نسخة الفيديو النصية
التكامل بالتجزيء
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم التكامل بالتجزيء لإيجاد تكامل حاصل ضرب دالتين. وسنفعل ذلك عن طريق عكس قاعدة الضرب للاشتقاق، وعن طريق استخدام حقيقة أن التكامل يعطينا المشتقة العكسية العامة للدالة.
إذن، دعونا نبدأ بتذكر ما تخبرنا به قاعدة الضرب للاشتقاق. تنص القاعدة على أنه إذا كان لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق ﺩ ﺱ وﺭ ﺱ، فإن مشتقة ﺩ ﺱ مضروبًا في ﺭ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺩ شرطة ﺱ في ﺭ ﺱ زائد ﺩ ﺱ مضروبًا في ﺭ شرطة ﺱ. وهذه القاعدة تساعدنا في اشتقاق حاصل ضرب دالتين. علينا عكس هذه القاعدة للحصول على قاعدة مكافئة بدلالة التكامل. وهذا سيساعدنا في إيجاد تكامل حاصل ضرب دالتين.
يمكننا فعل ذلك من خلال ملاحظة أن ﺩ ﺱ مضروبًا في ﺭ ﺱ يمثل مشتقة عكسية للطرف الأيسر من المعادلة: ﺩ شرطة ﺱ في ﺭ ﺱ زائد ﺩ ﺱ في ﺭ شرطة ﺱ. وبما أن التكامل يعطينا المشتقة العكسية العامة للدالة، يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على صورة نتيجة تكامل. ونحصل على التكامل غير المحدد لـ ﺩ شرطة ﺱ في ﺭ ﺱ زائد ﺩ ﺱ في ﺭ شرطة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺩ ﺱ مضروبًا في ﺭ ﺱ.
لكن، لا يمكننا بعد استخدام هذه النتيجة لإيجاد قيمة تكامل حاصل ضرب دالتين لأن التعبير الذي سيجرى عليه التكامل يحتوي على حدين. لذا، دعونا نأخذ تكامل كل حد على حدة في التعبير الذي سيجرى عليه التكامل. وهذا يعطينا التكامل غير المحدد لـ ﺩ شرطة ﺱ في ﺭ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ زائد التكامل غير المحدد لـ ﺩ ﺱ في ﺭ شرطة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺩ ﺱ مضروبًا في ﺭ ﺱ.
يمكننا الآن إيجاد معادلة حاصل ضرب دالتين عن طريق إعادة الترتيب لجعل هذا الحد هو المتغير التابع. نجد إذن أن التكامل غير المحدد لـ ﺩ ﺱ في ﺭ شرطة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺩ ﺱ مضروبًا في ﺭ ﺱ ناقص التكامل غير المحدد لـ ﺩ شرطة ﺱ في ﺭ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهذا يسمى طريقة التكامل بالتجزيء.
في البداية، قد نلاحظ أمرًا مثيرًا للاهتمام. نحن نريد استخدام هذه الطريقة لإيجاد قيمة تكامل حاصل ضرب دالتين. ولكن نلاحظ في هذه الصيغة أننا نستخدم تكامل حاصل ضرب دالتين. لذا يبدو أن هذه الصيغة ليست ذات فائدة. ولكن، نلاحظ أننا نشتق دالة مختلفة بداخل التعبير الذي سيجري عليه التكامل. وكما سنلاحظ، فإن إمكانية اشتقاق أحد عاملي التعبير الذي سيجري عليه التكامل غالبًا ما تجعل إيجاد قيمة التكامل أمرًا سهلًا.
قبل الانتقال إلى بعض الأمثلة، تجدر الإشارة إلى أن صيغة التكامل بالتجزيء تكتب عادة باستخدام ترميز ليبنتز. ولكن هذه المرة، سنسمي الدالتين الأصليتين ﺵ لـ ﺱ وﻉ لـ ﺱ. نجد أن التكامل غير المحدد لـ ﺵ في ﺩﻉ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺵ في ﻉ ناقص التكامل غير المحدد لـ ﻉ مضروبًا في ﺩﺵ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. والآن، دعونا نتناول أحد الأمثلة على تطبيق التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة تكامل حاصل ضرب دالتين.
استخدم التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة التكامل غير المحدد لـ ﺱ في جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة التكامل غير المحدد لحاصل ضرب دالتين: الدالة الجبرية ﺱ والدالة المثلثية جا ﺱ. وهذا يشير إلى أنه يمكننا محاولة استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة هذا التكامل، حتى وإن لم يطلب منا استخدام هذه الطريقة في السؤال. إذن، دعونا نبدأ باسترجاع صيغة التكامل بالتجزيء.
