, nous pouvons appliquer ces méthodes sur d’autres types de fonctions. Voyons quelques exemples portant sur des fonctions rationnelles.

Exemple 3: Traçage du graphique d’une fonction rationnelle

Considérons la fonction définie par 𝑓(𝑥)=4𝑥𝑥+3.

  1. Déterminez toutes les asymptotes de 𝑓.
  2. Calculez 𝑓(𝑥).
  3. Trouvez et classifiez tous les points critiques de la fonction 𝑓.
  4. Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 est monotone.
  5. Laquelle des courbes suivantes pourrait être la courbe représentative de 𝑓?

Réponse

Partie 1

Les différentes parties de cette question nous donnent les outils nécessaires pour tracer le graphique de 𝑦=𝑓(𝑥).

Dans la première partie, on doit trouver toutes les asymptotes de la fonction rationnelle 𝑓. Il y a plusieurs façons de procéder; on pourrait directement utiliser la définition d’une asymptote; cependant, puisque 𝑓 est une fonction rationnelle, il existe certaines méthodes permettant de trouver ses asymptotes.

Soit 𝑓(𝑥)=𝑃(𝑥)𝑄(𝑥) une fonction rationnelle donnée par le rapport des polynômes 𝑃 et 𝑄. Pour déterminer les asymptotes verticales de 𝑓, il faut trouver les valeurs de 𝑥 qui annulent le dénominateur 𝑄(𝑥).

Dans le cas de la fonction étudiée, on a 𝑃(𝑥)=4𝑥 et 𝑄(𝑥)=𝑥+3. Commençons par résoudre l’équation 𝑄(𝑥)=0.

Le discriminant de ce polynôme est égal à 04(1)(3)=12; ce dernier étant strictement négatif, ce polynôme du second degré n’a pas de racines réelles. Donc, 𝑓(𝑥) n’a pas d’asymptote verticale.

Il est bon de noter que puisque le dénominateur de 𝑓(𝑥) ne s’annule jamais, la fonction 𝑓 est bien définie pour tout 𝑥 réel. En d’autres termes, la fonction a pour ensemble de définition.

Pour déterminer les asymptotes horizontales d’une fonction rationnelle, nous devons comparer les degrés de 𝑃 et de 𝑄. Les polynômes 𝑃 et 𝑄 sont tous les deux des polynômes de degré 2. Ainsi, le numérateur et le dénominateur ont le même degré; dans ce cas, la fonction a une asymptote horizontale. Nous pouvons la déterminer en calculant la limite suivante: limlim𝑓(𝑥)=4𝑥𝑥+3.

Nous évaluons cela en réécrivant 𝑓(𝑥) en simplifiant par le terme de plus haut degré ou par inspection: limlimlimlim4𝑥𝑥+3=4𝑥+1212𝑥+3=4𝑥+12𝑥+312𝑥+3=412𝑥+3=4.

On peut traiter le cas 𝑥 de la même façon; nous obtiendrions alors le même résultat: limlim𝑓(𝑥)=412𝑥+3=4.

Ainsi, la seule asymptote de 𝑦=𝑓(𝑥) est la droite 𝑦=4, qui est une asymptote horizontale en plus et moins l’infini.

Partie 2

Ensuite, nous devons calculer une expression de 𝑓(𝑥). Nous avons le choix entre différents méthodes; ici, nous utiliserons la formule de dérivation d’un quotient: 𝑓(𝑥)=𝑥+3(8𝑥)4𝑥(2𝑥)(𝑥+3)=8𝑥+24𝑥8𝑥(𝑥+3)=24𝑥(𝑥+3).

Ainsi, 𝑓(𝑥)=24𝑥(𝑥+3).

Partie 3

Dans cette troisième partie, nous devons déterminer et classifier les points critiques de 𝑓(𝑥).

Nous rappelons tout d’abord que les points critiques de 𝑓 sont les valeurs de 𝑥 de l’ensemble de définition de 𝑓 tels que 𝑓(𝑥)=0 ou pour lesquels la dérivée n’est pas définie.

Ainsi, pour trouver les points critiques de 𝑓, on peut commencer par résoudre l’équation 𝑓(𝑥)=0, c’est-à-dire en trouvant les points d’annulation du numérateur de 𝑓: 24𝑥=0;𝑥=0.cequinousdonne

Donc, 𝑓 a un point critique en 𝑥=0.

