فيديو الدرس: التمثيل البياني لمعكوس الدالة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم التمثيل البياني لإيجاد معكوس الدالة، ونحلل التمثيلات البيانية لمعكوس الدالة.

٢٣:٣٢

‏نسخة الفيديو النصية

التمثيل البياني لمعكوس الدالة

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم التمثيل البياني لإيجاد معكوس الدالة، ونحلل التمثيلات البيانية لمعكوس الدالة. في البداية، دعونا نتعرف على المقصود بمعكوس الدالة. يمكن أن تكون الدالة ﺩ معكوسة باستخدام الدالة ﺭ عندما تكون ﺩﺱ تساوي ﺹ، وﺭﺹ تساوي ﺱ. يمكننا أن نفكر في هاتين الدالتين على أنهما تلغي إحداهما عمل الأخرى. هذا يعني أننا إذا طبقنا ﺩ وبعد ذلك طبقنا ﺭ، فسيكون ذلك بمثابة عدم فعل أي شيء، وتكون النتيجة هي القيمة الابتدائية. يمكننا تمثيل ذلك رياضيًّا على صورة تركيب دالة على النحو التالي. تناولنا هنا قيمة مدخلة واحدة ﺱ، وقيمة مخرجة واحدة ﺹ. ولكن، إذا كانت ﺩﺱ دالة أحادية (أو واحد لواحد)، يمكن عكسها على مجالها بالكامل.

سنعود إلى قيد «الأحادية» هذا لاحقًا في هذا الفيديو. ولكن في الوقت الحالي، علينا أن ندرك أنه عندما تكون ﺩﺱ دالة أحادية، يمكننا إيجاد دالة عكسية معرفة بشكل وحيد. فبدلًا من أن نسمي هذه الدالة ﺭ، من الشائع استخدام الترميز التالي. وسوف نقرأ ذلك على أنه معكوس ﺩ. يتعين أن نلاحظ أيضًا أن ﺩ هي الدالة العكسية لمعكوس الدالة ﺩ. وعليه، فإن العلاقة تسير في اتجاهين. بالعودة إلى تركيب الدالة، يمكننا القول إن تطبيق كل من ﺩ ومعكوس ﺩ بأي ترتيب سيعطينا القيمة نفسها التي بدأنا بها.

قبل المضي قدمًا، دعونا نسلط الضوء على نقطة سريعة عن الترميز. ينبغي أن نتوخى الحذر ألا نخطئ في اعتبار أن سالب واحد هذا هو الأس. ونضرب مثالًا سريعًا جدًّا، إذا كانت لدينا دالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ ناقص ثلاثة، فإن معكوس ﺩ لن يساوي اثنين ﺱ ناقص ثلاثة الكل مرفوع للأس سالب واحد. لن يتناول هذا الفيديو أي تفاصيل حول كيفية إيجاد معكوس الدالة جبريًّا. لكن يكفي أن نقول إنه ينبغي تجنب هذا المفهوم الخطأ الشائع. حسنًا، بعد أن استرجعنا معكوس الدالة، دعونا نر العلاقة بينه وبين التمثيل البياني. دعونا نتناول دالة ما ﺩ قابلة للعكس. عند تمثيل الدوال بيانيًّا، فإننا عادة ما نعتبر المحور ﺱ هو مجال الدالة، ما يمكننا اعتباره قيمة مدخلة. ونعتبر المحور ﺹ هو المدى، ما يمكننا اعتباره قيمة مخرجة.

دعونا نفترض أننا أردنا إدخال قيمة ما ﺃ في الدالة لدينا وهو ما يعطينا القيمة المخرجة ﺏ. بصورة أكثر منهجية، يمكننا الإشارة إلى ذلك على صورة ﺩﺃ يساوي ﺏ. إذا رسمنا التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ، فسنقول إن النقطة التي إحداثياتها ﺃ، ﺏ تقع على الخط أو المنحنى. والآن، دعونا نتناول معكوس الدالة ﺩ. كما رأينا من قبل، فإن معكوس الدالة ﺩ يلغي عمل الدالة ﺩ. هذا يعني أننا إذا أردنا إدخال قيمة ﺏ في معكوس ﺩ، يجب أن تكون القيمة المخرجة الناتجة ﺃ. يمكننا اتباع المنطق نفسه لاستنتاج أن النقطة ذات الاحداثيات ﺏ، ﺃ يجب أن تقع على التمثيل البياني لمعكوس ﺩ.