تنص الصيغة على أن التكامل غير المحدد لـ ﺵ في ﺩﻉ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺵ في ﻉ ناقص التكامل غير المحدد لـ ﻉ مضروبًا في ﺩﺵ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. لتطبيق هذه الصيغة لإيجاد قيمة التكامل، علينا اختيار أي العاملين في التعبير الذي سنكامله هو ﺵ وأيهما هو ﺩﻉ على ﺩﺱ. علينا إذن تحديد كيفية اختيار العامل الذي سيكون ﺵ والعامل الذي سيكون ﺩﻉ على ﺩﺱ.
لفعل ذلك، علينا أن نعرف عند استخدام هذه الصيغة أن الجزء الأصعب الذي يجب إيجاد قيمته في هذا التعبير هو التكامل. إذن، علينا اختيار هاتين الدالتين لتسهيل إيجاد قيمة هذا التكامل قدر الإمكان. وعادة ما نقوم بذلك عن طريق اختيار الدالة ﺵ التي تجعل ﺩﺵ على ﺩﺱ أبسط. ولكن، علينا أحيانًا أن نختار الدالة ﺵ بحيث تلغى عند ضربها في الجزء ﻉ. ففي كلتا الحالتين، دعونا ننظر إلى الدالتين ﺱ وجا ﺱ.
نعلم أنه عند اشتقاق الدالة ﺱ، فإن درجتها ستقل. ولكن إذا أردنا اشتقاق الدالة جا ﺱ، فسنحصل على دالة مثلثية أخرى. وهذا لن يكون أبسط. لذا، سنجعل الدالة ﺵ تساوي ﺱ وﺩﻉ على ﺩﺱ تساوي جا ﺱ. الآن، لتطبيق التكامل بالتجزيء، علينا إيجاد مقدار يعبر عن كل من ﺩﺵ على ﺩﺱ وﻉ.
دعونا إذن نبدأ بإيجاد ﺩﺵ على ﺩﺱ. وهي مشتقة الدالة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، والتي تساوي واحدًا. كما نريد أيضًا إيجاد مقدار يعبر عن ﻉ من ﺩﻉ على ﺩﺱ. ويمكننا تذكر أن ﻉ سيكون مشتقة عكسية لهذه الدالة. إذن، نحن نعرف أن ﻉ سيساوي التكامل غير المحدد لـ جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، وهو ما نعرف أنه يساوي سالب جتا ﺱ زائد ثابت التكامل. لكننا لسنا بحاجة إلى إضافة ثابت التكامل في هذه الحالة.
للتحقق من ذلك، دعونا نر ما سيحدث إذا أبدلنا ﻉ إلى ﻉ زائد ﺙ في صيغة التكامل بالتجزيء. في الحد الأول، نحصل على ﺵ مضروبًا في ثابت التكامل ﺙ. ولكن، في الحد الثاني، نحصل على ﺙ في ﺩﺵ على ﺩﺱ. سالب تكامل هذا الحد هو سالب ﺵ في ﺙ؛ لذا يلغي هذان الحدان أحدهما الآخر. وهذه إذن حالة أخرى لإلغاء ثابتي التكامل؛ لذا لسنا بحاجة إلى تضمين هذا الثابت.
لنعوض الآن بالمقادير التي تعبر عن ﺵ، ﻉ، ﺩﺵ على ﺩﺱ، وﺩﻉ على ﺩﺱ في صيغة التكامل بالتجزيء. نجد أن التكامل غير المحدد لـ ﺱ في جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ في سالب جتا ﺱ ناقص التكامل غير المحدد لسالب جتا ﺱ مضروبًا في واحد بالنسبة إلى ﺱ. يبسط الحد الأول إلى سالب ﺱ في جتا ﺱ. وفي الحد الثاني، نأخذ سالب واحد عاملًا مشتركًا خارج التكامل. وهذا يعني أننا نضيف التكامل غير المحدد لـ جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
الآن، ما علينا فعله هو إيجاد قيمة هذا التكامل غير المحدد. نحن نعلم أن جا ﺱ مشتقة عكسية لـ جتا ﺱ. إذن، التكامل غير المحدد لـ جتا ﺱ هو جا ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. ومن ثم، أوضحنا أن التكامل غير المحدد لـ ﺱ في جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو سالب ﺱ جتا ﺱ زائد جا ﺱ زائد ﺙ. وتجدر الإشارة إلى أنه يمكننا التحقق من إجابتنا عن طريق اشتقاقها بالنسبة إلى ﺱ والتأكد من أننا سنحصل على ﺱ مضروبًا في جا ﺱ.
