فيديو الدرس: متطابقات ضعف الزاوية ومتطابقات نصف الزاوية الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم متطابقة فيثاغورس وصيغ ضعف الزاوية ونصف الزاوية لإيجاد قيم الدوال المثلثية. تتمثل مهمتنا الأولى في استنتاج متطابقات ضعف الزاوية ونصف الزاوية لدوال الجيب وجيب التمام والظل بناء على ما لدينا من معلومات.

عند الحديث عن العلاقات بين الدوال المثلثية التي نعرفها بالفعل، يمكننا تذكر أنه إذا كان لدينا قياس زاوية ما وهي ﺱ، حيث قياس ﺱ قد يكون بالدرجات أو بالراديان، فإن الجيب تربيع لهذه الزاوية زائد جيب التمام تربيع للزاوية نفسها يساوي واحدًا. ويعرف هذا باسم «متطابقة فيثاغورس». بالإضافة إلى ذلك، نتذكر مجموعة من المعادلات تسمى صيغ مجموع زاويتين والفرق بينهما. وتصف هذه الصيغ علاقات دوال الجيب وجيب التمام والظل لزاويتين نسميهما 𝛼 و𝛽 يتم جمعهما معًا أو طرح إحداهما من الأخرى.

في ضوء هذه المعلومات، يمكننا البدء في استنتاج متطابقات ضعف الزاوية ومتطابقات نصف الزاوية. سنبدأ بمتطابقات ضعف الزاوية، وموضح هنا الهدف الذي نريد تحقيقه. بمعلومية زاوية سنسميها 𝜃، نريد استنتاج معادلات لـ جا اثنين 𝜃 وجتا اثنين 𝜃 وظا اثنين 𝜃. هيا نبدأ بإيجاد تعبير لـ جا اثنين في 𝜃. إحدى طرق كتابة اثنين في 𝜃 هي كتابتها على الصورة 𝜃 زائد 𝜃. ونكتبه بهذه الطريقة؛ لأن ذلك يمكن أن يذكرنا بصيغة المجموع لدالة الجيب. توضح لنا هذه الصيغة كيف نحسب جيبي زاويتين، وهما هنا 𝜃، مجموعتين معًا. جا 𝜃 زائد 𝜃 يساوي جا 𝜃 في جتا 𝜃 زائد جا 𝜃 في جتا 𝜃، أو اثنين في جا 𝜃 في جتا 𝜃. لاحظ أنه قد أصبح لدينا الآن تعبير لـ جا اثنين 𝜃 بدلالة الزاوية 𝜃 نفسها بالكامل. سنكتب هذا باعتباره المتطابقة الأولى لضعف الزاوية.

دعونا بعد ذلك نوجد علاقة مشابهة تمثل جتا اثنين في 𝜃. مرة أخرى، يمكننا كتابة اثنين 𝜃 على الصورة 𝜃 زائد 𝜃، ونستخدم أيضًا صيغة المجموع لنجد أن هذا يساوي جتا 𝜃 في جتا 𝜃 ناقص جا 𝜃 في جا 𝜃، أي جتا تربيع 𝜃 ناقص جا تربيع 𝜃. وهذه هي إحدى طرق كتابة متطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام. على الرغم من ذلك، لاحظ أن في هذه العلاقة لدينا حدًّا يتضمن جيب التمام تربيع وحدًّا آخر يتضمن الجيب تربيع. وعندما نجد جيب التمام تربيع أو الجيب تربيع، فإن هذا يذكرنا بمتطابقة فيثاغورس. تعني هذه المتطابقة أنه إذا كان لدينا حد يتضمن الجيب تربيع، فيمكننا كتابته بهذا الشكل، أو كتابة الحد الذي يتضمن جيب التمام تربيع هكذا.

في معادلة جتا اثنين 𝜃، يمكننا التعويض بهذين التعبيرين كل على حدة. دعونا أولًا نعوض عن جتا تربيع 𝜃 بواحد ناقص جا تربيع 𝜃. وهذا يعطينا التعبير الذي حصلنا عليه من خلال متطابقة فيثاغورس، وهو ما يمكن تبسيطه إلى واحد ناقص اثنين في جا تربيع 𝜃. إذن، يمكننا اعتبار هذه صيغة بديلة لمتطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام.

على الرغم من ذلك، هناك صيغة أخرى أيضًا؛ لأنه بالرجوع إلى هذه الصورة من التعبير جتا اثنين 𝜃، نجد أنه يمكننا الآن التعويض عن الحد جا تربيع 𝜃 بواحد ناقص جتا تربيع 𝜃. وهو ما يعطينا هذا التعبير الذي يمكن تبسيطه إلى اثنين في جتا تربيع 𝜃 ناقص واحد. إذن هذه هي الصيغة الثالثة والأخيرة لمتطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام.

وأخيرًا، يمكننا التفكير في إيجاد تعبير مشابه يدل على ظا اثنين 𝜃. ‏‏ظا اثنين 𝜃 يساوي ظا 𝜃 زائد 𝜃. مرة أخرى، تتيح لنا صيغة المجموع إعادة كتابة صيغة هذا التعبير. ويمكن تبسيطه إلى اثنين في ظا 𝜃 على واحد ناقص ظا تربيع 𝜃.

بكتابة هذه النتيجة، نكون قد حققنا هدفنا. أصبح لدينا تعبيرات تدل على جا وجتا وظا للزاوية اثنين 𝜃 بدلالة الزاوية المعطاة 𝜃. بعد أن عرفنا كل ذلك، دعونا ننتقل إلى متطابقات نصف الزاوية لهذه الدوال. لقد تغير الآن هدفنا قليلًا. بمعلومية الزاوية 𝜃، نريد الآن استنتاج معادلات لـ جا 𝜃 على اثنين، وجتا 𝜃 على اثنين، وظل هذه الزاوية. عندما نفعل هذا، ستكون نقطة البداية هي استخدام النتيجة التي حصلنا عليها للتو، أي صيغة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام. وعلى وجه التحديد، عندما نبدأ في إيجاد تعبير يدل على جا 𝜃 على اثنين، سنستخدم هذه الصورة من متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام. ويمكننا كتابتها هكذا.

قد يبدو في البداية أن هناك أمرًا غريبًا؛ لأننا نستخدم جتا 𝜃 وجا تربيع 𝜃 على اثنين. لكن لاحظ أن هذه الزاوية التي أسميناها اثنين 𝜃، قد تكون أي زاوية أخرى ما دامت ضعف الزاوية التي أسميناها 𝜃. بالنسبة إلى هذه الصيغة المحددة من متطابقة ضعف الزاوية، ما دامت زاوية الجيب تربيع تساوي نصف زاوية جيب التمام، فإن المتطابقة صحيحة. ومن ثم، يمكننا كتابة جتا 𝜃 يساوي واحدًا ناقص اثنين في جا تربيع 𝜃 على اثنين. هذا رائع؛ لأن ذلك يعني أنه علينا فقط إعادة ترتيب هذا التعبير لإيجاد قيمة جا 𝜃 على اثنين.

بطرح واحد من كلا الطرفين، نحصل على هذا الناتج. وبقسمة الطرفين على سالب اثنين، يحذف هذا العامل في الطرف الأيسر. يمكننا إعادة ترتيب الطرف الأيمن من هذا التعبير بحيث يساوي واحدًا ناقص جتا 𝜃 الكل على اثنين. إذا أخذنا بعد ذلك الجذر التربيعي لكلا الطرفين، فإننا نحصل على هذا الناتج جا 𝜃 على اثنين يساوي الجذر التربيعي لواحد ناقص جتا 𝜃 الكل على اثنين.

لكن قبل كتابة ذلك باعتباره الناتج، دعونا نتذكر دائرة الوحدة. إذا قسمنا هذه الدائرة إلى أربعة أرباع، فإننا نعلم أن الدوال الثلاث التي نتعامل معها، وهي دوال الجيب وجيب التمام والظل، قد تكون إشاراتها مختلفة حسب الربع الذي تقع فيه الزاوية. ينطبق ذلك على التعبير الذي يدل على جا 𝜃 على اثنين.

عند النظر إلى الطرف الأيسر من هذه المعادلة، نلاحظ أنه لأن جتا 𝜃 لا يكون أصغر من سالب واحد ولا أكبر من موجب واحد مطلقًا، فإن هذا البسط بأكمله، أي واحد ناقص جتا 𝜃، لن تكون قيمته سالبة مطلقًا. وهذا يعني أن الطرف الأيسر من هذا التعبير سيكون دائمًا موجبًا أو يساوي صفرًا، وليس سالبًا مطلقًا.

