شارح الدرس: التكاملات غير المحدَّدة: الدوال الأُسِّية ودوال المقلوب الرياضيات

مثال ١: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن دوالَّ أُسِّية عن طريق توزيع القسمة

أوجد .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة تتضمَّن دوالَّ أُسِّية لها الأساس .

نبدأ بفصْل كل جزء من البسط، ونقسم كلَّ جزء على حدةٍ على في الدالة التي سيجري تكاملها، ليصبح لدينا:

بعد ذلك، بفصْل التكامل وأخْذ أيِّ عوامل ثابتة خارج التكامل، يُمكننا استخدام القاعدة القياسية لتكامل الحدود الأُسِّية:

وبذلك، نحصل على ثابت التكامل لهذه الأجزاء المنفصلة، لكن يُمكننا تجميعه في ثابت واحد . على وجه التحديد، يصبح لدينا:

مثال ٢: إيجاد تكامل دالة أُسِّية أساسها عدد صحيح

أوجد .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة تتضمَّن دالة أُسِّية أساسها ٢.

نبدأ بإعادة كتابة الدالة التي سيجري تكاملها بالأساس على الصورة: وقد طبَّقنا هنا قوانين اللوغاريتمات لنحصل على الصورة النهائية. يُمكننا الآن استخدام القاعدة القياسية لإيجاد تكامل الحدود الأُسِّية:

على وجه التحديد، نجد أن:

مثال ٣: إيجاد تكامل دالة المقلوب

أوجد .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة المقلوب.

يُمكن إجراء هذا التكامل ببساطة عن طريق أخْذ الثابت خارج التكامل، وتطبيق القاعدة القياسية لتكامل دوالِّ المقلوب:

على وجه التحديد، يصبح لدينا:

مثال ٤: إيجاد تكامل دالة كسرية عن طريق توزيع القسمة

أوجد .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة كسرية. عادةً ما نفضِّل في هذه الحالات تطبيق التكامل بالتعويض. ولكن نلاحِظ أنَّنا إذا قمنا بفكِّ الأقواس بالتوزيع، فيُمكننا تبسيط الدالة التي سيجري تكاملها عن طريق قسمة كلِّ حدٍّ في البسط على الموجود في المقام.

نبدأ بفكِّ الأقواس بالتوزيع في الدالة التي سيجري تكاملها، لنحصل على مقدار تربيعي في البسط، ثم نقسم على :

المقدار الأول في الدالة التي سيجري تكاملها يتضمَّن حدًّا خطيًّا، يُمكن إيجاد تكامله باستخدام قاعدة القوة، والمقدار الثاني دالة مقلوب، يُمكن إيجاد تكاملها باستخدام القاعدة القياسية لتكامل دوالِّ المقلوب:

على وجه التحديد، يصبح لدينا:

مثال ٥: تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد تكامل دالة كسرية لها شروط حدِّيَّة

أوجد، إنْ أمْكن، المشتقة العكسية للدالة ، التي تحقِّق الشرطين ، .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد المشتقة العكسية لدالة المقلوب التي تحقِّق شروطًا حدِّية معيَّنة.

نبدأ باستخدام الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد ؛ أي التكامل غير المحدَّد للدالة :

يُمكننا إيجاد الناتِج أو استخدام التكامل بالتعويض. إذا اخترنا التكامل بالتعويض، فعلينا أن نلاحِظ هنا أن الدالة التي سيجري تكاملها تتضمَّن دالة مركَّبة: حيث ، . ومن ثَمَّ، يُمكننا هنا استخدام التعويض:

مشتقة ذلك بالنسبة إلى هي: أو يُمكننا إعادة ترتيب ذلك ليصبح على الصورة:

بعد ذلك، نعوِّض بهذا في التكامل لتغيير المتغيِّر من إلى ، وإيجاد تكامل المقدار الناتِج باستخدام القاعدة القياسية لتكامل دوالِّ المقلوب المُعطى بالصيغة:

وبذلك نحصل على:

والآن، نطبِّق التعويض العكسي ؛ ليكون ما لدينا بدلالة :

يُمكننا الآن استخدام الشرطين الحدِّيَّيْن ، . وبما أن حلَّ التكامل يتضمَّن مقياسًا، إذن هيا نتذكَّر تعريف :

نلاحِظ أيضًا أن دالة ذات الأساس الطبيعي، أو غير مُعرَّفة عند ؛ لذا، بالنسبة إلى ، علينا أخْذ القِيَم التي تحقِّق :

يُمكننا أيضًا تقسيم ثابت التكامل ، في كلِّ جزء من الدالة المتعدِّدة التعريف؛ لبعض قِيَم ، ويصبح لدينا:

وهذه الخطوة ضرورية؛ لأن الثابت يكون مختلفًا، كما نلاحِظ، بناءً على قيمة التي تكون عندها الدالة مُعرَّفة. لذا نجد أن:

لا يُمكن تطبيق الشرط الحدِّي ، إلَّا على الجزء الثاني؛ حيث ، ولدينا . ويُتيح لنا ذلك إيجاد قيمة ؛ حيث لدينا: ومن ثَمَّ، نجد أن:

وبالمثل، لا يُمكن تطبيق الشرط الحدِّي ، إلَّا على الجزء الأول فقط؛ حيث ، ولدينا هنا . يُتيح لنا ذلك إيجاد قيمة : ومن ثَمَّ، نجد أن:

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية للدالة ، التي تحقِّق الشرطين الحدِّيَّيْن المُعطَيَيْن، تُعطَى كالآتي:

مثال ٦: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن فكَّ مقدار دالة تربيعية واستخدام قاعدة القوة

أوجد .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة تتضمَّن ، ونريد فكَّ مقدار دالة تربيعية.

نبدأ بفكِّ التربيع في الدالة التي سيجري تكاملها:

حسنًا، يُمكننا تقسيم التكامل إلى جزأين؛ المقدار الأول به حدٌّ في صورة دالة خطية يُمكن إيجاد تكامله باستخدام قاعدة القوة، والمقدار الثاني حدٌّ في صورة دالة مقلوب يُمكن إيجاد تكامله باستخدام القاعدة القياسية:

على وجه التحديد، يصبح لدينا:

مثال ٧: إيجاد تعبير دالة بمعلومية مشتقتها الثانية باستخدام التكامل غير المحدَّد

إذا كان ، فأوجد .

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد الدالة من تعبير مشتقتها الثانية المُعطَى في السؤال. بما أن التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق، إذن يُمكننا إيجاد بإجراء تكاملَيْن متتاليَيْن.

نبدأ أولًا بإيجاد باستخدام الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. وبتكامل مقدار المشتقة الثانية باستخدام قاعدة القوة والقاعدة القياسية للدوالِّ الأُسِّية: نحصل على:

وأخيرًا، نُوجِد باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل مرَّة أخرى، وبإجراء تكامل آخَر مع مقدار المشتقة الأولى: