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Laquelle des représentations graphiques suivantes correspond à𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 multiplié par la valeur absolue de 𝑥 plus un ? Option (A), (B), (C), (D) ou (E).
Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥, qui fait intervenir une valeur absolue. Nous devons déterminer laquelle des cinq courbes données est la courbe de 𝑓 de 𝑥. Et il y a plusieurs façons de le faire. Le moyen le plus simple est par élimination des options. Et une autre façon de le faire est de trouver les coordonnées de certains points qui se trouvent sur la courbe de 𝑦 est égal 𝑓 de 𝑥. Déterminons la valeur de 𝑓 lorsque 𝑥 est égal à moins deux.
Nous remplaçons 𝑥 par moins deux dans la fonction 𝑓 de 𝑥 pour obtenir moins deux multiplié par la valeur absolue de moins deux plus un. Et nous pouvons alors simplifier cela. Moins deux plus un est égal à moins un. Donc, nous obtenons moins deux multipliés par la valeur absolue de moins un. Et maintenant, nous rappelons que prendre la valeur absolue d’un nombre supprime son signe. Ainsi, la valeur absolue de moins un sera égale à un. Nous obtenons donc que 𝑓 en moins deux est égale à moins deux. Ainsi, lorsque 𝑥 est égal à moins deux, la valeur de notre fonction devrait être négative. La courbe devrait se trouver sous l’axe des 𝑥 lorsque 𝑥 vaut moins deux.
Cependant, nous pouvons voir que dans les options (A), (B) et (D), lorsque 𝑥 est égal à moins deux, la courbe se situe au-dessus de l’axe des 𝑥. Ces courbes disent donc que les sorties de ces fonctions sont positives. Cela ne correspond pas à l’évaluation de 𝑓 en moins deux. Ce ne sont donc pas les bonnes options. Libérons maintenant un peu d’espace et examinons les deux autres options de plus près.
Maintenant que nous avons plus d’espace pour examiner ces deux options, nous pouvons remarquer que 𝑓 évaluée en moins deux dans ces deux courbes est différente. Dans l’option (C), si nous regardons le point sur la courbe avec l’abscisse 𝑥 égale moins deux, nous pouvons voir que la valeur de la fonction, l’ordonnée 𝑦 du point sur cette courbe, est également moins deux. Cependant, cela n’est pas vrai dans l’option (E). Si nous regardons le point sur la courbe avec l’abscisse 𝑥 égale moins deux, nous pouvons voir que la valeur de cette fonction, l’ordonnée 𝑦 de ce point, est moins cinq. Par conséquent, la valeur de la fonction représentée dans l’option (E) est moins cinq lorsque 𝑥 vaut moins deux. Elle ne peut pas être la courbe de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 fois la valeur absolue de 𝑥 plus un. Et cela suffit pour conclure que la réponse doit être l’option (C), puisque tous les autres graphes ne passent pas par le point de coordonnées moins deux, moins deux.
Et bien que ce soit une méthode parfaitement valable pour répondre à cette question, il y a quelques problèmes avec cette méthode, le principal étant que nous devons avoir les cinq options données pour répondre à la question. Et il vous sera toujours plus utile de savoir comment dessiner une fonction à partir de son expression. Répondons alors également à cette question en dessinant la courbe de 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥. Il y a plusieurs façons de le faire. Cependant, commençons par faire de la place.
Nous pouvons alors rappeler que nous pouvons représenter la fonction valeur absolue en utilisant la notation par morceaux. La valeur absolue de 𝑥 est égale à 𝑥 lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. Et la valeur absolue de 𝑥 est égale à moins 𝑥 lorsque les valeurs d’entrée de 𝑥 sont inférieures à zéro. Cela nous indique simplement que nous obtenons 𝑥 lorsque que 𝑥 est positif. Et si la valeur de 𝑥 est négative, alors nous changeons le signe de 𝑥. Et nous pouvons utiliser ceci pour trouver une définition par morceaux de la fonction 𝑓 de 𝑥. Commençons par trouver une définition par morceaux de la valeur absolue de 𝑥 plus un.
