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Vidéo de la leçon : Addition et soustraction des expressions rationnelles plus complexes Mathématiques

Comprendre l’addition et la soustraction des expressions rationnelles avec des fonctions polynomiales jusqu’à l’ordre de 3 aux numérateurs et/ou dénominateurs.

16:41

Transcription de vidéo

Nous avons fait une introduction à l’addition et la soustraction des expressions rationnelles dans une vidéo précédente. Mais dans celle-ci, nous allons examiner quelques exemples un peu plus difficiles d’addition et de soustraction des expressions rationnelles, et apprendre quelques techniques à considérer pour simplifier les résultats.

Dans le premier ici, nous allons effectuer une soustraction, trois 𝑥 sur 𝑥 moins un moins 𝑥 sur 𝑥 plus trois.

Eh bien il n’y a pas de facteurs communs dans l’un de ces dénominateurs. Nous devons donc trouver des fractions équivalentes pour chacune d’elles, afin d’obtenir un dénominateur commun. Et pour ce faire, nous allons prendre ce premier dénominateur ici et nous allons multiplier le numérateur et le dénominateur de la seconde fraction par ce dénominateur. Et puis nous allons prendre le second dénominateur et faire de même pour la première fraction. Maintenant les deux dénominateurs sont 𝑥 plus trois fois 𝑥 moins un. Maintenant on sait que 𝑥 plus trois sur 𝑥 plus trois est égal à un. Nous avons donc pris cette première fraction et nous l’avons multipliée par un. Nous avons pris la seconde fraction et l’avons multipliée par 𝑥 moins un sur 𝑥 moins un, ce qui, bien sûr, est juste un. Et multiplier un nombre par un ne le change pas. Nous avons donc toujours la même question ici, mais nous l’avons maintenant dans un format où ces deux fractions ont un dénominateur commun.

Encore une fois, vous savez certainement que c’est une très bonne idée de mettre ces dénominateurs et tous ces petits termes entre parenthèses, quand ils doivent être ensemble. Et puis on combine les deux termes pour en faire un seul avec ce dénominateur commun. Donc on a trois 𝑥 fois 𝑥 plus trois comme premier terme, et 𝑥 fois 𝑥 moins un comme second terme. Et maintenant nous devons les multiplier. Donc trois 𝑥 fois 𝑥, et trois 𝑥 fois plus trois. Mais il s’agit de moins 𝑥 fois 𝑥, et moins 𝑥 fois moins un. Donc trois 𝑥 fois 𝑥 égale trois 𝑥 au carré, et trois 𝑥 fois plus trois égale plus neuf 𝑥. Moins 𝑥 fois 𝑥 égale moins 𝑥 au carré, et moins 𝑥 fois moins un est égal à plus 𝑥. Et maintenant nous devons simplifier ce numérateur. Donc on a trois 𝑥 au carré et on en soustrait 𝑥 au carré, ce qui nous donne deux 𝑥 au carré. Et puis on a neuf 𝑥 et on ajoute un autre 𝑥, ce qui nous donne plus dix 𝑥.

Eh bien maintenant nous pouvons factoriser le numérateur. Nous avons donc un facteur commun de deux dans chacun de ces coefficients, et nous avons également un facteur commun de 𝑥 que nous pouvons factoriser. Donc cela nous donne deux 𝑥 fois 𝑥 plus cinq le tout sur 𝑥 plus trois fois 𝑥 moins un. Maintenant avec un peu plus de chance, ce facteur, 𝑥 plus cinq, aurait été le même que l’une des parenthèses au dénominateur. Nous aurions pu éliminer un autre terme et nous simplifier la tâche. Mais ceci sera notre réponse, tel quelle. On ne peut pas simplifier plus que ça. Et voilà, deux 𝑥 fois 𝑥 plus cinq sur 𝑥 plus trois fois 𝑥 moins un.

Donc, pour résumer comment procéder, on cherche tout d’abord un dénominateur commun. Ensuite, on essaie de simplifier autant que possible et dès que possible. Mais essentiellement, on doit utiliser cette technique ici, pour essayer d’obtenir un dénominateur commun. Deuxièmement, on cherche à combiner tout cela en une seule expression rationnelle, ou une seule fraction. Et puis on essaie d’évaluer ce numérateur, peut-être de le factoriser, de le simplifier et de voir si, avec un peu de chance, on peut éliminer des termes dans notre réponse finale, pour simplifier autant que possible.

Bon alors.

Dans la question suivante, nous devons simplifier trois sur 𝑥 plus deux plus deux 𝑥 sur 𝑥 au carré moins quatre.

Maintenant avant de faire quoi que ce soit avec cela, examinons ce dénominateur ici, 𝑥 au carré moins quatre. Nous devons reconnaître qu’il s’agit de la différence de deux carrés. Nous pouvons donc factoriser cela et avoir 𝑥 moins deux fois 𝑥 plus deux. Écrivons donc notre question exprimée de cette façon, et voyons si cela nous donne des indices sur comment procéder. Donc quand nous faisons cela, nous pouvons voir que, regardez, le dénominateur ici est 𝑥 plus deux, mais ce dénominateur a également un facteur de 𝑥 plus deux. Donc si on veut un dénominateur commun, on peut simplement prendre cette partie ci, ce facteur, 𝑥 moins deux, et multiplier le numérateur et le dénominateur de cette première fraction pour obtenir une fraction équivalente avec le même dénominateur. Alors on sait que, 𝑥 moins deux sur 𝑥 moins deux est égal à un. Nous venons donc de multiplier cette première fraction par un. Donc nous n’avons pas changé sa taille, nous avons juste obtenu une fraction équivalente. Mais maintenant elles ont un dénominateur commun de 𝑥 moins deux fois 𝑥 plus deux. Alors combinons-les en une fraction.

Et le premier terme était trois fois 𝑥 moins deux. Je viens de les inverser pour l’écrire sous la forme trois fois 𝑥 moins deux. L’ordre dans lequel on les multiplie importe peu. Et puis on a deux 𝑥, qui est le second terme, dans le numérateur. Nous allons donc juste multiplier ce numérateur et voir si nous pouvons le simplifier. Et trois fois 𝑥 font trois 𝑥, et trois fois moins deux font moins six. On a donc trois 𝑥 moins six plus deux 𝑥 sur le numérateur, et on peut écrire trois 𝑥 plus deux 𝑥 est égal à cinq 𝑥. Et cela nous laisse avec cinq 𝑥 moins six sur 𝑥 moins deux 𝑥 plus deux. Lorsqu’on considère ce numérateur, il n’y a pas de facteurs communs. Nous ne pouvons pas le simplifier. On ne peut rien éliminer sur le numérateur et dénominateur. Donc en fait, cela sera notre réponse finale.

Alors l’exemple suivant que nous allons voir est de simplifier un sur 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 plus six plus un sur 𝑥 au carré plus sept 𝑥 plus douze. Maintenant, ce ne serait pas profitable de juste multiplier le numérateur et le dénominateur de la seconde fraction par ce dénominateur, car nous allons nous retrouver avec des expressions incroyablement compliquées à traiter. Mais nous pouvons, tout d’abord, factoriser ces deux dénominateurs puis déterminer s’ils ont une partie commune, et multiplier par cela. S’ils ont d’autres parties, alors on les multiplie par celles-ci. Alors factorisons d’abord ces deux dénominateurs.

Eh bien ils sont tous les deux du second degré, donc nous savons que nous allons avoir 𝑥 ici et 𝑥 ici parce qu’ils ont déjà un 𝑥 au carré et un 𝑥 au carré. Donc il y aura 𝑥 ici et 𝑥 ici. Et nous devons trouver des nombres dans le premier cas dont la somme est cinq et le produit est six. Donc on aura plus deux et plus trois. Et dans le second cas, on recherche des nombres dont la somme est sept et le produit est douze. Nous avons donc plus quatre et plus trois.

