نسخة الفيديو النصية
أوجد، دون استخدام الآلة الحاسبة، قيمة جا اثنين ﺏ مقسومًا على اثنين مضروبًا في جتا اثنين ﺏ، بمعلومية جتا الزاوية ﺏ يساوي أربعة أخماس؛ حيث ﺏ أكبر من ثلاثة 𝜋 على اثنين وأصغر من اثنين 𝜋.
دعونا نلق نظرة على المعلومات المعطاة لدينا قبل أن نركز على التعبير الذي علينا حسابه. علمنا أن جتا الزاوية ﺏ يساوي أربعة أخماس، وأن هذه الزاوية ﺏ تقع بين ثلاثة 𝜋 على اثنين واثنين 𝜋 راديان. يساعدنا مخطط الإشارات الموضح في تحديد ما إذا كانت قيم الجيب وجيب التمام والظل لأي زاوية بين صفر واثنين 𝜋 موجبة أم سالبة. في هذا السؤال، نعلم أن الزاوية ﺏ تقع في الربع الرابع. في هذا الربع، تكون قيمة جيب تمام الزاوية موجبة، وتكون قيمة كل من جيب الزاوية وظل الزاوية سالبة. نعلم من السؤال أيضًا أن جتا الزاوية ﺏ يساوي أربعة أخماس. يمكننا استخدام هذه المعلومات بجانب المتطابقات المثلثية لحساب جيب الزاوية ﺏ وظل الزاوية ﺏ.
نتذكر أن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. هذا يعني أن جا تربيع ﺏ زائد أربعة أخماس تربيع يساوي واحدًا. يمكننا تربيع الحد أربعة أخماس بتربيع البسط والمقام كل على حدة، وهو ما يعطينا ١٦ على ٢٥. يمكننا بعد ذلك طرح ذلك من طرفي المعادلة. إذن، جا تربيع ﺏ يساوي تسعة على ٢٥. يمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة؛ حيث يكون جا الزاوية ﺏ مساويًا لموجب أو لسالب الجذر التربيعي لتسعة على ٢٥. يمكن تبسيط ذلك إلى سالب أو موجب ثلاثة أخماس. بتذكر أن جيب الزاوية ﺏ يجب أن يكون سالبًا، فإن هذا يساوي سالب ثلاثة أخماس.
نعلم أن ظل أي زاوية 𝜃 يساوي جيب هذه الزاوية مقسومًا على جيب تمام الزاوية. هذا يعني أن ظا الزاوية ﺏ يساوي سالب ثلاثة أخماس مقسومًا على أربعة أخماس. نبسط الطرف الأيسر إلى سالب ثلاثة أرباع. لدينا الآن قيم جا الزاوية ﺏ وجتا الزاوية ﺏ وظا الزاوية ﺏ. خطوتنا التالية هي التعويض بهذه القيم في التعبير: جا اثنين ﺏ مقسومًا على اثنين مضروبًا في جتا اثنين ﺏ. يمكننا فعل ذلك باستخدام معرفتنا بصيغ ضعف الزاوية. جا اثنين 𝜃 يساوي اثنين مضروبًا في جا 𝜃 مضروبًا في جتا 𝜃. وجتا اثنين 𝜃 يساوي جتا تربيع 𝜃 ناقص جا تربيع 𝜃.
يمكن إعادة كتابة التعبير: جا اثنين ﺏ على اثنين مضروبًا في جتا اثنين ﺏ كما هو موضح. بقسمة البسط والمقام على اثنين، يتبقى لدينا: جا ﺏ مضروبًا في جتا ﺏ الكل مقسوم على جتا تربيع ﺏ ناقص جا تربيع ﺏ. يمكننا الآن التعويض بالقيمتين سالب ثلاثة أخماس وأربعة أخماس في هذا التعبير. يصبح البسط: سالب ثلاثة أخماس مضروبًا في أربعة أخماس، والمقام: أربعة أخماس تربيع ناقص سالب ثلاثة أخماس تربيع. سالب ثلاثة أخماس مضروبًا في أربعة أخماس يساوي سالب ١٢ على ٢٥. وأربعة أخماس تربيع ناقص سالب ثلاثة أخماس تربيع يساوي سبعة على ٢٥. يمكن تبسيط ذلك إلى سالب ١٢ على سبعة. قيمة جا اثنين ﺏ مقسومًا على اثنين مضروبًا في جتا اثنين ﺏ تساوي سالب ١٢ على سبعة.
هناك طريقة بديلة هنا، وهي إدراك أن جا اثنين ﺏ مقسومًا على جتا اثنين ﺏ يساوي ظا اثنين ﺏ. يمكن إذن إعادة كتابة التعبير على الصورة: ظا اثنين ﺏ مقسومًا على اثنين. كان بإمكاننا بعد ذلك استخدام حقيقة أن ظا اثنين 𝜃 يساوي اثنين مضروبًا في ظا 𝜃 مقسومًا على واحد ناقص ظا تربيع 𝜃. إذن سيبسط التعبير لدينا إلى: ظا ﺏ مقسومًا على واحد ناقص ظا تربيع ﺏ. التعويض بسالب ثلاثة أرباع عن ظا ﺏ يعطينا، مرة أخرى، الإجابة سالب ١٢ على سبعة.
