في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُطبِّق المشتقات لحل مسائل الحركة في خط مستقيم.
يمكن وَصْف موضع جسيم في الحركة المستقيمة على صورة نقطة على محور الحركة؛ أي . ويمكن أيضًا التعبير عنه بالنسبة إلى موضع الجسيم عند زمن معيَّن، ويُعرَف هذا باسم «إزاحة الجسيم». وإذا كان الموضع المرجعي هو موضع الجسيم عند ، فإن إزاحة الجسيم عند أي زمن تُعطى بالعلاقة . تُعَد الإزاحة متجهًا. وهي هنا متجه أحادي البعد؛ لذا، يمكن وصفه باستخدام دالة مخرجها قيمة قياسية، وهي تُعطي قيمة مركبته على طول محور الحركة (المحور ). توضِّح إشارة اتجاه المتجه، وتوضِّح القيمة المطلقة لـ مقدار المتجه.
كيفية إيجاد السرعة المتجهة من الإزاحة
السرعة اللحظية للجسيم؛ أي ، هي مشتقة بالنسبة إلى الزمن؛ أي . ونكتب ذلك كالآتي:
كيفية إيجاد العجلة من السرعة المتجهة
العجلة اللحظية للجسيم؛ أي ، هي مشتقة بالنسبة إلى الزمن؛ أي . ونكتب ذلك كالآتي:
تذكَّر أن مشتقة أي دالة كثيرة الحدود: بالنسبة إلى ، تُحسب من خلال:
نتناول مثالًا على وصف حركة جسيم باستخدام المشتقات.
مثال ١: استخدام المشتقات لحل المسائل التي تتضمَّن الإزاحة والسرعة المتجهة
يتحرَّك جُسيم في خط مستقيم؛ حيث تُعطى إزاحته متر بعد ثانية بالعلاقة .
- أوجد السرعة المتجهة للجسيم عند .
- أوجد الفترة الزمنية التي تقل خلالها السرعة المتجهة للجسيم.
الحل
الجزء الأول
يمكن التعبير عن إزاحة الجسيم على صورة دالة في الزمن؛ أي . وهو ما يُعطينا:
مشتقة بالنسبة إلى هي ، وهو ما يُعطى بواسطة:
عند اللحظة التي تكون فيها ، تكون قيمة هي:
الجزء الثاني
لإيجاد الفترة الزمنية التي تتناقص خلالها ، علينا دراسة إشارة مشتقة ؛ أي دالة العجلة .
العجلة هي مشتقة السرعة بالنسبة إلى الزمن:
نلاحظ أن دالة العجلة هي دالة خطية تساوي صفرًا عند زمنٍ ما ؛ حيث:
بالنسبة إلى ، ؛ فإننا نلاحظ ذلك من حقيقة أن العجلة هي دالة خطية لها ميل موجب (ومن ثَمَّ تتزايد)، أو ببساطة بالنظر إلى إشارة عند زمن أقل من ، على سبيل المثال، عند : .
وبناءً عليه، تكون قيمة العجلة سالبة عند ، وهذا يعني أن السرعة المتجهة للجسيم تتناقص عند قيم التي تنتمي إلى هذه الفترة.
في المثال السابق، تجدر الإشارة إلى أنه خلال الفترة الزمنية التي أوجدناها، تبدأ إشارة السرعة المتجهة من الموجب إلى السالب؛ وذلك يتوافق مع كون العجلة سالبة. عندما يكون للعجلة والسرعة المتجهة إشارتان مختلفتان، فإن الجسم يتباطأ، ما يعني أن سرعته تقل حتى تصل إلى صفر، وعند هذه النقطة، يغيِّر الجسم اتجاهه (تتغيَّر إشارة السرعة المتجهة). بعد ذلك، يتسارع الجسم (في الاتجاه السالب هنا) وتزيد سرعته. وفي هذه الحالة، السرعة المتجهة سالبة؛ ومن ثَمَّ تقل القيمة أكثر.
يمكن التحقُّق من النتيجة بسهولة من خلال التمثيل البياني لـ ، وهو قطع مكافئ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
نتناول مثالًا نُوجِد فيه القيمة العظمى للمشتقة.
مثال ٢: استخدام المشتقات لإيجاد السرعة القصوى لجسيم بمعلومية دالة إزاحته
يتحرَّك جسيم في خط مستقيم على طول المحور ؛ بحيث نحصل على إزاحته متر بعد ثانية من العلاقة . أوجد السرعة القصوى للجسيم في الاتجاه الموجب للمحور .
الحل
يمكن التعبير عن إزاحة الجسيم على صورة دالة في الزمن؛ أي . وهو ما يُعطينا:
مشتقة بالنسبة إلى هي ، وتُعطى بواسطة:
دالة السرعة المتجهة هي دالة تربيعية معاملها الرئيسي سالب . لذا، فإن تمثيلها البياني عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأسفل. ويمثِّل رأس القطع المكافئ القيمة العظمى للسرعة المتجهة.
هناك طريقتان لإيجاد إحداثيات رأس القطع المكافئ. تتمثَّل الطريقة الأولى في إعادة كتابة معادلة السرعة باستخدام ما يُسمَّى «صيغة رأس المنحنى» ؛ حيث إحداثيات رأس القطع المكافئ. لدينا هنا:
إحداثيات رأس القطع المكافئ هي ، وهذا يعني أن السرعة المتجهة تكون عند أقصى قيمة لها عند ، وتساوي ١٤ م/ث.
أما الطريقة الثانية، فهي طريقة أعم؛ حيث تُستخدم مع أي نوع من الدوال، وليس مع الدوال التربيعية فحسب. تتمثَّل هذه الطريقة في حساب مشتقة السرعة المتجهة (أي العجلة)، وإيجاد الزمن الذي تساوي قيمتها عنده صفرًا، وهو ما يناظر قيمة قصوى لدالة السرعة المتجهة.
العجلة هي مشتقة السرعة المتجهة بالنسبة إلى الزمن:
العجلة تساوي صفرًا عند زمنٍ ما ؛ حيث:
عند ، تكون السرعة المتجهة هي:
علينا الآن التحقُّق من أن قيمة عظمى، إما بالتأكُّد من قيمتَي السرعة المتجهة قبل أو بعد ، على سبيل المثال: وإما بالتأكُّد من أن إشارة قيمة العجلة (المشتقة الأولى للسرعة المتجهة) موجبة قبل (حيث تتزايد السرعة المتجهة)، وسالبة بعد (حيث تتناقص السرعة المتجهة)، وهو ما يناظر أن السرعة القصوى تكون عند :
السرعة القصوى في الاتجاه الموجب للمحور تساوي ١٤ م/ث.
يوضِّح الشكل التالي العلاقة بين منحنى السرعة المتجهة في المثال السابق وإشارة مشتقتها الأولى؛ أي عجلتها.
نلاحظ أنه عندما تكون السرعة المتجهة والعجلة موجبتين، تزداد السرعة المتجهة. وعندما تكون السرعة المتجهة والعجلة سالبتين، تقل السرعة المتجهة. لكن في كلتا الحالتين، تزداد السرعة (مقدار السرعة المتجهة) ويتسارع الجسم. وعندما يكون للسرعة المتجهة والعجلة إشارتان مختلفتان، فإن القوة المحصلة تعوق الحركة؛ أي تتناقص السرعة.
نتناول الآن مثالًا نُوجِد فيه قيمة مشتقة كمية عندما تساوي صفرًا.
مثال ٣: إيجاد العجلة اللحظية لجسيم عند سرعة مُعطاة
يتحرَّك جُسيم في خط مستقيم؛ حيث تُعطَى إزاحته بالمتر باعتبارها دالة في الزمن بالثانية من خلال العلاقة ، . أوجد مقدار عجلة الجُسيم عندما تكون السرعة المتجهة صفرًا.
الحل
يمكن التعبير عن إزاحة الجسيم على صورة دالة في الزمن؛ أي . وهو ما يُعطينا:
مشتقة بالنسبة إلى هي ، وتُعطى بواسطة:
مطلوب منا إيجاد العجلة عندما تكون قيمة السرعة المتجهة صفرًا؛ أي عند:
يُعطى حلَّا هذه المعادلة باستخدام القانون العام: حيث ، ، .
يصبح لدينا إذن:
وبناءً عليه، فإن الحلين هما:
يعني هذا أنه عند ، ، تساوي السرعة المتجهة للجسيم صفرًا.
نحن نريد إيجاد مقدار العجلة عند ، . العجلة هي مشتقة السرعة المتجهة. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:
بالتعويض بـ ، نحصل على:
وبالتعويض بـ ، نحصل على:
إذن نحصل على مقدار العجلة من خلال . ونُلاحظ أن هذا يساوي ١٦٢ م/ث٢.
يمكننا النظر إلى التمثيل البياني لـ لدينا في المثال السابق.
هذا التمثيل البياني عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأعلى. ويكون للقطع المكافئ خط تماثل رأسي يمر عبر رأسه. إذن كل نقطة من النقطتين اللتين يتقاطع عندهما القطع المكافئ مع المحور انعكاس للأخرى حول خط التماثل هذا، كما ينعكس أيضًا المماسان لمنحنى عند هاتين النقطتين. بمعلومية أن المشتقة الأولى لدالةٍ ما عند نقطة معيَّنة هي ميل مماس منحنى الدالة عند هذه النقطة، فإننا نفهم السبب وراء الحصول على مقدار العجلة نفسه، لكن في اتجاهين متضادين في المثال السابق.
