شارح الدرس: متطابقات ضعف الزاوية ومتطابقات نصف الزاوية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم متطابقات ضعف الزاوية ومتطابقات نصْف الزاوية لإيجاد قِيَم الدوال المثلثية.

تُعطينا متطابقات ضعف الزاوية قِيَم ٢𝜃، ٢𝜃 بدلالة 𝜃، 𝜃. وهما حالة خاصة من متطابقتَيْ مجموع زاويتين: 󰁓𝜃+𝜃󰁒=𝜃𝜃𝜃𝜃، 󰁓𝜃+𝜃󰁒=𝜃𝜃+𝜃𝜃، بالتحديد عندما تكون 𝜃=𝜃. ويُمكننا استنتاج متطابقات ضعف الزاوية منها، كما هو موضَّح فيما يأتي: ٢𝜃=(𝜃+𝜃)=𝜃𝜃𝜃𝜃=𝜃𝜃،٢𝜃=(𝜃+𝜃)=𝜃𝜃+𝜃𝜃=٢𝜃𝜃.٢٢

متطابقة: متطابقات ضعف الزاوية

لأيِّ عدد حقيقي 𝜃، يكون لدينا: ٢𝜃=𝜃𝜃،٢𝜃=٢𝜃𝜃.٢٢

لأيِّ 𝜃(٥٤،٥٣١،٥٢٢،٥١٣)+𞸍٠٦٣󰂔𝜃󰂔𝜋٤،٣𝜋٤،٥𝜋٤،٧𝜋٤󰂓+٢𞸍𝜋󰂓، يكون لدينا: ٢𝜃=(٢𝜃)󰁓١𝜃󰁒.٢

يجدر بنا أن نتوقَّف هنا لحظة، ونفكِّر في إشارات ٢𝜃، ٢𝜃، ٢𝜃 باعتبارها دوالَّ في المتغيِّر 𝜃. وكما هو موضَّح في الشكل الآتي، إذا اعتبرنا أن 𝜃 تُكافئ نصف رُبع من دائرة الوحدة، إذن ٢𝜃 تُكافئ رُبعًا كاملًا.

على سبيل المثال، عندما تكون ٠𝜃٥٤ (أو ٠𝜃𝜋٤)، إذن ٠٢𝜃٠٩ (أو ٠𝜃𝜋٢). في هذه الحالة، 𝜃، 𝜃، 𝜃، ٢𝜃، ٢𝜃، ٢𝜃 كلها غير سالبة، ولكن ٢𝜃 غير مُعرَّفة عند 𝜃=٥٤.

لنتحقَّق من أن هذا يتَّفق مع متطابقات ضعف الزاوية. المتطابقة الأولى هي ٢𝜃=𝜃𝜃٢٢. بما أن |𝜃||𝜃|، إذن ٢٢𝜃𝜃؛ ومن ثَمَّ ٢٢𝜃𝜃٠، وهو ما يعني بالفعل أن ٢𝜃 غير سالبة.

نستنتج من المتطابقة الثانية، ٢𝜃=٢𝜃𝜃، أن ٢𝜃 غير سالبة إذا كان 𝜃، 𝜃 لهما الإشارة نفسها، أو كانت إحداهما تساوي صفرًا. وهذا هو الحال مع ٠𝜃٥٤.

وأخيرًا: بما أن 𝜃>𝜃٠ عندما تكون ٠𝜃<٥٤، يصبح لدينا ٠𝜃=𝜃𝜃<١، وهو ما يُعطينا ١𝜃>٠٢؛ ومن ثَمَّ ٢𝜃=٢𝜃١𝜃٠٢.

يُمكننا أن نطبِّق اعتبارات مُشابِهة لجميع أنصاف الأرباع الثمانية في دائرة الوحدة (في أنصاف الأرباع الأربعة الموجودة في أسفل الدائرة، تكون قِيَم ٢𝜃 أكبر من ٠٦٣، أو ٢𝜋 راديان)، ونوضِّح أن متطابقات ضعف الزاوية تنطبق على أيِّ قِيَم لـ 𝜃.

