فيديو السؤال: استخدام المتجهات في الفضاء الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

وضعت سارة شراع ظل على شكل مثلث في حديقتها، كما هو موضح في الشكل. أوجد مساحة شراع الظل. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

هناك العديد من الطرق لحل هذا السؤال. سنتناول طريقة تستخدم المتجهات. النقطة المهمة في هذه الطريقة هي اعتبار أن شراع الظل المثلث الشكل هذا نصف متوازي أضلاع. ومن ثم، تكون مساحة شراع الظل المثلث الشكل تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع. وأعتقد أننا على دراية بكيفية إيجاد مساحة متوازي الأضلاع باستخدام المتجهات.

سنطلق على المتجهين في اتجاهي الضلعين المتجاورين في متوازي الأضلاع، ﻡ وﻱ كما هو موضح، ونجد هنا أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي معيار المتجه ﻡ ضرب اتجاهي ﻱ. بالتفكير في ذلك مع الحقيقة السابقة، نستنتج أن مساحة شراع الظل تساوي نصف معيار ﻡ ضرب اتجاهي ﻱ.

حسنًا، لكن كيف سنوجد حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﻡ وﻱ بدون مركباتهما؟ ليس لدينا في السؤال أي معطيات عن مركبات ﻡ وﻱ. لذا علينا التفكير وتحديد اتجاهات المحاور ﺱ وﺹ وﻉ، التي بدورها ستحدد اتجاهات متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ.

يوضح الركن السفلي الأيسر من هذا الشكل ثلاثة اتجاهات متعامدة بعضها على بعض. إذن قد نختار أيضًا هذه الاتجاهات لتكون ﺱ وﺹ وﻉ بترتيب ما. وكما هو معتاد، سأختار ﺱ وﺹ ليكونا المتجهين الأفقيين وﻉ ليشير إلى أعلى. وبهذا الاختيار، يسهل نسبيًّا تحديد المتجه ﻱ. إنه يشير في الاتجاه ﺹ. وطوله ثمانية أمتار. إذن لا بد أنه يساوي ثمانية ﺹ.

لكن ماذا عن المتجه ﻡ؟ كيف نوجد مركباته؟ حسنًا، لحسن الحظ، يمكننا أن نرى مسارًا من نقطة البداية أو ذيل ﻡ إلى نقطة نهايته أو رأسه. يمكننا أن نتجه لأسفل إلى الأرض، ثم بامتداد الأرض نحو الجدار الآخر، ثم بامتداد قاعدة هذا الجدار، ثم إلى أعلى الجدار. ومن ذلك، نجد أن المتجه ﻡ هو مجموع هذه المتجهات. يشير المتجه الأول من هذه المتجهات في الاتجاه المضاد للمتجه ﻉ. وبالنظر إلى الطرف الآخر من الجدار، يمكننا ملاحظة أن معياره لا بد أن يساوي اثنين. إذن هذا المتجه لا بد أن يساوي سالب اثنين ﻉ.

ماذا عن المتجه التالي الذي يشير إلى الاتجاه المضاد للمتجه ﺱ ومعياره يساوي ستة؟ لا بد أن يساوي سالب ستة ﺱ. أما المتجه الثالث الذي معياره يساوي ثلاثة أمتار ويشير في الاتجاه ﺹ، فلا بد أن يساوي ثلاثة ﺹ. وأخيرًا: المتجه الرابع الذي يشير في الاتجاه ﻉ فمعياره يساوي أربعة، هذا هو ارتفاع هذا الجدار، ولذلك فهو يساوي أربعة ﻉ.

علينا الآن فقط تبسيط هذا المجموع، وبذلك يصبح لدينا سالب ستة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد اثنين ﻉ. قد يكون من الأفضل كتابة كلا المتجهين على الصورة الإحداثية؛ لأننا سنحتاج أن يكونا على هذه الصورة لإيجاد حاصل ضربهما الاتجاهي، الذي سنستخدمه في النهاية لإيجاد مساحة الشراع.

دعونا نفرغ بعض المساحة ونحسب حاصل الضرب الاتجاهي. حسنًا، بعد أن أفرغنا بعض المساحة، سنحسب حاصل الضرب الاتجاهي هذا؛ ومن ثم نوجد المساحة. حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﻡ وﻱ يساوي محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة التي يحتوي صفها الأول على متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ، ويحتوي صفها الثاني على مركبات ﻡ، ويحتوي صفها الثالث على مركبات ﻱ. سنفك هذا المحدد باستخدام الصف الأول، ونحسب قيم كل من المحددات التي من الرتبة اثنين في اثنين. مرة أخرى: يمكننا كتابة ذلك على الصورة الإحداثية إذا أردنا.

والآن بعد أن أوجدنا حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﻡ وﻱ، دعونا نفرغ مساحة ونوجد معياره. في الواقع، إننا نريد إيجاد نصف معياره. ولكن كيف نوجد معيار أي متجه؟ إنه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات المركبات.

ليس علينا الآن سوى التبسيط أو كتابة هذا المقدار على الآلة الحاسبة. ونحصل بذلك على نصف في ١٦ جذر ١٠، وهو ما يساوي ثمانية جذر ١٠. وبما أن هذه القيمة تعبر عن مساحة جميع أطوالها معطاة بالأمتار، فإن وحدة هذه المساحة ستكون المتر المربع. هذه إذن هي القيمة الدقيقة لمساحة الشراع المثلث الشكل.

لكننا نريد هذه القيمة مقربة لأقرب منزلتين عشريتين. لذا سنستخدم مرة أخرى الآلة الحاسبة. ثمانية جذر ١٠ يساوي ٢٥٫٢٩٨٢٢، وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ٢٥٫٣٠. إذن مساحة شراع الظل المثلث الشكل الخاص بسارة تساوي ٢٥٫٣٠ مترًا مربعًا، وذلك لأقرب منزلتين عشريتين.

ولإيجاد ذلك، استخدمنا حقيقة أن مساحة المثلث في الفضاء الثلاثي الأبعاد تساوي نصف معيار حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في اتجاهي ضلعين من أضلاعه.