Maintenant avant de continuer, faisons une vérification rapide. 𝑥 fois 𝑥 égale 𝑥 au carré. 𝑥 fois trois égale trois 𝑥, deux fois 𝑥 égale deux 𝑥, et deux 𝑥 plus trois 𝑥 égale cinq 𝑥. Et deux fois trois est égal à six. Donc c’est bon. Et 𝑥 fois 𝑥 est égal à 𝑥 au carré. 𝑥 fois trois égale trois 𝑥, quatre fois 𝑥 égale quatre 𝑥, trois 𝑥 et quatre 𝑥 égale sept 𝑥. Et quatre fois trois font douze. Alors ça aussi est bon.

Ok. Donc ces deux dénominateurs ont comme facteur 𝑥 plus trois. Donc je vais devoir prendre ce facteur manquant et multiplier le numérateur et le dénominateur de la seconde fraction par cela. Et je vais devoir prendre ce facteur manquant et multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction par cela. Et lorsqu’on fait cela, on a un dénominateur commun avec trois parenthèses multipliées dans le même produit, trois ensembles de parenthèses multipliés ensemble là-bas. Donc je vais les combiner pour en faire une seule fraction. J’ai un fois 𝑥 plus quatre plus un fois 𝑥 plus deux. Eh bien sûr, un fois cette expression est juste cette expression. Donc on a 𝑥 plus quatre plus 𝑥 plus deux. Et 𝑥 plus 𝑥 égale deux 𝑥, et plus quatre plus deux est égal à plus six. Et lorsqu’on analyse cela, sur le numérateur ici, on a un facteur commun de deux et six. Donc deux est un facteur commun ; nous pouvons factoriser cela et avoir deux fois 𝑥 plus trois le tout sur 𝑥 plus deux fois 𝑥 plus trois fois 𝑥 plus quatre. Maintenant si on regarde cela très attentivement, on a deux fois 𝑥 plus trois. 𝑥 plus trois est un facteur dans le numérateur, mais 𝑥 plus trois est également un facteur dans le dénominateur. Donc si je divise les deux par 𝑥 plus trois, ils s’éliminent, ce qui nous donne notre réponse finale de deux sur 𝑥 plus deux fois 𝑥 plus quatre.

Eh bien considérons quelques soustractions. Donc 𝑥 plus trois sur 𝑥 plus quatre moins 𝑥 moins un sur 𝑥 plus un. Eh bien il n’y a pas de facteurs communs dans les dénominateurs. Alors écrivons ceci et essayons d’obtenir un dénominateur commun.

Donc tout d’abord, comme nous l’avons dit précédemment, assurez-vous de mettre ces numérateurs et dénominateurs entre parenthèses, car ils sont maintenant des numérateurs un peu plus compliqués, pour garder ces termes qui doivent être gardés ensemble, ensemble. Nous allons donc utiliser ce dénominateur ici pour multiplier le numérateur et dénominateur de cette fraction. Et nous allons prendre ce dénominateur et multiplier le numérateur et dénominateur de cette fraction par cela. Alors maintenant on a 𝑥 plus un fois 𝑥 plus quatre comme dénominateur commun. Nous pouvons combiner ces deux termes en une seule fraction. Et maintenant nous allons devoir multiplier ces parenthèses et ces parenthèses. Maintenant c’est là que cela devient assez délicat. Puisque que nous avons un signe négatif ici, on soustrait l’ensemble de cette seconde expression ici, de la première expression ici. Nous devons donc faire très attention à comment nous effectuons cela. Donc je vais en fait multiplier les parenthèses et les laisser dans les parenthèses avec un moins devant, puis je l’évaluerai par la suite.

Donc lorsqu’on multiple la première parenthèse, on a 𝑥 fois 𝑥 égale 𝑥 au carré. Et on a 𝑥 fois trois est égal à plus trois 𝑥, un fois 𝑥 égale plus un 𝑥. Donc trois 𝑥 plus 𝑥 égale quatre 𝑥. Et puis on a un fois trois, les deux positifs, donc ça fait trois. Et pour le second terme ici, on a 𝑥 fois 𝑥 est égal à 𝑥 au carré. 𝑥 fois quatre est égal à plus quatre 𝑥. Moins un fois 𝑥. On soustrait un 𝑥, donc quatre 𝑥 moins un 𝑥 est égal à trois 𝑥. Et moins un fois plus quatre est égal à moins quatre. Donc nous allons soustraire 𝑥 au carré. Nous allons soustraire plus trois 𝑥. On soustrait trois 𝑥, moins trois 𝑥. Et on soustrait moins quatre, ce qui est équivalent à ajouter quatre. Alors réécrivons notre numérateur.

Eh bien les premiers termes ici resteront tels quels. Et puis comme nous l’avons dit, on soustrait 𝑥 au carré. On soustrait plus trois 𝑥 ou simplement trois 𝑥. Et on soustrait moins quatre, ce qui revient à ajouter quatre. Maintenant on peut simplifier cela. On a 𝑥 au carré moins 𝑥 au carré. Eh bien c’est égal à zéro, donc ils vont s’éliminer. On a plus quatre 𝑥 et on soustrait trois 𝑥, donc c’est juste un 𝑥. Et on a plus trois et on en additionne quatre, ce qui est égal à sept, ce qui nous donne 𝑥 plus sept sur 𝑥 plus un fois 𝑥 plus quatre. Eh bien on pourrait mettre des parenthèses sur le numérateur si on le veut, ou on peut même développer le dénominateur. Mais on ne peut pas simplifier. Voici notre réponse finale.

Et le plus difficile c’était le fait que nous avions plusieurs opérations à effectuer. Et gérer les signes négatifs ici était vraiment l’étape cruciale et la plus difficile. C’est là que la plupart des gens sont susceptibles de commettre des erreurs, dans ce genre de question.

Donc dans notre prochaine soustraction d’expressions rationnelles, on a trois sur 𝑥 moins deux moins deux 𝑥 moins deux sur deux 𝑥 au carré moins 𝑥 moins six. Et comme nous l’avons déjà vu dans certaines de ces questions, la première chose à faire est de factoriser tout ce que nous pouvons. Et il semble qu’on peut factoriser le numérateur du second terme. Et il semble qu’on peut également factoriser le dénominateur. Essayons donc de faire cela.

Nous avons donc mis le dénominateur du premier terme entre parenthèses, car c’est toujours une bonne idée. Et le numérateur du second terme est assez facile à factoriser. Donc deux est le facteur commun, on a donc deux fois 𝑥 moins un. Maintenant le dénominateur, un peu plus délicat, donc deux 𝑥 au carré, donc nous aurons deux parenthèses ; c’est une expression du second degré. L’un d’entre eux devra être deux 𝑥, et l’autre devra être 𝑥, car deux 𝑥 fois 𝑥 est égal à deux 𝑥 au carré. Et maintenant nous devons essayer de déterminer les autres termes.

Nous devons donc avoir deux 𝑥 et 𝑥, car deux 𝑥 fois 𝑥 est égal à 𝑥- deux 𝑥 au carré. Mais l’un des autres termes le sera, eh bien leur produit doit être égal à moins six et on doit les combiner pour obtenir toute cette expression. Et avec un peu de tâtonnement, on voit que les facteurs sont deux 𝑥 plus trois et 𝑥 moins deux. Eh bien c’est pratique car regardez, on a 𝑥 moins deux et 𝑥 moins deux. Nous avons donc un facteur commun ici. Donc la seule chose qui manquerait à ce dénominateur, du premier terme, est ce terme ci, deux 𝑥 plus trois. Donc je vais multiplier le numérateur et le dénominateur par deux 𝑥 plus trois. Et c’est une fraction équivalente au premier terme. Et nous avons maintenant deux termes avec un dénominateur commun de deux 𝑥 plus trois fois 𝑥 moins deux. Nous pouvons donc les combiner en une seule fraction, ce qui nous donne trois fois deux 𝑥 plus trois comme premier terme du numérateur, moins deux fois 𝑥 moins un pour le second terme. Nous allons donc devoir multiplier ces parenthèses dans le numérateur. Donc moins deux fois 𝑥 et moins deux fois moins un. Eh bien trois fois deux 𝑥 font six 𝑥, trois fois plus trois font plus neuf, moins deux fois 𝑥 font moins deux 𝑥, et moins deux fois moins un est égal à plus deux. Nous pouvons à présent simplifier cela. On a six 𝑥 moins deux 𝑥 est égal à quatre 𝑥, et neuf plus deux est égal à onze, plus onze.

Encore une fois, lorsqu’on examine le numérateur, il n’y a pas de facteur commun. On ne peut plus factoriser. On ne peut rien simplifier dans le numérateur et le dénominateur. Donc là nous l’avons ; notre réponse finale à cette question. Encore une fois, il suffit d’être prudent lorsqu’on soustrait des termes avec des signes négatifs. Et dans ce cas, nous avons dû effectuer plusieurs opérations au début pour factoriser le numérateur et le dénominateur, ce qui a simplifié le processus de multiplication et trouver la fraction équivalente avec le dénominateur commun.

Bien. Terminons avec cette question assez délicate.

Dans ce cas, nous devons soustraire deux expressions rationnelles. Nous allons soustraire l’une de l’autre. Mais nous devons montrer que cela est égal à une expression particulière. Souvent, lorsqu’on effectue un calcul, on peut obtenir une réponse dans un format. Mais dans ce cas, on nous demande de présenter le résultat dans un format spécifique. Allons-y et voyons ce que nous allons faire avec ça. Tout d’abord, il semble que nous allons devoir faire un peu de factorisation sur le dénominateur ici. Mais si on examine ce premier terme et qu’on place le numérateur entre parenthèses, on constate que si on divise le numérateur par 𝑥 plus cinq, on obtient un. Si on divise le dénominateur par 𝑥 plus cinq, cela devient également un ici. On a donc un sur deux moins 𝑥 fois trois plus 𝑥. Nous avons donc simplifié le premier terme. Voyons ce que nous pouvons faire ensuite.

Eh bien dans nos calculs, nous pouvons montrer comment éliminer des termes et que le premier terme est égal à un sur deux moins 𝑥 fois trois plus 𝑥. Et le second terme, nous pouvons le réécrire en factorisant le dénominateur. Et pour obtenir moins 𝑥 au carré, on doit avoir moins 𝑥 fois plus 𝑥. Et nous devons juste déterminer quels sont les nombres, dont le produit est six et la somme est moins un, qui est le coefficient de ce terme 𝑥. Donc on a deux moins 𝑥 et trois plus 𝑥. Nous avons donc réarrangé ou réexprimé ces deux premiers termes. Et si on examine les dénominateurs de chacun de ceux-ci, on constate qu’ils ont des dénominateurs communs. Nous allons donc pouvoir les additionner. Alors réécrivons ce membre gauche. Et rappelons que, on peut réécrire le premier terme comme un sur deux moins 𝑥 fois trois plus 𝑥. Et on soustrait ce second terme, que nous venons de réexprimer comme 𝑥 sur deux moins 𝑥 en trois plus 𝑥. Nous avons donc notre dénominateur commun ici. Nous pouvons donc combiner ces deux éléments pour en faire une seule fraction.

Et cela ressemble beaucoup à ce que nous devons montrer, mais ce n’est pas tout à fait la même chose. Au lieu de un - au lieu de 𝑥 moins un, on a un moins 𝑥. Et au lieu de 𝑥 moins deux, on a deux moins 𝑥. Mais 𝑥 plus trois, est équivalent à trois plus 𝑥. Trois plus 𝑥 est la même chose que 𝑥 plus trois. Nous devons donc faire montre d’un peu de créativité pour la suite. Eh bien ce que nous pourrions faire c’est multiplier le numérateur et le dénominateur par moins un. Et cela nous donne ces expressions, qui lorsque je les réorganise, nous donnent la réponse que nous recherchions.

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