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Fiche explicative de la leçon : Additionner et soustraire des fonctions rationnelles Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment additionner et soustraire des fonctions rationnelles, identifier les ensembles de définition des fonctions résultantes et les simplifier.

On commence par rappeler que les fonctions rationnelles sont les quotients de deux polynômes;cela signifie que l’addition et la soustraction de fonctions rationnelles implique l’addition et la soustraction de quotients. Cela est similaire à la façon dont nous additionnons et soustrayons les fractions. Par exemple, nous pouvons additionner les fractions suivantes en les réécrivant pour avoir un dénominateur commun:12+13=12×33+13×22=36+26=3+26=56.

C’est utile de répéter pourquoi nous pouvons simplement additionner les numérateurs des fractions lorsque leurs dénominateurs sont égaux. Nous savons que 36=3×16 et 26=2×16, alors ils partagent un facteur de 16. En prenant ce facteur commun, nous avons 36+26=3×16+2×16=16×(3+2)=3+26.

C’est vrai pour tout dénominateur non nul;on peut réécrire les fractions pour avoir un dénominateur commun, puis ajouter simplement les numérateurs. Ainsi, la même démarche s’applique aux fonctions rationnelles;la seule différence est que nos dénominateurs peuvent être nuls pour certaines valeurs d’entrée. Dans ce cas, les fonctions ne sont pas définies, donc nous devons aussi considérer les ensembles de définition des fonctions.

Nous ferons cela en examinant un exemple. Disons que nous voulons calculer la somme suivante des fonctions rationnelles:𝑓(𝑥)=1𝑥+2𝑥+1.

Avant de commencer à calculer, nous devons d’abord trouver l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥);nous rappelons que l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est l’ensemble de tous les nombres réels à l’exception de ceux qui sont des racines du dénominateur. L’ensemble de définition d’une somme de fonctions à valeurs réelles est l’intersection de leurs ensembles de définition car nous avons besoin de définir les deux fonctions pour les additionner. Ainsi, nous pouvons appliquer cela à chaque terme séparément pour voir que l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥) est {1;0}.

Nous voulons maintenant additionner ces termes. Pour ce faire, nous avons besoin qu’ils aient le même dénominateur. Nous pouvons le faire en appliquant le produit en croix:

On multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 𝑥+1, et le numérateur et le dénominateur de la seconde par 𝑥. Cela donne 𝑓(𝑥)=1𝑥+2𝑥+1=1𝑥×𝑥+1𝑥+1+2𝑥+1×𝑥𝑥=𝑥+1𝑥(𝑥+1)+2𝑥𝑥(𝑥+1).

Enfin, nous additionnons les numérateurs:𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥(𝑥+1)+2𝑥𝑥(𝑥+1)=𝑥+1+2𝑥𝑥(𝑥+1)=3𝑥+1𝑥(𝑥+1), sur l’ensemble de définition {1;0}.

Comme 𝑓(𝑥) est une fonction rationnelle, nous pourrions également simplifier les facteurs communs dans le numérateur et le dénominateur sur l’ensemble de définition. Dans ce cas, il n’y a pas de facteurs communs, alors 𝑓(𝑥) ne peut être simplifié davantage.

Dans l’exemple ci-dessus, nous avons utilisé la propriété que l’ensemble de définition d’une somme ou d’une différence de fonctions est l’intersection de leurs ensembles de définition pour montrer la suivante propriété utile pour déterminer l’ensemble de définition de la somme ou de la différence des fonctions rationnelles.

Propriété : Ensemble de définition de la somme ou de la différence des fonctions rationnelles

L’ensemble de définition de la somme ou de la différence des fonctions rationnelles est l’ensemble des nombres réels à l’exception des racines de tout dénominateur des fonctions rationnelles dans la somme ou la différence.

En d’autres termes, si 𝑓(𝑥) est la somme des fonctions rationnelles données par 𝑓(𝑥)=𝑝(𝑥)𝑞(𝑥)+𝑝(𝑥)𝑞(𝑥), l’ensemble des racines de 𝑞(𝑥) est 𝑍, et l’ensemble des racines de 𝑞(𝑥) est 𝑍, alors l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥) est (𝑍𝑍).