يُمكننا استخدام هاتين القيمتين لاستنتاج صيغة لـ (٢𝜃) أيضًا. في هذه الحالة، بدلالة 𝜃 فقط: اوام(٢𝜃)=(٢𝜃)(٢𝜃)=٢𝜃𝜃𝜃𝜃󰁓𝜃󰁒==٢(𝜃)(١)=٢𝜃١𝜃،٢٢٢٢𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃٢٢٢٢٢٢٢٢٢ وهو ما يُعطينا: (٢𝜃)=٢𝜃١𝜃٢ وكذلك: (٢𝜃)=𝜃١٢𝜃.٢

لنلقِ نظرةً على المثال الأول حول كيفية استخدام متطابقات ضعف الزاوية لتبسيط المقادير المثلثية.

مثال ١: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية

بسِّط ١٢𞸎١+٢𞸎.

الحل

تذكَّر أن ٢𞸎=𞸎𞸎٢٢، وهو ما يُمكننا استخدامه لتبسيط البسط والمقام: ١٢𞸎=١󰁓𞸎𞸎󰁒=١𞸎+𞸎=٢𞸎،٢٢٢٢٢ حيث استخدمنا متطابقة فيثاغورس ١𞸎=𞸎٢٢. والآن سيصبح لدينا في المقام، باستخدام المتطابقة ١𞸎=𞸎٢٢: ١+٢𞸎=١+󰁓𞸎𞸎󰁒=١+𞸎=٢𞸎.٢٢٢٢٢

ومن ثَمَّ فإن: ١٢𞸎١+٢𞸎=٢𞸎٢𞸎=𞸎.٢٢٢

لنسجِّل ملاحَظة حول المتطابقتين اللتين اشتققناهما من ٢𝜃=𝜃𝜃٢٢ في المثال السابق.

متطابقة: المتطابقات المشتقة من متطابقة ضعف الزاوية جتا ٢ 𝜃 = جتا٢ 𝜃 - جا٢ 𝜃

لأيِّ عدد حقيقي 𝜃، يكون لدينا: ١+٢𝜃=٢𝜃،١٢𝜃=٢𝜃.٢٢

والآن سنتناول مثالًا لكيفية تبسيط مقدار يتضمَّن دوالَّ مثلثية باستخدام متطابقة ضعف الزاوية بصورة عكسية.

مثال ٢: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية

بسِّط ٢٤𞸎𞸎.

الحل

نلاحِظ أنه يُمكننا أخْذ ٢𞸎 عاملًا مُشترَكًا: ٢٤٢٢𞸎𞸎=𞸎󰁓١𞸎󰁒. متطابقة فيثاغورس ٢٢𞸎+𞸎=١ تُعطينا ١𞸎=𞸎٢٢. بالتعويض نحصل على: ٢٤٢٢٢𞸎𞸎=𞸎𞸎=(𞸎𞸎). باستخدام متطابقة ضعف الزاوية ٢𞸎=٢𞸎𞸎، نجد أن: 𞸎𞸎=٢𞸎٢. وبالتعويض نحصل على: ٢٤٢٢𞸎𞸎=󰃁٢𞸎٢󰃀=١٤(٢𞸎).

لنحسب الآن قيمة مقدار مثلثي باستخدام متطابقة ضعف الزاوية.

مثال ٣: استخدام متطابقات ضعف الزاوية لحساب قيمة مقدار مثلثي

أوجد، دون استخدام الآلة الحاسبة، قيمة ٢𞸁٢٢𞸁 بمعلومية 𞸁=٤٥؛ حيث ٣𝜋٢<𞸁<٢𝜋.

الحل

لتطبيق صِيَغ ضعف الزاوية، علينا إيجاد قيمة 𞸁. يُمكن حلُّ متطابقة فيثاغورس: ٢٢𞸁+𞸁=١ لنحصل على: ٢٢٢𞸁=١𞸁=١󰂔٤٥󰂓=٩٥٢.

إذن 𞸁 إمَّا أن يساوي ٣٥، وإمَّا أن يساوي ٣٥. تُشير المُعطيات إلى أن 𞸁 تقع في الرُّبع الرابع؛ حيث تكون قيمة دالة الجيب سالبة. ومن ثَمَّ: 𞸁=٣٥.