لكن في الطرف الأيمن، من المؤكد أن إشارة زاوية ما ستكون سالبة. على سبيل المثال، لنفترض أن هذه الزاوية هنا على دائرة الوحدة تساوي 𝜃 على اثنين. وتقع هذه الزاوية في الربع الثالث، حيث تكون الإشارة سالبة. إذن، بتطبيق هذه المعادلة التي حصلنا عليها للتو، ستكون قيمة الطرف الأيمن سالبة، بينما تكون قيمة الطرف الأيسر موجبة. ولمراعاة هذا الاحتمال، سنبدأ الطرف الأيسر بإشارتي موجب وسالب. يراعي هذا الاختلاف حقيقة أنه على الرغم من أن قيمة الجذر التربيعي لن تكون سالبة مطلقًا، إلا أن قيمة الناتج في الطرف الأيمن قد تكون سالبة. هذا يعني أنه قد أصبح لدينا الآن تعبير يدل على معادلة نصف الزاوية لدالة الجيب.

ننتقل بعد ذلك إلى إيجاد قيمة جتا 𝜃 على اثنين. وسنبدأ فعل ذلك بطريقة مشابهة للطريقة السابقة. سنستخدم مرة أخرى متطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام. لكن هذه المرة، ستكون هذه هي الصيغة. لقد اخترنا هذه الصيغة؛ لأننا إذا عوضنا عن اثنين 𝜃 بـ 𝜃، ومن ثم عوضنا عن 𝜃 بـ 𝜃 على اثنين، فهذا يعني أننا نحصل من هذا التعبير على القيمة التي نريد إيجادها، وهي جتا 𝜃 على اثنين.

بإضافة واحد إلى طرفي هذه المعادلة، نحصل على هذا الناتج. وبقسمة الطرفين على اثنين، يحذف هذا العامل في الطرف الأيسر، ويمكننا أخذ الجذر التربيعي للطرفين. نجد أن جتا 𝜃 على اثنين يساوي الجذر التربيعي لـ جتا 𝜃 زائد واحد الكل على اثنين. وكما هو الحال بالضبط مع متطابقة جا 𝜃 على اثنين، لن تكون قيمة الطرف الأيسر هنا سالبة مطلقًا، لكن قد تكون قيمة الطرف الأيمن سالبة. مرة أخرى، نضع إشارتي موجب وسالب أمام الجذر التربيعي.

وبذلك، يصبح لدينا الآن متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام. مهمتنا الأخيرة هي إيجاد صيغة مشابهة لدالة الظل. وعندما نفعل هذا، سنستخدم متطابقات نصف الزاوية التي استنتجناها حتى الآن. بتذكر أن ظل الزاوية يساوي جيب هذه الزاوية على جيب تمامها، يمكننا كتابة أن ظا 𝜃 على اثنين يساوي جا 𝜃 على اثنين على جتا 𝜃 على اثنين. وهذا يساوي التعبير الموجود في الطرف الأيسر.

في هذا الكسر المركب، نلاحظ أن لدينا واحدًا على الجذر التربيعي لاثنين في كل من البسط والمقام. إذن، يمكننا تبسيط هذا التعبير بكتابته على الصورة: موجب أو سالب الجذر التربيعي لواحد ناقص جتا 𝜃 على جتا 𝜃 زائد واحد.

في هذه المرحلة، لتبسيط هذا التعبير أكثر من ذلك، هناك طريقتان مختلفان يمكننا اتباعهما. وبناء على أي الطريقتين نختار، سنحصل على صيغة مختلفة لمتطابقة نصف الزاوية للظل. تتضمن الطريقة الأولى ضرب بسط ومقام الطرف الأيسر في الجذر التربيعي لواحد ناقص جتا 𝜃. لاحظ أن هذا يطابق بسط الكسر الأصلي. ينتج لنا هذا الكسر. وهذا يعطينا واحدًا ناقص جتا 𝜃 في البسط. إذا ضربنا حدي المقام معًا، فسنحصل على جتا 𝜃 ناقص جتا تربيع 𝜃 زائد واحد ناقص جتا 𝜃. وجتا 𝜃 ناقص جتا 𝜃 يساوي صفرًا. إذن، يمكننا تبسيط المقام إلى الجذر التربيعي لواحد ناقص جتا تربيع 𝜃.

