فيديو: إيجاد مركز ونصف قطر دائرة بإكمال المربع

أوجد مركز ونصف قطر الدائرة ‪𝑥² + 6𝑥 + 𝑦² + 18𝑦 + 26 = 0‬‏.

٠٥:٣٦

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مركز ونصف قطر الدائرة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ستة ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦‬‏ تربيع زائد ‪18𝑦‬‏ زائد ‪26‬‏ يساوي صفرًا.

لإيجاد مركز ونصف قطر دائرتنا، سأضعها بهذه الصورة، ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏ الكل تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع، حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ هما إحداثيا ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ لمركز الدائرة و‪𝑟‬‏ هو نصف قطرها. كي نتمكن من كتابتها بهذه الصورة، ما علينا فعله هو إكمال المربع.

سنراجع سريعًا كيفية إكمال المربع، لدينا ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑎𝑥‬‏. لإكمال المربع، سنضعه بهذه الصورة. سنجعله يساوي ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑎‬‏ على اثنين الكل تربيع ناقص ‪𝑎‬‏ على اثنين تربيع. وبتذكر أننا نقسم معاملي ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ على اثنين، فإنهما سيصبحان على هذه الصورة. حسنًا، هيا نطبق ذلك على المعادلة الموجودة في الطرف الأيسر.

أولًا، سيكون لدينا ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة الكل تربيع ناقص ثلاثة تربيع وذلك لأن معامل ‪𝑥‬‏ هو ستة، إذن نقسمه على اثنين لنحصل على العدد داخل القوسين والعدد الذي نطرحه بعد القوسين. وهو ما يعني أن ستة مقسومًا على اثنين يساوي ثلاثة.

بعد ذلك نكمل المربع بـ ‪𝑦‬‏، فنحصل على ‪𝑦‬‏ زائد تسعة الكل تربيع ناقص تسعة تربيع مرة أخرى. لدينا تسعة لأن معامل ‪𝑦‬‏ هو ‪18‬‏، و‪18‬‏ على اثنين يساوي تسعة. رائع، أكملنا المربع لهذين الجزأين كليهما. بعد ذلك سيكون لدينا ‪𝑎‬‏ زائد ‪26‬‏.

حسنًا، الآن يمكننا تبسيط المعادلة، وهو ما سيعطينا ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ زائد تسعة الكل تربيع ناقص تسعة ناقص ‪81‬‏ زائد ‪26‬‏. نحصل على ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ زائد تسعة الكل تربيع ناقص ‪64‬‏ يساوي صفرًا.

لدينا بعد ذلك مرحلة أخيرة حتى يكون المقدار بالصورة التي نريدها وهي إضافة ‪64‬‏ إلى كل طرف. يصبح لدينا ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ زائد تسعة الكل تربيع يساوي ‪64‬‏. رائع، لدينا المقدار الآن بالصورة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏ الكل تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع.

وأخيرًا، سنستخدم المعادلة لإيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها. باستخدام المعادلة لإيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها، علينا العودة إلى معادلة الدائرة لنرى كيف يمكن أن تكون مفيدة. حسنًا، سنبدأ بإيجاد مركز الدائرة وذلك باستخدام القيم الموجودة داخل القوسين. ويمكننا إيجاد مركز الدائرة لأنه عند العودة إلى المعادلة الأصلية، يمكننا أن نرى أن قيمتي ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ هما أنفسهما إحداثيا ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏.

هذا معناه أنه في الدائرة، سيكون لدينا إحداثي ‪𝑥‬‏ سالب ثلاثة وإحداثي ‪𝑦‬‏ سالب تسعة. ربما تسأل لماذا وضعنا إشارة السالب. السبب أننا وضعنا إشارة السالب أنه إذا نظرت إلى المعادلة الأصلية، فستجد ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ و‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏. ولذلك، ستكون مثل قيمة الأعداد داخل القوسين ولكن بالسالب. بالتالي سيكون لدينا القيمتان سالب ثلاثة وسالب تسعة لأنه لا توجد إشارات سالبة داخل القوسين، بل توجد إشارات موجبة، إذن هذه إحدى النقاط التي نبحث عنها عند حل هذا النوع من المسائل.

حسنًا، رائع! وجدنا مركز الدائرة، سنحاول الآن إيجاد نصف القطر. يمكننا إيجاد ذلك لأن لدينا معلومة عنه في الدائرة، وهي أن ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي ‪64‬‏. والتالي، ‪𝑟‬‏ سيساوي الجذر التربيعي لـ ‪64‬‏. إذن ‪𝑟‬‏ سيساوي ثمانية. سنتجاهل القيمة السالبة للجذر التربيعي لـ ‪64‬‏ لأننا لا نتحدث هنا، في واقع الأمر، عن نصف القطر؛ بل نتحدث عن الطول. إذن لدينا هنا الإجابة النهائية، وهي أن مركز الدائرة له إحداثي ‪𝑥‬‏ سالب ثلاثة وإحداثي ‪𝑦‬‏ سالب تسعة ونصف قطر الدائرة هو ثمانية.

كتلخيص سريع لما فعلناه، أول ما عليك فعله، هو كتابة المسألة في صورة معادلة دائرة. وحتى نفعل ذلك، أكملنا المربع، ثم قمنا بالتبسيط، واستخدمنا القيم التي وجدناها داخل القوسين لإيجاد مركز الدائرة. بعد ذلك استخدمنا القيمة في الطرف الأيمن من المعادلة لإيجاد نصف القطر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.