فيديو: معادلة الدائرة

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد معادلة الدائرة بمعلومية مركزها ونقطة معطاة أو نصف القطر، والعكس.

١٧:٣٦

‏نسخة الفيديو النصية

معادلة الدائرة

في هذا الفيديو، سوف نناقش تعريف الدائرة، وكيف نستنتج معادلة الدائرة، وسوف نتعلم كيف نوجد معادلة الدائرة بمعلومية مركزها ونقطة واقعة عليها، وكذلك كيف نوجد مركز الدائرة ونصف قطرها بمعلومية معادلتها. قبل البدء في إيجاد معادلة الدائرة، دعونا نتذكر بإيجاز التعريف الرياضي للدائرة. الدائرة هي المجموعة أو المحل الهندسي لجميع النقاط المعطاة على مسافة معينة من نقطة ما. بعبارة أخرى، لدينا مركز للدائرة، وكل نقطة على هذه الدائرة تبعد المسافة نفسها عن المركز. نسمي هذه المسافة بنصف قطر الدائرة.

والآن، لمساعدتنا في إيجاد معادلة للدائرة، سنحتاج إلى تمثيلها على المحاور الكارتيزية. لإجراء ذلك، علينا تحديد نقطة لتكون المركز؛ لنختر نقطة الأصل. هذه هي النقطة التي إحداثياتها: صفر، صفر؛ وسنسميها ‪𝑂‬‏. نحن نريد إيجاد المعادلة لدائرة عامة، ومن ثم سنشير إلى نصف القطر بالحرف ‪𝑟‬‏. فلنختر نقطة على الدائرة. سنسمي هذه النقطة: ‪𝑥‬‏، ‪𝑦‬‏. وعلينا إيجاد علاقة بين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏.

أول ما نلاحظه في هذا الرسم أن ‪𝑦‬‏ ليس دالة في ‪𝑥‬‏. ولمعرفة السبب في ذلك افترض أن لدينا قيمة مدخلة لـ ‪𝑥‬‏. ولكي يكون ‪𝑦‬‏ دالة في ‪𝑥‬‏، لا بد أن تكون للدالة قيمة مخرجة محددة واحدة فقط. لكننا نلاحظ أنه ستكون هناك قيمتان مخرجتان في هذه الحالة. ومن ثم، لا يمكن تمثيل ‪𝑦‬‏ على أنه دالة في ‪𝑥‬‏، ولذا لا يمكننا استخدام الطريقة العادية. سنحاول استخدام طريقة هندسية. في البداية، سنمد مستقيمًا رأسيًا بين المحور ‪𝑥‬‏ والنقطة: ‪𝑥‬‏، ‪𝑦‬‏. ولأن ذلك مستقيم رأسي، فهذا يعني أننا سنحصل على مثلث قائم الزاوية. وفي الحقيقة، يمكننا إيجاد ارتفاع هذا المثلث. وبما أن هذا المستقيم يمتد من المحور ‪𝑥‬‏ إلى النقطة: ‪𝑥‬‏، ‪𝑦‬‏؛ فإن ارتفاعه يساوي ‪𝑦‬‏.

جدير بالذكر أيضًا أنه لو كانت النقطة: ‪𝑥‬‏، ‪𝑦‬‏ أسفل المحور ‪𝑥‬‏، لكنا سنحتاج بدلًا من ذلك إلى أن نحسب القيمة المطلقة لـ ‪𝑦‬‏. إذن في كلتا الحالتين، هذا الطول يساوي القيمة المطلقة لـ ‪𝑦‬‏. يمكننا، بالطبع، أن نفعل الشيء نفسه تمامًا لإيجاد عرض المثلث. فهو يمتد من المحور ‪𝑦‬‏ إلى النقطة: ‪𝑥‬‏، ‪𝑦‬‏. إذن عرضه يساوي القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏. لدينا الآن مثلث قائم الزاوية نعلم أطوال أضلاعه الثلاثة. وسنطبق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث. تذكر أنها تخبرنا أن مربع العرض زائد مربع الارتفاع يساوي مربع طول الوتر.

في هذه الحالة، عرض المثلث يساوي القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏. وارتفاع المثلث يساوي القيمة المطلقة لـ ‪𝑦‬‏. وطول الوتر يساوي ‪𝑟‬‏. إذن، وفقًا لنظرية فيثاغورس، لا بد أن تكون لدينا القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ تربيع زائد القيمة المطلقة لـ ‪𝑦‬‏ تربيع تساوي ‪𝑟‬‏ تربيع. لكن تذكر أنه لا يهم ما إذا كان العدد موجبًا أو سالبًا عند تربيعه؛ لأننا سنحصل على الإجابة نفسها. إذن في الواقع، يمكننا تبسيط القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ تربيع لكي تصبح ‪𝑥‬‏ تربيع، والقيمة المطلقة لـ ‪𝑦‬‏ تربيع لكي تصبح ‪𝑦‬‏ تربيع فقط. إذن، يمكننا تبسيط هذه المعادلة لنحصل على ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع. وهذه هي معادلة الدائرة لدينا التي مركزها نقطة الأصل، ونصف قطرها ‪𝑟‬‏.

جدير بالملاحظة أيضًا من الناحية العملية أن نقاط التقاطع مع المحورين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ لا يمكن أن تشكل مثلثًا قائم الزاوية بنفس الطريقة، ولذا علينا التأكد من تحقيقها المعادلة، كل منها على حدة. لكن بمعلومية أن نصف قطر الدائرة يساوي ‪𝑟‬‏، يمكننا فقط أن نحدد الإحداثيات ونجد أن جميع هذه النقاط تحقق المعادلة لدينا. إذن، كل نقطة على الدائرة تحقق المعادلة: ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع. وبذلك، نكون قد استنتجنا أن معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها ‪𝑟‬‏ هي: ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع.

لكن هذا يطرح تساؤلًا: ماذا كان سيحدث لو لم نختر نقطة الأصل لتكون المركز؟ ماذا لو كنا اخترنا نقطة أخرى؟ حسنًا، يمكننا فعل الشيء نفسه تمامًا. لنفكر في هذا المثال حيث نختار المركز ليكون النقطة: ‪ℎ‬‏، ‪𝑘‬‏. ومرة أخرى، سنختار نقطة على الدائرة ونسميها: ‪𝑥‬‏، ‪𝑦‬‏. تذكر أن لدينا نصف قطر الدائرة يساوي ‪𝑟‬‏. ومثلما فعلنا من قبل، سنكون المثلث القائم الزاوية نفسه. هذه المرة علينا أن نكون أكثر حرصًا عند إيجاد طول المثلث القائم الزاوية وعرضه. على سبيل المثال، لإيجاد ارتفاع هذا المثلث القائم الزاوية، ننتقل من النقطة التي إحداثي ‪𝑦‬‏ فيها هو ‪𝑘‬‏ إلى النقطة التي إحداثي ‪𝑦‬‏ فيها هو ‪𝑦‬‏. بعبارة أخرى، ارتفاع هذا المثلث القائم الزاوية سيساوي ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑘‬‏.

لكن تذكر أن قيمة ‪𝑦‬‏ ستكون أحيانًا أصغر من قيمة ‪𝑘‬‏. وهذا سيعطينا ناتجًا سالبًا. إذن، سنحسب القيمة المطلقة لـ ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑘‬‏. ويمكننا أن نفعل شيئًا مشابهًا لإيجاد عرض هذا المثلث القائم الزاوية. هذه المرة ننتقل من ‪ℎ‬‏ إلى ‪𝑥‬‏. هذا يعني أن عرض هذا المثلث القائم الزاوية سيساوي القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ ناقص ‪ℎ‬‏. وكما فعلنا من قبل، نطبق الآن نظرية فيثاغورس على هذا المثلث القائم الزاوية. هذا يعطينا القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ ناقص ‪ℎ‬‏ تربيع زائد القيمة المطلقة لـ ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑘‬‏ تربيع تساوي ‪𝑟‬‏ تربيع.