نتناول مثالًا نُوجِد فيه اتجاه عجلة جسيم بالنسبة إلى سرعته اللحظية.
مثال ٤: تحديد إذا ما كان الجسيم يتسارع أو يتباطأ بمعلومية دالة إزاحته
يتحرَّك جسيم في خط مستقيم، عند الزمن ثانية، تُعطَى إزاحة الجسيم من نقطة ثابتة على الخط بالعلاقة: ، . حدِّد إذا ما كان الجسيم يتسارع أو يتباطأ في اتجاه الحركة عندما يكون .
الحل
يمكن التعبير عن إزاحة الجسيم على صورة دالة في الزمن؛ أي . وهو ما يُعطينا:
السرعة المتجهة للجسيم تُعطى بواسطة المشتقة الأولى لـ :
عند ، يكون لدينا:
عجلة الجسيم هي مشتقة السرعة المتجهة للجسيم بالنسبة إلى الزمن:
عند ، يكون لدينا:
تكون العجلة موجبة عند ، وهو ما يعني أن السرعة المتجهة للجسيم تتزايد. وبما أن السرعة المتجهة موجبة، إذن هذا يعني أن قيمة السرعة تزداد أيضًا. ومن ثَمَّ، فإن الجسيم يتسارع في اتجاه الحركة.
تناولنا حتى الآن أسئلة كانت فيها الإزاحة مُعطاة على صورة دالة في الزمن لكي نُوجِد دالتَي السرعة المتجهة والعجلة عن طريق الاشتقاق بالنسبة إلى الزمن. ولكن، يمكن أن يكون لدينا أيضًا السرعة المتجهة لجسيم على صورة دالة في إزاحته. وبما أن الإزاحة دالة في الزمن، إذن يكون لدينا في هذه الحالة دالة مركبة:
مشتقة بالنسبة إلى الزمن تُعطى من خلال قاعدة السلسلة:
نلاحظ هنا، بما أن ، إذن:
نتناول مثالًا يُعبَّر فيه عن السرعة المتجهة لجسيم على صورة دالة في إزاحته.
مثال ٥: إيجاد عجلة جسيم بمعلومية سرعته المتجهة على صورة دالة في الموضع
يتحرَّك جُسيم على طول المحور . علمًا بأن إزاحة الجسيم من نقطة الأصل هي م، تُعطى سرعته المتجهة بالعلاقة:
أوجد عجلة الجُسيم عندما تكون .
الحل
عجلة الجسم هي مشتقة بالنسبة إلى زمن. لكن، يتم التعبير عن السرعة المتجهة للجسيم على صورة دالة في الإزاحة؛ ومن ثَمَّ، لا يمكن الحصول على مشتقتها بالنسبة إلى الزمن مباشرةً.
يمكن إيجاد مشتقة السرعة المتجهة للجسيم بالنسبة إلى الزمن من خلال تطبيق قاعدة السلسلة:
مشتقة الإزاحة بالنسبة إلى الزمن هي السرعة المتجهة، إذن لدينا:
مشتقة السرعة المتجهة بالنسبة إلى الإزاحة تُعطى بالعلاقة:
إذن يكون لدينا:
بالتعويض بالقيمة ٣ عن ، نحصل على:
لقد تعاملنا حتى الآن مع السرعة اللحظية.
تعريف: السرعة المتجهة المتوسطة
عندما يتحرَّك جسيم من موضع ابتدائي عند إلى موضع نهائي عند ، تكون سرعته المتوسطة هي متوسط معدَّل تغيُّر الموضع بالنسبة إلى الزمن: حيث موضع الجسيم عند الزمن ، إزاحته عند الزمن بالنسبة إلى .
في الصورة المتجهة؛ حيث متجه وحدة على طول محور الحركة، يكون لدينا:
السرعة المتجهة المتوسطة هي السرعة المتجهة التي كان سيتحرَّك بها الجسيم إذا كانت ثابتة.
لا يلزم أن تكون السرعة المتوسطة، وهي معدل تغيُّر المسافة بالنسبة إلى الزمن، هي مقدار السرعة المتجهة المتوسطة عند الحركة في خط مستقيم. ولا تنطبق هذه الحالة إلا إذا كان الجسيم يتحرَّك دائمًا في الاتجاه نفسه خلال الفترة الزمنية المعيَّنة. وهنا، يكون مقدار الإزاحة هو المسافة المقطوعة. لكن إذا غيَّر الجسيم اتجاه الحركة، فسيكون مقدار الإزاحة أقل من المسافة المقطوعة. في هذه الحالة، علينا تقسيم الحركة إلى أجزاء ذات حركة لها اتجاه واحد. وبعد ذلك يمكننا في كل جزء إيجاد المسافة المقطوعة باعتبارها مقدار الإزاحة.