Cela nous permet alors de simplifier la somme ou la différence de toute fonction rationnelle en suivant cette même démarche.

Comment simplifier la somme ou la différence des fonctions rationnelles

  1. Factoriser complètement les dénominateurs de chaque fonction rationnelle dans la somme ou la différence.
  2. Déterminer l’ensemble de définition de la somme ou de la différence en excluant toutes les racines de ces dénominateurs.
  3. Simplifier chaque terme en annulant les facteurs communs sur l’ensemble de définition.
  4. Multiplier les numérateurs et les dénominateurs de chaque terme dans la somme ou la différence pour que chaque terme ait un dénominateur commun.
  5. Déterminer la somme ou la différence des termes.
  6. Simplifier la fonction rationnelle sur son ensemble de définition.

Voyons maintenant quelques exemples d’application de cette démarche pour additionner deux fonctions rationnelles.

Exemple 1: Addition de fonctions rationnelles

Simplifiez 𝑛(𝑥)=3𝑥+27𝑥+3𝑥2𝑥.

Réponse

On commence par trouver l’ensemble de définition de cette fonction. Nous rappelons que c’est l’ensemble des nombres réels, à l’exception des racines de tout dénominateur. Comme tous les dénominateurs sont entièrement factorisés, nous pouvons voir que ces racines sont 𝑥=0 et 𝑥=2, de sorte que l’ensemble de définition de 𝑛(𝑥) est {0;2}.

Nous rappelons que pour additionner des fonctions rationnelles, nous avons besoin qu’elles aient le même dénominateur. On peut réécrire ces termes en appliquant le produit en croix puis en additionnant les numérateurs:𝑛(𝑥)=3𝑥+27𝑥+3𝑥2𝑥=3𝑥+27𝑥×2𝑥2𝑥+3𝑥2𝑥×7𝑥7𝑥=(3𝑥+2)(2𝑥)+3𝑥(7𝑥)7𝑥(2𝑥).

On peut alors calculer le numérateur en développant les parenthèses. Nous avons (3𝑥+2)(2𝑥)=6𝑥3𝑥+42𝑥3𝑥(7𝑥)=21𝑥.

Par conséquent, 𝑛(𝑥)=(3𝑥+2)(2𝑥)+3𝑥(7𝑥)7𝑥(2𝑥)=6𝑥3𝑥+42𝑥+21𝑥7𝑥(2𝑥)=21𝑥3𝑥+4𝑥+47𝑥(2𝑥), sur l’ensemble de définition {0;2}.

Nous pouvons maintenant essayer de simplifier cette fonction rationnelle en annulant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Étant donné que le dénominateur a des racines 𝑥=0 et 𝑥=2, on peut utiliser la propriété de factorisation pour vérifier si le numérateur possède aussi ces facteurs linéaires.

Substituer 𝑥=0 et 𝑥=2 dans le numérateur nous donne 21(0)3(0)+4(0)+4=4,21(2)3(2)+4(2)+4=168.

Comme ce sont deux valeurs non nulles, 𝑥=0 et 𝑥=2 ne sont pas des racines du numérateur. Par conséquent, nous ne pouvons plus simplifier la fonction rationnelle.

Nous notons que comme il n’y a pas eu de changement à l’ensemble de définition après avoir ajouté les termes (c.-à-d. c’est toujours {0;2} ), et donc il n’est pas nécessaire d’inclure l’ensemble de définition dans la réponse.

Par conséquent, 𝑛(𝑥)=21𝑥3𝑥+4𝑥+47𝑥(2𝑥).

Dans notre prochain exemple, nous calculerons la différence entre deux fonctions rationnelles.

Exemple 2: Calculs impliquant les propriétés des fonctions rationnelles

Simplifiez 𝑛(𝑥)=3𝑥2𝑥2𝑥+85𝑥23𝑥.

