نسخة الفيديو النصية
من خلال رسم التمثيلات البيانية للدوال الآتية، أيها تمثل الدالة العكسية لنفسها؟ (أ) واحد على ﺱ، (ب) ﺱ تربيع، (ج) ﺱ تكعيب، (د) واحد على ﺱ تربيع.
حسنًا، لدينا هنا أربع دوال، ومطلوب منا تحديد أيها تمثل الدالة العكسية لنفسها. قبل أن نرسم التمثيلات البيانية، دعونا نذكر أنفسنا بالمقصود بإيجاد الدالة العكسية. سنفترض أن لدينا دالة ما هي ﺩﺱ. الدالة العكسية ﺩ؛ حيث يكتب بالأعلى سالب واحد، هي عكس الدالة الأصلية. بعبارة أخرى: إذا طبقنا معكوس الدالة على الدالة الأصلية، فسنجد أنه سيساوي أي قيمة لـ ﺱ في مجال الدالة الأصلية. لكن ماذا يعني ذلك في التمثيلات البيانية للدوال؟
حسنًا، يمكننا تحويل أي دالة إلى دالتها العكسية، والعكس صحيح، من خلال انعكاس واحد حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. لذا دعونا نرسم التمثيلات البيانية للدوال، ونر أي منها لا يتغير عند انعكاسه حول هذا الخط المستقيم. سنبدأ بالتمثيل البياني للدالة ﺹ تساوي واحدًا على ﺱ. ولعلنا نتذكر الشكل العام لدالة المقلوب. يكون لها خطا تقارب عند المحورين ﺱ وﺹ. وهي في الواقع تبدو بهذا الشكل.
سنرسم أيضًا الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ على هذا الشكل ونرى ما يحدث إذا عكسنا هذا المنحنى حول هذا الخط المستقيم. بعكس المنحنى الأصلي حول هذا الخط المستقيم، نحصل على منحنى آخر يبدو متطابقًا. وعليه يبدو أن الإجابة هي الخيار (أ). الدالة واحد على ﺱ هي الدالة العكسية لنفسها.
لكن دعونا نتحقق من ذلك عن طريق رسم التمثيلات البيانية الثلاثة الأخرى. سنتناول الدالة واحدًا على ﺱ تربيع أولًا، بما أنها تشبه إلى حد كبير الدالة واحدًا على ﺱ. الاختلاف الوحيد هو أن جزء المنحنى الذي يقع في الربع الثالث من التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ، سينعكس في الربع الثاني من التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ تربيع. وبالطبع هذا منطقي تمامًا. عندما نقوم بتربيع أي عدد، نحصل على ناتج موجب. وواحد مقسومًا على أي عدد موجب يعطينا دائمًا عددًا موجبًا. ومن ثم، يمكننا توقع أن يكون المنحنى بأكمله فوق المحور ﺱ. وإذا عكسنا هذا الجزء من المنحنى حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ، فسنحصل على شكل كهذا. وبذلك يمكننا تأكيد أن الدالة واحدًا على ﺱ تربيع ليست الدالة العكسية لنفسها.
دعونا الآن نتناول التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺱ تربيع. يمر منحنى ﺹ يساوي ﺱ تربيع بنقطة الأصل، كما هو موضح. لدينا هنا القطع المكافئ المتماثل الشكل. وإذا أردنا إيجاد الدالة العكسية لمنحنى ﺹ يساوي ﺱ تربيع، فسنواجه مشكلة. إذا عكسنا ﺹ يساوي ﺱ تربيع حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ، فسنلاحظ أولًا أن الدالة الموضحة في التمثيل البياني لا يمكن أن تمثل الدالة العكسية لنفسها. وسنلاحظ أيضًا أن التمثيل البياني يبدو غريبًا. في الواقع، إذا أجرينا اختبار الخط الرأسي، فسنجد أن هذا مثال على تحويل من واحد إلى متعدد. إذن لا يمكن أن يكون هذا تمثيلًا لدالة. وهذا يعني أيضًا أنه لا يمكننا عكس الدالة ﺹ تساوي ﺱ تربيع دون وضع بعض القيود على مجالها. على وجه التحديد، يجب أن يقتصر مجال الدالة ﺹ يساوي ﺱ تربيع على الأعداد الحقيقية غير السالبة. وعندئذ تكون الدالة قابلة للعكس، لكن الدالة ﺹ تساوي ﺱ تربيع، لا تمثل الدالة العكسية لنفسها.
يتبقى لدينا الآن تمثيل بياني واحد؛ وهو ﺱ تكعيب. يمكننا رسم ﺹ يساوي ﺱ تكعيب، وكذلك رسم انعكاسه حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ على المستوى الإحداثي لدينا. مرة أخرى: نلاحظ أن التمثيل البياني الناتج هذا لا يتطابق مع التمثيل البياني الأصلي. ومن ثم، فإن الدالة ﺱ تكعيب لا تمثل الدالة العكسية لنفسها. وبهذا نكون قد تأكدنا من أن الدالة التي تمثل الدالة العكسية لنفسها هي واحد على ﺱ. الإجابة هي الخيار (أ).