Ensuite, nous devons déterminer l’existence de point de non définition de la dérivée, ce qui ne peut arriver que si le dénominateur de 𝑓 s’annule. Ainsi, on veut résoudre 𝑥+3=0.

Nous avons toutefois déjà démontré que ce polynôme du second degré n’admettait pas de racine réelle, de sorte que la fonction a un seul point critique en 𝑥=0.

Nous pouvons déterminer la nature de ces points critiques en analysant le comportement de la dérivée première.

𝑥101
𝑓(𝑥)1,501,5

On remarque que la pente de 𝑓 change de signe autour du point 𝑥=0, et passe de négative à positive, ainsi 𝑓 a un minimum local en ce point.

Partie 4

Dans cette partie, on doit déterminer les intervalles sur lesquels la fonction étudiée est strictement croissante ou strictement décroissante. La fonction étudiée étant dérivable sur son ensemble de définition tout entier, nous pouvons analyser où la pente est strictement positive et où elle est strictement négative.

Pour ce faire, rappelons l’expression de 𝑓(𝑥): 𝑓(𝑥)=24𝑥(𝑥+3).

Le dénominateur étant élevé au carré, il est toujours de signe positif, de sorte que le signe de 𝑓 est entièrement donné par le signe du numérateur. Ainsi, on peut déterminer sur quels intervalles on a 𝑓(𝑥)<0 en résolvant l’inéquation 24𝑥<0𝑥<0.

De même, on peut trouver sur quels intervalles on a 𝑓(𝑥)>0 en résolvant l’inéquation 24𝑥>0𝑥>0.

Cela signifie que 𝑓 est strictement croissante sur (0;+) et est strictement décroissante sur (;0).

Partie 5

Dans cette dernière partie, on doit déterminer laquelle des courbes est le graphique de 𝑓(𝑥); toutefois, il nous est possible d’essayer de tracer cette courbe nous-même.

Premièrement, nous pouvons ajouter l’asymptote de notre graphique.

Ensuite, nous pouvons trouver le point d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑦: 𝑓(0)=0; de sorte que la courbe a son ordonnée à l’origine au point 𝑦 = 0.

On peut trouver les points d’interceptions avec l’axe des 𝑥: 𝑓(𝑥)=04𝑥𝑥+3=04𝑥=0𝑥=0.

Ainsi, le seul point d’intersection avec l’axe des 𝑥 et à l’origine.

On peut aussi trouver les coordonnées des minima locaux en évaluant la fonction aux points 𝑥 critiques: 𝑓(0)=0.

Ainsi, le point (0;0) est un minimum local et est le seul point stationnaire de la courbe.

Cela nous donne la figure suivante.

La courbe recherchée est donc celle donnée par l’option D.

Exemple 4: Identification du graphique d’une fonction rationnelle

Déterminez à l’aide de ses dérivées laquelle des figures ci-dessous représente le graphique de la fonction 𝑓(𝑥)=110𝑥+10𝑥.

Réponse

Puisque nous devons, dans cette question, reconnaitre le graphique de la fonction à l’aide de ses dérivées, commençons par collecter autant d’informations que nécessaire pour tracer cette courbe.

Premièrement, la fonction étudiée étant rationnelle, elle est bien définie pour tout 𝑥 réel à l’exception des points d’annulation du dénominateur. Ainsi, nous pouvons trouver les valeurs des 𝑥 qui ne sont pas dans l’ensemble de définition de la fonction en trouvant les points d’annulation du dénominateur en résolvant l’équation: 10𝑥+10𝑥=010𝑥(𝑥+1)=0.

Ainsi, la fonction 𝑓 est définie sur l’ensemble des nombres réels privé de 0 et de 1.

Ensuite, nous pouvons trouver les points d’intersections avec les axes. Pour trouver le point d’intersection avec l’axe de 𝑦, on poserait 𝑥=0 dans l’expression de 𝑓𝑓(0)=110(0)+10(0)=10.

Mais ici, 𝑓 n’est pas définie en 0 et, donc, le graphique de 𝑓 n’intersecte pas l’axe des 𝑦. En fait, cela montre que 𝑓 a une asymptote verticale en 0.

Pour trouver les points d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥, nous devons trouver les solutions en 𝑥 de l’équation 𝑓(𝑥)=0.

Pour que cette fonction s’annule, il faudrait que son numérateur puisse s’annuler, mais cela ne se peut, puisque le numérateur est une constante égale à 1. Donc, le graphique de 𝑓 n’intersecte pas non plus l’axe des 𝑥.