Réponse

On commence par trouver l’ensemble de définition de 𝑛(𝑥). Puisqu’il s’agit de la différence entre deux fonctions rationnelles, nous rappelons qu’il s’agit de l’ensemble de tous les nombres réels à l’exception des racines de tout dénominateur. On factorise d’abord 2𝑥+8 pour obtenir 2(𝑥+4). On peut alors égaliser chaque dénominateur à zéro et déterminer leurs valeurs pour 𝑥. En résolvant ces équations, on trouve que les racines sont 𝑥=4 et 𝑥=0. Par conséquent, l’ensemble de définition de 𝑛(𝑥) est {4;0}.

Nous rappelons que pour déterminer la différence de fonctions rationnelles, nous avons besoin qu’elles aient le même dénominateur. On peut réécrire ces termes en appliquant le produit en croix puis en déterminant la différence entre les numérateurs:𝑛(𝑥)=3𝑥2𝑥2𝑥+85𝑥23𝑥=3𝑥2𝑥2(𝑥+4)×3𝑥3𝑥5𝑥23𝑥×2(𝑥+4)2(𝑥+4)=3𝑥2𝑥(3𝑥)(5𝑥2)(2(𝑥+4))3𝑥(2(𝑥+4))=3𝑥2𝑥(3𝑥)(5𝑥2)(2(𝑥+4))6𝑥(𝑥+4).

On peut alors simplifier le numérateur en développant les parenthèses. Au premier terme, nous avons 3𝑥2𝑥(3𝑥)=9𝑥6𝑥.

Au deuxième terme, nous avons (5𝑥2)(2(𝑥+4))=10𝑥+40𝑥4𝑥16.

Par conséquent, 𝑛(𝑥)=3𝑥2𝑥(3𝑥)(5𝑥2)(2(𝑥+4))6𝑥(𝑥+4)=9𝑥6𝑥10𝑥+40𝑥4𝑥166𝑥(𝑥+4)=9𝑥6𝑥10𝑥40𝑥+4𝑥+166𝑥(𝑥+4)=9𝑥16𝑥36𝑥+166𝑥(𝑥+4).

Nous pouvons maintenant essayer de simplifier cette fonction rationnelle en annulant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Étant donné que le dénominateur a des racines 𝑥=4 et 𝑥=0, on peut vérifier si le numérateur possède aussi ces facteurs linéaires.

Substituer 𝑥=4 et 𝑥=0 dans le numérateur nous donne 9(4)16(4)36(4)+16=672,9(0)16(0)36(0)+16=16.

Comme ce sont deux valeurs non nulles, 𝑥=4 et 𝑥=0 ne sont pas des racines du numérateur. Par conséquent, nous ne pouvons plus simplifier la fonction rationnelle davantage.

Nous notons que l’ensemble de définition n’a pas changé depuis le début (c’est-à-dire qu’il est toujours {4;0} ), et donc il n’est pas nécessaire de l’indiquer dans la réponse.

Par conséquent, 𝑛(𝑥)=9𝑥16𝑥36𝑥+166𝑥(𝑥+4).

Dans nos deux exemples précédents, nous n’avions pas besoin de simplifier la fonction rationnelle en annulant les facteurs communs à tout moment. Ce n’est pas toujours le cas comme nous le verrons dans nos deux exemples suivants.

Exemple 3: Simplifier la différence de deux fonctions rationnelles et déterminer son ensemble de définition

Simplifiez la fonction 𝑛(𝑥)=5𝑥𝑥4𝑥+4𝑥16 et déterminez son ensemble de définition.

Réponse

On commence par trouver l’ensemble de définition de 𝑛(𝑥) puisqu’il s’agit de la différence de deux fonctions rationnelles. Nous rappelons que c’est l’ensemble des nombres réels, à l’exception des racines de tout dénominateur. On factorise d’abord le deuxième dénominateur pour obtenir 𝑥16=(𝑥4)(𝑥+4).

Cela nous donne 𝑛(𝑥)=5𝑥𝑥4𝑥+4(𝑥4)(𝑥+4).

