نسخة الفيديو النصية
أوجد تكامل ثلاثة ﺱ زائد أربعة الكل تربيع مضروبًا في ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
علينا حساب هذا التكامل غير المحدد. نلاحظ أن الدالة التي سنجري عليها التكامل هي حاصل ضرب دالتين. وقد عرفنا بعض الطرق المختلفة للتعامل مع التكاملات على هذه الصورة. على سبيل المثال، قد نلجأ إلى تجربة التكامل بالتعويض. لكن لا يوجد تعويض واضح يجعل هذا أسهل. لذا، يمكننا محاولة استخدام التكامل بالتجزيء بدلًا من ذلك.
نسترجع أولًا أن التكامل بالتجزيء يوضح لنا أن تكامل ﻉﻕ شرطة بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻉ في ﻕ ناقص تكامل ﻕ في ﻉ شرطة بالنسبة إلى ﺱ. ومن ثم، فإن التكامل بالتجزيء يوفر لنا طريقة لحساب تكامل حاصل ضرب ﻉ وﻕ شرطة بالنسبة إلى ﺱ.
لكن تذكر أنه علينا اختيار الدالة ﻉ. وهناك عدة طرق مختلفة لاختيار الدالة ﻉ. عادة ما نختار الدالة التي تنتج عنها دالة أبسط عند اشتقاقها. باستخدام هذا المنطق، نجد أن مشتقة ﻫ أس ﺱ تساوي ﻫ أس ﺱ. وهذا لا يعني أن الدالة أصبحت أبسط. لكننا نعلم أن ثلاثة ﺱ زائد أربعة الكل تربيع هي دالة تربيعية. لذا، عند اشتقاق هذه الدالة بالنسبة إلى ﺱ، سنحصل على دالة خطية. والدالة الخطية أبسط من الدالة التربيعية. لذا، فهي مناسبة لتكون الدالة ﻉ.
يمكننا، بدلًا من ذلك، الاستعانة بطريقة لمساعدتنا في تحديد كيفية اختيار الدالة ﻉ. وبما أنه لا توجد دوال لوغاريتمية أو دوال مثلثية عكسية في الدالة التي سنجري عليها التكامل، نختار الدالة الجبرية ثلاثة ﺱ زائد أربعة الكل تربيع لتكون ﻉ. وتقودنا هاتان الطريقتان إلى اختيار الدالة نفسها. لذا، نجعل ﻉ يساوي ثلاثة ﺱ زائد أربعة الكل تربيع، وﻕ شرطة يساوي ﻫ أس ﺱ.
لاستخدام التكامل بالتجزيء، علينا أيضًا إيجاد مقدارين يعبران عن ﻉ شرطة وﻕ. لنبدأ بإيجاد ﻉ شرطة. لإيجاد ﻉ شرطة، علينا اشتقاق ثلاثة ﺱ زائد أربعة الكل تربيع. ويمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة السلسلة أو قاعدة القوة العامة. لكن بما أننا نقوم بتربيع هذه الدالة الخطية فقط، فيمكننا فعل ذلك باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، أو مفكوك ذات الحدين. وبذلك، نجد أن ﻉ يساوي تسعة ﺱ تربيع زائد ٢٤ﺱ زائد ١٦. يمكننا الآن اشتقاق ذلك حدًّا حدًّا باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق.
علينا ضرب كل حد في أس ﺱ، ثم طرح واحد من هذا الأس. وهذا يعطينا: ﻉ شرطة يساوي ١٨ﺱ زائد ٢٤. علينا الآن إيجاد الدالة ﻕ. نجد أن ﻕ يساوي المشتقة العكسية لـ ﻫ أس ﺱ. حسنًا، نحن نعلم أن مشتقة ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻫ أس ﺱ. لذا، يمكننا ببساطة أن نجعل ﻕ يساوي ﻫ أس ﺱ.
والآن، بعد أن أوجدنا مقدارين يعبران عن ﻉ شرطة وﻕ، يمكننا استخدام التكامل بالتجزيء لمحاولة حساب التكامل لدينا. بالتعويض بالمقادير التي تعبر عن ﻉ وﻕ وﻉ شرطة وﻕ شرطة، نجد أن التكامل يساوي تسعة ﺱ تربيع زائد ٢٤ﺱ زائد ١٦ الكل مضروب في ﻫ أس ﺱ ناقص تكامل ﻫ أس ﺱ في ١٨ﺱ زائد ٢٤ بالنسبة إلى ﺱ.
لكننا نلاحظ وجود مشكلة الآن. لدينا تكامل في هذا المقدار لا يمكننا حسابه مباشرة. لكننا نلاحظ أمرًا مثيرًا للاهتمام. الدالة الأصلية التي سنجري التكامل عليها هي دالة تربيعية مضروبة في ﻫ أس ﺱ. لكن أصبحت لدينا الآن دالة خطية مضروبة في ﻫ أس ﺱ. وهذا يعني أنه إذا أجرينا هذه العملية مرة أخرى، فإن الدالة الخطية ستصبح ثابتًا. وبذلك، يمكننا حساب التكامل.
سنستخدم التكامل بالتجزيء في تكامل ﻫ أس ﺱ في ١٨ﺱ زائد ٢٤ بالنسبة إلى ﺱ. هذه المرة، الدالة ﻉ ستساوي ١٨ﺱ زائد ٢٤، وﻕ شرطة سيساوي ﻫ أس ﺱ. ومثلما فعلنا من قبل، يمكننا إيجاد مقدارين يعبران عن ﻉ شرطة وﻕ. ﻉ شرطة سيساوي مشتقة ١٨ﺱ زائد ٢٤ بالنسبة إلى ﺱ، ونحن نعرف أنه يساوي ١٨. وﻕ سيساوي ﻫ أس ﺱ.
كل ما علينا فعله الآن هو التعويض بالمقادير التي تعبر عن ﻉ وﻕ وﻉ شرطة وﻕ شرطة في صيغة التكامل بالتجزيء. وبذلك، فإننا نحصل على: ١٨ﺱ زائد ٢٤ الكل مضروب في ﻫ أس ﺱ ناقص تكامل ﻫ أس ﺱ في ١٨ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا إعادة ترتيب الدالة التي سنجري عليها التكامل لتصبح ١٨ﻫ أس ﺱ. يمكننا الآن حساب هذا التكامل.
سالب واحد في تكامل ١٨ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ١٨ في ﻫ أس ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وهذا يعطينا: ١٨ﺱ زائد ٢٤ الكل مضروب في ﻫ أس ﺱ ناقص ١٨ﻫ أس ﺱ زائد ﺙ. قبل التعويض بهذا المقدار في ناتج التكامل الأصلي لدينا، يمكننا أخذ العامل المشترك ﻫ أس ﺱ. وبأخذ العامل المشترك ﻫ أس ﺱ، فإننا نحصل على: ١٨ﺱ زائد ٢٤ ناقص ١٨ الكل مضروب في ﻫ أس ﺱ زائد ﺙ.
وبالطبع، يمكننا تبسيط ٢٤ ناقص ١٨ لنحصل على ستة. وبذلك، نكون قد بسطنا هذا المقدار لنحصل على: ١٨ﺱ زائد ستة الكل مضروب في ﻫ أس ﺱ زائد ﺙ. يمكننا الآن التعويض بهذا المقدار في ناتج التكامل الأصلي لدينا. ومن ثم، نحصل على: تسعة ﺱ تربيع زائد ٢٤ﺱ زائد ١٦ الكل مضروب في ﻫ أس ﺱ ناقص ١٨ﺱ زائد ستة في ﻫ أس ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.
علينا الآن توزيع سالب واحد على القوسين لدينا. لكننا نلاحظ أن هذا سيعطينا الحد سالب ﺙ. ويمكننا أن نسمي ذلك سالب ﺙ. لكن ﺙ هو ثابت التكامل. ويمكننا تسميته ما نريد. لذا، يمكننا تسميته من البداية سالب ﺙ، ومن ثم سالب ﺙ يصبح ﺙ. وهذا يعطينا: تسعة ﺱ تربيع زائد ٢٤ﺱ زائد ١٦ الكل مضروب في ﻫ أس ﺱ ناقص ١٨ﺱ زائد ستة في ﻫ أس ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.
يمكن أن نترك الإجابة بهذا الشكل. لكننا نلاحظ أن أول حدين يشتركان في العامل ﻫ أس ﺱ. لذا، بأخذ العامل المشترك ﻫ أس ﺱ، فإننا نحصل على: تسعة ﺱ تربيع زائد ٢٤ﺱ زائد ١٦ ناقص ١٨ﺱ ناقص ستة الكل مضروب في ﻫ أس ﺱ زائد ﺙ. يمكننا تبسيط هذا المقدار. لدينا ٢٤ﺱ ناقص ١٨ﺱ يساوي ستة ﺱ. و١٦ ناقص ستة يساوي ١٠.
بإعادة كتابة ﻫ أس ﺱ ليكون في بداية العامل الأول، فإننا نحصل على: ﻫ أس ﺱ في تسعة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ١٠ زائد ثابت التكامل ﺙ. وهذه هي الإجابة النهائية. إذن، باستخدام التكامل بالتجزيء مرتين، نكون قد أوجدنا أن تكامل ثلاثة ﺱ زائد أربعة الكل تربيع في ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ في تسعة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ١٠ زائد ثابت التكامل ﺙ.
