فيديو الدرس: الضرب الاتجاهي في فضاء ثلاثي الأبعاد الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن الضرب الاتجاهي في فضاء ثلاثي الأبعاد. وهو عملية رياضية نطبقها على متجهين في فضاء ثلاثي الأبعاد. وسوف نتعلم كيف نجري هذه العملية، ونعرف فائدتها، كما سنعرف التفسير الهندسي لحاصل الضرب الاتجاهي.

سنبدأ بتوضيح أن هذه العملية تطبق على متجهين قد يكون لكل منهما ثلاثة أبعاد. نفترض على سبيل المثال أن لدينا المتجهين ﺃ وﺏ، وكل منهما له مركبة في الاتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ. يدمج حاصل الضرب الاتجاهي في فضاء ثلاثي الأبعاد متجهين مثل هذين المتجهين، ويكون الناتج متجهًا أيضًا. ليس ذلك فحسب، بل يكون هذا المتجه عموديًا على المتجهين الأصليين.

إذا حسبنا حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃ وﺏ، والذي يمثله الحرف ×، فإن ناتج هذه العملية هو متجه ثالث، نسميه ﺟ، وهو عمودي على المتجهين ﺃ وﺏ. لنفترض أن هذا هو المتجه ﺃ، وهذا هو المتجه ﺏ. وعلى الرغم من أن كلا المتجهين ثلاثيا الأبعاد، يمكننا أن نتخيل رؤيتهما من منظور عمودي عليهما. إذا نظرنا إلى المتجهين من هذا المنظور، فإن المتجه ﺟ الناتج عن ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ سيشير إلى خارج الشاشة في هذا الاتجاه.

وبالنسبة إلى معيار المتجه ﺟ، فإذا رسمنا متوازي أضلاع بحيث يكون المتجهان المدخلان ﺃ وﺏ ضلعين متجاورين فيه، فإن مساحة متوازي الأضلاع هذا تساوي معيار ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ. وهذه المساحة تساوي معيار المتجه ﺟ. ويخبرنا ذلك بأمر آخر حول حاصل الضرب الاتجاهي في فضاء ثلاثي الأبعاد؛ وهو أنه عندما يمثل المتجهان المدخلان ضلعين متجاورين في متوازي الأضلاع، فإن مساحة متوازي الأضلاع هذا تساوي معيار حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين. ويتيح لنا إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي في فضاء ثلاثي الأبعاد حساب عدد من الكميات الفيزيائية المفيدة، مثل العزم أو كمية الحركة الزاوية.

والآن بعد أن تناولنا معنى حاصل الضرب الاتجاهي، هيا نتعرف على كيفية حسابه. إننا نمثل حاصل الضرب الاتجاهي في فضاء ثلاثي الأبعاد رياضيًا باستخدام مصفوفة ثلاثة في ثلاثة. ويحتوي الصف الأول من هذه المصفوفة على متجهات الوحدة المتعامدة الثلاثة ﺱ وﺹ وﻉ. ويحتوي الصف التالي على المركبات المناظرة للمتجه الأول بعملية الضرب الاتجاهي، وهو في هذه الحالة المتجه ﺃ. ويحتوي الصف الأخير على المركبات المناظرة للمتجه الثاني.

لاحظ أنه عند حساب حاصل الضرب الاتجاهي، يكون ترتيب المتجهين المدخلين أمرًا مهمًا. فبشكل عام، ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ لا يساوي ﺏ ضرب اتجاهي ﺃ. لقد أشرنا بوضوح إلى حساب قيمة محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة. ومن الشائع تمثيل العملية الحسابية نفسها بهذه الطريقة. إنها تعني الأمر نفسه. فعند حساب حاصل الضرب الاتجاهي هذا، نحصل في النهاية على متجه ثلاثي الأبعاد. والطريقة التي نحسب بها هذا الناتج هي حساب كل مركبة على حدة.

عند حساب المركبة س أولًا، نضرب متجه الوحدة هذا في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين المتبقية عند حذف الصف والعمود اللذين يحتويان على المتجه س. ونلاحظ أن هذا المحدد يساوي ﺃﺹ في ﺏﻉ ناقص ﺃﻉ في ﺏﺹ. وأيًا كانت طريقة الحل التي تفضلها، فإن الناتج سيكون المركبة ﺱ للمتجه الناتج لدينا.