Pour ce faire, considérons la définition par morceaux de la valeur absolue de 𝑥. Nous voulons exprimer la valeur absolue de 𝑥 plus un. Et il y a deux façons de le faire. Nous pouvons le faire en utilisant la définition de la fonction valeur absolue. Et nous le ferions en notant que lorsque nous entrons une valeur positive, nous voulons obtenir la même valeur en sortie. Cependant, lorsque nous entrons une valeur négative, nous voulons changer son signe. Cependant, ce n’est pas le seul moyen. Nous pourrions également remplacer 𝑥 plus un dans cette définition. Cela nous donnerait que la valeur absolue de 𝑥 plus un est égale à 𝑥 plus un lorsque 𝑥 plus un est supérieur ou égal à zéro. Et la valeur absolue de 𝑥 plus un est égale à moins un fois 𝑥 plus un lorsque 𝑥 plus un est inférieur à zéro.
Nous pouvons simplifier légèrement cette définition en réorganisant les sous-domaines des sous-fonctions. Nous pouvons simplement soustraire un des deux côtés des deux inégalités. Cela nous donne un premier sous-domaine où 𝑥 est supérieur ou égal à moins un et un deuxième sous-domaine est 𝑥 est inférieur à moins un. Nous pouvons maintenant utiliser ceci pour trouver une définition par morceaux de 𝑓 de 𝑥, puisque 𝑓 de 𝑥 est juste égale à 𝑥 multiplié par cette fonction par morceaux. Et pour multiplier la fonction par morceaux par 𝑥, il suffit de multiplier toutes ses sous-fonctions par 𝑥. Et en faisant cela nous obtenons que 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 fois 𝑥 plus un lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à moins un et 𝑓 de 𝑥 est égale à moins 𝑥 multiplié par 𝑥 plus un lorsque 𝑥 est inférieur à moins un.
Et maintenant c’est une forme beaucoup plus facile à dessiner, puisque les deux sous-fonctions sont des polynômes du second degré factorisés. Maintenant, tout ce qui reste à faire est de dessiner chacune des sous-fonctions séparément sur leurs sous-domaines respectifs. Et commençons par la première sous-fonction 𝑥 multipliée par 𝑥 plus un pour les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à moins un. Nous savons que la courbe de 𝑦 est égale à 𝑥 fois 𝑥 plus un admet deux racines : une lorsque 𝑥 vaut zéro et une lorsque 𝑥 vaut moins un. Et puisque ces deux valeurs de 𝑥 sont incluses dans le sous-domaine de cette sous-fonction, nous pouvons noter ces deux racines sur le graphe.
Le graphe aura donc deux racines en moins un et en zéro. En fait, nous pouvons maintenant esquisser cette partie du graphe, car il s’agit d’un polynôme du second degré de coefficient dominant positif et qui a des racines en moins un et zéro. Rappelez-vous cependant que nous ne dessinerons aucun point d’abscisse 𝑥 inférieur à moins un car ce sont les valeurs de notre premier sous-domaine. Cela nous donne un croquis qui ressemble à ce qui suit.
Nous pouvons maintenant faire exactement la même chose pour esquisser la deuxième sous-fonction. Cette fois, nous avons un coefficient directeur négatif pour le polynôme et des racines en zéro et moins un. Cette fois, ni zéro ni moins un ne font partie du sous-domaine, car ces valeurs ne sont pas inférieures à moins un. Cependant, il convient de noter que puisque moins un est une racine, nous savons que cette deuxième sous-fonction passera par le point de coordonnées moins un, zéro. Nous devons donc dessiner une parabole avec un coefficient dominant négatif. Donc, nous savons qu’elle s’ouvrira vers le bas, en commençant par le point de coordonnées moins un, zéro, et qu’elle ne passe pas par l’axe des 𝑥. Nous obtenons un croquis qui ressemble un peu à ce qui suit. Et maintenant, nous pouvons voir que cela correspond exactement à l’option (C).
Par conséquent, nous avons pu montrer que parmi les cinq options données, l’option (C) représente la courbe de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 multipliée par la valeur absolue de 𝑥 plus un.