هناك طريقة أخرى للتبسيط يمكننا استخدامها هنا. ويعتمد هذا أيضًا على متطابقة فيثاغورس. واحد ناقص جيب التمام تربيع للزاوية يساوي الجيب تربيع للزاوية نفسها. وهذا يعني أنه يمكننا التعويض عن واحد ناقص جتا تربيع 𝜃 بـ جا تربيع 𝜃. نجد بعد ذلك أن الجذر التربيعي لـ جا تربيع 𝜃 يساوي ببساطة جا 𝜃.

لاحظ أنه لم يعد لدينا أي من إشارتي الموجب والسالب قبل هذا الكسر. وهذا مقصود؛ لأننا علمنا أن واحدًا ناقص جيب تمام أي زاوية لا يمكن أن يساوي قيمة سالبة مطلقًا. بالإضافة إلى هذا، فإنه بالنسبة إلى أي زاوية 𝜃، ستكون إشارة جيب هذه الزاوية دائمًا هي نفسها إشارة ظا نصف الزاوية 𝜃 على اثنين. يمكننا إذن كتابة هذا التعبير الذي يدل على ظا نصف الزاوية 𝜃 على اثنين.

ذكرنا سابقًا أن هذه إحدى طريقتين لكتابة متطابقة نصف الزاوية. هذا لأننا في هذه الخطوة، يمكننا الضرب في مقام الكسر الأصلي بدلًا من البسط. إذا اتبعنا هذه الطريقة، فسنحصل على هذا الكسر. مرة أخرى، إذا ضربنا الكميتين الموجودتين داخل القوسين معًا، فسيصبح لدينا موجب جتا 𝜃 زائد سالب جتا 𝜃 وهو ما يساوي صفرًا. باستخدام متطابقة فيثاغورس مرة أخرى، يمكننا التعويض عن واحد ناقص جتا تربيع 𝜃 بـ جا تربيع 𝜃. والجذر التربيعي لـ جا تربيع 𝜃 يساوي جا 𝜃. ولنفس السبب السابق، يمكننا أيضًا حذف إشارة الموجب أو السالب من أمام هذا الكسر. فستكون إشارته دائمًا هي نفسها إشارة ظا 𝜃 على اثنين.

بذلك نكون قد استنتجنا صيغًا لكل من متطابقات ضعف الزاوية ومتطابقات نصف الزاوية لدوال الجيب وجيب التمام والظل. مع مراعاة هذه الصيغ، دعونا نتدرب قليلًا على هذه المتطابقات من خلال مثال.

أي مما يلي يساوي الجذر التربيعي لواحد ناقص جا اثنين ﺱ؟ (أ) القيمة المطلقة لـ جتا ﺱ ناقص جا ﺱ. (ب) جتا ﺱ ناقص جا ﺱ. (ج) القيمة المطلقة لـ جتا ﺱ زائد جا ﺱ. (د) جتا ﺱ زائد جا ﺱ. (هـ) جا ﺱ ناقص جتا ﺱ.

حسنًا، علينا هنا أن نوجد ما يساويه هذا التعبير. ونريد معرفة أي من خيارات الإجابة الخمسة يساوي ذلك. أول ما يمكننا ملاحظته أننا سنحسب جا اثنين في زاوية ما وهي ﺱ. يمكننا إذن التفكير في ذلك باعتباره جيب ضعف زاوية؛ حيث ﺱ هي هذه الزاوية. بتذكر متطابقة ضعف الزاوية لدالة الجيب، نعرف أن جا اثنين ﺱ يساوي اثنين في جا ﺱ في جتا ﺱ. وعند التعويض بذلك في الجذر التربيعي، نحصل على هذا الناتج.

دعونا الآن نفكر في هذا العامل الذي قيمته واحد. وفقًا لمتطابقة فيثاغورس، فإن هذا العدد البسيط الذي قيمته واحد يساوي الجيب تربيع لزاوية ما زائد جيب التمام تربيع للزاوية نفسها. وبالتعويض، نحصل على هذا التعبير. يبدو الأمر حتى الآن كما لو أننا نزيد تعقيد التعبير تحت الجذر التربيعي بدلًا من تبسيطه. لكن بعد أن أصبح لدينا الآن هذه الحدود الثلاثة، أي جا تربيع ﺱ، وجتا تربيع ﺱ، واثنان جا ﺱ جتا ﺱ، يفترض أنه يمكننا كتابتها على صورة الكمية جتا ﺱ ناقص جا ﺱ تربيع. نلاحظ بعد ذلك أن التربيع ثم أخذ الجذر التربيعي عمليتان عكسيتان. لذا، نتوقع أن يكون الناتج النهائي هو جتا ﺱ ناقص جا ﺱ.