ننتقل بعد ذلك إلى حساب المركبة ﺹ. ويتضمن ذلك عملية مماثلة، لكن لاحظ أننا نضع إشارة سالب قبل هذه المركبة. لإيجاد معيار هذه المركبة، علينا حساب قيمة محدد مصفوفة اثنين في اثنين مرة أخرى، لكن هذه المرة باستخدام هذه العناصر الأربعة. ونجد أن هذا يساوي ﺃس في ﺏ ﻉ ناقص ﺃﻉ في ﺏ س. وأخيرًا، نحسب المركبة ﻉ.

مرة أخرى، عند حذف الصف والعمود اللذين يظهر فيهما هذا العنصر، يمكننا إيجاد قيمة هذه المركبة كقيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين، والتي تساوي ﺃﺱ في ﺏﺹ ناقص ﺃﺹ في ﺏﺱ. وبذلك، نكون قد أوجدنا قيمة حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃ وﺏ.

تذكر أننا أوضحنا من قبل أن هذا المتجه الناتج سيكون عموديًا على كلا المتجهين المدخلين. وللتأكد من صحة ذلك، دعونا نجرب إجراء هذه العملية على أحد الأمثلة. لنفترض أن لدينا المتجهين ﻝ واحد وﻝ اثنين، حيث ﻝ واحد هو متجه الوحدة س وﻝ اثنين هو متجه الوحدة ﺹ. إذا حسبنا حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﻝ واحد وﻝ اثنين، فسنحصل على محدد مصفوفة ثلاثة في ثلاثة طبقًا للصيغة التي لدينا؛ حيث يحتوي الصفان الثاني والثالث، اللذان سنكتبهما، على مركبات المتجهين ﻝ واحد وﻝ اثنين.

بما أن ﻝ واحد هو متجه الوحدة ﺱ، فإن معياره في ذلك الاتجاه يساوي واحدًا، ومعياره في الاتجاهين الآخرين يساوي صفرًا. وبالمثل، فإن معيار ﻝ اثنين في الاتجاه ﺱ يساوي صفرًا. ومعياره في الاتجاه ﺹ يساوي واحدًا، بينما يساوي صفرًا في الاتجاه ﻉ. بحساب المركبة ﺱ الناتجة عن الضرب الاتجاهي، نجد أنها تساوي قيمة محدد هذه المصفوفة. أي تساوي صفرًا في صفر، وهو ما يعطينا صفرًا. بعد ذلك، نطرح صفرًا في واحد من هذه القيمة، وهو ما يساوي صفرًا أيضًا. ويوضح لنا هذا أن حاصل الضرب الاتجاهي ليس له مركبة في الاتجاه ﺱ. وإذا حسبنا المركبة ﺹ بعد ذلك، فسنحصل على سالب واحد في واحد في صفر، وهو ما يساوي صفرًا ناقص صفر في صفر. ومن ثم، فإن حاصل الضرب الاتجاهي هذا ليس له مركبة في الاتجاه ﺹ أيضًا.

وأخيرًا، سنتناول المركبة ﻉ، وهي تساوي قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. واحد مضروبًا في واحد يساوي واحدًا. ثم نطرح صفرًا في صفر من هذه القيمة. فنحصل أخيرًا على مركبة متجه غير صفرية. إذن، حاصل الضرب الاتجاهي الكلي هذا يساوي ببساطة متجه الوحدة ﻉ. وبتذكر أن ﻝ واحد يساوي المتجه ﺱ وﻝ اثنين يساوي المتجه ﺹ، نتأكد أن المحصلة عمودية بالفعل على كل من هذين المتجهين المدخلين لدينا.

دعونا نستكمل التدريب على الضرب الاتجاهي في فضاء ثلاثي الأبعاد من خلال تناول بعض الأمثلة.

افترض أن ﻝ يساوي متجه الوحدة ﺱ وﻡ يساوي ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ زائد أربعة ﻉ. احسب ﻝ ضرب اتجاهي ﻡ‏.

لدينا هنا المتجهان ﻝ وﻡ، وأحدهما متجه ثلاثي الأبعاد. لحساب حاصل الضرب الاتجاهي لهما، علينا تذكر القاعدة الرياضية لحساب حاصل الضرب الاتجاهي في فضاء ثلاثي الأبعاد. إذا كان لدينا المتجهان ﺃ وﺏ ولكل منهما ثلاثة أبعاد، فإن ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ يساوي قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة.

لاحظ أن الصف الأول يتكون من متجهات الوحدة المتعامدة الثلاثة، بينما يتكون الصفان الثاني والثالث من المركبات المناظرة للمتجهين المدخلين ﺃ وﺏ. وباسترجاع هذه القاعدة الرياضية، يمكننا تطبيقها على هذين المتجهين المحددين ﻝ وﻡ. سنكتب ﻝ ضرب اتجاهي ﻡ بهذا الشكل. وبوجود متجهات الوحدة أعلى كل عمود، فإننا نعلم أن مركبات المتجه ﻝ هي واحد، صفر، صفر هكذا، بينما معيار المتجه ﻡ يساوي ثلاثة في الاتجاه ﺱ، واثنين في الاتجاه ﺹ، وأربعة في الاتجاه ﻉ.

