تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الضرب الاتجاهي في فضاء ثلاثي الأبعاد الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في الفضاء، وكيف نستخدم ذلك لإيجاد مساحات أشكال هندسية.

هناك طريقتان لضرب المتجهات. قد تكون بالفعل على دراية بطريقة الضرب القياسي. يُنتِج هذا الضرب كمية قياسية تساوي حاصل ضرب معيارَي كلا المتجهين مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بين المتجهين. أما الضرب الاتجاهي، فإنه ضرب متجهات ينتج عنه متجه.

تعريف: الضرب الاتجاهي

حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 هو متجه آخر يُعطَى بالعلاقة: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹|𝜃|󰄮𞸉، حيث 𝜃 الزاوية بين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁، ويكون 󰄮𞸉 متجه وحدة عموديًّا على المستوى الذي يحتوي على 󰏡، 󰄮󰄮𞸁. ويُعطَى اتجاه 󰄮𞸉 بواسطة قاعدة اليد اليمنى.

قاعدة اليد اليمنى هي طريقة الاستذكار باستخدام اليد اليمنى التي تسمح لنا بإيجاد الاتجاه (للأعلى أو للأسفل) للمتجه 󰏡×󰄮󰄮𞸁 بالنسبة إلى المستوى المُعرَّف بواسطة المتجهين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 (باعتباره أفقيًّا).

نأخذ يدنا اليمنى ونحاذي إصبعنا الأول مع 󰏡، والثاني مع 󰄮󰄮𞸁، ويشير اتجاه الإبهام، لأعلى أو لأسفل، إلى اتجاه 󰏡×󰄮󰄮𞸁.

في صورة مختلفة قليلًا، نستخدم يدًا يمنى نصف مغلقة، ونجعل الأصابع تشير إلى الزاوية من 󰏡 إلى 󰄮󰄮𞸁؛ وبذلك يُعطِي الإبهام اتجاه 󰏡×󰄮󰄮𞸁.

يُعطَى اتجاه المتجه 󰏡×󰄮󰄮𞸁 أيضًا من خلال الحركة لأعلى أو لأسفل؛ مثل غطاء الزجاجة الذي يدوِّره الشخص في نفس اتجاه الانتقال من 󰏡 إلى 󰄮󰄮𞸁. يفك (يفتح) الشخص الزجاجة عند تدوير الغطاء عكس اتجاه عقارب الساعة: يتحرَّك الغطاء لأعلى (إذا كانت الزجاجة رأسية)، والعكس صحيح. نوضِّح ذلك هنا باستعمال الصامولة؛ حيث الرمز يعني متجهًا عموديًّا على مستوى الورقة/الشاشة يشير نحونا (تشير النقطة الموجودة في المنتصف إلى رأس السهم)، ويعني الرمز متجهًا عموديًّا على مستوى الورقة/الشاشة يشير إلى الجانب الآخر من المستوى بالنسبة إلينا.

كل هذه القواعد تعبِّر عن الشيء نفسه؛ فاختَر القاعدة التي تفضِّلها، والتزم بها، فستكون مفيدةً ليس فقط في الرياضيات، بل في الفيزياء أيضًا.

في نظام الإحداثيات الكارتيزية الثلاثي الأبعاد، مجموعة متجهات الوحدة وفق اليد اليمنى، (󰄮󰄮󰄮𞹎،󰄮󰄮󰄮𞹑،󰄮󰄮𞹏)، تكون كالآتي: 󰄮󰄮𞹏=󰄮󰄮󰄮𞹎×󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮󰄮𞹎=󰄮󰄮󰄮𞹑×󰄮󰄮𞹏، 󰄮󰄮󰄮𞹑=󰄮󰄮𞹏×󰄮󰄮󰄮𞹎.