دعونا نفكر فيما توصلنا إليه للتو. إذا أوجدنا إحداثيات النقطة ﺃ، ﺏ التي تقع على التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ، يمكننا عكس الزوج المرتب لإيجاد إحداثيات النقطة المناظرة ﺏ، ﺃ التي تقع على التمثيل البياني لمعكوس ﺩ. يمكننا أيضًا النظر إلى ذلك على أنه تبديل للإحداثيين ﺱ وﺹ. بما أننا اتبعنا طريقة عامة للتوصل إلى ذلك، لأي نقطة معطاة على التمثيل البياني للدالة ﺩ أو لمعكوس الدالة ﺩ بالفعل، فإن هذه العلاقة يجب أن تكون صحيحة.

ثمة نقطة أخرى مثيرة للاهتمام، بما أن هذه العلاقة صحيحة لجميع القيم، فقد نلاحظ أن مجال ﺩ هو نفسه مدى معكوس ﺩ، وأن مدى ﺩ يساوي مجال معكوس ﺩ. دعونا نختر الآن بعض القيم ونلاحظ كيف يبدو ذلك كله على تمثيل بياني. افترض أن الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ ناقص ستة. إذا أردنا اختيار بعض القيم لتحديدها في الربع العلوي الأيمن لـ ﺩ، يمكننا استخدام الإحداثيات ثلاثة، صفر؛ وأربعة، اثنين؛ وخمسة، أربعة. والآن تذكر أنه لإيجاد نقاط على التمثيل البياني لمعكوس الدالة ﺩ، يمكننا ببساطة تبديل الأزواج المرتبة لدينا. وهذا يعني أن النقاط صفر، ثلاثة؛ واثنين، أربعة؛ وأربعة، خمسة تقع جميعها على التمثيل البياني لمعكوس ﺩ.

عند هذه النقطة، قد نبدأ في ملاحظة نمط أو ربما ارتباط بتحويلات الدوال. التغير الذي وصفناه فيما يتعلق بالأزواج المرتبة يبدل الإحداثي ﺱ بالإحداثي ﺹ، والعكس صحيح. في الواقع، هذا التغير يناظر انعكاسًا حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن جميع النقاط الثلاث التي حددناها توضح هذه القاعدة. ثمة أمر آخر يمكننا ملاحظته، وهو أنه إذا تقاطعت الدالة ﺩ مع خط الانعكاس ﺹ يساوي ﺱ عند أي نقطة، فإن معكوس ﺩ سيمر أيضًا بهذه النقطة. على التمثيل البياني لدينا، هذا يحدث عند النقطة ستة، ستة. عند توصيل جميع النقاط، نرى الانعكاس لدينا بشكل أكثر وضوحًا.

مرة أخرى، تذكر أن هذا الفيديو سيركز على التمثيلات البيانية للدوال العكسية بدلًا من العمليات الجبرية. والقاعدة المهمة التي توصلنا إليها بشأن هذا هي أن الدوال العكسية لها تمثيلات بيانية تعكس بعضها بعضًا حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ، وأن إحداثيات النقاط الواقعة على هذه الخطوط المستقيمة أو المنحنيات هي أزواج مرتبة عكسية. دعونا نلق نظرة على سؤال كمثال.