بالرغم من ذلك، علينا أن نحرص على التأكد من أن هذا الناتج يساوي التعبير الأصلي بالفعل. عندما نفكر في دالة الجيب، نعلم أن قيمتها العظمى تساوي واحدًا وقيمتها الصغرى تساوي سالب واحد. هذا يعني أننا إذا فكرنا في ذلك قليلًا، فسنجد أن قيمة واحد ناقص جا اثنين ﺱ لن تكون سالبة مطلقًا. وبما أن هذا ينطبق على التعبير الأصلي، فلا بد أن ينطبق أيضًا على التعبير النهائي. لكن من الممكن أن تكون قيمة جتا ﺱ ناقص جا ﺱ سالبة. لتدارك ذلك وجعل هذا التعبير يساوي الجذر التربيعي لواحد ناقص جا اثنين ﺱ، سنضعه بين خطي القيمة المطلقة. وهذه هي الإجابة النهائية. القيمة المطلقة لـ جتا ﺱ ناقص جا ﺱ تساوي الجذر التربيعي لواحد ناقص جا اثنين ﺱ.

دعونا نتناول مثالًا آخر.

أي مما يلي يساوي الجذر التربيعي لواحد ناقص جتا اثنين ﺱ؟ (أ) القيمة المطلقة لـ جا ﺱ. (ب) اثنان في القيمة المطلقة لـ جتا ﺱ. (ج) الجذر التربيعي لاثنين في القيمة المطلقة لـ جتا ﺱ. (د) اثنان في القيمة المطلقة لـ جا ﺱ. (هـ) الجذر التربيعي لاثنين في القيمة المطلقة لـ جا ﺱ.

حسنًا، علينا التفكير في تحويل هذا التعبير المعطى إلى أحد خيارات الإجابة الخمسة. بالنظر إلى هذا التعبير، فإن أول ما نلاحظه هو أننا سنحسب جتا اثنين في زاوية ما وهي ﺱ. وهذا يعني أننا سنستخدم متطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام. في الواقع، هناك ثلاث صيغ مختلفة لهذه المتطابقة. ويمكننا اختيار أي منها. لكن لاحظ أننا إذا اخترنا هذه الصيغة الثالثة وعوضنا عن جتا اثنين ﺱ تحت الجذر التربيعي، فسنجد أننا نجمع سالب واحد مع موجب واحد، وهو ما يساوي صفرًا. وهذا سيبسط التعبير تحت الجذر التربيعي. إذن، دعونا نختر هذه الصيغة الثالثة من متطابقة ضعف الزاوية.

عند التعويض، نجد أن جمع سالب واحد وموجب واحد يعطينا صفرًا. وبضرب الإشارتين معًا، نحصل على الجذر التربيعي لاثنين في جا تربيع ﺱ. وهذا يساوي الجذر التربيعي لاثنين في الجذر التربيعي لـ جا تربيع ﺱ. علينا هنا الانتباه؛ لأننا قد نتسرع في القول إن الجذر التربيعي لـ جا تربيع ﺱ يساوي جا ﺱ. لاحظ أنه على الرغم من أن قيمة الجذر التربيعي لـ جا تربيع ﺱ لن تكون سالبة مطلقًا، فإن قيمة جا ﺱ وحده يمكن أن تكون سالبة. عندما نبسط هذا التعبير، علينا وضع جا ﺱ بين خطي القيمة المطلقة. وهذا يضمن لنا أنه بغض النظر عن قيمة ﺱ، لن نحصل مطلقًا على ناتج إجمالي سالب.

إذن، الإجابة النهائية هي أن الجذر التربيعي لاثنين في القيمة المطلقة لـ جا ﺱ يساوي الجذر التربيعي لواحد ناقص جتا اثنين ﺱ.

دعونا الآن نختم هذا الدرس بتلخيص بعض النقاط الأساسية. في هذا الدرس، استنتجنا متطابقات ضعف الزاوية ومتطابقات نصف الزاوية لدوال الجيب وجيب التمام والظل. علمنا أنه يمكن استنتاج متطابقات ضعف الزاوية من متطابقة فيثاغورس بالإضافة إلى صيغ مجموع زاويتين والفرق بينهما. يمكن استنتاج متطابقات نصف الزاوية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية باعتبارها نقاط بداية للتوصل إلى ذلك. وهذا هو ملخص متطابقات ضعف الزاوية ومتطابقات نصف الزاوية.