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Sachant que l’ensemble de définition de 𝑛 de 𝑥 égale 𝑏 sur 𝑥 plus six sur 𝑥 plus 𝑎, est l’ensemble des nombres réels privé de l’ensemble contenant les valeurs moins quatre et zéro et que 𝑛 de moins un égale deux, déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏.
Nous avons une fonction rationnelle 𝑛 de 𝑥, qui est la somme de deux fractions rationnelles : 𝑏 sur 𝑥 et six sur 𝑥 plus 𝑎. Les valeurs de 𝑎 et 𝑏 sont actuellement inconnues. Et nous devons les déterminer en utilisant les autres informations données dans la question.
Voyons d’abord comment utiliser les informations sur l’ensemble de définition de cette fonction qui est l’ensemble des nombres réels moins les valeurs moins quatre et zéro. En général, l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction elle-même est bien définie. Nous pouvons le considérer comme l’ensemble des valeurs d’entrée ou l’ensemble des valeurs sur lesquelles la fonction agit.
Maintenant, la fonction 𝑛 de 𝑥 est une fonction rationnelle. La seule fois où nous serons préoccupés par le fait que 𝑛 de 𝑥 soit indéfinie serait si nous essayions de diviser par zéro, ce qui se produirait si l’un des dénominateurs était eux-mêmes égaux à zéro. On peut donc dire que la fonction est indéfinie si 𝑥 est égal à zéro ou si 𝑥 plus 𝑎 est égal à zéro. Nous pouvons voir que la valeur 𝑥 égale zéro est exclue de l’ensemble de définition de la fonction. Cela est donc cohérent avec la première équation.
L’autre valeur, qui a été exclue de l’ensemble de définition, est moins quatre. Cela doit donc être la solution de notre deuxième équation. Substituer 𝑥 égale moins quatre dans la deuxième équation donne l’équation moins quatre plus 𝑎 égale zéro. Et en ajoutant quatre de chaque côté, nous constatons que 𝑎 est égal à quatre. On voit alors que la fonction 𝑛 de 𝑥 est en fait égale à 𝑏 sur 𝑥 plus six sur 𝑥 plus quatre. Et nous pouvons voir pourquoi les valeurs zéro et moins quatre sont exclues de l’ensemble de définition de cette fonction.
Nous avons donc trouvé la valeur de 𝑎, et maintenant nous allons voir comment trouver la valeur de 𝑏. Pour ce faire, nous utiliserons l’autre information qui nous a été donnée. Que 𝑛 de moins un est égal à deux. Cela signifie que lorsque nous évaluons la fonction en moins un, donc lorsque nous substituons 𝑥 égale moins un, la valeur que nous obtenons est deux. La substitution de 𝑥 égale moins un donne 𝑛 de moins un égale 𝑏 sur moins un plus six sur moins un plus quatre. Et nous savons que cela équivaut à deux.
Nous pouvons simplifier cette équation. On a alors 𝑏 sur moins un est égal à moins 𝑏. Et dans le dénominateur de la deuxième fraction, moins un plus quatre donne trois. Nous avons donc moins 𝑏 plus six sur trois est égal à deux. Six sur trois est bien sûr égal à deux. L’équation est donc devenue moins 𝑏 plus deux égale deux. Nous pouvons alors soustraire deux de chaque côté de l’équation, donnant moins 𝑏 égale zéro. Et si nous multiplions les deux côtés de l’équation par moins un, ou simplement en utilisant un peu de logique, nous constatons que 𝑏 est égal à zéro.
Et nous avons donc trouvé les valeurs de 𝑎 et 𝑏. On obtient 𝑎 égale quatre et 𝑏 égale zéro.
