Transcription de la vidéo
Trouvez d𝑦 par d𝑥, étant donné que 𝑦 est égal au logarithme naturel de moins huit 𝑥 au carré divisé par sept 𝑥 moins trois.
La question nous demande de trouver d𝑦 par d𝑥. C’est la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥. Et nous pouvons voir que 𝑦 est le logarithme naturel d’une fonction rationnelle. Ainsi, une façon de trouver d𝑦 par d𝑥 serait d’utiliser la règle du quotient pour dériver notre fonction rationnelle. Nous pourrions alors utiliser la règle de dérivation en chaîne pour trouver d𝑦 par d𝑥. Et cela fonctionnerait. Cependant, il existe une méthode plus simple dans ce cas.
Nous allons utiliser nos lois de logarithmes pour simplifier notre expression. La première chose que nous ferons est d’amener notre multiplication par moins un dans notre dénominateur. Cela nous donne le logarithme naturel de huit 𝑥 au carré divisé par trois moins sept 𝑥. Ensuite, nous voulons utiliser le fait que le ln de 𝑎 moins le ln de 𝑏 est égal au ln de 𝑎 divisé par 𝑏. Nous allons utiliser cela pour écrire notre logarithme d’un quotient comme la différence entre deux logarithmes.
Ce faisant, nous obtenons le logarithme naturel de huit 𝑥 au carré moins le logarithme naturel de trois moins sept 𝑥. Et nous pouvons maintenant voir les deux termes dans cette expression car 𝑦 est une composition de deux fonctions. Nous allons donc dériver cela en utilisant la règle de dérivation en chaîne. Et nous rappelons que la règle de dérivation en chaîne nous dit que, pour les fonctions 𝑓 et 𝑔, la dérivée de la fonction composée 𝑓 de 𝑔 est égale à 𝑔 prime de 𝑥 fois 𝑓 prime appliquée à 𝑔 de 𝑥.
Commençons donc par dériver notre première fonction. Nous allons définir 𝑓 la fonction logarithme naturel et 𝑔 huit 𝑥 au carré. Donc, nous avons maintenant 𝑓 de 𝑔 est égal au logarithme naturel de 𝑔. Nous devons trouver une expression pour 𝑓 prime de 𝑔. Et nous pouvons dériver cela car nous savons que la dérivée du logarithme naturel de 𝑥 est égale à un divisé par 𝑥. Cela nous donne 𝑓 prime de 𝑔 est égal à un sur 𝑔.
Ensuite, nous devons trouver une expression pour 𝑔 prime de 𝑥. Nous savons que 𝑔 de 𝑥 est huit 𝑥 au carré. Donc, nous pouvons dériver cela en utilisant la règle de la puissance pour la dérivation. Nous multiplions par l’exposant de 𝑥, qui est deux, et soustrayons un de cet exposant. Donc, nous obtenons 𝑔 prime de 𝑥 est égal à 16𝑥. Donc, maintenant, nous sommes prêts à évaluer la dérivée de notre premier terme. Selon la règle de dérivation en chaîne, cela est égal à 𝑔 prime de 𝑥 fois 𝑓 prime de 𝑔. Nous avons montré que 𝑔 prime de 𝑥 est 16𝑥 et 𝑓 prime de 𝑔 est un sur 𝑔.
Et rappelez-vous, 𝑔 de 𝑥 est égal à huit 𝑥 au carré. Nous allons donc substituer cela dans notre expression à notre dérivée. Et cela équivaut à 16𝑥 divisé par huit 𝑥 au carré. Et nous pouvons simplifier cela. Nous allons simplifier le facteur partagé de 𝑥 au numérateur et au dénominateur. Et nous allons diviser notre numérateur et notre dénominateur par huit. Cela nous donne deux divisé par 𝑥. Nous avons donc trouvé la dérivée de notre premier terme. C’est égal à deux sur 𝑥. Maintenant, libérons un peu d’espace et trouvons la dérivée de notre deuxième terme.
Nous allons utiliser même ici la règle de dérivation en chaîne. Donc, nous allons définir 𝑓 comme la fonction logarithme naturel. Et nous allons définir 𝑔 notre fonction interne trois moins sept 𝑥. Encore une fois, nous obtenons que 𝑓 appliquée à 𝑔 est le logarithme naturel de 𝑔. Et encore une fois, nous savons que la dérivée du logarithme naturel de 𝑥 est un sur 𝑥. Donc, 𝑓 prime de 𝑔 est un sur 𝑔. Ensuite, 𝑔 de 𝑥 est notre fonction interne trois moins sept 𝑥. Et comme il s’agit d’une fonction linéaire, sa dérivée n’est que le coefficient de 𝑥, qui dans ce cas est moins sept.
Nous sommes maintenant prêts à calculer la dérivée de notre deuxième terme en utilisant la règle de dérivation en chaîne. Il est égal à 𝑔 prime de 𝑥 fois 𝑓 prime appliquée en 𝑔. Et nous avons montré que 𝑔 prime de 𝑥 est moins sept et 𝑓 prime de 𝑔 est un sur 𝑔. Et encore une fois, nous savons que 𝑔 de 𝑥 est égal à trois moins sept 𝑥. Donc, nous allons remplacer cela dans notre dérivée. Et cela nous donne moins sept divisé par trois moins sept 𝑥. Nous allons en fait multiplier notre numérateur et notre dénominateur par moins un. Et cela nous donne sept divisé par sept 𝑥 moins trois.
Donc, nous avons maintenant dérivé les deux termes dans notre expression pour 𝑦. Cela signifie que nous pouvons trouver d𝑦 par d𝑥. Donc, d𝑦 par d𝑥 sera la différence entre nos dérivées. C’est deux sur 𝑥 moins sept divisé par sept 𝑥 moins trois. Et nous pourrions laisser notre réponse comme ceci. Cependant, nous allons combiner cela en une seule fonction rationnelle. En réduisant au même dénominateur et en combinant nos fractions, on obtient deux fois sept 𝑥 moins trois moins sept 𝑥 le tout divisé par 𝑥 fois sept 𝑥 moins trois.
En développant les parenthèses dans notre numérateur, nous obtenons 14𝑥 moins six moins sept 𝑥. Et 14𝑥 moins sept 𝑥 est égal à sept 𝑥. Ainsi, notre numérateur se simplifie pour nous donner sept 𝑥 moins six. La dernière chose que nous ferons est de répartir le 𝑥 dans notre dénominateur sur nos parenthèses. Cela nous donne sept 𝑥 au carré moins trois 𝑥. Et voici notre réponse finale. Par conséquent, nous avons montré que si 𝑦 est égal au logarithme naturel de moins huit 𝑥 au carré divisé par sept 𝑥 moins trois, alors d𝑦 par d𝑥 est égal à sept 𝑥 moins six le tout divisé par sept 𝑥 au carré moins trois 𝑥.
