شارح الدرس: التكامل بالتجزيء الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد تكامل حاصل ضرب دالة كثيرة الحدود ودالة مثلثية

استخدم التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة .

الحل

تخبرنا صيغة التكامل بالتجزيء أنه لكل دالتين قابلتين للاشتقاق ، ، يكون:

وبما أننا نُوجِد تكامل ، إذن علينا تحديد العامل الذي سنُعرِّفه على صورة ، والعامل الذي سنُعرِّفه على صورة .

لاحِظ أنه إذا اخترنا ، فعند اشتقاق هذه الدالة، نحصل على . بما أن هذا ثابت، إذن سيجعل قيمة الدالة التي يجري عليها التكامل في الحد الأخير لتلك الصيغة أقل تعقيدًا من الدالة الأصلية.

نضع:

بعد ذلك، نُوجِد عن طريق اشتقاق ، ونُوجِد عن طريق إيجاد تكامل :

ملاحظة:

من حيث المبدأ، يجب أن نحصل على ثابت تكامل في كل مرة نُوجِد فيها تكاملًا. لكننا في النهاية سنجمِّع هذا الثابت مع ثابت ثانٍ؛ ومن ثَمَّ، وبوجه عام، نختار عدم تضمين ثابت في هذه المرحلة.

وبذلك، تصبح صيغة التكامل بالتجزيء:

باستخدام التكامل بالتجزيء، نجد أن:

مثال ٢: إيجاد تكامل دالة أسية مضروبة في دالة كثيرة الحدود باستخدام التكامل بالتجزيء

أوجد .

الحل

الدالة التي سيجرى عليها التكامل هي حاصل ضرب دالتين. هذه إشارة إلى أننا قد نحتاج إلى استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة التكامل.

يخبرنا التكامل بالتجزيء أنه لكل دالتين قابلتين للاشتقاق ، ، يكون:

نبدأ باختيار الدالتين ، . تخبرنا طريقة ترتيب الدوال بأن علينا اختيار لتكون الدالة التي تظهر أولًا في القائمة: الدوال اللوغاريتمية، والدوال المثلثية العكسية، والدوال الجبرية، والدوال المثلثية، والدوال الأسية.

والدالة التي سيجرى عليها التكامل هي حاصل ضرب دالة كثيرة الحدود (دالة جبرية) ودالة أسية. بما أن الدالة الجبرية تسبق الدالة الأسية في الترتيب، إذن نختار أن تكون الدالة الجبرية هي .

وبذلك، نكون قد وضعنا:

بعد ذلك، نُوجِد عن طريق اشتقاق ، ونُوجِد عن طريق تكامل . توضِّح القاعدة العامة للقوة كيفية إيجاد مشتقة دالة قابلة للاشتقاق لها أس ثابت :

اشتقاق يُعطينا:

لنحصل على ، علينا إيجاد قيمة تكامل :

من ثَمَّ:

تذكَّر أنه على الرغم من أننا يجب أن نحصل على ثابت التكامل في كل مرة نُجري فيها التكامل، فإننا نجمِّعه في النهاية مع ثابت آخر؛ ومن ثَمَّ، فإننا، بوجه عام، نختار عدم تضمين ثابت في هذه المرحلة.

باستخدام التكامل بالتجزيء، يكون لدينا:

لاحِظ أن لدينا الآن دالة ثانية سيجرى عليها التكامل، وهي حاصل ضرب الدالتين. قد نخشى أن نختار الدالة الخطأ . لكننا نلاحِظ أن مشتقة الدالة هي ثابت؛ وهو ما يعني أنه يمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل الجديد باستخدام التكامل بالتجزيء. سنأخذ العامل الثابت ٦ خارج التكامل، ونطبِّق الصيغة مرةً أخرى لإيجاد قيمة:

نضع: بحيث:

وبالتعويض بهذه القيم في صيغة التكامل بالتجزيء، نحصل على:

يمكننا التعويض بهذا المقدار في معادلة التكامل الأصلية:

ولتبسيط هذا الناتج، نُخرِج العامل خارج التكامل:

بتطبيق التكامل بالتجزيء، نحصل على:

مثال ٣: إيجاد التكامل غير المحدَّد لحاصل ضرب دالة أسية ودالة مثلثية

بافتراض أن ، ، احسب باستخدام التكامل بالتجزيء.

الحل

تخبرنا صيغة التكامل بالتجزيء أنه لكل دالتين قابلتين للاشتقاق ، ، يكون:

مطلوبٌ منَّا أن نضع ، . بعبارةٍ أخرى:

علينا إيجاد قيمة عن طريق اشتقاق ، وإيجاد عن طريق تكامل :

تخبرنا صيغة التكامل بالتجزيء أن:

لكن لا يمكننا إيجاد قيمة مباشرةً؛ لذا، نطبِّق التكامل بالتجزيء مرةً أخرى.