باستخدام متطابقتَيْ ضعف الزاوية: ٢𞸁=٢𞸁𞸁، ٢𞸁=𞸁𞸁٢٢، نجد أن: ٢𞸁٢٢𞸁=٢𞸁𞸁٢󰁓𞸁𞸁󰁒=٢󰂔󰂓󰂔󰂓٢󰂔󰂓==٢١٧.٢٢٣٥٤٥٤٥٣٥٢١٥٢٧٥٢٢٢٢٢

بالطبع تُوجَد طريقة بديلة، بملاحَظة أن السؤال يطلب منَّا إيجاد قيمة ٢𞸁٢، واستخدام صيغة ضعف الزاوية لدالة الظلِّ.

حتى الآن، استخدمنا متطابقات ضعف الزاوية. ويُمكننا اشتقاق متطابقات نصْف الزاوية منها ببساطة من خلال إدراك أن الفرق بين تناول زاوية ما وضعفها، وتناول الزاوية ونصْفها هو مجرد مسألة منظور.

باستخدام المتطابقة ٢𝜃=١+٢𝜃٢، المُشتقة من متطابقة ضعف الزاوية ٢𝜃=𝜃𝜃٢٢، والتعويض بـ ٢𝜃=𝜑، 𝜃=𝜑٢، نحصل على: ٢𝜑٢=١+𝜑𝜑٢=±󰋺١+𝜑٢.٢

نبدأ بالمتطابقة الأخرى المشتقة من متطابقة ضعف الزاوية ٢𝜃=𝜃𝜃٢٢ (أيْ ٢𝜃=١٢𝜃٢)، ونجد أن: ٢𝜑٢=١𝜑𝜑٢=±󰋺١𝜑٢.٢

وأخيرًا: لإيجاد 𝜑٢، سنستخدم المقادير التي حدَّدناها للتوِّ لكلٍّ من 𝜑٢، 𝜑٢ بكتابة: 𝜑٢==±󰋺١𝜑٢×󰃁±󰋺٢١+𝜑󰃀=±󰋽١𝜑١+𝜑.𝜑٢𝜑٢

من خلال متطابقات نصْف الزاوية الثلاث التي اشتققناها سابقًا، نلاحِظ أن القِيَم المطلقة للدوالِّ المثلثية الثلاث لنصْف زاوية ما تعتمد فقط على قيمة جيب تمام هذه الزاوية. لكن يوضِّح الرمز «±» أن إشاراتها غير محدَّدة. هذا يعني أننا لن نتمكَّن من كتابة الإشارة الصحيحة في المتطابقة إلَّا إذا عرفنا الرُّبع الذي يقع فيه نصْف الزاوية.

وذلك لأن الزاوية لا تتحدَّد بالكامل بقيمة جيب التمام. لنأخذ، على سبيل المثال، القِيَم 𝜑=٠٤١١، 𝜑=٠٢٢٢، 𝜑=٠٠٥٣، 𝜑=٠٨٥٤. بينما نعلم أن 𝜑=𝜑=𝜑=𝜑١٢٣٤، نجد أن: 𝜑٢=𝜑٢=𝜑٢=𝜑٢١٤٢٣، وأن 𝜑٢=𝜑٢=𝜑٢=𝜑٢١٢٣٤، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

دعونا نرَ كيف يُمكن إعادة صياغة متطابقة ظلِّ نصْف الزاوية؛ بحيث تكون الإشارة محدَّدة.

نبدأ بالآتي: 𝜑٢=،𝜑٢𝜑٢ ونضرب بسط الكسر الموجود في الطرف الأيسر ومقامه في ٢𝜑٢، وهو ما يُعطينا: 𝜑٢=٢٢.𝜑٢𝜑٢٢𝜑٢

يُمكن إعادة كتابة البسط على الصورة 𝜑 باستخدام متطابقة ضعف الزاوية ٢𝜃𝜃=٢𝜃 (حيث ٢𝜃=𝜑، 𝜃=𝜑٢)، وإعادة كتابة المقام على الصورة ١+𝜑 باستخدام المتطابقة ١+٢𝜃=٢𝜃٢ (حيث ٢𝜃=𝜑، 𝜃=𝜑٢) المشتقة من متطابقة ضعف الزاوية ٢𝜃=𝜃𝜃٢٢.