يمكن بسهولة استرجاع هذه المعادلات باستخدام ما أوضحناه حتى الآن. خذ على سبيل المثال 󰄮󰄮󰄮𞹑×󰄮󰄮𞹏. باستخدام الشكل السابق، يمكننا محاذاة السبابة مع 󰄮󰄮󰄮𞹑، والوسطى مع 󰄮󰄮𞹏، ويشير الإبهام إلى اليمين؛ أيْ في نفس اتجاه 󰄮󰄮󰄮𞹎. يمكننا أيضًا النظر إلى 󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞹏 من الجانب الموجب لـ 󰄮󰄮󰄮𞹎، وملاحظة أن الدورة الأقصر من 󰄮󰄮󰄮𞹑 إلى 󰄮󰄮𞹏 عكس اتجاه عقارب الساعة، وهو ما يعني أن المتجه الناتج يشير إلينا (كأننا نفك غطاءً). وبما أن 󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞹏 متجها وحدة عموديان، إذن حاصل ضرب معيارهما يساوي ١، وجيب الزاوية بينهما التي قياسها ٠٩ يساوي ١. لذا، نجد أن 󰄮󰄮󰄮𞹑×󰄮󰄮𞹏=󰄮󰄮󰄮𞹎.

من هذه القواعد، نلاحظ أن 󰏡×󰄮󰄮𞸁، 󰄮󰄮𞸁×󰏡 لهما اتجاهان متضادان؛ إذ إن الدوران من 󰏡 إلى 󰄮󰄮𞸁 عكس اتجاه الدوران من 󰄮󰄮𞸁 إلى 󰏡. ومن ثَمَّ: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=󰄮󰄮𞸁×󰏡.

يمكننا القول إن الضرب الاتجاهي غير إبدالي.

ومن ثَمَّ، نجد أن: 󰄮󰄮󰄮𞹑×󰄮󰄮󰄮𞹎=󰄮󰄮𞹏،󰄮󰄮𞹏×󰄮󰄮󰄮𞹑=󰄮󰄮󰄮𞹎،󰄮󰄮󰄮𞹎×󰄮󰄮𞹏=󰄮󰄮󰄮𞹑.

بالإضافة إلى ذلك، 󰏡×󰏡=٠؛ إذ إن الزاوية المحصورة بين 󰏡، 󰏡 تساوي صفرًا، ٠=٠. (أيضًا لا يوجد دوران من 󰏡 إلى 󰏡؛ ومن ثَمَّ، لا توجد حركة «للغطاء»، ولا يمكن تحديد المستوى بمتجه واحد؛ ولذلك، لا يمكن تحديد أي اتجاه عمودي على المستوى كذلك.)

ربما تكون قد تعلَّمت بالفعل كيفية إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في المستوى عن طريق حساب محدد ٢×٢ باستخدام المركبات. ثمَّة طريقة مشابهة لاستخدام متجهات في الفضاء. يمكننا إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي عن طريق إعادة كتابة كل متجه بدلالة مركباته: 󰏡=󰏡󰄮󰄮󰄮𞹎+󰏡󰄮󰄮󰄮𞹑+󰏡󰄮󰄮𞹏󰄮󰄮𞸁=𞸁󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑+𞸁󰄮󰄮𞹏.𞸎𞸑𞸏𞸎𞸑𞸏

باستخدام خاصية التوزيع للضرب الاتجاهي (التي لن نثبتها هنا)، يصبح لدينا: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=󰂔󰏡󰄮󰄮󰄮𞹎+󰏡󰄮󰄮󰄮𞹑+󰏡󰄮󰄮𞹏󰂓×󰂔𞸁󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑+𞸁󰄮󰄮𞹏󰂓=󰏡𞸁󰄮󰄮𞹏󰏡𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑󰏡𞸁󰄮󰄮𞹏+󰏡𞸁󰄮󰄮󰄮𞹎+󰏡𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑󰏡𞸁󰄮󰄮󰄮𞹎،𞸎𞸑𞸏𞸎𞸑𞸏𞸎𞸑𞸎𞸏𞸑𞸎𞸑𞸏𞸏𞸎𞸏𞸑 بما أن 󰄮󰄮󰄮𞹎×󰄮󰄮󰄮𞹎=󰄮󰄮󰄮𞹑×󰄮󰄮󰄮𞹑=󰄮󰄮𞹏×󰄮󰄮𞹏=٠.

بإعادة الترتيب، نجد أن: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=󰁓󰏡𞸁󰏡𞸁󰁒󰄮󰄮󰄮𞹎󰁓󰏡𞸁󰏡𞸁󰁒󰄮󰄮󰄮𞹑+󰁓󰏡𞸁󰏡𞸁󰁒󰄮󰄮𞹏.𞸑𞸏𞸏𞸑𞸎𞸏𞸏𞸎𞸎𞸑𞸑𞸎

ندرك أن لدينا هنا قيمة محدد ٣×٣. ومن ثمَّ، يمكن الحصول على حاصل الضرب الاتجاهي بالعلاقة: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=|||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏󰏡󰏡󰏡𞸁𞸁𞸁|||||.𞸎𞸑𞸏𞸎𞸑𞸏

تعريف: الضرب الاتجاهي لمتجهين في نظام الإحداثيات الكارتيزية الثلاثي الأبعاد

لكل متجهين ثلاثيَّي الأبعاد 󰏡=󰏡󰄮󰄮󰄮𞹎+󰏡󰄮󰄮󰄮𞹑+󰏡󰄮󰄮𞹏𞸎𞸑𞸏، 󰄮󰄮𞸁=𞸁󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑+𞸁󰄮󰄮𞹏𞸎𞸑𞸏 في النظام الإحداثي 󰂔𞸅،󰄮󰄮󰄮𞹎،󰄮󰄮󰄮𞹑،󰄮󰄮𞹏󰂓، يكون حاصل الضرب الاتجاهي لـ 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 هو: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=|||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏󰏡󰏡󰏡𞸁𞸁𞸁|||||=󰁓󰏡𞸁󰏡𞸁󰁒󰄮󰄮󰄮𞹎󰁓󰏡𞸁󰏡𞸁󰁒󰄮󰄮󰄮𞹑+󰁓󰏡𞸁󰏡𞸁󰁒󰄮󰄮𞹏.𞸎𞸑𞸏𞸎𞸑𞸏𞸑𞸏𞸏𞸑𞸎𞸏𞸏𞸎𞸎𞸑𞸑𞸎

هيا نطبِّق تعريف الضرب الاتجاهي في أول مثال.

مثال ١: إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين بمعلومية مركباتهما

افترض أن 󰄮𞸋=󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮𞸌=٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑+٤󰄮󰄮𞹏. احسب 󰄮𞸋×󰄮𞸌.

الحل

المتجهان مُعطيان هنا بدلالة متجهات الوحدة 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞹏 في نظام الإحداثيات الكارتيزية.

نكتبهما على الصورة الإحداثية: 󰄮𞸋=(١،٠،٠)󰄮𞸌=(٣،٢،٤).

نعلم أن: 󰄮𞸋×󰄮𞸌=|||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏𞸋𞸋𞸋𞸌𞸌𞸌|||||=||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏١٠٠٣٢٤||||=(٠×٤٢×٠)󰄮󰄮󰄮𞹎(١×٤٠×٣)󰄮󰄮󰄮𞹑+(١×٢٣×٠)󰄮󰄮𞹏=٠󰄮󰄮󰄮𞹎٤󰄮󰄮󰄮𞹑+٢󰄮󰄮𞹏=(٠،٤،٢).𞸎𞸑𞸏𞸎𝑦𞸏

في المثال التالي، نفعل الشيء نفسه، لكن علينا إجراء طرح المتجهات قبل ذلك.

مثال ٢: إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين حصلنا عليهما بطرح المتجهات

إذا كان 󰏡=(٣،٤،٤)، 󰄮󰄮𞸁=(٢،٥،٤)، 󰄮󰄮𞸢=(٤،٤،٢)، فأوجد 󰂔󰏡󰄮󰄮𞸁󰂓×󰂔󰄮󰄮𞸢󰏡󰂓.

الحل

نُوجِد أولًا مركبات 󰏡󰄮󰄮𞸁، 󰄮󰄮𞸢󰏡: 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰁓٣٢،٤٥،٤(٤)󰁒=(١،١،٠)،󰄮󰄮𞸢󰏡=󰁓٤٣،٤٤،٢(٤)󰁒=(٧،٨،٦).

بتطبيق قاعدة حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين من مركباتهما، نجد أن: 󰂔󰏡󰄮󰄮𞸁󰂓×󰂔󰄮󰄮𞸢󰏡󰂓=||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏١١٠٧٨٦||||=(١×٦(٨)×٠)󰄮󰄮󰄮𞹎(١×٦(٧)×٠)󰄮󰄮󰄮𞹑+(١×(٨)(٧)×(١))󰄮󰄮𞹏=٦󰄮󰄮󰄮𞹎٦󰄮󰄮󰄮𞹑٥١󰄮󰄮𞹏.