ما يلي هو التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ ناقص واحد. أي تمثيل بياني يعبر عن الدالة العكسية معكوس ﺩﺱ؟

ولكي نكون واضحين في هذا السؤال، فإن ﺩﺱ هو الخط الأزرق، والخيارات الخاصة بـمعكوس ﺩﺱ موضحة هنا. عند محاولة إيجاد تمثيلات بيانية للدوال العكسية، علينا أن نتذكر القاعدة المهمة التالية. الدوال العكسية لها تمثيلات بيانية هي انعكاسات حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ، ولها إحداثيات متناظرة، وهي أزواج مرتبة عكسية. إحدى طرق حل هذه المسألة هي رسم الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ على الشكل. سنعكس بعد ذلك التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ باستخدام الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ باعتباره خط التماثل. لاحظ هنا أن السؤال قد حاول إدخال بعض العوامل المحيرة. في التمثيل البياني الموضح في السؤال، يمتد المحور ﺱ من سالب أربعة إلى أربعة، ويمتد المحور ﺹ من سالب ستة إلى ستة. وهذا لا ينطبق على المحاور في جميع الخيارات.

بالرغم من ذلك، لا يزال بإمكاننا البدء باستبعاد بعض الخيارات. يمكننا أولًا ملاحظة أن التمثيل البياني لمعكوس ﺩﺱ له ميل موجب. بالنظر إلى الخيارين (ب) و(ج)، يمكننا ملاحظة أن كليهما له ميل سالب. ومن ثم، يمكننا حذفهما لأنهما لا يمكن أن يكونا التمثيل البياني لمعكوس ﺩ. بعد ذلك، يمكننا ملاحظة أن التمثيل البياني لمعكوس ﺩ يبدو أن له جزءًا مقطوعًا موجبًا من المحور ﺹ. من بين الخيارين المتبقيين، نجد أن الخيار (أ) له جزء مقطوع موجب من المحور ﺹ، بينما الخيار (د) ليس كذلك. هذا يعني أنه يمكننا استبعاد الخيار (د). هذا يعني أن إجابة السؤال يجب أن تكون الخيار (أ).

قد نرغب أيضًا في التفكير في أن هناك طرقًا أخرى لحل هذه المسألة. على وجه التحديد، يمكننا استخدام حقيقة أن الإحداثيات المناظرة هي أزواج مرتبة عكسية. تخيل أننا لم نعكس الدالة ﺩﺱ حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. بدلًا من ذلك، يمكننا استبعاد الخيارات غير الصحيحة عن طريق اختيار نقطة بذكاء على التمثيل البياني لـ ﺩﺱ. لنختر الجزء المقطوع من المحور ﺹ، وهو عند النقطة سالب واحد، صفر. من خلال عكس هذا الزوج المرتب، نحصل على إحداثيات نقطة مناظرة، والتي نعرف أنها لا بد أن تقع على الخط المستقيم لمعكوس ﺩﺱ. هذه النقطة سيكون إحداثياتها صفر، سالب واحد. يمكننا بعد ذلك استخدام هذه المعطيات بالنظر إلى جميع خيارات التمثيل البياني لمعكوس ﺩﺱ، ومعرفة أي من هذه التمثيلات البيانية يبدو أنه يمر بالنقطة صفر، سالب واحد.

وبالطبع، نحن نعرف الإجابة بالفعل. التمثيل البياني للخيار (أ) يمر بالنقطة صفر، سالب واحد. أما التمثيلات البيانية للخيارات (ب) و(ج) و (د) فلا تمر بها. مرة أخرى، لقد أكدنا على أن التمثيل البياني لمعكوس ﺩﺱ هو الخيار (أ).

دعونا نلق نظرة الآن على مثال آخر.

فيما يلي التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي خمسة ﺱ تكعيب زائد ستة. أوجد تقاطع الدالة العكسية معكوس الدالة ﺩﺱ مع المحور ﺱ.

في البداية، لعلنا نتذكر القاعدة التالية. الدوال العكسية لها تمثيلات بيانية تعكس بعضها بعضًا حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. قد تتمثل إحدى طرق حل هذه المسألة في رسم الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. يمكننا بعد ذلك عكس التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ باستخدام ﺹ يساوي ﺱ باعتباره خط التماثل، ثم إيجاد تقاطع معكوس ﺩﺱ مع المحور ﺱ. تعتمد هذه الطريقة البديلة على حقيقة أن إحداثيات النقاط التي تقع على التمثيلات البيانية للدوال العكسية هي أزواج مرتبة عكسية. بعبارة أخرى، إذا بدلنا الإحداثيين ﺱ وﺹ لنقطة تقع على التمثيل البياني لـ ﺩ، فسنحصل على إحداثيات نقطة مناظرة نعرف أنها تقع على التمثيل البياني لمعكوس ﺩ. لاحظ أيضًا أن هذه العلاقة تسري في الاتجاهين.

حسنًا، نحن نبحث عن تقاطع التمثيل البياني لمعكوس ﺩ مع المحور ﺱ. سيكون لنقطة التقاطع هذه إحداثي ﺹ يساوي صفرًا. دعونا نفترض أن نقطة التقاطع هذه على التمثيل البياني لمعكوس الدالة ﺩ لها الإحداثيات ﺏ، صفر. تذكر أنه يمكننا تبديل هذا الزوج المرتب للحصول على النقطة المناظرة في التمثيل البياني لـ ﺩ. وبالتالي، فإن النقطة المناظرة في التمثيل البياني لـ ﺩ لها الإحداثيات صفر، ﺏ. بعبارة أخرى، ستكون الجزء المقطوع من المحور ﺹ على التمثيل البياني لـ ﺩ. حسنًا، إذن ستكون الطريقة هي إيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ على التمثيل البياني لـ ﺩ، وتبديل الزوج المرتب للحصول على الجزء المقطوع من المحور ﺱ على التمثيل البياني لمعكوس ﺩ.

بالنظر إلى التمثيل البياني لـ ﺩ المعطى في السؤال، يمكننا أن نلاحظ بوضوح أن إحداثيات النقطة عند الجزء المقطوع من المحور صفر، ستة. بتبديل هذا الزوج المرتب، نستنتج أن النقطة المناظرة على التمثيل البياني لمعكوس ﺩ لها الإحداثيات ستة، صفر. وبذلك، نكون قد أجبنا عن السؤال. يقطع التمثيل البياني لمعكوس الدالة ﺩﺱ المحور ﺱ عند النقطة ستة، صفر.

حسنًا، فيما سبق في هذا الفيديو ذكرنا باختصار الدوال الأحادية وعلاقتها بالدوال العكسية. دعونا نستكشف ذلك بمزيد من التفصيل الآن. لقد قلنا إنه إذا كانت ﺩ دالة أحادية، فإن لها دالة عكسية. صحيح أيضًا أنه إذا لم تكن ﺩ دالة أحادية، فلن يكون لها دالة عكسية. دعونا نستكشف سبب حدوث ذلك باستخدام التمثيل البياني التالي. هذه الدالة ﺩﺱ ليست دالة أحادية. إحدى طرق اختبار إذا ما كانت دالة ما دالة أحادية هي استخدام اختبار الخط الأفقي. وينص ذلك على أنه إذا استطعنا رسم خط أفقي يقطع التمثيل البياني عند أكثر من نقطة، فإن التمثيل البياني لا يمثل دالة أحادية، ونقول إن هذه الدالة تفشل في الاختبار.

بالنسبة إلى التمثيل البياني لدينا للدالة ﺩﺱ، نلاحظ بوضوح أنه يمكن رسم خط أفقي يقطع التمثيل البياني عند أكثر من نقطة. هذا يعني أن ﺩﺱ تفشل في الاختبار، ونؤكد أنها ليست دالة أحادية. حسنًا، نحن نعلم أن عكس التمثيل البياني حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ يعطينا التمثيل البياني لمعكوسه. دعونا نلاحظ ما يحدث في هذه الحالة. والآن، يمكننا القيام بذلك على نفس مجموعة المحاور، لكن دعونا نفعل ذلك في مجموعة مختلفة للوضوح. سنسمي هذا التمثيل البياني الجديد مبدئيًّا الدالة العكسية معكوس ﺩﺱ. لكن كما سنرى لاحقًا، ليس الأمر كذلك.

بالنظر إلى هذا التمثيل البياني الجديد، قد نلاحظ إحدى التفاصيل المهمة. تذكر أنه لكي تكون العلاقة عبارة عن دالة، يجب أن يكون لكل قيمة مدخلة قيمة مخرجة مناظرة واحدة فقط. وإحدى طرق اختبار ذلك هي استخدام اختبار الخط الرأسي. سنعدل هذه العبارة التالية لتمثيل اختبار الخط الرأسي الآن. ينص هذا الاختبار على أنه إذا استطعنا رسم خط رأسي يقطع التمثيل البياني عند أكثر من نقطة، فإن التمثيل البياني لا يمثل دالة. فيما سبق في هذا الفيديو، ربما تتذكر أننا قلنا إن مجال ومدى الدالة يمكن أن يتبادلا في الدالة العكسية. إذا استطعنا رسم خط أفقي يتقاطع مع التمثيل البياني الأصلي لـ ﺩﺱ عند أكثر من نقطة، فقد يكون من الواضح الآن أنه يمكننا رسم خط رأسي يتقاطع مع التمثيل البياني الجديد عند أكثر من نقطة. ويمكننا أيضًا ملاحظة ذلك بوضوح في الشكل.

وهذا يعني أن ما نسميه مؤقتا الدالة العكسية معكوس ﺩﺱ ليس دالة على الإطلاق. وبما أن هذه ليست دالة، نقول إن الدالة الأصلية ﺩﺱ ليس لها دالة عكسية. وهناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي كما يلي. انظر إلى الدالة الأصلية ﺩ. توجد قيمتان في مجالها، ﺃ واحد وﺃ اثنان، تناظران القيمة نفسها في مداها، ﺏ واحد. هذا يعني أنه بالنسبة إلى العلاقة التي افترضنا أنها كانت الدالة العكسية لـ ﺩ، والتي نعلم الآن أنها ليست دالة، يجب أن تتناظر القيمة ﺏ واحد، التي أصبحت الآن في مجالها؛ مع القيمتين ﺃ واحد وﺃ اثنين، في مداها.

فكر فيما سيحدث إذا حاولنا استخدام هذه العلاقة لإلغاء عمل الدالة الأصلية ﺩ للقيمة المخرجة ﺏ واحد. لا يمكن أن يوضح لنا المعكوس المقترح إذا ما كانت القيمة المدخلة الأصلية ﺃ واحد أو ﺃ اثنين. ولهذا السبب، نقول إنه إذا كان هناك شيء ما لا يعتبر دالة أحادية، فلن يكون له دالة عكسية. دعونا نلق نظرة على مثال لتوضيح ذلك.

حدد أي من الدوال التالية ليس لها دالة عكسية.

للإجابة عن هذا السؤال، سنستخدم حقيقة أنه إذا لم تكن الدالة أحادية، فلن يكون لها دالة عكسية. ويمكننا اختبار الدوال الأحادية باستخدام اختبار الخط الأفقي. ونستنتج من هذا أنه إذا استطعنا رسم خط أفقي يقطع التمثيل البياني عند أكثر من نقطة، فهذا لا يمثل دالة أحادية. ونقول إن التمثيل البياني يفشل في الاختبار.

بعد النظر جيدًا في الخيارات، ينبغي أن يتضح أنه لا يوجد سوى تمثيل بياني واحد يمكننا رسم خط أفقي عليه بحيث يقطع التمثيل البياني عند أكثر من نقطة. وهي الدالة ﺭ لـ ﺱ. لقد وجدنا أن ﺭ لـ ﺱ تفشل في اختبار الخط الأفقي. وهذا يعني أنها ليست دالة أحادية، ومن ثم لا توجد لها دالة عكسية. إذن، إجابة هذا السؤال هي الخيار (ب). الدالة ﺭ لـ ﺱ ليس لها دالة عكسية، لكن الخيارات الثلاثة الأخرى لها ذلك، حيث إنها اجتازت اختبار الخط الأفقي.

دعونا نلق نظرة الآن على مثال أخير.

من خلال رسم التمثيلات البيانية للدوال الآتية، أيها تمثل الدالة العكسية لنفسها؟

هذا السؤال وجهنا إلى رسم هذه التمثيلات البيانية الأربعة، وبالتالي ينبغي أن تكون هذه هي الخطوة الأولى. عند هذه النقطة، لا بد أن تكون على دراية برسم التمثيلات البيانية. ولكي تتجنب الخوض في تفاصيل لا داعي لها، هذا الفيديو سيوفرها ببساطة. ولكن قد ترغب في إثبات صحة هذه التمثيلات البيانية بنفسك عن طريق رسم جدول صغير من القيم أو باستخدام برامج رسم التمثيلات البيانية. أولًا، لدينا التمثيل البياني لواحد على ﺱ. بعد ذلك، لدينا التمثيل البياني لـ ﺱ تربيع، وهو الشكل المألوف للقطع المكافئ. لدينا بعد ذلك التمثيل البياني لـ ﺱ تكعيب، وأخيرًا التمثيل البياني لواحد على ﺱ تربيع.

لمتابعة حل هذا السؤال، نتذكر القاعدة التالية. الدوال العكسية لها تمثيلات بيانية تعكس بعضها بعضًا حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. وهذا يعني أن التمثيل البياني الذي هو معكوس نفسه متماثل حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. ما يعنيه هذا هو أنه إذا كانت الدالة هي معكوس الدالة نفسها عند عكسها حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ، فإن الدالة الناتجة ستكون هي نفسها الدالة الأصلية. قد تتمكن بالفعل من ملاحظة الإجابة، لكن دعونا نعكس الآن جميع الدوال الموجودة حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ الآن. نعكس أولًا واحد على ﺱ، ثم ﺱ تربيع، ثم ﺱ تكعيب، وأخيرًا واحد على ﺱ تربيع.

بعد القيام بذلك، ينبغي أن يتضح لنا أن انعكاس التمثيل البياني واحد على ﺱ هو نفسه. إنه أيضًا التمثيل البياني لواحد على ﺱ. انعكاسات الخيارات الثلاثة الأخرى مختلفة. هذا يعني أن الدوال العكسية مختلفة عن الدالة الأصلية. ومن ثم، فإن ﺱ تربيع وﺱ تكعيب وواحد على ﺱ تربيع ليست دوال عكسية لنفسها. هناك ملاحظة جانبية صغيرة في الخيارين (ب) و(د)، وهي أن الانعكاسات ليست دوال على الإطلاق. هذان التمثيلان البيانيان سيفشلان في اختبار الخط الرأسي. وبما أن التمثيلين البيانيين ليسا دالتين على الإطلاق، يمكننا القول إن ﺱ تربيع وواحد على ﺱ تربيع ليس لهما دالة عكسية. حسنًا، بالعودة إلى السؤال، ينبغي أن يكون من الواضح أن الخيار (أ) هو التمثيل البياني الوحيد الذي يكون فيه العنصران الأصليان وانعكاساهما متساويين. هذا يعني أن من بين الخيارات التي لدينا واحدًا على ﺱ هو الدالة الوحيدة التي تساوي معكوسها.

وفي النهاية، نختم هذا الفيديو بمراجعة بعض النقاط الأساسية. إذا كانت ﺩ دالة أحادية، فإن لها دالة عكسية يمكن تمثيلها باستخدام الترميز التالي. يمكننا أن نقول إنها الدالة العكسية لـ ﺩ. إذا لم تكن ﺩ دالة أحادية، فلن يكون لها دالة عكسية. يمكننا أن نفكر في الدوال العكسية بأنها تلغي بعضها عمل البعض. ويمكن تمثيل ذلك على صورة تركيب دالة كالآتي. الدوال العكسية لها تمثيلات بيانية تعكس بعضها بعضًا حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. يمكن اعتبار إحداثيات النقاط التي تقع على التمثيلات البيانية للدوال العكسية أزواجًا مرتبة عكسية. ولاحظنا أن هذا يمكن تفسيره على أنه مجال الدالة ومداها يتم تبديلهما معًا عند إيجاد مجال معكوسها ومداه. وأخيرًا، بعض الدوال تساوي معكوسها. يكون للتمثيلات البيانية لهذه الدوال تماثل انعكاسي حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.