ومن ثَمَّ يصبح لدينا: 𝜑٢=𝜑١+𝜑.

نبدأ مرَّة أخرى بالآتي: 𝜑٢=،𝜑٢𝜑٢ ونضرب الآن بسط الكسر الموجود في الطرف الأيسر ومقامه في ٢𝜑٢. نحصل على: 𝜑٢=٢٢.٢𝜑٢𝜑٢𝜑٢

باستخدام المتطابقة ١٢𝜃=٢𝜃٢ هنا، يُمكننا إعادة كتابة ٢𝜑٢٢ على الصورة ١𝜑، و كما فعلنا من قبل، نُعيد كتابة ٢𝜑٢𝜑٢ على الصورة 𝜑. ومن ثَمَّ نجد أن: 𝜑٢=١𝜑𝜑.

من الجدير بالملاحَظة أنه بإعادة ترتيب 𝜑٢=±󰋽١𝜑١+𝜑 عن طريق ضرب الطرف الأيسر من المعادلة في أيٍّ من 󰋽١+𝜑١+𝜑 أو 󰋽١𝜑١𝜑، نحصل على 𝜑٢=±|𝜑|١+𝜑، 𝜑٢=±١𝜑|𝜑|. بالنظر إلى إشارتَيْ 𝜑٢، 𝜑، كما هو موضَّح في الجدول الآتي، نستنتج أن 𝜑٢، 𝜑 لهما الإشارة نفسها دائمًا. هذا يُساعِدنا على تحديد المتطابقتين 𝜑٢=𝜑١+𝜑، 𝜑٢=١𝜑𝜑.

𝜑()(٠٠٩)-(٠٩٠٨١)-(٠٨١٠٧٢)-(٠٧٢٠٦٣)-(٠٦٣٠٥٤)-(٠٥٤٠٤٥)-(٠٤٥٠٣٦)-(٠٣٦٠٢٧)-
𝜑++++
𝜑++++
𝜑++++
𝜑٢()(٠٥٤)-(٥٤٠٩)-(٠٩٥٣١)-(٥٣١٠٨١)-(٠٨١٥٢٢)-(٥٢٢٠٧٢)-(٠٧٢٥١٣)-(٥١٣٠٦٣)-
𝜑٢++++
𝜑٢++++
𝜑٢++++

لنلخِّص متطابقات نصْف الزاوية التي اشتققناها للتوِّ.

متطابقة: متطابقات نصْف الزاوية

لأيِّ عدد حقيقي 𝜃، يكون لدينا: 𝜃٢=±󰋺١+𝜃٢،𝜃٢=±󰋺١𝜃٢.

لأيِّ 𝜃٠٨١+𞸍٠٦٣(𝜃𝜋+٢𞸍𝜋)؛ حيث 𞸍 عدد صحيح، يكون لدينا: 𝜃٢=±󰋽١𝜃١+𝜃،𝜃٢=𝜃١+𝜃.

لأيِّ 𝜃(٠،٠٨١)+𞸍٠٦٣(𝜃(٠،𝜋)+٢𞸍𝜋)، يكون لدينا: 𝜃٢=١𝜃𝜃.

لنلقِ نظرةً على كيفية استخدام متطابقات نصْف الزاوية في المثال الآتي.

مثال ٤: إيجاد قيمة دالة جيب التمام لنصْف زاوية بمعلومية قيمة دالة جيب الزاوية والرُّبع الذي تقع فيه

أوجد قيمة 𝜃٢، إذا كانت 𝜃=٥١٧١؛ حيث ٠<𝜃<٠٩، دون استخدام الآلة الحاسبة.

الحل

تذكَّر متطابقة نصْف الزاوية: 𝜃٢=±󰋺١+𝜃٢.

مُعطًى لدينا أن ٠<𝜃<٠٩. من ثَمَّ ٠<𝜃٢<٥٤، 𝜃٢>٠. وهذا يعني أن: 𝜃٢=󰋺١+𝜃٢ بما أن: 󰋺١+𝜃٢٠.

لنحسب قيمة 𝜃٢ من خلال التعويض بقيمة 𝜃 في المعادلة السابقة: 𝜃٢=󰋽١+٢=󰋺٢٣٢×٧١=󰋺٦١٧١=٤󰋴٧١.٥١٧١

يُمكننا إنطاق المقام بضرب الكسر في 󰋴٧١󰋴٧١، وهو ما يُعطينا: 𝜃٢=٤󰋴٧١٧١.

وأخيرًا: لنتناول في المثال الأخير كيفية استخدام متطابقات ضعف الزاوية ومتطابقات نصْف الزاوية لإيجاد القِيَم الدقيقة لبعض الدوالِّ المثلثية.

مثال ٥: إيجاد القيمة الدقيقة لمقدار مثلثي

باستخدام صِيَغ نصْف الزاوية، أو غيرها، أوجد القيمة الدقيقة لـ 𝜋٨.

الحل

الزاوية 𝜋٨ راديان ليست من الزوايا الخاصة ذات النِّسَب المثلثية المعروفة جيدًا. لكننا نلاحِظ أنها تساوي نصْف قيمة إحدى هذه الزوايا الخاصة، وتحديدًا نصْف 𝜋٤ راديان. باستخدام متطابقة نصْف الزاوية 𝜃٢=𝜃١+𝜃 نجد أن: 𝜋٨=١+.𝜋٤𝜋٤

بما أن 𝜋٤=𝜋٤=١󰋴٢، يصبح لدينا: 𝜋٨=١+=١󰋴٢+١.١󰋴٢١󰋴٢

بضرب الطرف الأيسر في 󰋴٢١󰋴٢١، نحصل على: 𝜋٨=󰋴٢١٢١=󰋴٢١.󰋴٢١ أو ١+󰋴٢ هي القيمة الدقيقة لـ 𝜋٨.

سنحصل بالطبع على النتيجة نفسها باستخدام 𝜃٢=١𝜃𝜃.

و يُمكننا أيضًا استخدام 𝜃٢=±󰋽١𝜃١+𝜃، وهو ما يُعطينا 𝜋٨=󰌁󰌀󰌀󰌂١١+𝜋٤𝜋٤ بما أنه معلوم لدينا أن 𝜋٨ قيمة موجبة.

لنلخِّص الآن ما تعلَّمناه في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • تنصُّ متطابقات ضعف الزاوية على أنه لأيِّ عدد حقيقي 𝜃، يكون لدينا: ٢𝜃=𝜃𝜃،٢𝜃=٢𝜃𝜃،٢٢ ولأيِّ 𝜃(٥٤،٥٣١،٥٢٢،٥١٣)+𞸍٠٦٣󰂔𝜃󰂔𝜋٤،٣𝜋٤،٥𝜋٤،٧𝜋٤󰂓+٢𞸍𝜋󰂓، يكون لدينا: ٢𝜃=٢𝜃١𝜃.٢
  • من المتطابقة السابقة ٢𝜃=𝜃𝜃٢٢، يُمكننا استنتاج المتطابقتين الآتيتين لأيِّ عدد حقيقي 𝜃: ١+٢𝜃=٢𝜃،١٢𝜃=٢𝜃.٢٢
  • تنصُّ متطابقات نصْف الزاوية على أنه لأيِّ عدد حقيقي 𝜃، يكون لدينا: 𝜃٢=±󰋺١+𝜃٢،𝜃٢=±󰋺١𝜃٢. ولأيِّ 𝜃٠٨١+𞸍٠٦٣(𝜃𝜋+٢𞸍𝜋)، يكون لدينا: 𝜃٢=±󰋽١𝜃١+𝜃،𝜃٢=𝜃١+𝜃، ولأيِّ 𝜃(٠،٠٨١)+𞸍٠٦٣(𝜃(٠،𝜋)+٢𞸍𝜋)، يكون لدينا: 𝜃٢=١𝜃𝜃.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.