في المثال السابق، كانت أسهل طريقة لإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي هي تحديد مركبات 󰏡󰄮󰄮𞸁، 󰄮󰄮𞸢󰏡. ولكن، كان بإمكاننا أيضًا استخدام حقيقة أن الضرب الاتجاهي عملية لها خاصية التوزيع: 󰂔󰏡󰄮󰄮𞸁󰂓×󰂔󰄮󰄮𞸢󰏡󰂓=󰏡×󰄮󰄮𞸢󰏡×󰏡󰄮󰄮𞸁×󰄮󰄮𞸢+󰄮󰄮𞸁×󰏡=󰏡×󰄮󰄮𞸢󰄮󰄮𞸁×󰄮󰄮𞸢+󰄮󰄮𞸁×󰏡، حيث 󰏡×󰏡=٠ (الزاوية المحصورة بين المتجه ونفسه تساوي صفرًا).

يمكن تمثيل التوزيع بسهولة باستخدام الطريقة التي نحسب بها حاصل الضرب الاتجاهي من مركبات المتجهات: 󰂔󰏡+󰄮󰄮𞸁󰂓×󰄮󰄮𞸢=|||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏󰏡+𞸁󰏡+𞸁󰏡+𞸁𞸢𞸢𞸢|||||=|||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏󰏡󰏡󰏡𞸢𞸢𞸢|||||+||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏𞸁𞸁𞸁𞸢𞸢𞸢||||.𞸎𞸎𞸑𞸑𞸏𞸏𞸎𞸑𞸏𞸎𞸑𞸏𞸎𞸑𞸏𞸎𞸑𞸏𞸎𞸑𞸏

نستخدم الآن ما تعلَّمناه عن اتجاه حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في الإجابة عن السؤال التالي.

مثال ٣: إيجاد متجهات الوحدة العمودية على متجهين معلومين

أوجد متجهات الوحدة العمودية على كلٍّ من المتجهين 󰏡=(٤،٢،٠)، 󰄮󰄮𞸁=(٤،٦،٤).

الحل

نعلم أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين هو متجه عمودي على كلٍّ من المتجهين (وعمودي على أيِّ تركيب من هذين المتجهين؛ أيْ على أي متجه موجود في المستوى الذي يعرَّفه المتجهان). إيجاد متجهات الوحدة (أي التي معيارها ١) التي على استقامة واحدة مع هذا المتجه سيعطينا الحل، بمتجه واحد في نفس اتجاه حاصل الضرب الاتجاهي لـ 󰏡، 󰄮󰄮𞸁، ومتجه آخر في الاتجاه المعاكس.

هيا نُوجِد أولًا 󰏡×󰄮󰄮𞸁: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=|||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏󰏡󰏡󰏡𞸁𞸁𞸁|||||=||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏٤٢٠٤٦٤||||=(٢×(٤)٦×٠)󰄮󰄮󰄮𞹎(٤×(٤)٤×٠)󰄮󰄮󰄮𞹑+(٤×٦٤×٢)󰄮󰄮𞹏=٨󰄮󰄮󰄮𞹎+٦١󰄮󰄮󰄮𞹑+٦١󰄮󰄮𞹏.𞸎𞸑𞸏𞸎𞸑𞸏

متجه الوحدة في نفس اتجاه 󰏡×󰄮󰄮𞸁 يساوي: 󰏡×󰄮󰄮𞸁󰍼󰏡×󰄮󰄮𞸁󰍼=٨󰄮󰄮󰄮𞹎+٦١󰄮󰄮󰄮𞹑+٦١󰄮󰄮𞹏󰋴٤٦+٦٥٢+٦٥٢=٨󰄮󰄮󰄮𞹎+٦١󰄮󰄮󰄮𞹑+٦١󰄮󰄮𞹏٤٢=󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑+٢󰄮󰄮𞹏٣=󰂔١٣،٢٣،٢٣󰂓.

ومتجه الوحدة في الاتجاه المعاكس يساوي ببساطة هذا المتجه مضروبًا في ١؛ أي: 󰂔١٣،٢٣،٢٣󰂓.

لدى حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين خواص هندسية بخلاف حقيقة أنه عمودي على المستوى الذي يحدِّده المتجهان: معياره يُساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يمثِّل فيه المتجهان ضلعين متجاورين.

