نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية تطبيق خطوات إيجاد المشتقات على المسائل التي تتضمن الحركة في خط مستقيم. وسنبدأ باسترجاع طرق اشتقاق الدوال كثيرات الحدود في المتغير 𝑥 وقاعدة السلسلة قبل تناول علاقة الاشتقاق بالحركة في خط مستقيم. وبعدها، سنلقي نظرة على مجموعة متنوعة من الأمثلة التي توضح هذه الطرق وكيفية الحل، سواء كانت تتطلب استخدام حساب التفاضل والتكامل أم لا.
سنتناول فيما يلي طرق حساب التفاضل والتكامل التي سنستخدمها في هذا الفيديو. فلا بد أن نعرف أن مشتقة ﺱ مرفوعًا لقوة ما، فلنقل ﺃﺱ أس ﻥ، حيث ﺃ وﻥ ثابتان، هي ﻥ في ﺃﺱ أس ﻥ ناقص واحد. على سبيل المثال، مشتقة أربعة في ﺱ أس سبعة تساوي سبعة في أربعة ﺱ أس سبعة ناقص واحد، وهو ما يساوي ستة. وهذا بالطبع يساوي ٢٨ﺱ أس ستة. كما سنستخدم قاعدة السلسلة التي تتيح لنا اشتقاق حاصل ضرب دالة في دالة. وتنص هذه القاعدة على أنه إذا كانت ﺹ دالة في ﻝ وﻝ دالة في ﺱ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻝ في ﺩﻝ على ﺩﺱ.
فما علاقة حساب التفاضل والتكامل بالحركة، ولا سيما الحركة المستقيمة؟ أي الحركة في خط مستقيم. لنتذكر تعريفات الإزاحة والسرعة المتجهة والعجلة. الإزاحة هي المتجه الذي يصف موضع جسم ما من حيث بعده عن نقطة بداية محددة. والسرعة المتجهة هي معدل تغير إزاحة هذا الجسم بالنسبة إلى الزمن. والعجلة هي معدل تغير السرعة المتجهة لهذا الجسم بالنسبة إلى الزمن. يعني هذا أننا إذا عرفنا ﻑ على أنها دالة تقيس الإزاحة عند الزمن ﻥ، فإن السرعة المتجهة ستكون مشتقة ﻑ بالنسبة إلى ﻥ. وهذا يساوي ﻑ شرطة (ﻥ).
وبالمثل، يمكننا القول إنه إذا كانت ﻉ دالة تقيس السرعة المتجهة عند الزمن ﻥ، فإن العجلة هي مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﻥ. وهذا يساوي ﻉ شرطة (ﻥ). وبما أننا عرفنا ﻉ على أنها ﻑ شرطة (ﻥ)، يمكننا القول إن العجلة هي المشتقة الثانية لـ ﻑ بالنسبة إلى ﻥ. وهذا يساوي ﻑ شرطتين (ﻥ). وبما أن التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق، يمكننا رسم شكل توضيحي لبيان العلاقة بين الإزاحة والسرعة المتجهة والعجلة. جدير بالذكر أن المسافة والسرعة كميتان قياسيتان، نطلق عليهما أحيانًا مقدار الإزاحة ومقدار السرعة المتجهة، على الترتيب. والآن، لنلق نظرة على بعض الأمثلة التي توضح هذه الأفكار.
يتحرك جسيم في خط مستقيم، حيث تعطى إزاحته ﻑ بالمتر بعد ﻥ ثانية بالعلاقة: ﻑ تساوي أربعة ﻥ تكعيب ناقص ٥٥ﻥ تربيع زائد ٢٠٨ﻥ. (أ) أوجد السرعة المتجهة للجسيم عند ﻥ يساوي ثماني ثوان. و(ب) أوجد الفترة الزمنية التي تقل خلالها السرعة المتجهة للجسيم.
تذكر أن السرعة المتجهة هي معدل تغير إزاحة جسيم. إذن، يمكننا القول إن ﻉ يجب أن تساوي مشتقة ﻑ بالنسبة إلى ﻥ، وهذا يساوي ﺩﻑ على ﺩﻥ. لإيجاد السرعة المتجهة للجسيم في هذه المسألة، علينا اشتقاق ﻑ بالنسبة إلى ﻥ. ونتذكر هنا أن مشتقة ﺱ مرفوعًا لقوة ما، فلنقل ﺃﺱ أس ﻥ، حيث ﺃ وﻥ ثابتان، هي ﻥﺃ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نتذكر أيضًا أن مشتقة المجموع لعدد من الحدود يساوي مجموع مشتقات كل حد من هذه الحدود.
نشتق كل حد بالنسبة إلى ﻥ. مشتقة أربعة ﻥ تكعيب تساوي ثلاثة في أربعة ﻥ تربيع، وهو ما يساوي ١٢ﻥ تربيع. مشتقة سالب ٥٥ﻥ تربيع تساوي اثنين في سالب ٥٥ﻥ أس واحد. هذا يساوي سالب ١١٠ﻥ. ومشتقة ٢٠٨ﻥ تساوي ٢٠٨. إذن، السرعة المتجهة عند الزمن ﻥ ثانية تعطى بالعلاقة ١٢ﻥ تربيع ناقص ١١٠ﻥ زائد ٢٠٨. يمكننا إيجاد السرعة المتجهة عند ثماني ثوان بالتعويض بثمانية في هذه الدالة. وسنجد أن هذا يساوي ١٢ في ثمانية تربيع ناقص ١١٠ في ثمانية زائد ٢٠٨، وهو ما يساوي ٩٦. وبما أن الإزاحة تقاس بالأمتار والزمن يقاس بالثواني، فالسرعة المتجهة هي ٩٦ مترًا في الثانية.
والآن، ماذا عن الجزء (ب)؟ لكي تكون الدالة تناقصية، يجب أن تكون مشتقتها أصغر من صفر. مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﻥ هي ٢٤ﻥ ناقص ١١٠. مهمتنا هي معرفة متى تكون الدالة ٢٤ﻥ ناقص ١١٠ أصغر من صفر. فكيف نعرف ذلك؟ كيف نحل هذه المتباينة الخطية؟ يمكننا حل هذه المتباينة مثلما نحل أي معادلة خطية. نضيف ١١٠ إلى الطرفين لنجد أن ٢٤ﻥ أصغر من ١١٠. ونقسم على ٢٤. وسنجد أن ﻥ أصغر من ١١٠ على ٢٤، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ٥٥ على ١٢. الفترة الزمنية التي تقل فيها السرعة المتجهة لهذا الجسيم تساوي ﻥ أصغر من ٥٥ على ١٢ ثانية.
في المثال التالي، سنرى كيف علينا تغيير خطوات الحل عند التعامل مع السرعة المتجهة المتوسطة.
يتحرك جسيم في خط مستقيم، حيث يعطى موضعه ﺭ بالمتر بالنسبة إلى نقطة الأصل عند زمن ﻥ ثانية بالعلاقة: ﺭ يساوي ﻥ تربيع زائد ثلاثة ﻥ زائد سبعة. أوجد السرعة المتجهة المتوسطة للجسيم بين ﻥ يساوي ثانيتين وﻥ يساوي أربع ثوان.
لاحظ أنه في هذا المثال معطى لنا موضع الجسيم بالنسبة إلى نقطة الأصل، ومطلوب منا إيجاد سرعته المتجهة المتوسطة. يتم تعريف السرعة المتجهة المتوسطة على أنها الإزاحة الكلية مقسومة على الزمن الكلي. إذن بدلًا من اشتقاق ذلك، يمكننا ببساطة تطبيق هذا التعريف. الإزاحة هي التغير الكلي في موضع الجسيم بين ﻥ يساوي ثانيتين وﻥ يساوي أربع ثوان. نعوض بـ ﻥ يساوي اثنين وﻥ يساوي أربعة في الصيغة المستخدمة لإيجاد موضع الجسيم، ثم نوجد الفرق بينهما لمعرفة الإزاحة الكلية بين ثانيتين وأربع ثوان.
الموضع عند أربع ثوان يساوي أربعة تربيع زائد ثلاثة في أربعة زائد سبعة، أي ٣٥. والموضع عند ثانيتين يساوي اثنين تربيع زائد ثلاثة في اثنين زائد سبعة، أي ١٧. إذن، إزاحة الجسيم، بين ثانيتين وأربع ثوان، تساوي ١٨ مترًا. أما الزمن المستغرق، فهو ببساطة الفرق بين أربع ثوان وثانيتين، أي ثانيتين. ومن ثم، فإن السرعة المتجهة المتوسطة للجسيم تساوي ١٨ على اثنين، أي تسعة أمتار في الثانية.
يوضح هذا المثال أنه لا يشترط استخدام حساب التفاضل والتكامل لحل المسائل التي تتضمن السرعة المتجهة المتوسطة باستخدام دالة الموضع، بينما علينا استخدامه في المسائل التي تتضمن السرعة المتجهة اللحظية.
في المثال التالي، سنرى مجددًا كيف يساعدنا التفاضل والتكامل في حل المسائل التي تتضمن الحركة في خط مستقيم.
يتحرك جسيم في خط مستقيم، حيث تعطى إزاحته ﻑ بالمتر باعتبارها دالة في الزمن ﻥ بالثواني من خلال العلاقة: ﻑ تساوي خمسة ﻥ تكعيب ناقص ٨٤ﻥ تربيع زائد ٣٣ﻥ، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. أوجد مقدار عجلة الجسيم عندما تكون السرعة المتجهة صفرًا.
لدينا هنا دالة إزاحة جسيم عند ﻥ ثانية. نتذكر أنه عندما تكون لدينا الدالة ﻑ بدلالة ﻥ، فإنه يمكن الحصول على ﻉ عن طريق اشتقاق ذلك بالنسبة إلى ﻥ. ومن ثم، يمكن إيجاد ﺟ، أي العجلة، عن طريق الاشتقاق مرة أخرى. هذا يساوي ﺩﻉ على ﺩﻥ، أو المشتقة الثانية لـ ﻑ بالنسبة إلى ﻥ بدلًا من ذلك. إذن، ما علينا إيجاده بالأساس هو المشتقة الثانية للدالة ﻑ. ولكننا سنوجد أولًا المشتقة الأولى من خلال اشتقاق كل حد على حدة. هذا يساوي ثلاثة في خمسة ﻥ تربيع ناقص اثنين في ٨٤ﻥ زائد ٣٣. يعطينا هذا ١٥ ﻥ تربيع ناقص ١٦٨ﻥ زائد ٣٣.
ثم نشتق مرة أخرى لإيجاد تعبير للعجلة. هذا يساوي اثنين في ١٥ ﻥ ناقص ١٦٨، ويمكن تبسيطه إلى ٣٠ﻥ ناقص ١٦٨. أصبح لدينا الآن تعبير للسرعة المتجهة وتعبير للعجلة عند الزمن ﻥ ثانية. إذن، ما الذي علينا فعله الآن؟ نريد إيجاد مقدار العجلة عندما تساوي السرعة المتجهة صفرًا. لنكون معادلة تكون السرعة المتجهة فيها صفرًا ونحلها لإيجاد قيمة ﻥ. يمكننا حل ذلك من خلال التحليل. وعندئذ، نجد أن خمسة ﻥ ناقص واحد في ثلاثة ﻥ ناقص ٣٣ يساوي صفرًا. لتكون هذه العبارة صحيحة، فإما أن يكون خمسة ﻥ ناقص واحد مساويًا لصفر أو ثلاثة ﻥ ناقص ٣٣ مساويًا لصفر. وعندما نحل كلًّا من هذين لإيجاد قيمة ﻥ، فإننا نجد أن ﻥ يساوي خمسا أو ﻥ يساوي ١١. والسرعة المتجهة تساوي صفرًا في الزمنين.
لنر ما يحدث عند التعويض عن ﻥ بهاتين القيمتين في معادلة العجلة. عندما ﻥ يساوي خمسًا، فإن العجلة تساوي ٣٠ في خمسة ناقص ١٦٨، وهو ما يساوي سالب ١٦٢. عندما ﻥ يساوي ١١، فإن العجلة تساوي ٣٠ في ١١ ناقص ١٦٨، وهو ما يساوي ١٦٢ هذه المرة. تذكر أنه مطلوب منا إيجاد مقدار العجلة، أي قيمتها. إذن، إشارة السالب هنا لا تعنينا. ويمكننا القول إن مقدار العجلة عندما ﻉ تساوي صفرًا هو ١٦٢ مترًا في الثانية المربعة.
في المثال التالي، نرى كيف يمكن أن يساعدنا إيجاد المشتقة في معرفة طبيعة حركة الجسيم.
يتحرك جسيم في خط مستقيم، وعند الزمن ﻥ ثانية، تعطى إزاحة الجسيم من نقطة ثابتة على الخط بالعلاقة: ﻑ تساوي ﻥ تكعيب ناقص ﻥ تربيع ناقص ثلاثة متر، إذا كان ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. حدد إذا ما كان الجسيم يتسارع أم يتباطأ عند ﻥ يساوي ثانيتين.
لدينا دالة إزاحة جسيم عند ﻥ ثانية. لإيجاد معادلة العجلة، علينا إيجاد المشتقة الثانية لهذه الدالة. لنبدأ بإيجاد المشتقة الأولى ﺩﻑ على ﺩﻥ التي تمثل السرعة عند ﻥ ثانية. مشتقة ﻑ بالنسبة إلى ﻥ هي ثلاثة ﻥ تربيع ناقص اثنين ﻥ. نشتق مرة أخرى لإيجاد العجلة. وسنجد أن العجلة عند ﻥ ثانية تساوي ستة ﻥ ناقص اثنين. نريد معرفة طبيعة العجلة عند ﻥ يساوي ثانيتين. بعبارة أخرى، هل تتسارع أم تتباطأ؟ نعوض عن ﻥ باثنين في معادلة العجلة. هذا يساوي ستة في اثنين ناقص اثنين، أي ١٠.
هذا وحده لا يكفي لتحديد إذا ما كان الجسيم يتسارع أم يتباطأ؛ لأننا لا نعرف الاتجاه الذي يتحرك نحوه. ولذا، سنوجد قيمة السرعة المتجهة عند ﻥ يساوي ثانيتين. هذا يساوي ثلاثة في اثنين تربيع ناقص اثنين في اثنين، وهو ما يساوي ثمانية. بما أن كلًّا من السرعة المتجهة والعجلة موجبتان عند ﻥ يساوي ثانيتين، نعلم أنهما في الاتجاه نفسه. إذن، يتسارع الجسيم نفسه عند ﻥ يساوي اثنين.
في المثال الأخير، سنرى كيف يمكن أن تساعدنا قاعدة السلسلة في حل المسائل التي تتضمن الحركة في خط مستقيم.
يتحرك جسيم على طول المحور ﺱ. علمًا بأن إزاحة الجسيم من نقطة الأصل هي ﻑ بالمتر، تعطى سرعته المتجهة بالعلاقة :ﻉ تساوي أربعة على ثلاثة زائد ﻑ متر في الثانية. أوجد عجلة الجسيم عندما تكون ﻑ تساوي ثلاثة أمتار.
لدينا دالة السرعة المتجهة بدلالة ﻑ. ومطلوب منا إيجاد العجلة. تعرف العجلة بأنها التغير في السرعة المتجهة بالنسبة إلى الزمن أو مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﻥ. لا يمكننا اشتقاق ﻉ بسهولة بالنسبة إلى ﻥ دون إجراء خطوة إضافية. سنستخدم الاشتقاق الضمني. نشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى ﻥ. وبذلك، نحصل في الطرف الأيمن على ﺩﻉ على ﺩﻥ. وفي الطرف الأيسر، نحصل على ﺩ على ﺩﻥ لأربعة على ثلاثة زائد ﻑ.
لتسهيل الأمر، نغير هذا إلى أربعة في ثلاثة زائد ﻑ أس سالب واحد. ومشتقة هذا التعبير بالنسبة إلى ﻥ يساوي مشتقته بالنسبة إلى ﻑ في ﺩﻑ على ﺩﻥ. ثم نستخدم القاعدة العامة للقوى بوصفها حالة خاصة من قاعدة السلسلة. وسنجد أن مشتقة أربعة في ثلاثة زائد ﻑ أس سالب واحد بالنسبة إلى ﻑ هي سالب أربعة في ثلاثة زائد ﻑ أس سالب اثنين. ونجد أن ﺩﻉ على ﺩﻥ يساوي سالب أربعة في ثلاثة زائد ﻑ أس سالب اثنين في ﺩﻑ على ﺩﻥ. يمكننا كتابة ثلاثة زائد ﻑ أس سالب اثنين بالصورة واحد على ثلاثة زائد ﻑ تربيع. ولكننا نعلم أيضًا أن ﺩﻑ على ﺩﻥ يساوي ﻉ. ومن ثم، نجد أن لدينا تعبيرًا للعجلة بدلالة ﻉ وﻑ.
علينا إيجاد قيمة ذلك عند ﻑ تساوي ثلاثة. لنبدأ بإيجاد قيمة ﻉ عند ﻑ تساوي ثلاثة. عندما ﻑ تساوي ثلاثة، فإن ﻉ تساوي أربعة على ثلاثة زائد ثلاثة، وهو ما يمكن تبسطيه إلى ثلثين. وعندما ﻑ تساوي ثلاثة، فإن العجلة تساوي سالب أربعة على ثلاثة زائد ثلاثة الكل تربيع في ثلثين، وهو ما يساوي سالب اثنين على ٢٧ مترًا في الثانية المربعة.
يوضح هذا المثال نتيجة نادرًا ما تستخدم ولكنها مفيدة. عندما يكون لدينا دالة ﻉ بدلالة ﻑ، فإنه يمكننا القول إن مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﻥ تساوي مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﻑ في ﺩﻑ على ﺩﻥ.
في هذا الفيديو، عرفنا أنه يمكننا استخدام حساب التفاضل والتكامل لاشتقاق معادلات يمكن استخدامها لوصف حركة جسيم بدلالة متغيرات الحركة الثلاثة ﻑ وﻉ وﻥ. وعرفنا أنه عندما تكون لدينا معادلة تعبر عن إزاحة ﻑ بدلالة ﻥ، فإن السرعة المتجهة للجسيم تكون ﺩﻑ على ﺩﻥ وعجلته ﺩﻉ على ﺩﻥ، وهو ما يمكن التعبير عنه بالمشتقة الثانية لـ ﻑ بالنسبة إلى ﻥ. وعرفنا كذلك أنه يمكننا إيجاد تعبير للعجلة إذا كانت لدينا الدالة ﻉ بدلالة ﻑ باستخدام قاعدة السلسلة حيث ﺩﻉ على ﺩﻥ يساوي ﺩﻉ على ﺩﻑ في ﺩﻑ على ﺩﻥ.
