شارح الدرس: معادلة الدائرة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: كتابة معادلة الدائرة بمعلومية مركزها

ما معادلة الدائرة التي نصف قطرها ١٠ ومركزها ؟

اكتب الإجابة في الصورة: .

الحل

نبدأ بكتابة معادلة الدائرة:

نصف القطر يساوي ١٠ وإحداثيَّا المركز هما: و؛ إذن هذا يعطينا

هذه هي معادلة الدائرة التي نصف قطرها ١٠ ومركزها في صورة المركز ونصف القطر.

لكن، المطلوب منَّا هو كتابتها على الصورة: .

علينا فكُّ الأقواس، ثم طرح ١٠٠ من كلا الطرفين، وجمع الحدود المتشابهة:

مثال ٢: كتابة معادلة الدائرة بمعلومية مركزها

باستخدام الشكل التالي، أوجد معادلة الدائرة.

الحل

في هذا المثال، علينا استخدام التمثيل البياني للتعرُّف على إحداثِيَّي المركز ونصف قطر الدائرة.

إحداثيَّا مركز الدائرة هما: .

لإيجاد نصف القطر، يمكننا، على سبيل المثال، إيجاد الفرق بين إحداثِيَّي أعلى نقطة وإحداثِيَّي المركز، ، أو الفرق بين إحداثِيَّي أبعد نقطة إلى اليمين وإحداثِيَّي المركز: . إذن .

نعوِّض بقِيَم و و في ، ونجد أن .

مثال ٣: كتابة معادلة الدائرة بمعلومية مركزها

أوجد معادلة الدائرة التي تمرُّ بالنقطة إذا كان مركزها .

الحل

نبدأ بكتابة المعادلة العامة للدائرة:

نعرف أن هذه النقطة هي مركز الدائرة؛ إذن و. بعد ذلك، نعوِّض بهذه القيم في المعادلة، فنحصل على

إننا لا نعرف نصف القطر، ولكنَّنا نعرف أن هذه النقطة تقع على الدائرة؛ لذا فإحداثيَّاها و لا بد أن يحقِّقا معادلة الدائرة. ومن ثمَّ، يمكننا التعويض عن و في المعادلة بهاتين القيمتين لإيجاد :

وتصبح معادلة الدائرة في النهاية هي:

مثال ٤: إيجاد إحداثيات المركز ونصف قطر الدائرة من معادلتها في صورة المركز ونصف القطر

أوجد مركز الدائرة ونصف قطرها .

الحل

1. علينا إعادة ترتيب المعادلة على الصورة: .وسنحصل على .
2. من خلال مقارنة المعادلة المُعطاة مع ، نجد أن و و.
3. إحداثيَّا المركز هما: ، ونصف القطر .

مثال ٥: إيجاد إحداثيات المركز ونصف قطر الدائرة من معادلتها بالصورة القياسية

بإكمال المربَّع، أوجد مركز الدائرة ونصف قطرها .

الحل

1. علينا إعادة ترتيب المعادلة على الصورة: ؛ بإكمال المربَّع.
2. وسنجد أن و.
3. بالتعويض بهذه القيم في المعادلة الأصلية، نحصل على .
4. من خلال إعادة ترتيبها على الصورة: ، نجد أن .
5. ونجد أن ، و، و.
6. إحداثيَّا المركز هما: ، ونصف القطر هو: .