Cherchons alors les extrema locaux. Nous allons procéder en calculant les points critiques. D’abord, donnons une expression de 𝑓(𝑥) en utilisant la formule de dérivation d’un quotient: 𝑓(𝑥)=20𝑥10(10𝑥+10𝑥).

Les points critiques sont les points tels que 𝑓(𝑥)=0 ou pour lesquels la dérivée n’est pas définie.

Ici, 𝑓(𝑥)=0 lorsque son numérateur est nul, ce qui se produit au point 𝑥=12. Le seul point où la fonction 𝑓(𝑥) n’est pas définie est le point 0; cependant, la fonction 𝑓(𝑥) n’est pas non plus définie en ce point donc cette valeur de 𝑥 n’est de toutes façons pas dans l’ensemble de définition de 𝑓. Ainsi, la fonction étudiée a pour seul point critique 𝑥=12.

Nous pouvons déterminer de quel type de point critique il s’agit en étudiant le comportement de la dérivée première, c’est-à-dire en analysant le signe de la pente de la courbe de chaque côté du point critique.

Il est important de rappeler que les points 𝑥=1 et 𝑥=0 ne sont pas dans l’ensemble de définition de 𝑓, et donc que nous ne devrions pas choisir des points de test du signe au-delà de ces valeurs.

𝑥341214
𝑓(𝑥)Positive0Négative

On constate que le signe de la pente de 𝑓 change autour du point 𝑥=12 et passe de strictement positif à strictement négatif, ainsi 𝑓 a un maximum local en ce point.

On peut trouver les coordonnées de ce maximum local en évaluant la fonction étudiée en 𝑥=12; cela nous donne 𝑓12=25.

On peut aussi trouver les intervalles sur lesquels 𝑓 est croissante ou décroissante en vérifiant où 𝑓(𝑥) est positive et où elle est négative.

Pour ce faire, commençons par rappeler l’expression de 𝑓(𝑥): 𝑓(𝑥)=20𝑥10(10𝑥+10𝑥).

Le dénominateur de cette fonction étant élevé au carré, il n’est jamais négatif, et ce pour tout 𝑥 réel; donc, le signe de 𝑓(𝑥) est entièrement donné par le signe du numérateur.

On peut donc déterminer ces valeurs de 𝑥: 20𝑥10>020𝑥>10𝑥<12.

Ainsi, pour 𝑥 dans l’ensemble de définition de 𝑓, la dérivée 𝑓(𝑥) est strictement positive si 𝑥<12 et est strictement négative si 𝑥>12.

Donc, 𝑓 est strictement croissante pour 𝑥<12 et est strictement décroissante pour 𝑥>12 (et pour 𝑥 est dans l’ensemble de définition de 𝑓).

On peut aussi trouver les asymptotes de 𝑓(𝑥). On rappelle que les courbes de fonctions rationnelles ont des asymptotes verticales aux points d’annulation du dénominateur, à condition de vérifier que le numérateur est bien non nul en ces points. Nous avons déjà trouvé ces valeurs lorsque l’on a déterminé l’ensemble de définition de la fonction. Il y a deux asymptotes verticales, les droites d’équations 𝑥=0 et 𝑥=1.

Le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, de sorte que lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini, 𝑓(𝑥) tend vers 0, est donc la droite d’équation 𝑦=0 une asymptote verticale du graphique de 𝑓(𝑥) des deux côtés.

Nous connaissons assez de propriétés de la courbe la tracer.

On rappelle que la courbe n’intersecte pas les axes, que son seul point critique est un maximum local, et que la courbe est strictement croissante pour 𝑥<12 et est strictement décroissante pour 𝑥>12.

Ainsi, la courbe recherchée est celle donnée par l’option A.

Concluons en récapitulant quelques points clés.

Points clés

  • Nous pouvons étudier beaucoup de propriétés qui nous sont utiles pour tracer les courbes représentatives de diverses fonctions.
  • Il n’est pas nécessaire d’étudier toutes les propriétés à chaque fois, seulement celles qui sont utiles pour tracer le graphique d’une fonction donnée.
  • Il est presque toujours bénéfique de déterminer l’ensemble de définition de la fonction, les points d’intersections avec les axes, les points critiques, les extrema locaux, les asymptotes ainsi que le comportement asymptotique.

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