فيديو السؤال: إيجاد تكامل دالة تمثل مجموع دالة المقلوب والدالة التربيعية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد تكامل خمسة ﻫ أس أربعة على ﺱ زائد خمسة ﺱ تربيع مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لستة بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة تكامل. ونلاحظ أن التكامل لدينا هو مجموع دالتين. هذا يعني أنه يمكننا محاولة إيجاد تكامل كل حد على حدة. في البداية قد نشعر بالقلق حيال كيفية فعل ذلك. على سبيل المثال، في الحد الأول، نلاحظ أن لدينا العامل ﻫ أس أربعة. وفي الحد الثاني لدينا اللوغاريتم الطبيعي لستة. لكن كليهما ثابتان؛ فهما لا يتغيران بتغير قيمة ﺱ. في الحقيقة، يتغير جزآن فقط في هذا التعبير بتغير قيمة ﺱ. يمكننا ملاحظة أننا نقسم على ﺱ في الحد الأول ولدينا ﺱ تربيع في الحد الثاني.

إذن في الحد الأول، يكون خمسة ﻫ أس أربعة ثابتًا؛ وفي الحد الثاني، يكون خمسة في اللوغاريتم الطبيعي لستة ثابتًا أيضًا. في الواقع، نحن نعرف كيفية إجراء التكامل لهذين التعبيرين كل على حدة. لإيجاد تكامل الحد الأول، علينا تذكر ناتج التكامل التالي لدوال المقلوب. لأي ثابت حقيقي ﺃ، فإن تكامل ﺃ على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وفي الحد الأول، نلاحظ أن قيمة الثابت ﺃ تساوي خمسة ﻫ أس أربعة.

إذن، بجعل قيمة ﺃ تساوي خمسة ﻫ أس أربعة في قاعدة التكامل، يمكننا إيجاد تكامل الحد الأول، وبذلك يصبح لدينا خمسة ﻫ أس أربعة في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ. وتجدر الإشارة هنا إلى أن علينا فقط إضافة ثابت واحد للتكامل في نهاية هذا التعبير. إننا لن نضيفه الآن. حسنًا، لإيجاد تكامل الحد الثاني، سنستخدم قاعدة القوة للتكامل. لعلنا نتذكر أنها تنص على أنه لأي قيمتين حقيقيتين ﺃ وﻥ، حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، فإن تكامل ﺃﺱ مرفوعًا للقوة ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في ﺱ مرفوعًا للقوة ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ.

إننا هنا نضيف واحدًا إلى الأس الخاص بـ ﺱ، ثم نقسم على هذا الأس الجديد. في السؤال لدينا، قيمة الثابت ﺃ تساوي خمسة في اللوغاريتم الطبيعي لستة، والأس ﻥ يساوي اثنين. إذن، يمكننا استخدام ذلك لإيجاد تكامل الحد الثاني. لقد جعلنا ﺃ يساوي خمسة في اللوغاريتم الطبيعي لستة، وﻥ يساوي اثنين. هذا يعطينا خمسة في اللوغاريتم الطبيعي لستة مضروبًا في ﺱ تكعيب الكل على ثلاثة. وبالطبع، علينا إضافة ثابت التكامل ﺙ.

في الواقع، يمكننا ترك الإجابة بهذا الشكل. لكننا سنعيد ترتيبها قليلًا. في الحد الثاني، سنأخذ العامل الثابت للوغاريتم الطبيعي لستة، ونكتبه في نهاية الحد الثاني. وبهذا، نحصل على الناتج النهائي.

وبذلك، نكون قد استطعنا توضيح أن تكامل خمسة ﻫ أس أربعة على ﺱ زائد خمسة ﺱ تربيع في اللوغاريتم الطبيعي لستة بالنسبة إلى ﺱ يساوي خمسة ﻫ أس أربعة في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد خمسة ﺱ تكعيب على ثلاثة في اللوغاريتم الطبيعي لستة زائد ثابت التكامل ﺙ.