نحن الآن مستعدون لحساب حاصل الضرب الاتجاهي هذا، وسنفعل ذلك بحساب كل مركبة على حدة، بدءًا من المركبة ﺱ. هذه المركبة ستساوي قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. وبذلك، نحصل على صفر في أربعة، وهو ما يساوي صفرًا، ناقص صفر في اثنين، وهو يساوي صفرًا أيضًا. إذن، المركبة ﺱ لحاصل الضرب الاتجاهي هذا تساوي صفرًا. دعونا نلق نظرة الآن على المركبة ﺹ. هذه المركبة تساوي سالب واحد في قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. هذا يعطينا واحدًا في أربعة أو أربعة ناقص صفر في ثلاثة؛ أي صفر. ومن ثم، فإن قيمة المركبة ﺹ غير صفرية؛ حيث إنها تساوي سالب أربعة. وأخيرًا، المركبة ﻉ تساوي قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. وهذا يساوي واحدًا في اثنين؛ أي اثنين، ناقص صفر في ثلاثة؛ أي صفر. إذن، هذا هو المتجه الناتج. وهو حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﻝ وﻡ.

يمكننا ترك الإجابة بهذه الصورة، أو يمكننا كتابتها على صورة متجه. ولنفعل ذلك، سنستخدم الأقواس الدائرية هذه ونكتب فقط معيار كل مركبة. إذن، هذا هو ناتج ﻝ ضرب اتجاهي ﻡ.

دعونا نتناول الآن مثالًا تكون فيه جميع المتجهات المعطاة ثلاثية الأبعاد.

إذا كان المتجه ﺃ يساوي ثلاثة، أربعة، سالب أربعة، والمتجه ﺏ يساوي اثنين، خمسة، سالب أربعة، والمتجه ﺟ يساوي سالب أربعة، سالب أربعة، اثنين، فأوجد ﺃ ناقص ﺏ ضرب اتجاهي ﺟ ناقص ﺃ‏.

حسنًا، لدينا هنا هذه المتجهات الثلاثة ﺃ وﺏ وﺟ المكتوبة بدلالة مركباتها. فعلى سبيل المثال، عند النظر إلى المتجه ﺃ، نجد أن هذه هي المركبة ﺱ، وهذه هي المركبة ﺹ، وهذه هي المركبة ﻉ. هدفنا هو حساب حاصل الضرب الاتجاهي؛ حيث يمثل المتجهان هنا الفرق بين متجهين من المتجهات ﺃ وﺏ وﺟ.

يمكننا هنا تسمية هذين الفرقين. سنسمي ﺃ ناقص ﺏ المتجه ﺩ، وﺟ ناقص ﺃ المتجه ﻫ. بعد ذلك، سنحسب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺩ وﻫ. لكن قبل ذلك، علينا معرفة كل متجه من هذه المتجهات. سنبدأ بالمتجه ﺩ، إننا نعرف أنه يساوي المتجه ﺃ، الذي يساوي ثلاثة، أربعة، سالب أربعة، ناقص المتجه ﺏ، الذي يساوي اثنين، خمسة، سالب أربعة. بحساب كل مركبة على حدة، نجد أن ثلاثة ناقص اثنين يساوي واحدًا، وأربعة ناقص خمسة يساوي سالب واحد، وسالب أربعة ناقص سالب أربعة يساوي صفرًا. إذن، هذا هو المتجه ﺩ.

بالنسبة للمتجه ﻫ فهو يساوي المتجه ﺟ هنا ناقص المتجه ﺃ هنا. سالب أربعة ناقص ثلاثة يساوي سالب سبعة، وسالب أربعة ناقص أربعة يساوي سالب ثمانية، واثنان ناقص سالب أربعة يساوي موجب ستة. بذلك، أصبح لدينا الآن المتجهان ﺩ وﻫ. وسنكتبهما في هذا الجانب بحيث ندمجهما في حاصل الضرب الاتجاهي. ولإجراء ذلك، دعونا نتذكر قاعدة حاصل الضرب الاتجاهي في فضاء ثلاثي الأبعاد لمتجهين. لقد سميناهما ﺃ وﺏ هنا. حاصل الضرب الاتجاهي هذا يساوي قيمة محدد مصفوفة ثلاثة في ثلاثة.