On peut alors égaliser chaque dénominateur à zéro et résoudre ces équations pour 𝑥. Résoudre ces équations donne 𝑥=4 et 𝑥=4. Par conséquent, l’ensemble de définition de 𝑛(𝑥) est {4;4}.

Nous pouvons maintenant passer à l’étape du produit en croix. Cependant, nous pouvons simplifier le deuxième terme en annulant le facteur commun de 𝑥+4 au numérateur et au dénominateur du deuxième terme sur l’ensemble de définition de 𝑛(𝑥). Cela nous donne 𝑛(𝑥)=5𝑥𝑥4𝑥+4(𝑥4)(𝑥+4)=5𝑥𝑥41𝑥4, sur l’ensemble de définition {4;4}.

Ils ont maintenant le même dénominateur, donc nous avons 𝑛(𝑥)=5𝑥𝑥41𝑥4=5𝑥1𝑥4, sur l’ensemble de définition {4;4}.

Étant donné que le numérateur et le dénominateur ne partagent pas de facteurs communs, nous ne pouvons pas simplifier davantage.

Par conséquent, 𝑛(𝑥)=5𝑥1𝑥4 et l’ensemble de définition est {4;4}.

Dans notre prochain exemple, nous simplifierons la somme de deux fonctions rationnelles avec des dénominateurs du second degré.

Exemple 4: Simplifier la somme de deux fonctions rationnelles et déterminer son ensemble de définition

Simplifiez la fonction 𝑛(𝑥)=8𝑥+7𝑥14𝑥+45+3𝑥24𝑥17𝑥+72 et déterminez son ensemble de définition.

Réponse

On commence par trouver l’ensemble de définition de 𝑛(𝑥). Puisqu’il s’agit de la différence entre deux fonctions rationnelles, nous rappelons qu’il s’agit de l’ensemble de tous les nombres réels à l’exception des racines de tout dénominateur.

Nous devons factoriser les deux dénominateurs. Nous avons 𝑥14𝑥+45=(𝑥5)(𝑥9),𝑥17𝑥+72=(𝑥8)(𝑥9).

Par conséquent, l’ensemble de définition de 𝑛(𝑥) est {5;8;9}.

En utilisant la factorisation ci-dessus, on peut alors réécrire 𝑛(𝑥) comme suit:𝑛(𝑥)=8𝑥+7𝑥14𝑥+45+3𝑥24𝑥17𝑥+72=8𝑥+7(𝑥9)(𝑥5)+3(𝑥8)(𝑥8)(𝑥9).

On peut simplifier le second terme sur l’ensemble de définition de 𝑛(𝑥) en annulant le facteur commun. Cela donne 𝑛(𝑥)=8𝑥+7(𝑥9)(𝑥5)+3(𝑥9), sur l’ensemble de définition {5;8;9}.

Nous devons maintenant exprimer les deux termes avec le même dénominateur. Nous pouvons le faire en multipliant le numérateur et le dénominateur du deuxième terme par 𝑥5. Cela nous donne 𝑛(𝑥)=8𝑥+7(𝑥9)(𝑥5)+3(𝑥9)×(𝑥5)(𝑥5)=8𝑥+7(𝑥9)(𝑥5)+3(𝑥5)(𝑥9)(𝑥5), sur l’ensemble de définition {5;8;9}. On peut alors additionner les numérateurs:𝑛(𝑥)=8𝑥+7+3(𝑥5)(𝑥9)(𝑥5)=8𝑥+7+3𝑥15(𝑥9)(𝑥5)=11𝑥8(𝑥9)(𝑥5), sur l’ensemble de définition {5;8;9}.

Il n’y a pas de facteurs communs dans le numérateur et le dénominateur, alors nous ne pouvons pas simplifier davantage. Par conséquent, 𝑛(𝑥)=11𝑥8(𝑥9)(𝑥5) et l’ensemble de définition est {5;8;9}.

Dans notre dernier exemple, nous utiliserons l’ensemble de définition d’une somme de fonctions rationnelles et une valeur de sortie donnée de la fonction pour déterminer les valeurs de deux inconnues dans la fonction.

Exemple 5: Rechercher des inconnues dans une fonction étant donné son ensemble de définition

Sachant que l’ensemble de définition de la fonction 𝑛(𝑥)=𝑏𝑥+6𝑥+𝑎 est {4;0} et 𝑛(1)=2, déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

Réponse

On commence par noter que 𝑛(𝑥) est la somme des fonctions rationnelles, et nous rappelons que l’ensemble de définition sera l’ensemble des nombres réels à l’exclusion des racines des dénominateurs. On voit que les racines des dénominateurs sont 𝑥=0 et 𝑥=𝑎, de sorte que l’ensemble de définition de 𝑛(𝑥) est {𝑎,0}. Comme on nous dit que l’ensemble de définition est {4;0}, pour que ces ensembles soient égaux, il faut avoir 𝑎=4.

Nous devons maintenant trouver 𝑏, ce que nous pouvons faire en utilisant l’autre information qui nous est donnée:𝑛(1)=2. Nous pouvons être orientés vers l’addition des fonctions rationnelles et leur simplification;cependant, il est plus facile de déterminer l’expression à la valeur donnée. Nous avons 𝑛(1)=𝑏(1)+6(1)+4=𝑏+2.

Comme 𝑛(1)=2, nous avons 2=𝑏+2𝑏=0.

Par conséquent, 𝑎=4 et 𝑏=0.

Avant de terminer, voyons un exemple où nous devons simplifier la fonction rationnelle après avoir additionné les termes. Nous ferons cela avec la fonction suivante:𝑛(𝑥)=2𝑥+11𝑥1+4𝑥1.

On factorise d’abord les dénominateurs pour obtenir 𝑛(𝑥)=2𝑥+11𝑥1+4(𝑥1)(𝑥+1).

On peut alors noter que l’ensemble de définition de 𝑛(𝑥) est {1;1}. On peut réécrire chaque terme pour avoir le même dénominateur comme suit:𝑛(𝑥)=2𝑥+11𝑥1+4(𝑥1)(𝑥+1)=2𝑥+1×(𝑥1)(𝑥1)1𝑥1×(𝑥+1)(𝑥+1)+4(𝑥1)(𝑥+1)=2(𝑥1)(𝑥1)(𝑥+1)𝑥+1(𝑥1)(𝑥+1)+4(𝑥1)(𝑥+1).

On peut ensuite les additionner pour obtenir 𝑛(𝑥)=2(𝑥1)(𝑥+1)+4(𝑥1)(𝑥+1)=2𝑥2𝑥1+4(𝑥1)(𝑥+1)=𝑥+1(𝑥1)(𝑥+1).

Enfin, on peut simplifier en notant que l’ensemble de définition de 𝑛(𝑥) est {1;1}, 𝑥 n’est jamais égal à 1, alors 𝑥+1 n’est jamais égal à 0. Ainsi, nous pouvons annuler le facteur commun de (𝑥+1) pour obtenir 𝑛(𝑥)=1𝑥1, sur l’ensemble de définition {1;1}.

Terminons maintenant en récapitulant certains points importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • L’ensemble de définition de la somme ou de la différence des fonctions rationnelles est l’ensemble des nombres réels à l’exception des racines de tout dénominateur des fonctions rationnelles dans la somme ou la différence.
  • Nous pouvons simplifier la somme ou la différence des fonctions rationnelles en utilisant les étapes suivantes:
    1. Factoriser complètement les dénominateurs de chaque fonction rationnelle dans la somme ou la différence.
    2. Déterminer l’ensemble de définition de la somme ou de la différence en excluant toutes les racines de ces dénominateurs.
    3. Simplifier chaque terme en annulant les facteurs communs sur l’ensemble de définition.
    4. Multiplier les numérateurs et les dénominateurs de chaque terme dans la somme ou la différence pour que chaque terme ait un dénominateur commun.
    5. Déterminer la somme ou la différence des termes.
    6. Simplifier la fonction rationnelle sur son ensemble de définition.

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