نتناول في المثال الأخير كيفية إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة والسرعة المتوسطة خلال فترة زمنية معيَّنة.
مثال ٦: إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة والسرعة المتوسطة خلال فترة زمنية عندما تتغيَّر إشارة السرعة
يتحرَّك جُسيم في خط مستقيم، بالنسبة إلى نقطة توقُّف، بمتجه الموضع ؛ حيث ومقيس بالثانية، متجه وحدة موازٍ للخط المستقيم، مقيس بالمتر.
- أوجد مقدار متجه الإزاحة بعد ٢ ث.
- أوجد المسافة الكلية التي قطعها الجسيم بعد ٢ ث.
- أوجد مقدار متجه السرعة المتوسطة للجسيم بين ، .
- أوجد السرعة المتوسطة للجُسيم بين ، .
الحل
الجزء الأول
إزاحة الجسيم؛ أي ، بعد مرور ثانيتين هي المتجه الذي نقطة بدايته هي موضع الجسيم عند ، ونقطة نهايته هي موضع الجسيم عند . ومن ثَمَّ، يكون لدينا:
مقدار الإزاحة بعد مرور ثانيتين هو:
الجزء الثاني
يقع متجه الموضع دائمًا على ، وهو ما يعني أن الجسيم له حركة مستقيمة. وفي الحركة المستقيمة، نحصل على المسافة المقطوعة بين نقطتين من مقدار متجه الإزاحة إذا لم يكُن هناك تغيُّر في الاتجاه. وبما أن اتجاه الحركة يُعطى بواسطة السرعة المتجهة (المشتقة الأولى للموضع)، إذن علينا إيجاد دالة السرعة المتجهة ثم معرفة إشارتها بين ، لتحديد إذا ما كان هناك تغيُّر في الاتجاه بين هذين الزمنين.
متجه السرعة للجسيم يُعطى من خلال المشتقة الأولى لـ :
يمكن الحصول على مركبة متجه السرعة على طول محور الحركة من خلال المعادلة الخطية . وقيمتها تُساوي صفرًا، ويحدث تغيُّر في الإشارة عند . للخط المستقيم ميل سالب (أي عجلة سالبة)، وهو ما يعني أن قيمة السرعة المتجهة تكون موجبة قبل وسالبة بعده.
وبناءً على ذلك، يتحرَّك الجسيم أولًا في الاتجاه الموجب (أي نفس اتجاه )، ويُغيِّر اتجاهه عند ، ثم يتحرَّك في الاتجاه السالب. ولحساب السرعة المتوسطة، علينا إيجاد المسافتين المقطوعتين في كلا الاتجاهين ثم جمعهما معًا، وأخيرًا القسمة على الزمن الكلي (ثانيتين).
نحصل على المسافة المقطوعة بين ، من خلال مقدار متجه الإزاحة بين الموضع عند وعند :
وبالمثل، نحصل على المسافة المقطوعة بين ، بالعلاقة:
إذن المسافة الكلية هي:
الجزء الثالث
السرعة المتجهة المتوسطة هي متوسط معدل تغيُّر الموضع بالنسبة إلى الزمن:
إذن، بين كلٍّ من ، ، يكون لدينا:
ومن ثَمَّ، فإن مقدار متجه السرعة المتوسطة هو:
الجزء الرابع
السرعة المتوسطة هي متوسط معدل التغيُّر في المسافة بالنسبة إلى الزمن:
إذن، بين كلٍّ من ، ، يكون لدينا:
نلخِّص الآن ما تعلَّمناه في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- مشتقة إزاحة جسيم بالنسبة إلى الزمن هي السرعة اللحظية للجسيم. ويمكن التعبير عن ذلك كالآتي:
- القيمة العظمى أو الصغرى لإزاحة جسيم تناظر نقطة أو لحظة ما تكون عندها قيمة السرعة المتجهة للجسيم تساوي صفرًا، كما يحدث عندها تغيُّر في إشارتها.
- مشتقة السرعة المتجهة لجسيم بالنسبة إلى الزمن هي العجلة اللحظية للجسيم. ويمكن التعبير عن ذلك كالآتي:
- القيمة العظمى أو الصغرى للسرعة المتجهة لجسيم تناظر نقطة أو لحظة ما تكون عندها قيمة عجلة الجسيم تساوي صفرًا، كما يحدث عندها تغيُّر في إشارتها.
- بتطبيق قاعدة السلسلة، يكون لدينا:
