شارح الدرس: الضرب الاتجاهي في فضاء ثلاثي الأبعاد الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في الفضاء، وكيف نستخدم ذلك لإيجاد مساحات أشكال هندسية.

هناك طريقتان لضرب المتجهات. قد تكون بالفعل على دراية بطريقة الضرب القياسي. يُنتِج هذا الضرب كمية قياسية تساوي حاصل ضرب معيارَي كلا المتجهين مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بين المتجهين. أما الضرب الاتجاهي، فإنه ضرب متجهات ينتج عنه متجه.

قاعدة اليد اليمنى هي طريقة الاستذكار باستخدام اليد اليمنى التي تسمح لنا بإيجاد الاتجاه (للأعلى أو للأسفل) للمتجه بالنسبة إلى المستوى المُعرَّف بواسطة المتجهين ، (باعتباره أفقيًّا).

نأخذ يدنا اليمنى ونحاذي إصبعنا الأول مع ، والثاني مع ، ويشير اتجاه الإبهام، لأعلى أو لأسفل، إلى اتجاه .

في صورة مختلفة قليلًا، نستخدم يدًا يمنى نصف مغلقة، ونجعل الأصابع تشير إلى الزاوية من إلى ؛ وبذلك يُعطِي الإبهام اتجاه .

يُعطَى اتجاه المتجه أيضًا من خلال الحركة لأعلى أو لأسفل؛ مثل غطاء الزجاجة الذي يدوِّره الشخص في نفس اتجاه الانتقال من إلى . يفك (يفتح) الشخص الزجاجة عند تدوير الغطاء عكس اتجاه عقارب الساعة: يتحرَّك الغطاء لأعلى (إذا كانت الزجاجة رأسية)، والعكس صحيح. نوضِّح ذلك هنا باستعمال الصامولة؛ حيث الرمز يعني متجهًا عموديًّا على مستوى الورقة/الشاشة يشير نحونا (تشير النقطة الموجودة في المنتصف إلى رأس السهم)، ويعني الرمز متجهًا عموديًّا على مستوى الورقة/الشاشة يشير إلى الجانب الآخر من المستوى بالنسبة إلينا.

كل هذه القواعد تعبِّر عن الشيء نفسه؛ فاختَر القاعدة التي تفضِّلها، والتزم بها، فستكون مفيدةً ليس فقط في الرياضيات، بل في الفيزياء أيضًا.

في نظام الإحداثيات الكارتيزية الثلاثي الأبعاد، مجموعة متجهات الوحدة وفق اليد اليمنى، ، تكون كالآتي: ، ، .

يمكن بسهولة استرجاع هذه المعادلات باستخدام ما أوضحناه حتى الآن. خذ على سبيل المثال . باستخدام الشكل السابق، يمكننا محاذاة السبابة مع ، والوسطى مع ، ويشير الإبهام إلى اليمين؛ أيْ في نفس اتجاه . يمكننا أيضًا النظر إلى ، من الجانب الموجب لـ ، وملاحظة أن الدورة الأقصر من إلى عكس اتجاه عقارب الساعة، وهو ما يعني أن المتجه الناتج يشير إلينا (كأننا نفك غطاءً). وبما أن ، متجها وحدة عموديان، إذن حاصل ضرب معيارهما يساوي ١، وجيب الزاوية بينهما التي قياسها يساوي ١. لذا، نجد أن .

من هذه القواعد، نلاحظ أن ، لهما اتجاهان متضادان؛ إذ إن الدوران من إلى عكس اتجاه الدوران من إلى . ومن ثَمَّ:

يمكننا القول إن الضرب الاتجاهي غير إبدالي.

ومن ثَمَّ، نجد أن:

بالإضافة إلى ذلك، ؛ إذ إن الزاوية المحصورة بين ، تساوي صفرًا، . (أيضًا لا يوجد دوران من إلى ؛ ومن ثَمَّ، لا توجد حركة «للغطاء»، ولا يمكن تحديد المستوى بمتجه واحد؛ ولذلك، لا يمكن تحديد أي اتجاه عمودي على المستوى كذلك.)

ربما تكون قد تعلَّمت بالفعل كيفية إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في المستوى عن طريق حساب محدد باستخدام المركبات. ثمَّة طريقة مشابهة لاستخدام متجهات في الفضاء. يمكننا إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي عن طريق إعادة كتابة كل متجه بدلالة مركباته:

باستخدام خاصية التوزيع للضرب الاتجاهي (التي لن نثبتها هنا)، يصبح لدينا: بما أن .

بإعادة الترتيب، نجد أن:

ندرك أن لدينا هنا قيمة محدد . ومن ثمَّ، يمكن الحصول على حاصل الضرب الاتجاهي بالعلاقة:

تعريف: الضرب الاتجاهي لمتجهين في نظام الإحداثيات الكارتيزية الثلاثي الأبعاد

لكل متجهين ثلاثيَّي الأبعاد ، في النظام الإحداثي ، يكون حاصل الضرب الاتجاهي لـ ، هو:

هيا نطبِّق تعريف الضرب الاتجاهي في أول مثال.

مثال ١: إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين بمعلومية مركباتهما

افترض أن ، . احسب .

الحل

المتجهان مُعطيان هنا بدلالة متجهات الوحدة ، ، في نظام الإحداثيات الكارتيزية.

نكتبهما على الصورة الإحداثية:

نعلم أن:

في المثال التالي، نفعل الشيء نفسه، لكن علينا إجراء طرح المتجهات قبل ذلك.

في المثال السابق، كانت أسهل طريقة لإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي هي تحديد مركبات ، . ولكن، كان بإمكاننا أيضًا استخدام حقيقة أن الضرب الاتجاهي عملية لها خاصية التوزيع: حيث (الزاوية المحصورة بين المتجه ونفسه تساوي صفرًا).

يمكن تمثيل التوزيع بسهولة باستخدام الطريقة التي نحسب بها حاصل الضرب الاتجاهي من مركبات المتجهات:

نستخدم الآن ما تعلَّمناه عن اتجاه حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في الإجابة عن السؤال التالي.

لدى حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين خواص هندسية بخلاف حقيقة أنه عمودي على المستوى الذي يحدِّده المتجهان: معياره يُساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يمثِّل فيه المتجهان ضلعين متجاورين.

إذا ألقينا نظرة على المتجهين ، ، كما هو موضَّح في الشكل، نلاحظ أن ؛ أي ارتفاع متوازي الأضلاع الذي يكون المتجهان ، ضلعين فيه. من ثمَّ، يُساوي مساحة متوازي الأضلاع . نأخذ هنا القيمة المطلقة لجيب التمام بما أن زاوية مستقيمة. إذا نظرنا في هنا، نجد أن الزاوية معرَّفة على أنها الزاوية من إلى ، وهي زاوية سالبة وجيبها سالب. أو في حال استخدام الزوايا الموجبة فقط، فإن تكون زاوية قياسها بين و (أي )؛ وبذلك، يكون جيبها سالبًا.

نستخدم ذلك في إيجاد المساحة.

في الشكل السابق في المثال السابق، مساحة المثلث نصف مساحة متوازي الأضلاع . يترتَّب على ذلك أن مساحة المثلث تساوي نصف معيار حاصل الضرب الاتجاهي لاثنين من المتجهات الثلاثة المكوِّنة لأضلاعه؛ أي إن:

سيُغيِّر ترتيب المتجهات واتجاهاتها ( أو ) الزاوية المحصورة بين المتجهين فقط. وبما أن ما نريده هنا هو معيار حاصل الضرب الاتجاهي فقط، إذن لا تهم كيفية اختيارنا للمتجهين بين النقاط الثلاث وترتيبها للضرب الاتجاهي. لكننا اخترنا هنا كتابة المتجهات بدايةً من أحد رءوس المثلث لمساعدتنا في تصوُّر متوازي الأضلاع الذي يشمل هذين المتجهين والمثلث باعتباره نصف متوازي الأضلاع.

هيا نستخدم معنى الضرب الاتجاهي في سياق هندسي مع المثال الأخير.

النقاط الرئيسية

• حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين ، هو متجه آخر يُعطَى بالعلاقة: حيث هي الزاوية المحصورة بين ، ، هو متجه وحدة عمودي على المستوى الذي يحتوي على ، ؛ حيث يُعطَى اتجاه بواسطة قاعدة اليد اليمنى.
• لكل متجهين ثلاثيَّي الأبعاد ، في النظام الإحداثي ، فإن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ، هو:
• الضرب الاتجاهي عملية غير إبدالية: .
• الضرب الاتجاهي عملية لها خاصية التوزيع: .
• حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين على استقامة واحدة يساوي صفرًا، وكذلك .
• مساحة متوازي الأضلاع الذي يشمل المتجهين ، تُعطَى بالعلاقة . يترتَّب على ذلك أن مساحة المثلث الذي يمثِّل المتجهان ، ضلعين من أضلاعه تُعطَى بالعلاقة .