نضع: بحيث:

من ثَمَّ:

لاحِظ أن التكامل الثاني الذي نحصل عليه يساوي التكامل الأصلي؛ ومن ثَمَّ، لا يتعيَّن علينا مواصلة التكامل. بدلًا من ذلك، بالتعويض بهذا المقدار في التكامل بالتجزيء السابق، يصبح لدينا:

يمكننا الآن إضافة إلى طرفَي هذه المعادلة وتضمين ثابت التكامل:

وأخيرًا، بالقسمة على ٢، نحصل على:

مثال ٤: استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد تكامل دالة

أوجد .

الحل

الدالة التي طُلِب منَّا أن نُكاملها هنا هي ، وهي دالة جبرية كسرية مضروبة في دالة أسية. وبما أن ذلك هو حاصل ضرب دالتين، إذن نستخدم التكامل بالتجزيء. والصيغة التي نستخدمها لذلك هي:

من المهم أن نختار من الدالة الجزأين اللذين يمثِّلان ، بطريقة صحيحة. إذا استعنَّا بطريقة ترتيب الدوال، فسنلاحظ أن علينا اختيار الكسر الجبري ليكون . ونحصل من ذلك على:

نحتاج إلى اشتقاق وتكامل . علينا تطبيق قاعدة القسمة لاشتقاق . باستخدام قاعدة القسمة، نحصل على:

تكامل حد الدالة الأسية يجعلها كما هي، إذن نحصل على:

ننظر الآن إلى الحد الذي نجري عليه التكامل في صيغة التكامل بالتجزيء:

بالنظر إلى هذا التكامل، نجد أنه مماثل جدًّا للتكامل الأصلي الذي نحاول إيجاده، خلاف أن هنا نرى أن أس المقام أكبر بدرجة واحدة. إذا حاولنا إيجاد تكامل هذا الحد باستخدام التكامل بالتجزيء، مثلما فعلنا في البداية (اختيار الاشتقاق للكسر الجبري والتكامل للدالة الأسية)، فإن ذلك يجعلنا نحتاج إلى إجراء تكامل بالتجزيء آخر، ولكن المقام يكون بدرجة أكبر مرة أخرى. وهذا يعني أنه إذا أجرينا التكامل على هذا المنوال باستمرار، فستزداد درجة المقام باستمرار، ولن نحصل على حل.

لإجراء التكامل، علينا تغيير مقدارَي ، . يمكننا ملاحظة أمر ما هنا، وهو أننا إذا نظرنا إلى جزء من الدالة التي نكاملها وأعدنا كتابته، نحصل على:

عادةً، عندما نستخدم التكامل بالتجزيء، نحاول تقليل درجة الحد عن طريق الاشتقاق. لكن ذلك ينجح في حالة أن الأس موجب فقط. وبما أن هذا الأس سالب، إذن يمكننا تقريب الأس من الصفر عن طريق التكامل. نختار إذن جزء الدالة الذي يكون ، والجزء المتبقي يكون . لدينا:

باستخدام قاعدة الضرب، يمكننا اشتقاق لنحصل على:

بعد ذلك، نكامل لنحصل على:

بالتعويض بذلك في صيغة التكامل بالتجزيء، نحصل على:

يمكننا ملاحظة نجاح صيغة التكامل بالتجزيء هنا؛ حيث حذفنا الحد من التكامل. وللحصول على الحل، نحتاج فقط إلى تكامل الحد الأخير. نحصل من ذلك على الناتج الآتي:

مثال ٥: تكامل دالة اللوغاريتم الطبيعي

أوجد تكامل بالتجزيء باستخدام ، .

الحل

مطلوبٌ منَّا استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة هذا التكامل.

تخبرنا صيغة التكامل بالتجزيء أنه لكل دالتين قابلتين للاشتقاق، ، يكون:

لدينا المُعطى:

لتطبيق صيغة التكامل بالتجزيء، نشتق ونجري التكامل لـ :

فور أن يكون لدينا كل مقدار من هذه المقادير، يمكننا التعويض به في الصيغة لإيجاد:

يمكننا التبسيط بإخراج العامل المشترك :

مثال ٦: استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد تكامل دالة

أوجد .

الحل

يمكننا ملاحظة أن التكامل يحتوي على دالة لوغاريتمية مضروبة في دالة جبرية. لإيجاد تكامل ذلك، نحتاج إلى استخدام التكامل بالتجزيء. والصيغة المطلوبة لذلك هي:

عادةً نختار اشتقاق جزء الدالة الجبرية، لكن إذا فعلنا ذلك سنضطر إلى تكامل جزء الدالة اللوغاريتمية، وهو أمر معقد؛ لذلك سنجري التكامل بدلًا من ذلك على جزء الدالة الجبرية. من ثَمَّ، نحصل على:

يمكننا الآن اشتقاق وتكامل هاتين الدالتين على الترتيب، لنحصل على:

بالتعويض بذلك في صيغة التكامل بالتجزيء، نحصل على:

كل ما تبقى هو إيجاد تكامل الحد الأخير، ونحصل بذلك على الحل: