Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment additionner et soustraire des fonctions rationnelles, identifier les ensembles de définition des fonctions résultantes et les simplifier.
On commence par rappeler que les fonctions rationnelles sont les quotients de deux polynômes ; cela signifie que l’addition et la soustraction de fonctions rationnelles implique l’addition et la soustraction de quotients. Cela est similaire à la façon dont nous additionnons et soustrayons les fractions. Par exemple, nous pouvons additionner les fractions suivantes en les réécrivant pour avoir un dénominateur commun :
C’est utile de répéter pourquoi nous pouvons simplement additionner les numérateurs des fractions lorsque leurs dénominateurs sont égaux. Nous savons que et , alors ils partagent un facteur de . En prenant ce facteur commun, nous avons
C’est vrai pour tout dénominateur non nul ; on peut réécrire les fractions pour avoir un dénominateur commun, puis ajouter simplement les numérateurs. Ainsi, la même démarche s’applique aux fonctions rationnelles ; la seule différence est que nos dénominateurs peuvent être nuls pour certaines valeurs d’entrée. Dans ce cas, les fonctions ne sont pas définies, donc nous devons aussi considérer les ensembles de définition des fonctions.
Nous ferons cela en examinant un exemple. Disons que nous voulons calculer la somme suivante des fonctions rationnelles :
Avant de commencer à calculer, nous devons d’abord trouver l’ensemble de définition de ; nous rappelons que l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est l’ensemble de tous les nombres réels à l’exception de ceux qui sont des racines du dénominateur. L’ensemble de définition d’une somme de fonctions à valeurs réelles est l’intersection de leurs ensembles de définition car nous avons besoin de définir les deux fonctions pour les additionner. Ainsi, nous pouvons appliquer cela à chaque terme séparément pour voir que l’ensemble de définition de est .
Nous voulons maintenant additionner ces termes. Pour ce faire, nous avons besoin qu’ils aient le même dénominateur. Nous pouvons le faire en appliquant le produit en croix :
On multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par , et le numérateur et le dénominateur de la seconde par . Cela donne
Enfin, nous additionnons les numérateurs : sur l’ensemble de définition .
Comme est une fonction rationnelle, nous pourrions également simplifier les facteurs communs dans le numérateur et le dénominateur sur l’ensemble de définition. Dans ce cas, il n’y a pas de facteurs communs, alors ne peut être simplifié davantage.
Dans l’exemple ci-dessus, nous avons utilisé la propriété que l’ensemble de définition d’une somme ou d’une différence de fonctions est l’intersection de leurs ensembles de définition pour montrer la suivante propriété utile pour déterminer l’ensemble de définition de la somme ou de la différence des fonctions rationnelles.
Propriété : Ensemble de définition de la somme ou de la différence des fonctions rationnelles
L’ensemble de définition de la somme ou de la différence des fonctions rationnelles est l’ensemble des nombres réels à l’exception des racines de tout dénominateur des fonctions rationnelles dans la somme ou la différence.
En d’autres termes, si est la somme des fonctions rationnelles données par , l’ensemble des racines de est , et l’ensemble des racines de est , alors l’ensemble de définition de est
Cela nous permet alors de simplifier la somme ou la différence de toute fonction rationnelle en suivant cette même démarche.
Comment simplifier la somme ou la différence des fonctions rationnelles
- Factoriser complètement les dénominateurs de chaque fonction rationnelle dans la somme ou la différence.
- Déterminer l’ensemble de définition de la somme ou de la différence en excluant toutes les racines de ces dénominateurs.
- Simplifier chaque terme en annulant les facteurs communs sur l’ensemble de définition.
- Multiplier les numérateurs et les dénominateurs de chaque terme dans la somme ou la différence pour que chaque terme ait un dénominateur commun.
- Déterminer la somme ou la différence des termes.
- Simplifier la fonction rationnelle sur son ensemble de définition.
Voyons maintenant quelques exemples d’application de cette démarche pour additionner deux fonctions rationnelles.
Exemple 1: Addition de fonctions rationnelles
Simplifiez .