في المثال التالي، سنستخدم التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة تكامل دالة اللوغاريتم الطبيعي.
أوجد تكامل اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ بالتجزيء باستخدام ﺵ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ.
في هذا السؤال، نريد إيجاد قيمة تكامل غير محدد باستخدام التكامل بالتجزيء. ويمكننا فعل ذلك أولًا بتذكر أن التكامل بالتجزيء ينص على أن التكامل غير المحدد لـ ﺵ في ﺩﻉ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺵ في ﻉ ناقص التكامل غير المحدد لـ ﻉ مضروبًا في ﺩﺵ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
عندما نستخدم التكامل بالتجزيء، عادة ما نحتاج أولًا إلى تحديد أي الدالتين هي ﺵ وأيهما هي ﺩﻉ على ﺩﺱ. ولكن السؤال يخبرنا بهذه المعلومة سابقًا. إذ إننا نعلم أن ﺵ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. كما نعلم في الصورة التفاضلية أن ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ. هذا يعني أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي واحدًا. نلاحظ إذن أنه إذا جعلنا ﺵ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، وﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي واحدًا، فسنحصل في صيغة التكامل بالتجزيء على التكامل غير المحدد للوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
لتطبيق ذلك، علينا إيجاد مقدارين يعبران عن ﻉ وﺩﺵ على ﺩﺱ. فلنبدأ باشتقاق ﺵ بالنسبة إلى ﺱ. وهو اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي بالنسبة إلى ﺱ، والذي نعلم أنه هو دالة المقلوب ﺩﺵ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺱ. بما أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي واحدًا، فإن مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ تساوي واحدًا. بعبارة أخرى، ﻉ مشتقة عكسية لواحد. ونحن نعلم أن مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي واحدًا؛ لذا سنجعل ﻉ يساوي ﺱ.
الآن، نعوض بكل هذه المقادير في صيغة التكامل بالتجزيء. ونجد أن التكامل غير المحدد للوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ ناقص التكامل غير المحدد لـ ﺱ مضروبًا في واحد على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا تبسيط ذلك من خلال ملاحظة أن ﺱ مضروبًا في واحد على ﺱ يساوي واحدًا. وهكذا، يتبقى لدينا ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ ناقص التكامل غير المحدد لواحد بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا الآن إيجاد قيمة هذا التكامل. وهو يساوي ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.
ومن ثم، لقد أوضحنا أن التكامل غير المحدد للوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ ناقص ﺱ زائد ﺙ. وبالفعل يكون التكامل بالتجزيء مفيدًا لمساعدتنا في إيجاد قيمة هذا التكامل؛ وذلك لأن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ هي مقدار أبسط بكثير من تكامله.
حتى الآن، عندما استخدمنا التكامل بالتجزيء، إما يكون لدينا الدالتان ﺵ وﺩﻉ على ﺩﺱ أو يكون علينا اختيارهما بأنفسنا. ومن الصعب للغاية اختيار هاتين الدالتين بأنفسنا لأن اختيار أي الدالتين لكي تكون ﺵ لا يكون واضحًا دائمًا. ولكن هناك طريقة يمكننا استخدامها لمساعدتنا في اختيار الدالة ﺵ؛ وهي تسمى طريقة ترتيب الدوال. وتنص هذه الطريقة على اختيار الدالة ﺵ بناء على أي من أنواع الدوال الخمس المحتملة يظهر أولًا في التعبير الذي سيجرى عليه التكامل.
وترتيب الدوال هو: الدوال اللوغاريتمية، ثم الدوال المثلثية العكسية، ثم الدوال الجبرية، ثم الدوال المثلثية، ثم أخيرًا الدوال الأسية. علينا إذن أن نختار الدالة ﺵ بناء على أي من هذه الدوال الخمس تظهر أولًا في التعبير الذي سيجرى عليه التكامل. وتجدر الإشارة إلى أن طريقة ترتيب الدوال لا تعطينا دائمًا الاختيار الأفضل للدالة ﺵ. ولكنها عادة ما تكون مجدية. لنتناول الآن مثالًا على تطبيق طريقة ترتيب الدوال لإيجاد قيمة تكامل بالتجزيء.
أوجد التكامل غير المحدد لثلاثة ﺱ زائد أربعة الكل تربيع في ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة التكامل غير المحدد لحاصل ضرب دالتين. لذا، سنحاول فعل ذلك باستخدام التكامل بالتجزيء. ويمكننا تذكر أن التكامل بالتجزيء ينص على أن التكامل غير المحدد لـ ﺵ في ﺩﻉ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺵ في ﻉ ناقص التكامل غير المحدد لـ ﻉ مضروبًا في ﺩﺵ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
علينا الآن اختيار الدالتين ﺵ وﺩﻉ على ﺩﺱ. وسنختار الدالة ﺵ باستخدام طريقة ترتيب الدوال. علينا أن نتحقق من كل نوع من أنواع الدوال الخمس على الترتيب في التعبير الذي سيجرى عليه التكامل لتحديد الدالة ﺵ. نبدأ أولًا بالدوال اللوغاريتمية. يمكننا ملاحظة أنه لا توجد دالة لوغاريتمية في التعبير الذي سيجرى عليه التكامل. إذن، سننتقل إلى النوع الثاني من الدوال، أي الدوال المثلثية العكسية. ومرة أخرى، يمكننا ملاحظة أنه لا توجد دوال مثلثية عكسية في التعبير الذي سيجرى عليه التكامل. إذن، سننتقل إلى النوع الثالث من الدوال، أي الدوال الجبرية، ويمكننا ملاحظة أن ثلاثة ﺱ زائد أربعة الكل تربيع دالة كثيرة الحدود. وبالتالي فهي دالة جبرية. إذن، سنختار أن تكون ﺵ هي الدالة ثلاثة ﺱ زائد أربعة الكل تربيع. وهذا يعني أن الدالة ﺩﻉ على ﺩﺱ ستساوي العامل المتبقي، أي ﻫ أس ﺱ.
الآن، لتطبيق التكامل بالتجزيء، علينا إيجاد مقدارين يعبران عن ﺩﺵ على ﺩﺱ وﻉ. فلنبدأ بـ ﺩﺵ على ﺩﺱ. نريد اشتقاق ﺵ بالنسبة إلى ﺱ. وتوجد طرق عديدة ومختلفة لفعل ذلك. على سبيل المثال، ﺵ عبارة عن تركيب دالتين؛ لذا يمكننا أن نقوم بالاشتقاق باستخدام قاعدة السلسلة. ولكن الأس خارج القوسين هو اثنان فحسب. لذا، فمن الأسهل توزيع اثنين على القوسين. ونحصل على تسعة ﺱ تربيع زائد ٢٤ﺱ زائد ١٦. إذن، يسمح لنا هذا باشتقاق هذه الدالة حدًّا بحد باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. ونجد أن ﺩﺵ على ﺩﺱ يساوي ١٨ﺱ زائد ٢٤.
لنوجد الآن ﻉ. ويمكننا ملاحظة أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ. إذن، ﻉ مشتقة عكسية لـ ﻫ أس ﺱ. وبالتالي ﻉ يساوي التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ونحن نعلم أن هذا يساوي ﻫ أس ﺱ زائد ثابت التكامل. ولكننا لسنا بحاجة إلى ثابت التكامل في هذه الحالة، ويمكننا الآن التعويض بهذه المقادير في صيغة التكامل بالتجزيء. نجد أن التكامل غير المحدد لثلاثة ﺱ زائد أربعة الكل تربيع في ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ زائد أربعة الكل تربيع في ﻫ أس ﺱ ناقص التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺱ مضروبًا في ١٨ﺱ زائد ٢٤ بالنسبة إلى ﺱ.
في هذه المرحلة، قد نخشى أننا قد اخترنا الدالة ﺵ الخطأ؛ وذلك لأننا توصلنا إلى تكامل حاصل ضرب دالتين. ولكننا نلاحظ أمرًا مثيرًا للاهتمام. إذا قمنا باشتقاق ١٨ﺱ زائد ٢٤ بالنسبة إلى ﺱ، فسنحصل على ثابت. إذن، يمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل عن طريق تطبيق التكامل بالتجزيء مرة أخرى. ولفعل ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة ونختر الدالة ﺵ. وسنفعل ذلك مرة أخرى باستخدام طريقة ترتيب الدوال. يمكننا ملاحظة أنه لا توجد دوال لوغاريتمية أو دوال مثلثية عكسية. ولكن هناك دالة جبرية.
