شارح الدرس: متطابقات ضعف الزاوية ومتطابقات نصف الزاوية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم متطابقات ضعف الزاوية ومتطابقات نصْف الزاوية لإيجاد قِيَم الدوال المثلثية.

تُعطينا متطابقات ضعف الزاوية قِيَم ، بدلالة ، . وهما حالة خاصة من متطابقتَيْ مجموع زاويتين: ، ، بالتحديد عندما تكون . ويُمكننا استنتاج متطابقات ضعف الزاوية منها، كما هو موضَّح فيما يأتي:

يجدر بنا أن نتوقَّف هنا لحظة، ونفكِّر في إشارات ، ، باعتبارها دوالَّ في المتغيِّر . وكما هو موضَّح في الشكل الآتي، إذا اعتبرنا أن تُكافئ نصف رُبع من دائرة الوحدة، إذن تُكافئ رُبعًا كاملًا.

على سبيل المثال، عندما تكون (أو )، إذن (أو ). في هذه الحالة، ، ، ، ، ، كلها غير سالبة، ولكن غير مُعرَّفة عند .

لنتحقَّق من أن هذا يتَّفق مع متطابقات ضعف الزاوية. المتطابقة الأولى هي . بما أن ، إذن ؛ ومن ثَمَّ ، وهو ما يعني بالفعل أن غير سالبة.

نستنتج من المتطابقة الثانية، ، أن غير سالبة إذا كان ، لهما الإشارة نفسها، أو كانت إحداهما تساوي صفرًا. وهذا هو الحال مع .

وأخيرًا: بما أن عندما تكون ، يصبح لدينا ، وهو ما يُعطينا ؛ ومن ثَمَّ .

يُمكننا أن نطبِّق اعتبارات مُشابِهة لجميع أنصاف الأرباع الثمانية في دائرة الوحدة (في أنصاف الأرباع الأربعة الموجودة في أسفل الدائرة، تكون قِيَم أكبر من ، أو راديان)، ونوضِّح أن متطابقات ضعف الزاوية تنطبق على أيِّ قِيَم لـ .

يُمكننا استخدام هاتين القيمتين لاستنتاج صيغة لـ أيضًا. في هذه الحالة، بدلالة فقط: وهو ما يُعطينا: وكذلك:

لنلقِ نظرةً على المثال الأول حول كيفية استخدام متطابقات ضعف الزاوية لتبسيط المقادير المثلثية.

لنسجِّل ملاحَظة حول المتطابقتين اللتين اشتققناهما من في المثال السابق.

والآن سنتناول مثالًا لكيفية تبسيط مقدار يتضمَّن دوالَّ مثلثية باستخدام متطابقة ضعف الزاوية بصورة عكسية.

لنحسب الآن قيمة مقدار مثلثي باستخدام متطابقة ضعف الزاوية.

حتى الآن، استخدمنا متطابقات ضعف الزاوية. ويُمكننا اشتقاق متطابقات نصْف الزاوية منها ببساطة من خلال إدراك أن الفرق بين تناول زاوية ما وضعفها، وتناول الزاوية ونصْفها هو مجرد مسألة منظور.

باستخدام المتطابقة ، المُشتقة من متطابقة ضعف الزاوية ، والتعويض بـ ، ، نحصل على:

نبدأ بالمتطابقة الأخرى المشتقة من متطابقة ضعف الزاوية (أيْ )، ونجد أن:

وأخيرًا: لإيجاد ، سنستخدم المقادير التي حدَّدناها للتوِّ لكلٍّ من ، بكتابة:

من خلال متطابقات نصْف الزاوية الثلاث التي اشتققناها سابقًا، نلاحِظ أن القِيَم المطلقة للدوالِّ المثلثية الثلاث لنصْف زاوية ما تعتمد فقط على قيمة جيب تمام هذه الزاوية. لكن يوضِّح الرمز «» أن إشاراتها غير محدَّدة. هذا يعني أننا لن نتمكَّن من كتابة الإشارة الصحيحة في المتطابقة إلَّا إذا عرفنا الرُّبع الذي يقع فيه نصْف الزاوية.

وذلك لأن الزاوية لا تتحدَّد بالكامل بقيمة جيب التمام. لنأخذ، على سبيل المثال، القِيَم ، ، ، . بينما نعلم أن ، نجد أن: ، وأن ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

دعونا نرَ كيف يُمكن إعادة صياغة متطابقة ظلِّ نصْف الزاوية؛ بحيث تكون الإشارة محدَّدة.

نبدأ بالآتي: ونضرب بسط الكسر الموجود في الطرف الأيسر ومقامه في ، وهو ما يُعطينا:

يُمكن إعادة كتابة البسط على الصورة باستخدام متطابقة ضعف الزاوية (حيث ، )، وإعادة كتابة المقام على الصورة باستخدام المتطابقة (حيث ، ) المشتقة من متطابقة ضعف الزاوية .

ومن ثَمَّ يصبح لدينا:

نبدأ مرَّة أخرى بالآتي: ونضرب الآن بسط الكسر الموجود في الطرف الأيسر ومقامه في . نحصل على:

باستخدام المتطابقة هنا، يُمكننا إعادة كتابة على الصورة ، و كما فعلنا من قبل، نُعيد كتابة على الصورة . ومن ثَمَّ نجد أن:

من الجدير بالملاحَظة أنه بإعادة ترتيب عن طريق ضرب الطرف الأيسر من المعادلة في أيٍّ من أو ، نحصل على ، . بالنظر إلى إشارتَيْ ، ، كما هو موضَّح في الجدول الآتي، نستنتج أن ، لهما الإشارة نفسها دائمًا. هذا يُساعِدنا على تحديد المتطابقتين ، .

لنلخِّص متطابقات نصْف الزاوية التي اشتققناها للتوِّ.

لنلقِ نظرةً على كيفية استخدام متطابقات نصْف الزاوية في المثال الآتي.

وأخيرًا: لنتناول في المثال الأخير كيفية استخدام متطابقات ضعف الزاوية ومتطابقات نصْف الزاوية لإيجاد القِيَم الدقيقة لبعض الدوالِّ المثلثية.

لنلخِّص الآن ما تعلَّمناه في هذا الشارح.