Réponse
On commence par trouver l’ensemble de définition de cette fonction. Nous rappelons que c’est l’ensemble des nombres réels, à l’exception des racines de tout dénominateur. Comme tous les dénominateurs sont entièrement factorisés, nous pouvons voir que ces racines sont et , de sorte que l’ensemble de définition de est .
Nous rappelons que pour additionner des fonctions rationnelles, nous avons besoin qu’elles aient le même dénominateur. On peut réécrire ces termes en appliquant le produit en croix puis en additionnant les numérateurs :
On peut alors calculer le numérateur en développant les parenthèses. Nous avons
Par conséquent, sur l’ensemble de définition .
Nous pouvons maintenant essayer de simplifier cette fonction rationnelle en annulant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Étant donné que le dénominateur a des racines et , on peut utiliser la propriété de factorisation pour vérifier si le numérateur possède aussi ces facteurs linéaires.
Substituer et dans le numérateur nous donne
Comme ce sont deux valeurs non nulles, et ne sont pas des racines du numérateur. Par conséquent, nous ne pouvons plus simplifier la fonction rationnelle.
Nous notons que comme il n’y a pas eu de changement à l’ensemble de définition après avoir ajouté les termes (c.-à-d. c’est toujours ), et donc il n’est pas nécessaire d’inclure l’ensemble de définition dans la réponse.
Par conséquent,
Dans notre prochain exemple, nous calculerons la différence entre deux fonctions rationnelles.
Exemple 2: Calculs impliquant les propriétés des fonctions rationnelles
Simplifiez .
Réponse
On commence par trouver l’ensemble de définition de . Puisqu’il s’agit de la différence entre deux fonctions rationnelles, nous rappelons qu’il s’agit de l’ensemble de tous les nombres réels à l’exception des racines de tout dénominateur. On factorise d’abord pour obtenir . On peut alors égaliser chaque dénominateur à zéro et déterminer leurs valeurs pour . En résolvant ces équations, on trouve que les racines sont et . Par conséquent, l’ensemble de définition de est .
Nous rappelons que pour déterminer la différence de fonctions rationnelles, nous avons besoin qu’elles aient le même dénominateur. On peut réécrire ces termes en appliquant le produit en croix puis en déterminant la différence entre les numérateurs :
On peut alors simplifier le numérateur en développant les parenthèses. Au premier terme, nous avons
Au deuxième terme, nous avons
Par conséquent,
Nous pouvons maintenant essayer de simplifier cette fonction rationnelle en annulant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Étant donné que le dénominateur a des racines et , on peut vérifier si le numérateur possède aussi ces facteurs linéaires.
Substituer et dans le numérateur nous donne
Comme ce sont deux valeurs non nulles, et ne sont pas des racines du numérateur. Par conséquent, nous ne pouvons plus simplifier la fonction rationnelle davantage.
Nous notons que l’ensemble de définition n’a pas changé depuis le début (c’est-à-dire qu’il est toujours ), et donc il n’est pas nécessaire de l’indiquer dans la réponse.
Par conséquent,
Dans nos deux exemples précédents, nous n’avions pas besoin de simplifier la fonction rationnelle en annulant les facteurs communs à tout moment. Ce n’est pas toujours le cas comme nous le verrons dans nos deux exemples suivants.
Exemple 3: Simplifier la différence de deux fonctions rationnelles et déterminer son ensemble de définition
Simplifiez la fonction et déterminez son ensemble de définition.
Réponse
On commence par trouver l’ensemble de définition de puisqu’il s’agit de la différence de deux fonctions rationnelles. Nous rappelons que c’est l’ensemble des nombres réels, à l’exception des racines de tout dénominateur. On factorise d’abord le deuxième dénominateur pour obtenir .
Cela nous donne
On peut alors égaliser chaque dénominateur à zéro et résoudre ces équations pour . Résoudre ces équations donne et . Par conséquent, l’ensemble de définition de est .
Nous pouvons maintenant passer à l’étape du produit en croix. Cependant, nous pouvons simplifier le deuxième terme en annulant le facteur commun de au numérateur et au dénominateur du deuxième terme sur l’ensemble de définition de . Cela nous donne sur l’ensemble de définition .
Ils ont maintenant le même dénominateur, donc nous avons sur l’ensemble de définition .
