نسخة الفيديو النصية
يتحرك جسم في خط مستقيم حيث إزاحته المقيسة بالمتر، ﻑ، بعد ﻥ ثانية تعطى بالعلاقة ﻑ يساوي سالب ١٢ﻥ تكعيب زائد ١٢ﻥ تربيع ناقص ثلاثة ﻥ متر. عندما كانت سرعة الجسم تساوي صفرًا، كانت عجلته ﺟ متر لكل ثانية تربيع. أوجد جميع قيم ﺟ الممكنة.
تخبرنا معطيات السؤال أن جسمًا يتحرك في خط مستقيم، وأن إزاحته، ﻑ، بعد ﻥ ثانية تعطى بالمعادلة ﻑ يساوي سالب ١٢ﻥ تكعيب زائد ١٢ﻥ تربيع ناقص ثلاثة ﻥ متر. كما تخبرنا بأنه عندما كانت سرعة الجسم تساوي صفرًا، كانت عجلته تساوي ﺟ متر لكل ثانية تربيع. وعلينا إيجاد جميع قيم ﺟ الممكنة. بما أنه لدينا إزاحة الجسم الذي يتحرك في خط مستقيم، يمكننا استخدام حقيقة أن السرعة هي معدل تغير الإزاحة بالنسبة إلى الزمن.
يمكننا استخدام ذلك لإيجاد سرعة الجسم عند الزمن ﻥ. إنها مشتقة دالة الإزاحة بالنسبة إلى ﻥ. ويمكننا اشتقاق ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، التي تخبرنا عن الثابتين ﺃ وﻡ. مشتقة ﺃ في ﻥ أس ﻡ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ﻡﺟﻥ أس ﻡ ناقص واحد. نضرب في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. بتطبيق هذا، نحصل على سالب ٣٦ﻥ تربيع زائد ٢٤ﻥ ناقص ثلاثة. وقد يساعدنا التفكير في سالب ثلاثة ﻥ على أنه سالب ثلاثة ﻥ أس واحد.
بما أن السؤال يطلب منا إيجاد القيم الممكنة للعجلة، فعلينا إيجاد عجلة الجسم. ويمكننا فعل ذلك باستخدام حقيقة أن العجلة هي معدل تغير السرعة. لإيجاد عجلة الجسم عند الزمن ﻥ، علينا اشتقاق سرعة الجسم بالنسبة إلى ﻥ. هذا يعطينا المشتقة سالب ٣٦ﻥ تربيع زائد ٢٤ﻥ ناقص ثلاثة بالنسبة إلى ﻥ. يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نضرب في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. وهذا يعطينا سالب ٧٢ﻥ زائد ٢٤.
يطلب منا السؤال إيجاد القيم الممكنة للعجلة عندما تكون السرعة المتجهة تساوي صفرًا. وذلك عندما تكون قيمة دالة السرعة ﻉﻥ مساوية للصفر. بما أن دالة السرعة هنا دالة تربيعية، يمكننا إيجاد جميع قيم ﻥ التي تكون عندها السرعة تساوي صفرًا من خلال حل المعادلة التربيعية. ولذا، نساوي السرعة بصفر. هذا يعني أن أيًّا من حلول المعادلة التربيعية، سالب ٣٦ﻥ تربيع زائد ٢٤ﻥ ناقص ثلاثة، سيعطينا سرعة تساوي صفرًا. يمكننا تبسيط الدالة التربيعية من خلال أخذ سالب ثلاثة كعامل مشترك. هذا يعطينا سالب ثلاثة في ١٢ﻥ تربيع ناقص ثمانية ﻥ زائد واحد. توجد بضع طرق مختلفة لحل هذه المعادلة التربيعية. على سبيل المثال، يمكننا استخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية. لكن في هذه الحالة، يمكننا تحليل المعادلة التربيعية.
علينا اختيار معاملات ﻥ لضربها ونحصل على ١٢، مثل ستة واثنين. نلاحظ أن ستة ﻥ ناقص واحد مضروبًا في اثنين ﻥ ناقص واحد يعطينا ١٢ﻥ تربيع ناقص ثمانية ﻥ زائد واحد. وبما أننا نحل هذه المعادلة التي تساوي صفرًا، فلا بد أن يساوي أحد العوامل صفرًا. بمساواة كل عامل من العوامل بصفر، نحصل على ﻥ يساوي سدسًا أو ﻥ يساوي نصفًا. جدير بالذكر هنا أن علينا التحقق من أن الحلين صحيحان. في هذه الحالة، بما أن ﻥ يمثل الزمن، علينا التأكد من أن ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا، وهو ما ينطبق في كلتا الحالتين.
يطلب منا السؤال الآن إيجاد عجلة الجسم عند قيمتي ﻥ. يمكننا فعل ذلك بالتعويض بهما في صيغة العجلة. إذن، نعوض بـ ﻥ يساوي سدسًا وﻥ يساوي نصفًا في صيغة العجلة. بالتعويض بـ ﻥ يساوي سدسًا، نحصل على سالب ٧٢ في سدس زائد ٢٤، وهو ما يساوي ١٢. والتعويض بـ ﻥ يساوي نصفًا، يعطينا سالب ٧٢ في نصف زائد ٢٤، وهو ما يساوي سالب ١٢. وبذلك نكون قد أوضحنا أن الزمنين الوحيدين عندما تساوي سرعة الجسم صفرًا هما عندما يكون ﻥ يساوي سدسًا أو ﻥ يساوي نصفًا. هاتان هما القيمتان الوحيدتان الممكنتان للعجلة عندما تساوي السرعة صفرًا.
وبذلك، نكون قد أثبتنا أن القيمتين الممكنتين الوحيدتين للعجلة ﺟ هما سالب ١٢ و١٢.
