نسخة الفيديو النصية
أوجد تكامل سالب تسعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ أس ثمانية الكل مقسوم على خمسة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة تكامل قسمة دالتين لوغاريتميتين. ونحن لا نعرف كيفية إيجاد قيمة هذا التكامل مباشرة. هذا يعني أن علينا محاولة إعادة كتابة ذلك بطريقة تساعدنا على إيجاد التكامل المطلوب. سنحاول إيجاد ذلك باستخدام قوانين اللوغاريتمات.
أول ما علينا ملاحظته هو أنه يمكننا إعادة كتابة البسط باستخدام قاعدة القوة للوغاريتمات. تذكر أنه في اللوغاريتم الطبيعي، تنص هذه القاعدة على أن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ أس ﺃ يساوي ﺃ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. وفي هذا السؤال، نعلم من المعطيات أن قيمة ﺃ تساوي ثمانية. إذن، بتطبيق قاعدة القوة للوغاريتمات، يمكننا إعادة كتابة الدالة التي سيجري تكاملها على صورة سالب تسعة في ثمانية في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ مقسومًا على خمسة مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. ويمكننا تبسيط ذلك. أولًا، تسعة في ثمانية يساوي ٧٢. بذلك نكون قد أعدنا كتابة التكامل على صورة تكامل سالب ٧٢ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ مقسومًا على خمسة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.
بعد ذلك، نريد حذف العامل المشترك وهو اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ في البسط والمقام لدينا. وتجدر الإشارة هنا إلى أن حذف العامل المشترك يتطلب منا افتراض أن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ لا يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، ﺱ لا يساوي واحدًا. لذا، علينا أن نضع هذا الأمر في الاعتبار لقيم ﺱ التي ستكون إجابتنا صحيحة لها.
بحذف العامل المشترك، نحصل على تكامل سالب ٧٢ على خمسة بالنسبة إلى ﺱ. وهذا عدد ثابت، ولذا يمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل باستخدام قاعدة القوة للتكامل. أو يمكننا تذكر أن مشتقة سالب ٧٢ﺱ على خمسة بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ٧٢ على خمسة، وهذا يعني أن هذه مشتقة عكسية للدالة التي سيجري تكاملها. وبالطبع، علينا إضافة ثابت التكامل ﺙ الذي لدينا. وهذه هي الإجابة النهائية.
إذن، باستخدام قوانين اللوغاريتمات وعملية التبسيط، تمكنا من إيضاح أن تكامل سالب تسعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ أس ثمانية مقسومًا على خمسة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ٧٢ﺱ على خمسة زائد ثابت تكامل ﺙ.
مصر
المملكة العربية السعودية