تذكر أننا إذا قمنا بتربيع القيمة المطلقة، فلن نحتاج إلى علامة القيمة المطلقة. إذن، سنكتب ذلك في صورة مكافئة كما يلي: ‪𝑥‬‏ ناقص ‪ℎ‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑘‬‏ الكل تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع. وهذا يعطينا معادلة الدائرة التي مركزها النقطة: ‪ℎ‬‏، ‪𝑘‬‏؛ ونصف قطرها ‪𝑟‬‏. لكن تذكر أنه، عمليًا، توجد أربع نقاط على الدائرة لا تعطينا مثلثًا قائم الزاوية بهذه الصورة. لكن كما فعلنا من قبل، يمكننا استخدام حقيقة أن نصف القطر يساوي ‪𝑟‬‏ لإيجاد إحداثيات كل نقطة من هذه النقاط. ومن ثم، نلاحظ أن هذه النقاط تحقق أيضًا هذه المعادلة. بذلك نكون قد أوضحنا أن كل نقطة على الدائرة تحقق هذه المعادلة.

وعليه، فقد أثبتنا أن أي دائرة مركزها النقطة: ‪ℎ‬‏، ‪𝑘‬‏، ونصف قطرها ‪𝑟‬‏؛ ستكون معادلتها: ‪𝑥‬‏ ناقص ‪ℎ‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑘‬‏ الكل تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع. إذن، بمعلومية مركز الدائرة ونصف قطرها، يمكننا إيجاد معادلة الدائرة. لكن العكس صحيح أيضًا. فإذا كانت لدينا معادلة الدائرة، فيمكننا إيجاد المركز ونصف القطر. قبل البدء في تناول بعض الأمثلة، ثمة أمر آخر علينا التحدث عنه وهو: الصورة العامة لمعادلة الدائرة. لإجراء ذلك، علينا توزيع التربيع على القوسين في معادلة الدائرة هذه. بذلك، نحصل على ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص اثنين ‪ℎ𝑥‬‏ زائد ‪ℎ‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص اثنين ‪𝑘𝑦‬‏ زائد ‪𝑘‬‏ تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع.

لكن تذكر أن ‪ℎ‬‏ و‪𝑘‬‏ و‪𝑟‬‏ جميعها مجرد ثوابت، لذا يمكننا تسمية سالب اثنين ‪ℎ‬‏ بـ ‪𝑎‬‏، وسالب اثنين ‪𝑘‬‏ بـ ‪𝑏‬‏، و‪ℎ‬‏ تربيع زائد ‪𝑘‬‏ تربيع ناقص ‪𝑟‬‏ تربيع بـ ‪𝑐‬‏. إذن، باستخدام هذه الحروف ثم إعادة ترتيبها، نحصل على ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع زائد ‪𝑎𝑥‬‏ زائد ‪𝑏𝑦‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ يساوي صفرًا. هذا يسمى بالصورة العامة لمعادلة الدائرة. هيا ننتقل الآن إلى مثال حول كيفية إيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها بمعلومية معادلتها.

أوجد مركز الدائرة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين الكل تربيع يساوي ‪225‬‏، ونصف قطرها.

لدينا معادلة لدائرة. وعلينا استخدامها لإيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها. في البداية، دعونا نتذكر معادلة الدائرة. نعلم أن الدائرة التي مركزها النقطة: ‪ℎ‬‏، ‪𝑘‬‏، ونصف قطرها ‪𝑟‬‏؛ ستكون معادلتها: ‪𝑥‬‏ ناقص ‪ℎ‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑘‬‏ الكل تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع. ويمكننا ملاحظة أن المعادلة المعطاة بهذه الصورة تقريبًا. لكن علينا أن ننتبه حقًا. فهنا، على سبيل المثال، نحن لا نطرح ثابتًا من ‪𝑥‬‏؛ بل نجمع الثابت أربعة. لكن تذكر أن جمع أربعة هو نفسه طرح سالب أربعة. إذن، في الواقع يمكننا كتابة ذلك على صورة: ‪𝑥‬‏ ناقص سالب أربعة الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين الكل تربيع يساوي ‪225‬‏.

من السهل الآن تحديد مركز الدائرة. قيمة ‪ℎ‬‏ هي سالب أربعة، وقيمة ‪𝑘‬‏ هي اثنان. كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد نصف قطر الدائرة. في هذه الحالة، مربع نصف القطر سيساوي ‪225‬‏. إذن، نريد أن نجعل ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي ‪225‬‏. يوجد بعض الطرق المختلفة لإجراء ذلك. على سبيل المثال، يمكننا أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة. وعادة ما نحصل على موجب وسالب الجذر التربيعي. لكن تذكر أن هذا يمثل، في هذه الحالة، نصف القطر. وهذا طول، ومن ثم يجب أن يكون موجبًا. إذن، نحصل على ‪𝑟‬‏ يساوي موجب الجذر التربيعي لـ ‪225‬‏. يمكننا حساب ذلك؛ إنه يساوي ‪15‬‏. إذن، يمكننا كتابة ‪225‬‏ على صورة ‪15‬‏ تربيع. هذا يعني أن نصف قطر الدائرة لا بد أن يساوي ‪15‬‏.

تذكر أن مركز الدائرة هو النقطة: ‪ℎ‬‏، ‪𝑘‬‏. وأوضحنا أن ‪ℎ‬‏ يساوي سالب أربعة، و‪𝑘‬‏ يساوي اثنين. وبالطبع، أوضحنا من قبل أن نصف القطر يساوي ‪15‬‏. إذن، بمعلومية معادلة الدائرة ‪𝑥‬‏ زائد أربعة الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين الكل تربيع يساوي ‪225‬‏، تمكنا من إثبات أن مركز هذه الدائرة هو النقطة: سالب أربعة، اثنان؛ وأن نصف قطرها يساوي ‪15‬‏.

هيا ننتقل الآن إلى مثال؛ حيث معطى لنا التمثيل البياني لمنحنى دائرة، وعلينا إيجاد معادلة هذه الدائرة.

باستخدام الشكل التالي، أوجد معادلة الدائرة.

لدينا التمثيل البياني لدائرة. وعلينا إيجاد معادلة هذه الدائرة. لنبدأ بتذكر ما نعرفه عن معادلة الدائرة. نعلم أن الدائرة التي مركزها النقطة: ‪ℎ‬‏، ‪𝑘‬‏، ونصف قطرها ‪𝑟‬‏؛ ستكون معادلتها: ‪𝑥‬‏ ناقص ‪ℎ‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑘‬‏ الكل تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع. إذن، لإيجاد معادلة الدائرة، كل ما علينا فعله هو إيجاد مركزها ونصف قطرها. تذكر أن كل نقطة تقع على الدائرة ستكون على مسافة متساوية من مركزها. في هذا المثال، مركز هذه الدائرة محدد. إذن، علينا فقط إيجاد إحداثيات هذا المركز.

عند التحرك لأعلى في الاتجاه الرأسي نحو المحور ‪𝑥‬‏، نلاحظ أن الإحداثي ‪𝑥‬‏ لهذا المركز يساوي سالب خمسة. وبإجراء الأمر نفسه في الاتجاه الأفقي، نلاحظ أن الإحداثي ‪𝑦‬‏ لهذا المركز يساوي سالب أربعة. إذن، مركز الدائرة هو: سالب خمسة، سالب أربعة. لكن كيف سنوجد نصف قطر الدائرة؟ تذكر أن هذا سيمثل طول أي مستقيم يصل بين مركز الدائرة والدائرة. هناك العديد من الخيارات المختلفة التي يمكننا اختيار نصف القطر من بينها. أحد هذه الخيارات هو هذا المستقيم. يمكننا ملاحظة أنه مستقيم أفقي يمتد من مركز الدائرة إلى النقطة التي إحداثي ‪𝑥‬‏ لها يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، نصف قطر الدائرة سيساوي طول المستقيم الأفقي الممتد من ‪𝑥‬‏ يساوي سالب خمسة إلى ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا.

وبالطبع، طول هذا المستقيم يساوي خمسة. إذن، قيمة ‪𝑟‬‏ هي خمسة. علينا الآن التعويض بقيم ‪ℎ‬‏ و‪𝑘‬‏ و‪𝑟‬‏ في معادلة الدائرة. بالتعويض بـ ‪ℎ‬‏ يساوي سالب خمسة، وبـ ‪𝑘‬‏ يساوي سالب أربعة، وبـ ‪𝑟‬‏ يساوي خمسة، نحصل على ‪𝑥‬‏ ناقص سالب خمسة الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص سالب أربعة الكل تربيع يساوي خمسة تربيع. ويمكننا أن نترك الناتج بهذا الشكل. ولكن يمكننا أيضًا تبسيط ‪𝑥‬‏ ناقص سالب خمسة إلى ‪𝑥‬‏ زائد خمسة، و‪𝑦‬‏ ناقص سالب أربعة إلى ‪𝑦‬‏ زائد أربعة. كما يمكننا بالطبع إيجاد قيمة خمسة تربيع وهي ‪25‬‏. وبذلك، نكون قد توصلنا إلى كتابة معادلة الدائرة المعطاة في الشكل، وهي: ‪𝑥‬‏ زائد خمسة الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ زائد أربعة الكل تربيع يساوي ‪25‬‏.

لنلق نظرة الآن على مثال على إيجاد معادلة دائرة في الصورة العامة.

اكتب في الصورة ‪𝑎𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑏𝑦‬‏ تربيع زائد ‪𝑐𝑥‬‏ زائد ‪𝑑𝑦‬‏ زائد ‪𝑒‬‏ يساوي صفرًا، معادلة الدائرة التي نصف قطرها ‪10‬‏، ومركزها أربعة، سالب سبعة.

المطلوب منا في السؤال هو إيجاد معادلة دائرة نصف قطرها ‪10‬‏، ومركزها: أربعة، سالب سبعة. ونلاحظ أنه مطلوب منا تحديدًا كتابتها على الصورة العامة للدائرة. لإجراء ذلك، سنبدأ بكتابة معادلة الدائرة. نعلم أن الدائرة التي نصف قطرها ‪𝑟‬‏، ومركزها النقطة: ‪ℎ‬‏، ‪𝑘‬‏؛ ستكون معادلتها: ‪𝑥‬‏ ناقص ‪ℎ‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑘‬‏ الكل تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع. وفي هذا السؤال، لدينا بالفعل مركز الدائرة، ولدينا أيضًا طول نصف قطرها. فمركز الدائرة هو النقطة: أربعة، سالب سبعة. إذن، قيمة ‪ℎ‬‏ هي أربعة، وقيمة ‪𝑘‬‏ هي سالب سبعة. ونصف قطر الدائرة يساوي ‪10‬‏، إذن قيمة ‪𝑟‬‏ تساوي ‪10‬‏.

إذن، علينا فقط التعويض بهذه القيم في معادلة الدائرة. بالتعويض بمركز الدائرة ونصف قطرها، نحصل على المعادلة: ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص سالب سبعة الكل تربيع يساوي ‪10‬‏ تربيع. بالطبع، هذه ليست على الصورة العامة لمعادلة الدائرة. ولإجراء ذلك، علينا توزيع التربيع على القوسين. يوجد بعض الطرق المختلفة لإجراء ذلك. على سبيل المثال، يمكننا استخدام مفكوك ذي الحدين أو طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. في كلتا الحالتين، عند توزيع التربيع على القوس الأول، نحصل على ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ثمانية ‪𝑥‬‏ زائد ‪16‬‏.

لتوزيع التربيع على القوس الثاني، قد يكون من الأسهل إعادة كتابته على الصورة: ‪𝑦‬‏ زائد سبعة الكل تربيع. ثم إذا وزعنا هذا، فسنحصل على ‪𝑦‬‏ تربيع زائد ‪14𝑦‬‏ زائد ‪49‬‏. وآخر شيء سنفعله هو إيجاد قيمة ‪10‬‏ تربيع التي تعطينا ‪100‬‏. وأخيرًا، كل ما علينا فعله هو إعادة كتابة ذلك على الصورة المعطاة لنا في السؤال. أولًا، نعيد ترتيب هذه الحدود الأربعة لتعطينا ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ثمانية ‪𝑥‬‏ زائد ‪14𝑦‬‏. ثم علينا طرح ‪100‬‏ من كلا طرفي المعادلة. بذلك، نلاحظ أننا نحصل على حد ثابت يساوي ‪16‬‏ زائد ‪49‬‏ ناقص ‪100‬‏. ويمكننا حساب ذلك، إنه يساوي سالب ‪35‬‏.

ومن ثم، نحصل على المعادلة: ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ثمانية ‪𝑥‬‏ زائد ‪14𝑦‬‏ ناقص ‪35‬‏ يساوي صفرًا. نلاحظ الآن أن هذه المعادلة على الصورة العامة المعطاة لنا في السؤال. وبذلك، نكون قد أثبتنا أن الصورة العامة لمعادلة دائرة نصف قطرها ‪10‬‏، ومركزها النقطة: أربعة، سالب سبعة؛ هي المعادلة: ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ثمانية ‪𝑥‬‏ زائد ‪14𝑦‬‏ ناقص ‪35‬‏ يساوي صفرًا.

هيا نتناول الآن مثالًا على إيجاد معادلة دائرة بمعلومية مركزها ونقطة واقعة عليها.

أوجد معادلة الدائرة التي تمر بالنقطة ‪𝐴:‬‏ صفر، ثمانية إذا كان مركزها ‪𝑀:‬‏ سالب اثنين، سالب ستة.

يطلب منا السؤال إيجاد معادلة دائرة. ونعلم منه أن هذه الدائرة تمر بالنقطة ‪𝐴‬‏ التي إحداثياتها: صفر، ثمانية. ومركز هذه الدائرة هو النقطة ‪𝑀‬‏ التي إحداثياتها: سالب اثنين، سالب ستة. لنبدأ برسم ما نعرفه عن هذه الدائرة. أولًا، سنحدد مركز الدائرة على التمثيل البياني. إنه النقطة ‪𝑀‬‏. وإحداثياتها هي: سالب اثنين، سالب ستة. بعد ذلك، سنحدد أيضًا النقطة ‪𝐴‬‏ على التمثيل البياني. تذكر أن الدائرة تمر بهذه النقطة، وأن إحداثياتها هي: صفر، ثمانية. في حقيقة الأمر، لسنا بحاجة إلى رسم الدائرة للإجابة عن هذا السؤال، لكننا سنرسم جزءًا من هذه الدائرة لتسهيل تصورها.

لنتذكر الآن ما نعرفه عن معادلات الدوائر. نعلم أن الدائرة التي مركزها النقطة: ‪ℎ‬‏، ‪𝑘‬‏، ونصف قطرها ‪𝑟‬‏؛ ستكون معادلتها: ‪𝑥‬‏ ناقص ‪ℎ‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑘‬‏ الكل تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع. بعبارة أخرى، لإيجاد معادلة أي دائرة، علينا فقط معرفة إحداثيات مركزها وطول نصف قطرها. بالطبع، لدينا في هذا السؤال إحداثيات مركز الدائرة. نحن نعلم أن مركزها: سالب اثنين، سالب ستة. إذن، يمكننا أن نجعل قيمة ‪ℎ‬‏ تساوي سالب اثنين، وقيمة ‪𝑘‬‏ تساوي سالب ستة. هذا يعني أنه لكي نوجد معادلة هذه الدائرة، فكل ما علينا فعله هو إيجاد طول نصف قطرها.

تذكر أن ‪𝑟‬‏ سيمثل الطول من مركز الدائرة إلى أي نقطة على الدائرة. ونحن نعرف إحداثيات نقطة واحدة فقط على الدائرة. إنها النقطة ‪𝐴‬‏. إذن لإيجاد قيمة ‪𝑟‬‏ هنا، علينا إيجاد طول المستقيم الذي يصل بين النقطة: سالب اثنين، سالب ستة؛ والنقطة: صفر، ثمانية. وهناك بعض الطرق المختلفة لحل هذه المسألة. سنحل هذه المسألة برسم المثلث القائم الزاوية الآتي. سنصل النقطة ‪𝑀‬‏ بالمحور ‪𝑦‬‏ باستخدام مستقيم أفقي. إذن، عرض هذا المثلث سيساوي القيمة المطلقة للإحداثي ‪𝑥‬‏ للنقطة ‪𝑀‬‏، وهي اثنان. وارتفاع هذا الجزء سيساوي القيمة المطلقة للإحداثي ‪𝑦‬‏ للنقطة ‪𝑀‬‏، وهي ستة. وارتفاع هذا الجزء من المثلث سيساوي الإحداثي ‪𝑦‬‏ للنقطة ‪𝐴‬‏، وهو ثمانية.

بعد ذلك، يمكننا فقط جمع هذين الطولين معًا لنجد أن ارتفاع هذا المثلث سيساوي ثمانية زائد ستة، وهو ما يساوي ‪14‬‏. أصبح لدينا الآن مثلث قائم الزاوية نعرف عرضه وارتفاعه. إذن، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الوتر. تخبرنا هذه النظرية أن ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي اثنين تربيع زائد ‪14‬‏ تربيع. إذا حسبنا اثنين تربيع زائد ‪14‬‏ تربيع، فسنحصل على ‪200‬‏. وعند هذه النقطة، يمكننا حساب طول نصف القطر. فهو سيكون موجب الجذر التربيعي لـ ‪200‬‏؛ لأن نصف القطر يعتبر طولًا، ومن ثم يجب أن يكون موجبًا. لكن في هذه الصيغة، نحتاج فقط قيمة ‪𝑟‬‏ تربيع، التي عرفنا أنها ‪200‬‏.

ولذا، يمكننا فقط التعويض بـ ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي ‪200‬‏، وبـ ‪ℎ‬‏ يساوي سالب اثنين، وبـ ‪𝑘‬‏ يساوي سالب ستة في معادلة الدائرة. هذا يعطينا ‪𝑥‬‏ ناقص سالب اثنين الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص سالب ستة الكل تربيع يساوي ‪200‬‏. وأخيرًا، يمكننا تبسيط ‪𝑥‬‏ ناقص سالب اثنين ليصبح ‪𝑥‬‏ زائد اثنين، و‪𝑦‬‏ ناقص سالب ستة ليصبح ‪𝑦‬‏ زائد ستة. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. وبذلك، نكون قد أثبتنا أنه إذا كان مركز دائرة هو النقطة ‪𝑀‬‏، التي إحداثياتها: سالب اثنين، سالب ستة، وكانت الدائرة تمر أيضًا بالنقطة ‪𝐴‬‏، التي إحداثياتها: صفر، ثمانية؛ فإن معادلة هذه الدائرة يجب أن تكون: ‪𝑥‬‏ زائد اثنين الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ زائد ستة الكل تربيع يساوي ‪200‬‏.

لنراجع الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا، باستخدام تعريف الدائرة ونظرية فيثاغورس، تمكنا من استنتاج أن الدائرة التي نصف قطرها ‪𝑟‬‏، ومركزها النقطة: ‪ℎ‬‏، ‪𝑘‬‏؛ ستكون معادلتها: ‪𝑥‬‏ ناقص ‪ℎ‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑘‬‏ الكل تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع. ورأينا أيضًا أنه يمكننا إيجاد مركز أي دائرة ونصف قطرها مباشرة من معادلتها. إذا كانت معادلة الدائرة: ‪𝑥‬‏ ناقص ‪ℎ‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑘‬‏ الكل تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع، فإن مركزها هو النقطة: ‪ℎ‬‏، ‪𝑘‬‏، ونصف قطرها سيكون ‪𝑟‬‏، بالطبع؛ حيث ‪𝑟‬‏ عدد موجب لأنه يمثل طولًا.

لقد أوضحنا أيضًا أنه يمكننا إيجاد معادلة الدائرة بمعلومية إحداثيات مركزها ونقطة على الدائرة فقط. وذلك لأنه يمكننا إيجاد نصف القطر في هذه الحالة؛ حيث إنه يمثل المسافة بين المركز والنقطة المعلومة. ويمكننا إيجاد هذه المسافة باستخدام نظرية فيثاغورس. وأخيرًا، بتوزيع التربيع على القوسين في معادلة الدائرة، توصلنا إلى إثبات أن معادلة الدائرة بصورتها العامة هي: ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع زائد ‪𝑎𝑥‬‏ زائد ‪𝑏𝑦‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ يساوي صفرًا؛ حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ و‪𝑐‬‏ ثوابت.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.