إذا ألقينا نظرة على المتجهين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁، كما هو موضَّح في الشكل، نلاحظ أن 󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹|𝜃|=𞸅𞸌؛ أي ارتفاع متوازي الأضلاع الذي يكون المتجهان 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 ضلعين فيه. من ثمَّ، 󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹|𝜃| يُساوي مساحة متوازي الأضلاع 𞸅󰏡𞸢𞸁. نأخذ هنا القيمة المطلقة لجيب التمام 𝜃 بما أن 𝜃 زاوية مستقيمة. إذا نظرنا في 󰏡×󰄮󰄮𞸁 هنا، نجد أن الزاوية 𝜃 معرَّفة على أنها الزاوية من 󰏡 إلى 󰄮󰄮𞸁، وهي زاوية سالبة وجيبها سالب. أو في حال استخدام الزوايا الموجبة فقط، فإن 𝜃 تكون زاوية قياسها بين ٠٨١ و٠٦٣ (أي ٠٦٣󰌑󰏡𞸅𞸁)؛ وبذلك، يكون جيبها سالبًا.

نستخدم ذلك في إيجاد المساحة.

مثال ٤: إيجاد مساحة متوازي أضلاع ناتج عن متجهين ثلاثيَّي الأبعاد يكوِّنان ضلعين متجاورين

󰏡𞸁𞸢𞸃 متوازي أضلاع، فيه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=(١،١،٣)، 󰄮󰏡𞸃=(٣،٤،١). أوجد مساحة 󰏡𞸁𞸢𞸃. قرِّب الناتج لأقرب منزلة عشرية.

الحل

إذا كان 󰏡𞸁𞸢𞸃 متوازي أضلاع، فإن 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮󰏡𞸃 ضلعان من أضلاعه المتجاورة. من ثَمَّ، تُعطَى مساحته بالعلاقة 󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁×󰄮󰏡𞸃󰍼. هيا نُوجِد أولًا 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁×󰄮󰏡𞸃: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁×󰄮󰏡𞸃=||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏١١٣٣٤١||||=١١󰄮󰄮󰄮𞹎+٠١󰄮󰄮󰄮𞹑٧󰄮󰄮𞹏.

من ثَمَّ: 󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁×󰄮󰏡𞸃󰍼=󰋴١٢١+٠٠١+٩٤=󰋴٠٧٢٤٫٦١.ب

مساحة متوازي الأضلاع 󰏡𞸁𞸢𞸃 هي ١٦٫٤ وحدة مساحة لأقرب منزلة عشرية.

في الشكل السابق في المثال السابق، مساحة المثلث 𞸅󰏡𞸁 نصف مساحة متوازي الأضلاع 𞸅󰏡𞸢𞸁. يترتَّب على ذلك أن مساحة المثلث 󰏡𞸁𞸢 تساوي نصف معيار حاصل الضرب الاتجاهي لاثنين من المتجهات الثلاثة المكوِّنة لأضلاعه؛ أي إن: 󰏡𞸁𞸢=١٢󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁×󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢󰍼=١٢󰍼󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡×󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢󰍼=١٢󰍼󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁×󰄮󰄮󰄮𞸢󰏡󰍼.

سيُغيِّر ترتيب المتجهات واتجاهاتها (󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 أو 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡) الزاوية المحصورة بين المتجهين فقط. وبما أن ما نريده هنا هو معيار حاصل الضرب الاتجاهي فقط، إذن لا تهم كيفية اختيارنا للمتجهين بين النقاط الثلاث وترتيبها للضرب الاتجاهي. لكننا اخترنا هنا كتابة المتجهات بدايةً من أحد رءوس المثلث لمساعدتنا في تصوُّر متوازي الأضلاع الذي يشمل هذين المتجهين والمثلث باعتباره نصف متوازي الأضلاع.

هيا نستخدم معنى الضرب الاتجاهي في سياق هندسي مع المثال الأخير.

مثال ٥: إيجاد مساحة مثلث بمعلومية رءوسه في فضاء ثلاثي الأبعاد

إذا كان 𞸃=(٠،٢،٨)، 𞸤=(٦،٤،٦)، 𞸍=(٤،٩،٢)، فأوجد مساحة المثلث 𞸃𞸤𞸍 لأقرب جزء من مائة.

الحل

نعلم أن مساحة المثلث تساوي نصف معيار حاصل الضرب الاتجاهي لاثنين من المتجهات الثلاثة التي تُكوِّن أضلاعه. إذا أخذنا، على سبيل المثال، الضلعين حول الرأس 𞸤، يصبح لدينا: 𞸃𞸤𞸍=١٢󰍹󰄮󰄮󰄮󰄮𞸤𞸍×󰄮󰄮󰄮𞸤𞸃󰍹.

هيا نُوجِد أولًا مركبات 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸤𞸍، 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸃، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸤𞸍×󰄮󰄮󰄮𞸤𞸃: 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸤𞸍=(٤٦،٩٤،٢٦)=(٠١،٣١،٨)،󰄮󰄮󰄮𞸤𞸃=(٠٦،٢٤،٨٦)=(٦،٦،٤١)،󰄮󰄮󰄮󰄮𞸤𞸍×󰄮󰄮󰄮𞸤𞸃=||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏٠١٣١٨٦٦٤١||||=(٣١×(٤١)(٦)×(٨))󰄮󰄮󰄮𞹎(٠١×(٤١)(٦)×(٨))󰄮󰄮󰄮𞹑+(٠١×(٦)(٦)×(٣١))󰄮󰄮𞹏=٤٣١󰄮󰄮󰄮𞹎٢٩󰄮󰄮󰄮𞹑٨١󰄮󰄮𞹏.

إذن 󰍹󰄮󰄮󰄮󰄮𞸤𞸍×󰄮󰄮󰄮𞸤𞸃󰍹=󰋴٤٣١+٢٩+٨١٢٢٢: وةب𞸃𞸤𞸍=١٢󰍹󰄮󰄮󰄮󰄮𞸤𞸍×󰄮󰄮󰄮𞸤𞸃󰍹=١٢󰋴٤٣١+٢٩+٨١٧٧٫١٨.٢٢٢

النقاط الرئيسية

  • حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 هو متجه آخر يُعطَى بالعلاقة: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹|𝜃|󰄮𞸉، حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁، 󰄮𞸉 هو متجه وحدة عمودي على المستوى الذي يحتوي على 󰏡، 󰄮󰄮𞸁؛ حيث يُعطَى اتجاه 󰄮𞸉 بواسطة قاعدة اليد اليمنى.
  • لكل متجهين ثلاثيَّي الأبعاد 󰏡=󰏡󰄮󰄮󰄮𞹎+󰏡󰄮󰄮󰄮𞹑+󰏡󰄮󰄮𞹏𞸎𞸑𞸏، 󰄮󰄮𞸁=𞸁󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑+𞸁󰄮󰄮𞹏𞸎𞸑𞸏 في النظام الإحداثي 󰂔𞸅،󰄮󰄮󰄮𞹎،󰄮󰄮󰄮𞹑،󰄮󰄮𞹏󰂓، فإن حاصل الضرب الاتجاهي لـ 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 هو: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=|||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏󰏡󰏡󰏡𞸁𞸁𞸁|||||=󰁓󰏡𞸁󰏡𞸁󰁒󰄮󰄮󰄮𞹎󰁓󰏡𞸁󰏡𞸁󰁒󰄮󰄮󰄮𞹑+󰁓󰏡𞸁󰏡𞸁󰁒󰄮󰄮𞹏.𞸎𞸑𞸏𞸎𞸑𞸏𞸑𞸏𞸏𞸑𞸎𞸏𞸏𞸎𞸎𞸑𞸑𞸎
  • الضرب الاتجاهي عملية غير إبدالية: 󰏡×󰄮󰄮𞸁=󰄮󰄮𞸁×󰏡.
  • الضرب الاتجاهي عملية لها خاصية التوزيع: 󰂔󰏡+󰄮󰄮𞸁󰂓×󰄮󰄮𞸢=󰏡×󰄮󰄮𞸢+󰄮󰄮𞸁×󰄮󰄮𞸢.
  • حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين على استقامة واحدة يساوي صفرًا، وكذلك 󰏡×󰏡=٠.
  • مساحة متوازي الأضلاع الذي يشمل المتجهين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 تُعطَى بالعلاقة 󰍼󰏡×󰄮󰄮𞸁󰍼. يترتَّب على ذلك أن مساحة المثلث الذي يمثِّل المتجهان 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 ضلعين من أضلاعه تُعطَى بالعلاقة ١٢󰍼󰏡×󰄮󰄮𞸁󰍼.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.