يحتوي الصف الأول على متجهات الوحدة، ويحتوي الصف الثاني على المركبات المناظرة للمتجه ﺃ، ويحتوي الصف الثالث على المركبات المناظرة للمتجه ﺏ. لذا، عند كتابة حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺩ وﻫ، نجد مرة أخرى أن متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ أعلى كل عمود. وفي الصف التالي، سنكتب مركبات المتجه ﺩ. وهي واحد، سالب واحد، صفر. وأخيرًا، نكتب مركبات المتجه ﻫ وهي سالب سبعة، سالب ثمانية، موجب ستة.

لحساب حاصل الضرب الاتجاهي هذا علينا حساب قيمة محدد هذه المصفوفة. سنبدأ بالمركبة ﺱ، إذا حذفنا الصف والعمود اللذين يحتويان على هذا العنصر، فإن هذه المركبة تساوي قيمة محدد المصفوفة المتبقية التي رتبتها اثنان في اثنين. وهو يساوي سالب واحد في ستة؛ أي سالب ستة، ناقص صفر في سالب ثمانية؛ أي صفر. إذن، المركبة ﺱ للمتجه الناتج تساوي سالب ستة.

سننتقل بعد ذلك إلى حساب المركبة ﺹ. وقيمتها تساوي سالب واحد في واحد في ستة؛ أي ستة، ناقص صفر في سالب سبعة؛ أي صفر. وهذا يعطينا سالب ستة ﺹ. وأخيرًا، بالنسبة للمركبة ﻉ فهي تساوي واحدًا في سالب ثمانية، أو سالب ثمانية، ناقص سالب واحد في سالب سبعة، وهو ما يساوي سالب سبعة. يمكن تبسيط المركبة ﻉ بعد ذلك إلى سالب ١٥.

بذلك، نكون قد حسبنا جميع المركبات الثلاثة لحاصل الضرب الاتجاهي الناتج. إذن، المتجه الذي نحصل عليه في النهاية هو سالب ستة ﺱ ناقص ستة ﺹ ناقص ١٥ﻉ. وبالعودة إلى المتجهات الثلاثة الأصلية ﺃ وﺏ وﺟ، فإن هذا يساوي ﺃ ناقص ﺏ ضرب اتجاهي ﺟ ناقص ﺃ.

دعونا نر الآن مثالًا نتناول فيه المعنى الهندسي لحاصل الضرب الاتجاهي.

‏‏ﺃﺏﺟﺩ متوازي أضلاع، فيه المتجه ﺃﺏ يساوي سالب واحد، واحد، ثلاثة، والمتجه ﺃﺩ يساوي ثلاثة، أربعة، واحد. أوجد مساحة ﺃﺏﺟﺩ. قرب الناتج لأقرب منزلة عشرية.

حسنًا، يخبرنا السؤال أن ﺃﺏﺟﺩ متوازي أضلاع. والمتجهان المعطيان ﺃﺏ وﺃﺩ ضلعان فيه. لنفترض أن هذه النقطة هي النقطة ﺃ. وسنفترض أن إحداثيات هذه النقطة هي صفر، صفر، صفر. بعبارة أخرى، النقطة ﺃ هي نقطة الأصل لمجموعة محاور في فضاء ثلاثي الأبعاد.

من هذه النقطة، يمكننا رسم المتجهين ﺃﺏ وﺃﺩ. إذا افترضنا أن كليهما يقع على مستوى الشاشة، فإن المتجه ﺃﺏ قد يبدو بهذا الشكل والمتجه ﺃﺩ قد يبدو بهذا الشكل. نحن نعلم أن كل متجه من هذين المتجهين يصل بين حافتين في متوازي الأضلاع الذي لدينا. ويخبرنا هذا أن النقطة ﺏ تقع عند نهاية المتجه ﺃﺏ هنا، والنقطة ﺩ تقع عند نهاية المتجه ﺃﺩ. وبما أننا نتعامل مع متوازي أضلاع، فيمكننا رسم الضلعين المتبقيين. سيبدو هذان الضلعان بهذا الشكل. والنقطة ﺟ في متوازي الأضلاع هذا تقع هنا.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد هذه المساحة، وهي مساحة ﺃﺏﺟﺩ. ولكي نفعل ذلك، سنسترجع الحقيقة التي تخبرنا أن معيار حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين يشكلان ضلعين متجاورين في متوازي الأضلاع يساوي مساحة هذا الشكل. بعبارة أخرى، إذا حسبنا حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃﺏ وﺃﺩ، فإن معيار حاصل الضرب الاتجاهي هذا سيساوي المساحة التي ظللناها باللون الأزرق.