إذن، سنختار ﺵ لتكون الدالة ١٨ﺱ زائد ٢٤ وﺩﻉ على ﺩﺱ لتكون الدالة ﻫ أس ﺱ. نريد الآن إيجاد ﺩﺵ على ﺩﺱ وﻉ. وبما أن ﺵ دالة خطية، فإن مشتقتها هي معامل ﺱ. إذن ﺩﺵ على ﺩﺱ يساوي ١٨. وﻉ مشتقة عكسية لـ ﻫ أس ﺱ. إذن ﻉ يساوي ﻫ أس ﺱ. يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في صيغة التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة التكامل غير المحدد الثاني. إذن، هذا يعطينا ثلاثة ﺱ زائد أربعة الكل تربيع في ﻫ أس ﺱ ناقص ١٨ﺱ زائد ٢٤ في ﻫ أس ﺱ ناقص التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺱ في ١٨ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا تبسيط ذلك.
أولًا، يمكننا توزيع الإشارة السالبة على ما بداخل القوسين، وهو ما يعطينا المقدار الآتي. بعد ذلك، يمكننا أخذ ١٨ عاملًا مشتركًا خارج التكامل. والآن، يمكننا إيجاد قيمة التكامل غير المحدد الأخير. التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو ﻫ أس ﺱ زائد ثابت التكامل، وهذا ما يعطينا المقدار الآتي.
يمكننا ترك الإجابة على هذه الصورة. ولكن، يمكننا أيضًا ملاحظة أن هذه الحدود الثلاثة لها عامل مشترك هو ﻫ أس ﺱ. إذن، إذا أخذنا ﻫ أس ﺱ عاملًا مشتركًا، فسنحصل على المقدار الآتي، ويمكننا تبسيط المقدار الجبري بداخل القوسين. وعندما نفعل ذلك، سنحصل على الإجابة النهائية. التكامل غير المحدد لثلاثة ﺱ زائد أربعة الكل تربيع في ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ في تسعة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ١٠ زائد ثابت التكامل ﺙ.
الآن، لنتناول مثالًا على استخدام التكامل غير المحدد لإيجاد قيمة تكامل حاصل ضرب دالة مثلثية ودالة أسية.
بافتراض أن ﺵ يساوي ﻫ أس ﺱ، ﺩﻉ يساوي جتا ﺱ ﺩﺱ، احسب التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺱ مضروبًا في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام التكامل بالتجزيء.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة تكامل غير محدد باستخدام التكامل بالتجزيء. ويمكننا تذكر أن التكامل بالتجزيء ينص على أن التكامل غير المحدد لـ ﺵ في ﺩﻉ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺵ في ﻉ ناقص التكامل غير المحدد لـ ﻉ مضروبًا في ﺩﺵ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. عند هذه المرحلة، عادة ما يكون علينا اختيار الدالتين ﺵ وﺩﻉ على ﺩﺱ لتطبيق التكامل بالتجزيء. ولكن السؤال قد حدد لنا هذين الاختيارين سابقًا.
مطلوب منا أن نختار ﺵ لتكون ﻫ أس ﺱ. كما نعلم أيضًا في الصورة التفاضلية أن ﺩﻉ يساوي جتا ﺱ ﺩﺱ. وهذا يكافئ القول بأن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي جتا ﺱ. إذن، ﺵ يساوي ﻫ أس ﺱ، وﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي جتا ﺱ. علينا أن نستخدم هذين المقدارين لتحديد ﺩﺵ على ﺩﺱ وﻉ. أولًا، ﺩﺵ على ﺩﺱ هي مشتقة ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، وهي تساوي نفسها ببساطة.
وﻉ هو التكامل غير المحدد لـ جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهو يساوي جا ﺱ زائد ثابت التكامل. لكن في هذه الحالة، نحن لسنا بحاجة إلى الثابت. الآن، يمكننا التعويض بهذه المقادير في صيغة التكامل بالتجزيء. إذن، هذا يعطينا ﻫ أس ﺱ مضروبًا في جا ﺱ ناقص التكامل غير المحدد لـ جا ﺱ في ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
عند هذه المرحلة، قد يراودنا القلق. فنحن لم نجعل إيجاد قيمة التكامل غير المحدد أسهل باستخدام التكامل بالتجزيء. إذ إن إيجاد تكامل جا ﺱ في ﻫ أس ﺱ صعب بقدر إيجاد تكامل ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ. لكن يمكننا ملاحظة أمر مثير للاهتمام إذا حاولنا إيجاد قيمة هذا التكامل باستخدام التكامل بالتجزيء. إذا اخترنا مرة أخرى أن تكون الدالة ﺵ هي الدالة الأسية ﻫ أس ﺱ والدالة ﺩﻉ على ﺩﺱ أن تكون هي الدالة المثلثية جا ﺱ، فإن ﺵ ستساوي ﻫ أس ﺱ وﻉ ستساوي سالب جتا ﺱ.