Étant donné que le numérateur et le dénominateur ne partagent pas de facteurs communs, nous ne pouvons pas simplifier davantage.
Par conséquent, et l’ensemble de définition est .
Dans notre prochain exemple, nous simplifierons la somme de deux fonctions rationnelles avec des dénominateurs du second degré.
Exemple 4: Simplifier la somme de deux fonctions rationnelles et déterminer son ensemble de définition
Simplifiez la fonction et déterminez son ensemble de définition.
Réponse
On commence par trouver l’ensemble de définition de . Puisqu’il s’agit de la différence entre deux fonctions rationnelles, nous rappelons qu’il s’agit de l’ensemble de tous les nombres réels à l’exception des racines de tout dénominateur.
Nous devons factoriser les deux dénominateurs. Nous avons
Par conséquent, l’ensemble de définition de est .
En utilisant la factorisation ci-dessus, on peut alors réécrire comme suit :
On peut simplifier le second terme sur l’ensemble de définition de en annulant le facteur commun. Cela donne sur l’ensemble de définition .
Nous devons maintenant exprimer les deux termes avec le même dénominateur. Nous pouvons le faire en multipliant le numérateur et le dénominateur du deuxième terme par . Cela nous donne sur l’ensemble de définition . On peut alors additionner les numérateurs : sur l’ensemble de définition .
Il n’y a pas de facteurs communs dans le numérateur et le dénominateur, alors nous ne pouvons pas simplifier davantage. Par conséquent, et l’ensemble de définition est .
Dans notre dernier exemple, nous utiliserons l’ensemble de définition d’une somme de fonctions rationnelles et une valeur de sortie donnée de la fonction pour déterminer les valeurs de deux inconnues dans la fonction.
Exemple 5: Rechercher des inconnues dans une fonction étant donné son ensemble de définition
Sachant que l’ensemble de définition de la fonction est et , déterminez les valeurs de et .
Réponse
On commence par noter que est la somme des fonctions rationnelles, et nous rappelons que l’ensemble de définition sera l’ensemble des nombres réels à l’exclusion des racines des dénominateurs. On voit que les racines des dénominateurs sont et , de sorte que l’ensemble de définition de est . Comme on nous dit que l’ensemble de définition est , pour que ces ensembles soient égaux, il faut avoir .
Nous devons maintenant trouver , ce que nous pouvons faire en utilisant l’autre information qui nous est donnée : . Nous pouvons être orientés vers l’addition des fonctions rationnelles et leur simplification ; cependant, il est plus facile de déterminer l’expression à la valeur donnée. Nous avons
Comme , nous avons
Par conséquent, et .
Avant de terminer, voyons un exemple où nous devons simplifier la fonction rationnelle après avoir additionné les termes. Nous ferons cela avec la fonction suivante :
On factorise d’abord les dénominateurs pour obtenir
On peut alors noter que l’ensemble de définition de est . On peut réécrire chaque terme pour avoir le même dénominateur comme suit :
On peut ensuite les additionner pour obtenir
Enfin, on peut simplifier en notant que l’ensemble de définition de est , n’est jamais égal à , alors n’est jamais égal à 0. Ainsi, nous pouvons annuler le facteur commun de pour obtenir sur l’ensemble de définition .
Terminons maintenant en récapitulant certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- L’ensemble de définition de la somme ou de la différence des fonctions rationnelles est l’ensemble des nombres réels à l’exception des racines de tout dénominateur des fonctions rationnelles dans la somme ou la différence.
- Nous pouvons simplifier la somme ou la différence des fonctions rationnelles en utilisant les étapes suivantes :
- Factoriser complètement les dénominateurs de chaque fonction rationnelle dans la somme ou la différence.
- Déterminer l’ensemble de définition de la somme ou de la différence en excluant toutes les racines de ces dénominateurs.
- Simplifier chaque terme en annulant les facteurs communs sur l’ensemble de définition.
- Multiplier les numérateurs et les dénominateurs de chaque terme dans la somme ou la différence pour que chaque terme ait un dénominateur commun.
- Déterminer la somme ou la différence des termes.
- Simplifier la fonction rationnelle sur son ensemble de définition.