خطوتنا الأولى إذن هي معرفة كيفية حساب حاصل الضرب الاتجاهي هذا. إننا نتذكر أنه إذا كان لدينا متجهان ثلاثيا الأبعاد، فسنسميهما ﺃ وﺏ، فإن ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ يعطى بهذا المقدار. لدينا هنا محدد لمصفوفة ثلاثة في ثلاثة، حيث يحتوي الصف الأول فيها على متجهات الوحدة، ويحتوي الصف الثاني على المركبات المناظرة للمتجه ﺃ، ويحتوي الصف الثالث على المركبات المناظرة للمتجه ﺏ. دعونا الآن نطبق هذه القاعدة العامة على المتجهين المعطيين هنا، وهما المتجهان ﺃﺏ وﺃﺩ.

سنبدأ بمحدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، ونكتب في الصف الثاني مركبات المتجه ﺃﺏ. هذه المركبات هي سالب واحد، موجب واحد، ثلاثة. ننتقل بعد ذلك إلى مركبات المتجه ﺃﺩ وهي موجب ثلاثة، موجب أربعة، موجب واحد. لحساب قيمة محدد هذه المصفوفة، دعونا نفرغ بعض المساحة هنا، ثم نحسب حاصل الضرب الاتجاهي هذا، وسنبدأ بالمركبة ﺱ. سنحذف الصف والعمود اللذين يحتويان على هذا العنصر. وقيمة المركبة ﺱ تساوي قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. واحد في واحد يساوي واحدًا. ومن هذه القيمة، نطرح ثلاثة في أربعة؛ أي ١٢.

ننتقل بعد ذلك إلى المركبة ﺹ. وهذه القيمة تساوي سالب في سالب واحد في واحد؛ أي سالب واحد، ناقص ثلاثة في ثلاثة؛ أي تسعة. وأخيرًا، المركبة ﻉ تساوي قيمة محدد هذه المصفوفة. لدينا سالب واحد في أربعة يساوي سالب أربعة، ناقص واحد في ثلاثة؛ أي ثلاثة. يمكن تبسيط هذه المركبات إلى سالب ١١ﺱ وموجب ١٠ﺹ وسالب سبعة ﻉ. إذن، هذا هو حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃﺏ وﺃﺩ.

لكننا لم نصل بعد إلى الإجابة المطلوبة؛ فنحن نريد إيجاد مساحة متوازي الأضلاع لدينا. ولإجراء ذلك، علينا حساب معيار المتجه الذي أوجدناه للتو. إذا كان لدينا المتجه ﻝ بمركبات في الاتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ، فيمكننا تذكر أن معيار المتجه ﻝ يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. ويمكننا تطبيق القاعدة نفسها لإيجاد معيار ﺃﺏ ضرب اتجاهي ﺃﺩ. المركبات التي لدينا هنا هي سالب ١١ وموجب ١٠ وسالب سبعة. إذا قمنا بتربيع كل هذه القيم، فسنحصل على ١٢١ و١٠٠ و٤٩. وبجمع هذه المربعات معًا، نحصل على ٢٧٠. بعد إيجاد الجذر التربيعي لـ ٢٧٠ باستخدام الآلة الحاسبة وتقريبه لأقرب منزلة عشرية، فإن الناتج يساوي ١٦٫٤. إذن، هذه هي مساحة ﺃﺏﺟﺩ، أيًا كانت وحدة قياس المساحة المستخدمة.

هيا بنا نستعرض الآن بعض النقاط الأساسية المتعلقة بحاصل الضرب الاتجاهي في فضاء ثلاثي الأبعاد. في هذا الدرس، تعلمنا أن حاصل الضرب الاتجاهي في فضاء ثلاثي الأبعاد يدمج متجهين ثلاثيي الأبعاد، وينتج عن هذا الدمج متجهًا آخر يكون عموديًا على المتجهين الأصليين. لذا، إذا كان المتجهان ﺃ وﺏ يقعان على مستوى الشاشة، فإن ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ سيشير إلى خارج الشاشة باتجاهنا.

بالإضافة إلى ذلك، عرفنا أن معيار حاصل الضرب الاتجاهي يساوي مساحة متوازي الأضلاع المحدد بالمتجهين اللذين يدمجهما في حاصل الضرب الاتجاهي. وأخيرًا، عرفنا أنه إذا كان ﺃ وﺏ متجهين ثلاثيي الأبعاد، فإن ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ يساوي قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة. ويكون مكتوبًا على الصورة الإحداثية بهذا الشكل.