إذن، ينتهي المطاف بهذا التكامل غير المحدد بأن يصبح التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. هذا هو التكامل الذي نحاول إيجاد قيمته، وسنتمكن من استخدام ذلك لإيجاد قيمة هذا التكامل. إذن، لنبدأ بجعل ﺵ يساوي ﻫ أس ﺱ وﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي جا ﺱ. نشتق ﺵ بالنسبة إلى ﺱ. ونجد أن ﺩﺵ على ﺩﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ. والتكامل غير المحدد لـ جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو سالب جتا ﺱ زائد ﺙ. إذن، ﻉ يساوي سالب جتا ﺱ.
يمكننا الآن التعويض بهذه المقادير في صيغة التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة التكامل غير المحدد. هذا يعطينا ﻫ أس ﺱ في جا ﺱ ناقص ﻫ أس ﺱ مضروبًا في سالب جتا ﺱ ناقص التكامل غير المحدد لسالب جتا ﺱ في ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا إذن تبسيط ذلك. لنبدأ بتوزيع الإشارة السالبة على ما بداخل القوسين وإعادة ترتيب الناتج. هذا يعطينا ﻫ أس ﺱ في جا ﺱ زائد ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ ناقص التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺱ مضروبًا في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
لكن هذا التكامل هو نفسه التكامل الذي لدينا في الطرف الأيمن من المعادلة. إذن، لنضف التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ إلى كلا طرفي المعادلة. وهذا يعطينا اثنين في التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ في جا ﺱ زائد ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.
وحري بنا أن نؤكد على أننا بحاجة إلى إضافة ثابت التكامل هنا. ويمكننا الآن الحل لإيجاد قيمة التكامل عن طريق ضرب كلا طرفي المعادلة في نصف. وبالتأكيد، فقسمة ثابت التكامل على اثنين تعطينا ثابتًا أيضًا. وبالتالي سنسمي هذا الثابت ﺙ. ومن ثم، نتوصل إلى الإجابة النهائية. التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺱ مضروبًا في جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي نصف في ﻫ أس ﺱ في جا ﺱ زائد ﻫ أس ﺱ في جتا ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.
لنراجع الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا، لقد أوضحنا أن التكامل بالتجزيء هو القاعدة المناظرة لقاعدة الضرب. بعبارة أخرى، إذا فكرنا في قاعدة الضرب بدلالة التكامل غير المحدد، فإننا نحصل على التكامل بالتجزيء. على وجه التحديد، ينص التكامل بالتجزيء، بدلالة ترميز ليبنتز، على أن التكامل غير المحدد لـ ﺵ في ﺩﻉ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺵ في ﻉ ناقص التكامل غير المحدد لـ ﻉ مضروبًا في ﺩﺵ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
لقد رأينا بوجه عام أنه من الجيد اختيار الدالة ﺵ بحيث إنه عند اشتقاقها نجعل إيجاد قيمة التكامل الثاني أبسط قدر الإمكان. كما رأينا أيضًا طريقة لاختيار الدالة ﺵ باستخدام طريقة ترتيب الدوال. وذلك بأن نختار ﺵ لتكون أول دالة في قائمة الدوال الخمس هذه التي تظهر في التعبير الذي سيجرى عليه التكامل. ولكن تجدر الإشارة إلى أن طريقة ترتيب الدوال لا تعطينا دائمًا الاختيار الأفضل للدالة ﺵ، لذا يجب دائمًا الانتباه إلى هذه النقطة.
أخيرًا، تجدر الإشارة أيضًا إلى أننا لاحظنا أنه يمكننا إيجاد تكامل بعض الدوال الخاصة، مثل اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، باستخدام التكامل بالتجزيء. ونكتب ذلك على صورة واحد في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، ثم نطبق التكامل بالتجزيء. وأخيرًا، رأينا أننا نحتاج أحيانًا إلى تطبيق التكامل بالتجزيء عدة مرات لإيجاد قيمة التكامل غير المحدد.
