فيديو الدرس: التكاملات غير المحددة: الدوال الأسية ودوال المقلوب الرياضيات

سوف نتعلم في هذا الفيديو كيف نوجد التكامل غير المحدد للدوال الأسية ودوال المقلوب.

٢٧:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

التكاملات غير المحددة: الدوال الأسية ودوال المقلوب

سوف نتعلم في هذا الفيديو كيف نوجد التكامل غير المحدد للدوال الأسية ودوال المقلوب. سنفعل هذا باسترجاع نتيجتين من نتائج المشتقات التي تتضمن الدوال الأسية ودوال المقلوب. وعندئذ يمكننا أن نستخدم نتائج هذه المشتقات لإيجاد المشتقات العكسية للدوال الأسية ودوال المقلوب. وتحديدًا، سنتمكن من إيجاد التكامل غير المحدد للدوال الأسية على الصورة: ﻫ أس ﺃﺱ، ولدوال المقلوب على الصورة: ﺃ على ﺱ. لنفعل هذا، نتذكر أنه لإيجاد التكامل غير المحدد لدالة، نريد أن نوجد المشتقة العكسية للدالة. وإحدى الطرق لفعل هذا هي أن نعكس نتائج المشتقات. على سبيل المثال، نتذكر أنه إذا كان د ﺱ هو الدالة الأسية ﻫ أس ﺱ، فإن د شرطة ﺱ هي أيضًا ﻫ أس ﺱ.

يخبرنا هذا بأمرين. أولًا، يخبرنا بالضبط بما ينص عليه. يمكننا أن نشتق ﻫ أس ﺱ لمجرد أن نحصل على ﻫ أس ﺱ. ولكن، هذا يخبرنا أيضًا بنتيجة أخرى، وهي أن ﻫ أس ﺱ هي المشتقة العكسية لـ ﻫ أس ﺱ. ولذلك، ﻫ أس ﺱ زائد ﺙ هي الصورة العامة للمشتقة العكسية لهذه الدالة الأسية. بعبارة أخرى، التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺱ بالنسبة ﺱ هو: ﻫ أس ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. عند هذه المرحلة، يمكننا أن نتابع لنتناول دوال المقلوب. ولكن، توجد صورتان مختلفتان من الدوال الأسية يمكننا أن نتناولهما أولًا.

لنتناول الدوال الأسية على الصورة: ﻫ أس ﺃ في ﺱ؛ حيث ﺃ ثابت حقيقي. ونعرف كيف نشتق دوال على هذه الصورة. نتذكر أن د شرطة ﺱ تساوي ﺃ في ﻫ أس ﺃﺱ. فقط ضربنا في معامل ﺱ. ومثلما فعلنا سابقًا، يمكننا تحويل هذا إلى ناتج تكامل. تكامل ﺃﻫ أس ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو ﻫ أس ﺃﺱ زائد ﺙ. ولكن، الأمر الأكثر شيوعًا هو أن نرى فقط دوال على الصورة: ﻫ أس ﺃﺱ. لذا نريد أن نحذف قيمة ﺃ هذه. نفعل هذا بضرب دالتنا الأصلية في واحد على ﺃ؛ حيث نفترض أن قيمة ﺃ هي قيمة غير صفرية. إذن، نلاحظ أن د شرطة ﺱ هي واحد على ﺃ في ﺃ في ﻫ أس ﺃﺱ، وهو ما يساوي ببساطة ﻫ أس ﺃﺱ.

ومن ثم، أوضحنا أن واحدًا على ﺃ في ﻫ أس ﺃﺱ هو المشتقة العكسية لـ ﻫ أس ﺃﺱ؛ حيث ﺃ قيمة غير صفرية، وهو ما يعني أيضًا أننا أوضحنا أن التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺃﺱ بالنسبة ﺱ هو واحد على ﺃ في ﻫ أس ﺃﺱ زائد ﺙ؛ حيث ﺃ قيمة غير صفرية.

يوجد نوع آخر من الدوال الأسية نريد أن نتناوله قبل أن ننتقل إلى دوال المقلوب. حتى الآن، كل الدوال الأسية التي تناولناها كان لها أساس ﻫ، ومع ذلك يمكننا أن نتناول ما يحدث إذا كان لدينا أساس عام. نريد أن نتناول الدالة الأسية د ﺱ يساوي ﺃ أس ﺱ؛ حيث يلزم أن يكون الأساس قيمة موجبة ولا تساوي واحدًا. يمكننا أن نتذكر أن د شرطة سيساوي ﺃ أس ﺱ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ. وكما فعلنا سابقًا، يمكننا كتابة هذا على صورة ناتج تكامل. أوضحنا أن ﺃ أس ﺱ هو المشتقة العكسية لـ ﺃ أس ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ.

ومن ثم، فتكامل ﺃ أس ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ أس ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ؛ حيث ﺃ قيمة موجبة ولا تساوي واحدًا. وبما أن ﺃ لا يساوي واحدًا، فإنه يمكننا قسمة كلا الطرفين على اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ. هذا يعطينا التكامل غير المحدد لـ ﺃ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ أس ﺱ مقسومًا على اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ زائد ثابت التكامل ﺙ. حسنًا، تجدر ملاحظة أنه يمكننا كتابة ﺙ في كلتا هاتين الحالتين؛ لأن ﺙ مجرد ثابت. عند قسمة كلا الطرفين على اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ سيظل هذا ثابتًا، لذا يمكننا ببساطة أن نطلق على هذا ﺙ في كلتا الحالتين. هيا ننتقل الآن إلى المثال الأخير عن دوال المقلوب.

لإيجاد التكامل غير المحدد لدالة مقلوب، نريد دالة عندما نشتقها نحصل على دالة المقلوب. ويمكننا أن نفعل هذا بتذكر أنه إذا كان د ﺱ هو اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة ﺱ، فإن د شرطة ﺱ سيساوي واحدًا على ﺱ. وعليه فإن اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة ﺱ هو المشتقة العكسية لواحد على ﺱ، وهو ما يخبرنا أن التكامل غير المحدد لواحد على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة ﺱ زائد ﺙ. ويمكننا تعميم هذه النتيجة بعض الشيء بضرب الدالة الأصلية في ﺃ.

إذا كان د ﺱ يساوي ﺃ في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة ﺱ، فإن د شرطة ﺱ يساوي ﺃ على ﺱ، وهو يخبرنا أنه، لأي ثابت حقيقي ﺃ، فإن تكامل ﺃ على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة ﺱ زائد ﺙ. لنلق نظرة الآن على بعض الأمثلة التي نستخدم فيها هذه النتائج لإيجاد تكاملات دوال أكثر تعقيدًا.

أوجد التكامل غير المحدد لثمانية ﻫ أس ثلاثة ﺱ ناقص ﻫ أس اثنين ﺱ زائد تسعة مقسومًا على سبعة ﻫ أس ﺱ، بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، المطلوب منا هو إيجاد التكامل غير المحدد لمقدار يتضمن دوال أسية. ولأول وهلة، قد يبدو إيجاد هذا التكامل أمرًا شديد الصعوبة. على سبيل المثال، قد نفكر في طريقة التعويض بـ ﻉ. ولكن، ينبغي دومًا أن نتحقق مما إذا كان يمكننا تبسيط الدالة التي سيجرى عليها التكامل. ويمكننا أن نفعل هذا بقسمة كل حد من حدود البسط على المقام؛ حيث نتذكر أنه لكل حد في البسط، علينا فقط أن نطرح من أس ﻫ أس ﻫ في المقام. وهذا يعطينا التكامل غير المحدد لثمانية على سبعة في ﻫ أس اثنين ﺱ ناقص سبع ﻫ أس ﺱ زائد تسعة على سبعة في ﻫ أس سالب ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

والآن، يمكننا أن نعرف كيف نكامل كل حد على حدة من الدالة التي يجرى عليها التكامل. وسنقسم هذا التكامل إلى ثلاثة تكاملات منفصلة. ويمكننا أن نفعل هذا لأننا نتذكر أن تكامل مجموع الدوال يساوي مجموع تكامل كل دالة على حدة. وبفعل هذا، نحصل على ما يأتي. يمكننا بعد ذلك تبسيط كل حد على حدة. سننقل العامل الثابت خارج كل تكامل. وهذا يعطينا إذن ثمانية أسباع في التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، ناقص سبع في التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، زائد تسعة أسباع في تكامل ﻫ أس سالب ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

يمكننا الآن إيجاد كل تكامل من هذه التكاملات غير المحددة على حدة. يمكننا فعل هذا بأن نتذكر أنه لأي ثابت حقيقي ﺃ لا يساوي صفرًا، فإن تكامل ﻫ أس ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي واحدًا على ﺃ في ﻫ أس ﺃﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وسنستخدم هذا لإيجاد كل تكامل على حدة. لنبدأ بأول تكامل؛ تكامل ﻫ أس اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. قيمة ﺃ لدينا هي اثنان. لذا، نعوض عن ﺃ باثنين في قاعدة التكامل التي ذكرناها. نحصل على: نصف في ﻫ أس اثنين ﺱ. وعلينا أن نضرب هذا في ثمانية على سبعة. وتجدر ملاحظة أنه بما أننا نوجد قيمة مجموع تكاملات غير محددة متعددة، فسنحصل على ثابت تكامل لكل تكامل من هذه التكاملات. يمكننا أن نضم كل هذه الثوابت في ثابت واحد ونكتبه في نهاية المقدار الناتج. لذا، لا داعي للقلق بشأن إضافة ﺙ حتى ننتهي من إيجاد التكاملات.

هيا نوجد الآن التكامل الثاني. نعرف أن ﻫ أس ﺱ هو نفسه ﻫ أس واحد في ﺱ. إذن، قيمة ﺃ لدينا هي واحد. بالطبع هذا، نوعًا ما، ليس ضروريًّا لأننا نعرف أن تكامل ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو ببساطة ﻫ أس ﺱ. ومع ذلك، لو عوضنا عن ﺃ بواحد، لكنا سنحصل على واحد على واحد في ﻫ أس واحد ﺱ، الذي هو ببساطة ﻫ أس ﺱ. لذا، بإيجاد التكامل الثاني وضربه في سالب سبع، نحصل على سالب سبع ﻫ أس ﺱ.

أخيرًا، هيا نوجد التكامل الثالث. قيمة ﺃ لدينا هي سالب واحد. بالتعويض عن ﺃ بسالب واحد في ناتج التكامل لدينا نحصل على واحد على سالب واحد في ﻫ أس سالب ﺱ. وعلينا أن نضرب هذا في تسعة على سبعة. وتذكر أن علينا أيضًا أن نضيف ثابت التكامل في نهاية هذا المقدار. يمكننا بعد ذلك تبسيط هذا قليلًا. واحد على سالب واحد يساوي ببساطة سالب واحد. لذا، بدلًا من إضافة هذا الحد، يمكننا أن نطرحه. ويمكننا أيضًا أن نلاحظ في الحد الأول أن لدينا عاملًا مشتركًا هو اثنان في كل من البسط والمقام. يمكننا حذفهما سويًّا لنحصل على العامل أربعة على سبعة.

هذا يعطينا الإجابة النهائية. التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ثلاثة ﺱ ناقص ﻫ أس اثنين ﺱ زائد تسعة على سبعة ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي أربعة على سبعة في ﻫ أس اثنين ﺱ ناقص ﻫ أس ﺱ على سبعة ناقص تسعة أسباع ﻫ أس سالب ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.

في المثال السابق، استطعنا أن نعيد كتابة الدالة التي يجرى عليها التكامل على صورة يمكننا فيها أن نكامل كل حد على حدة باستخدام قواعد تكامل الدوال الأسية. وذكرنا أيضًا أنه كان بإمكاننا أن نحاول استخدام طريقة التعويض بـ ﻉ، على الرغم من أن هذه الطريقة كانت أكثر صعوبة. وسنخوض عملية مماثلة في المثال التالي. يمكننا محاولة فعل هذا باستخدام التعويض بـ ﻉ أو بإعادة كتابة الدالة التي يجرى عليها التكامل.

أوجد التكامل غير المحدد لاثنين أس تسعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، المطلوب منا هو إيجاد تكامل دالة أسية. ويمكننا ملاحظة أن هذا يبدو مشابهًا جدًّا لأحد نواتج التكامل. لأي ثابت موجب ولا يساوي واحدًا، تكامل ﺃ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ أس ﺱ مقسومًا على اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ زائد ثابت التكامل ﺙ. ولكن، في هذه الحالة، الأس لا يساوي ﺱ فحسب، وإنما تسعة ﺱ. لذا، لا يمكننا ببساطة أن نستخدم مباشرة نتيجة التكامل هذه. وتوجد طريقتان يمكننا بهما أن نحاول أن نحل هذا. يمكننا أن نحاول استخدام التعويض بـ ﻉ. حيث ﻉ يساوي تسعة ﺱ. ومن ثم، سيتيح لنا هذا أن نعيد صياغة ما بداخل التكامل على هذه الصورة. ومع ذلك، توجد في الواقع طريقة أسهل.

يمكننا ببساطة أن نطبق قوانين الأسس. اثنان أس تسعة الكل مرفوع للقوة ﺱ سيساوي اثنين أس تسعة في ﺱ. لذا، يمكننا إعادة كتابة ما بداخل التكامل على صورة تكامل اثنين أس تسعة الكل مرفوع للقوة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. إذن، قيمة ﺃ لدينا هي اثنان أس تسعة. يمكننا الآن حساب اثنين أس تسعة يساوي ٥١٢. ولكن، ما سنفعله ببساطة هو أننا سنعوض عن ﺃ باثنين أس تسعة في نتيجة التكامل. ومن ثم، هذا يعطينا اثنين أس تسعة الكل مرفوع للقوة ﺱ الكل مقسوم على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين أس تسعة زائد ثابت التكامل ﺙ. وهذا يمكن أن يساعدنا في أن نرى السبب في أنه من المفيد أن نترك هذا على صورة اثنين أس تسعة بدلًا من أن نوجد قيمته.

يمكننا تبسيط البسط باستخدام قوانين الأسس، ويمكننا تبسيط المقام باستخدام قاعدة القوة للوغاريتمات. أولًا، في البسط، اثنان أس تسعة الكل مرفوع للقوة ﺱ سيساوي اثنين أس تسعة في ﺱ. وبعد ذلك، في المقام، تخبرنا قاعدة القوة للوغاريتمات بأن اللوغاريتم الطبيعي لاثنين أس تسعة سيساوي تسعة في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين، وهو ما سيعطينا إجابتنا النهائية. تكامل اثنين أس تسعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو اثنان أس تسعة ﺱ مقسومًا على تسعة في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين زائد ثابت التكامل ﺙ.

تجدر ملاحظة أنه يمكننا استخدام الطريقة التي استخدمناها في هذا السؤال لإثبات نتيجة تكامل عامة. يمكننا تطبيق هذه الطريقة على التكامل غير المحدد لـ ﺃ أس 𝑏ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. نعيد كتابة التكامل على صورة: ﺃ أس 𝑏 الكل مرفوع للقوة ﺱ، وبعد ذلك نستخدم نتيجة التكامل. بعدها نعيد كتابة البسط باستخدام قوانين الأسس، والمقام باستخدام قاعدة القوة للوغاريتمات. نحصل على: ﺃ أس 𝑏ﺱ مقسومًا على 𝑏 في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ زائد ثابت التكامل ﺙ.

دعونا الآن نر مثالًا لتكامل دالة مقلوب.

أوجد التكامل غير المحدد لسالب اثنين مقسومًا على سبعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، المطلوب منا هو إيجاد التكامل غير المحدد لدالة مقلوب. ويمكننا أن نفعل هذا مباشرة باسترجاع إحدى نتائج التكامل. لأي ثابت حقيقي ﺃ، التكامل غير المحدد لـ ﺃ على ﺱ بالنسبة ﺱ يساوي ﺃ في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. يمكننا ببساطة أن نلاحظ أن قيمة ﺃ ستساوي سالب اثنين على سبعة، ومع ذلك، يمكن في بعض الأحيان أن تصعب رؤية هذا. لذا، بدلًا من ذلك، سنأخذ العامل الثابت سالب اثنين على سبعة خارج التكامل. يصبح لدينا سالب اثنين على سبعة في التكامل غير المحدد لدالة المقلوب؛ واحد على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

نعلم أن تكامل دالة المقلوب هو اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة ﺱ. يمكننا ببساطة أن نسترجع هذا، أو يمكننا أن نجعل قيمة ﺃ تساوي واحدًا في نتيجة التكامل هذه. باستخدام أي من الطريقتين، أوجدنا أن التكامل غير المحدد لسالب اثنين على سبعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب سبعين في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة ﺱ زائد ﺙ. وتجدر ملاحظة أنه يمكننا دائمًا أن نتحقق من إجابتنا باستخدام الاشتقاق. تذكر أنه عندما نوجد التكامل غير المحدد لدالة، فإننا نوجد مشتقتها العكسية العامة. هذا يعني أنه عندما نشتق الدالة التي لدينا بالنسبة إلى ﺱ، فإنه ينبغي أن يكون الناتج هو الدالة التي يجرى عليها التكامل.

لذا، هيا نوجد مشتقة سالب سبعين في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة ﺱ زائد ﺙ بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا البدء بتذكر أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي واحد على ﺱ. لذا، عند اشتقاق الحد الأول بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على سالب اثنين على سبعة مضروبًا في واحد على ﺱ. الحد الثاني هو ثابت، لذا معدل تغيره بالنسبة إلى ﺱ يساوي صفرًا. وعندما نفعل هذا نحصل ببساطة على سالب سبعين في واحد على ﺱ، وهو ما يمكننا تبسيطه ليصبح سالب اثنين على سبعة ﺱ. وهذا بالفعل هو الدالة التي يجرى عليها التكامل، وهو ما يؤكد أن إجابتنا صحيحة. ومن ثم، فإن التكامل غير المحدد لسالب اثنين على سبعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو سالب اثنين على سبعة في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة ﺱ زائد ﺙ.

دعونا الآن نر مثالًا علينا فيه استخدام الشروط الحدية لإيجاد مشتقة عكسية معينة لدالة مقلوب معطاة.

أوجد، إن أمكن، المشتقة العكسية ﻕ لـ د ﺱ تساوي واحدًا مقسومًا على اثنين ﺱ ناقص واحد التي تحقق الشرطين ﻕ لصفر يساوي واحدًا، وﻕ لواحد يساوي سالب واحد.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد المشتقة العكسية لدالة مقلوب معطاة تحقق شرطين، وهذان الشرطان يطلق عليهما الشرطان الحديان. يمكننا أن نفعل هذا بتذكر أنه يمكننا إيجاد المشتقات العكسية للدوال باستخدام التكامل غير المحدد. وتحديدًا التكامل غير المحدد لواحد مقسومًا على اثنين ﺱ ناقص واحد بالنسبة إلى ﺱ سيعطينا المشتقة العكسية العامة لهذه الدالة. نعرف كيف نجري تكامل دالة المقلوب. ولكن في هذه الحالة يمكننا أن نلاحظ أن المقام دالة خطية. لذا، سنستخدم التعويض بـ ﻉ.

سنجعل ﻉ يساوي المقام؛ اثنين ﺱ ناقص واحد. والآن، تذكر أنه لكي نجري التكامل بالتعويض، علينا إيجاد معادلة تتضمن تفاضليات. ويمكننا أن نفعل هذا باشتقاق كلا طرفي التعويض بالنسبة إلى ﺱ. بما أن اثنين ﺱ ناقص واحد دالة خطية، فإن مشتقتها بالنسبة إلى ﺱ ستكون معامل ﺱ، الذي يساوي اثنين. والآن، مع أن دﻉ على دﺱ ليس كسرًا، فإنه يمكننا أن نعامله إلى حد ما على أنه كسر عندما نجري التكامل بالتعويض. هذا سيتيح لنا إيجاد معادلة تتضمن تفاضليات. ومن ثم، نجد أن نصف دﻉ يساوي دﺱ.

والآن، يمكننا استخدام التكامل بالتعويض. هذا سيتيح لنا أن نعيد كتابة ما بداخل التكامل. نعيد كتابة مقام الدالة التي سيجرى عليها التكامل على صورة ﻉ، ونعوض عن دﺱ بنصف دﻉ. نحصل على التكامل غير المحدد لواحد على ﻉ في نصف بالنسبة إلى ﻉ. ويمكننا تبسيط التكامل قليلًا بأخذ العامل الثابت نصف خارج التكامل. هذا يعطينا نصفًا في التكامل غير المحدد لواحد على ﻉ بالنسبة إلى ﻉ. يمكننا الآن إيجاد هذا التكامل باسترجاع أن تكامل واحد على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. في حالتنا هذه، المتغير الذي لدينا هو ﻉ. لذا، نحصل على نصف في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﻉ زائد ثابت التكامل ﺙ.

حسنًا، تجدر ملاحظة أننا لا نحتاج إلى ضرب ثابت التكامل الذي لدينا في نصف لأن نصفًا في ثابت يظل ثابتًا، لذا سنطلق على هذا ﺙ. لكن تذكر أن التكامل الأصلي المعطى هو بدلالة ﺱ، وأن الدالة الأصلية د ﺱ هي أيضًا بدلالة ﺱ. لذا ينبغي أن نعيد كتابة إجابتنا بدلالة المتغير ﺱ. يمكننا فعل هذا باستخدام التعويض بـ ﻉ. نحصل على نصف في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لاثنين ﺱ ناقص واحد زائد ﺙ. وعند هذه المرحلة، قد نظن أن الدالة التي سنعوض بها هي ﻕ ونبدأ بالتعويض عن ﺱ بصفر وعن ﺱ بواحد والحل لإيجاد قيمة ﺙ. ولكن مع أن هذا قد ينجح غالبًا، فإنه لن ينجح في هذه الحالة لأننا في الواقع نستخدم ترميزًا مختزلًا.

فنحن نوجد اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لاثنين ﺱ ناقص واحد. هذا يعني أن هذه دالة متعددة التعريف. وهذا منطقي جدًّا؛ لأنه لاشتقاق اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة ﺱ، فإننا نفعل هذا على جزأين. مشتقة اللوغاريتم الطبيعي ﺱ عند ﺱ أكبر من صفر هي واحد على ﺱ، ومشتقة اللوغاريتم الطبيعي لسالب ﺱ هي واحد على ﺱ عند ﺱ أصغر من صفر. بنفس الطريقة، نتيجة التكامل ستكون دالة متعددة التعريف، اعتمادًا على ما إذا كانت القيمة المدخلة موجبة أم سالبة.

لذلك سنحتاج إلى كتابة هذه على صورة دالة متعددة التعريف. سنفعل هذا بملاحظة أنه عند ﺱ أكبر من نصف، فإن اثنين ﺱ ناقص واحد ستكون قيمة موجبة، وعند ﺱ أصغر من نصف، فإن اثنين ﺱ ناقص واحد ستكون قيمة سالبة. لذا، إذا كانت قيمة ﺱ أكبر من نصف، فإن القيمة المطلقة لاثنين ﺱ ناقص واحد تساوي اثنين ﺱ ناقص واحد. وإذا كانت قيمة ﺱ أقل من نصف، فإن اثنين ﺱ ناقص واحد ستكون سالبة. لذا القيمة المطلقة لاثنين ﺱ ناقص واحد ستكون سالب واحد في اثنين ﺱ ناقص واحد، وهو ما يساوي واحدًا ناقص اثنين ﺱ.

يتيح لنا هذا أن نكتب الدالة المتعددة التعريف ﻕ ﺱ. وهي تساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ ناقص واحد زائد ثابت التكامل الذي أطلقنا عليه ﺙ واحد عند ﺱ أكبر من نصف. وهي تساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي لواحد ناقص اثنين ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ اثنين إذا كان ﺱ أصغر من نصف. والمهم في الأمر أن نلاحظ هنا أن ثابتي التكامل لا يلزم أن يكونا متماثلين. وتذكر أن ذلك لأنه عند اشتقاق هذه الدالة، سنشتق كل دالة فرعية على حدة في مجالها الفرعي. ومشتقتا هذين الثابتين ستساويان دائمًا صفرًا؛ فلا أهمية لقيمتيهما.

وأخيرًا، ربما تجدر ملاحظة أن ﺱ يساوي نصفًا ليس متضمنًا في أي من المجالين الفرعيين. لذا، لا داعي للقلق بشأن هذا إذا كنا سنشتق ﻕ ﺱ. والسبب في هذا ببساطة هو أن النصف ليس متضمنًا في مجال الدالة الأصلية؛ د ﺱ. يمكننا الآن إيجاد قيمتي ﺙ واحد وﺙ اثنين من معطيات السؤال. لنبدأ بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في هذه الدالة. للتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في الدالة المتعددة التعريف، نلاحظ أن صفرًا أصغر من نصف، لذا علينا أن نستخدم دالتنا الفرعية الثانية. نجد أن قيمة ﻕ تساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي لواحد ناقص اثنين في صفر زائد ﺙ اثنين. نعرف من معطيات السؤال أن قيمة ﻕ عند صفر تساوي واحدًا.

وبعد ذلك، واحد ناقص اثنين في صفر يساوي واحدًا، واللوغارتيم الطبيعي لواحد يساوي صفرًا. إذن، يبسط هذا الحد ونحصل على صفر. ومن ثم، أوجدنا أن واحدًا يساوي ﺙ اثنين. يمكننا الآن التعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا في دالتنا ﻕ لإيجاد قيمة ﺙ واحد. وبما أن واحدًا أكبر من نصف، فإنه يقع في المجال الفرعي الأول للدالة المتعددة التعريف. نجد أن قيمة ﻕ عند واحد تساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في واحد ناقص واحد زائد ﺙ واحد. ونعرف من معطيات السؤال أن قيمة ﻕ عند واحد تساوي سالب واحد، ويمكننا ملاحظة أن اثنين في واحد ناقص واحد يساوي واحدًا. واللوغاريتم الطبيعي لواحد يساوي صفرًا. لذا، يبسط هذا ليعطينا أن ﺙ واحد يساوي سالب واحد.

والآن، كل ما علينا فعله هو أن نعوض بقيمتي ﺙ واحد وﺙ اثنين في الدالة ﻕ ﺱ. ومن ثم، نحصل على ما يأتي. وتجدر ملاحظة أنه يمكننا كتابة دالتنا الفرعية بأي ترتيب، ولكن عادة ما نكتب هذا بحيث يكون المجال الفرعي الذي في جهة اليسار في الأعلى. وبما أن ﺱ أصغر من نصف يبدأ على يسار خط الأعداد، فإننا سنكتب هذا في أعلى الدالة. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. ‏ﻕ ﺱ سيساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي لواحد ناقص اثنين ﺱ زائد واحد إذا كان ﺱ أقل من نصف. وﻕ ﺱ سيساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ ناقص واحد ناقص واحد إذا كان ﺱ أكبر من نصف.

دعونا الآن نلخص بعض النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا، تمكنا من أن نعكس نتائج المشتقات التي تتضمن دوال أسية للحصول على نتائج التكاملات غير المحددة المكافئة. على سبيل المثال، تمكنا من إيجاد أن التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو ﻫ أس ﺱ زائد ﺙ. ولأي ثابت حقيقي ﺃ لا يساوي صفرًا، فإن التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي واحدًا على ﺃ في ﻫ أس ﺃﺱ زائد ﺙ.

وأخيرًا، لأي ثابت حقيقي ﺃ موجب ولا يساوي واحدًا، فإن التكامل غير المحدد لـ ﺃ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو ﺃ أس ﺱ مقسومًا على اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ زائد ﺙ. ثانيًا، تمكنا من أن نعكس نتيجة مشتقة أخرى لنوضح أنه لأي ثابت حقيقي ﺃ فإن التكامل غير المحدد لـ ﺃ على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو ﺃ في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة ﺱ زائد ﺙ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.