تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: التمثيل البياني لمعكوس الدالة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم التمثيل البياني لإيجاد معكوس الدالة، ونحلِّل التمثيلات البيانية لمعكوس الدالة.

العلاقة، أو التطبيق، هما ربط عناصر مجموعة ما بعناصر مجموعة أخرى. وإذا كانت لكلِّ قيمة مُدخَلة في هذا التطبيق قيمة مُخرَجة واحدة فقط، فإنها تُسمَّى دالة.

تعريف: الدوال

تربط الدالة كلَّ عنصر من مجموعة المُدخَلات بعنصر واحد فقط من مجموعة المُخرَجات. يُمكن أن تكون الدوال أحادية (كلُّ قيمة مُدخَلة لها قيمة مُخرَجة واحدة)، ويُمكن أن تكون دوالَّ متعدِّد إلى واحد (العديد من القِيَم المُدخَلة تُربَط بالقيمة المُخرَجة نفسها).

إذا كانت الدالة 󰎨 تَربِط عناصر المجموعة 𞹎 بعناصر المجموعة 𞹑، يُمكننا استخدام الترميز الآتي: 󰎨𞹎𞹑.

تُسمَّى مجموعة القِيَم التي يُمكن أن تكون قيمًا مدخلة للدالةِ المجالَ، أمَّا مجموعة العناصر الناتِجة فتُسمَّى المدى.

إذا كانت 󰎨 دالة أحادية، إذن نقول إنها قابلة للعكس. بعبارة أخرى، تُوجَد دالة عكسية لهذه الدالة، مُعرَّفة بـ 󰎨١؛ حيث ينطبق عليها التعريف الآتي.

تعريف: الدوال العكسية

نفترض أن 󰎨 دالة، مجالها هو المجموعة 𞹎، ومداها هو المجموعة 𞹑. تكون 󰎨١ هي الدالة العكسية للدالة 󰎨، ويكون مجالها هو المجموعة 𞹑، ومداها هو المجموعة 𞹎، إذا كان: 󰎨(󰎨(𞸎))=𞸎𞸎𞹎،󰎨󰁓󰎨(𞸑)󰁒=𞸑𞸑𞹑.١١ََِِ

بعبارة أخرى، الدالة العكسية «تعكس» الدالة الأصلية. نأخذ على سبيل المثال الدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎. 󰎨 تأخذ قِيَم 𞸎 وتضربها في ٢. معكوس الدالة 󰎨 هي الدالة التي «تعكس» هذه العملية؛ ومن ثَمَّ 󰎨(𞸎)=𞸎٢١. نلاحِظ أنه على الرغم من وجود عمليات جبرية لحساب معكوس الدالة، فإن استعراض ذلك بمزيد من التفصيل يقع خارج نطاق هذا الشارح.

عن طريق رسم التمثيل البياني لـ 𞸑=٢𞸎، 𞸑=𞸎٢ على مجموعة المحاور نفسها، يُمكننا تحديد التحويل المنفرد الذي يَربِط التمثيل البياني للدالة ودالتها العكسية.

التمثيل البياني لـ 𞸑=٢𞸎 يُحَوَّل إلى التمثيل البياني لـ 𞸑=𞸎٢ من خلال انعكاس منفرد حول الخط المستقيم 𞸑=𞸎. ويُمكن تعميم ذلك على أيِّ دالة 󰎨 قابلة للعكس.

خاصية: التمثيل البياني للدالة العكسية

إذا كانت 󰎨 دالة قابلة للعكس، إذن يكون التمثيل البياني لـ 𞸑=󰎨(𞸎)١ هو نفس التمثيل البياني للمعادلة 𞸎=󰎨(𞸑). ويُمكن الحصول على هذا عن طريق إجراء انعكاس للتمثيل البياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) حول الخط المستقيم 𞸑=𞸎.

هذا يُكافئ تبديل مكانَيْ 𞸎، 𞸑 في الدالة، وهكذا يُمكن إيجاد أيِّ نقطة تقع على التمثيل البياني للدالة العكسية بتبديل قيمتَي الإحداثيين 𞸎، 𞸑 للنقطة المناظِرة على التمثيل البياني للدالة الأصلية. على سبيل المثال، النقطة ذات الإحداثيين (٠١،٥) تقع على الخط المستقيم 𞸑=٢𞸎؛ ومن ثَمَّ يكون إحداثيا صورة هذه النقطة على الخط المستقيم 𞸑=𞸎٢ هما (٥،٠١).

في المثال الأول، سنستعرض كيف نتعرَّف على التمثيل البياني لدالة عكسية بمعلومية التمثيل البياني للدالة الأصلية.

مثال ١: تحديد التمثيل البياني لمعكوس دالة ما

فيما يأتي التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎١.

أيُّ تمثيل بياني يعبِّر عن الدالة العكسية 󰎨(𞸎)١؟

الحل

تذكَّر أنه إذا كانت لدينا الدالة 󰎨، نحصل على التمثيل البياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎)١ عن طريق إجراء انعكاس للتمثيل البياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) حول الخط المستقيم 𞸑=𞸎. وهذا يُكافئ تبديل قيمتَي الإحداثيين 𞸎، 𞸑 لكلِّ نقطة تقع على الخط المستقيم 𞸑=󰎨(𞸎).

لنبدأ بتحديد أيِّ ثلاث نقاط على المستقيم 𞸑=٢𞸎١. سنختار (٠،١)، (١،١)، (٢،٣).

لإيجاد النقاط المُناظِرة على التمثيل البياني لمعكوس الدالة 󰎨، نبدِّل قيمتَي الإحداثيين 𞸎، 𞸑. ومن ثَمَّ، فإن صُوَر النقاط تكون (١،٠)، (١،١)، (٣،٢)، على الترتيب. وبإضافة خطٍّ مستقيم يمرُّ بهذه النقاط، نحصل على التمثيل البياني للدالة العكسية 𞸑=󰎨(𞸎)١. نلاحِظ من الرسم الآتي أن هذا انعكاسٌ للتمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎١ حول الخط المتقطِّع 𞸑=𞸎.

إذن الإجابة الصحيحة هي (𞸀).

في المثال السابق، أوضحنا أنه بتطبيق تعريف الدالة العكسية، يُمكننا ربط النقاط على التمثيل البياني للدالة بصُوَر هذه النقاط على التمثيل البياني للدالة العكسية. في المثال الآتي، سنُجري عملية مشابِهة على دالة تكعيبية.

مثال ٢: ربط التمثيل البياني لدالة ما بالتمثيل البياني للدالة العكسية لها

فيما يأتي التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=٥𞸎+٦٣. أوجد تقاطع الدالة العكسية 󰎨(𞸎)١ مع المحور 𞸎.

الحل

تذكَّر أنه يُمكننا إيجاد التمثيل البياني لدالة عكسية ما عن طريق إجراء انعكاس للتمثيل البياني للدالة الأصلية حول الخط المستقيم 𞸑=𞸎. وبذلك نكون قد بدَّلنا كلًّا من 𞸎، 𞸑 بالآخَر. وهذا يعني أنه إذا كانت النقطة التي يقع عندها الجزء المقطوع من المحور 𞸑 لمنحنى الدالة 𞸑=󰎨(𞸎) هي (٠،𞸀)؛ حيث 𞸀 عدد حقيقي، تكون صورة هذه النقطة على منحنى 𞸑=󰎨(𞸎)١ هي (𞸀،٠). هذه هي قيمة الجزء المقطوع من المحور 𞸎. إذن لإيجاد تقاطع منحنى الدالة العكسية 󰎨(𞸎)١ مع المحور 𞸎، سنُوجِد نقاط تقاطع منحنى 󰎨(𞸎) مع المحور 𞸑، ونبدِّل قيمة كلٍّ من 𞸎، 𞸑 بالأخرى.

منحنى 𞸑=󰎨(𞸎) يمرُّ بالمحور 𞸑 عند (٠،٦). وهذا يعني أن منحنى الدالة 𞸑=󰎨(𞸎)١ يمرُّ بالمحور 𞸎 عند (٦،٠).

لنوضِّح ذلك بيانيًّا. منحنى الدالة 󰎨(𞸎)=٥𞸎+٦٣ ينعكس حول الخط المتقطِّع 𞸑=𞸎، كما هو موضَّح. ويكون الجزء المقطوع من المحور 𞸎 هو ٦، كما هو متوقَّع.

في المثال السابق، رأينا أنه إذا كانت النقطة التي يقع عندها الجزء المقطوع من المحور 𞸑 على منحنى 𞸑=󰎨(𞸎) هي (٠،𞸀)؛ حيث 𞸀 عدد حقيقي، تكون صورة هذه النقطة على منحنى 𞸑=󰎨(𞸎)١ هي (𞸀،٠). ومن ثَمَّ، لا بدَّ أن يكون العكس صحيحًا أيضًا. وبالمثل، إذا كانت النقطة التي يقع عندها الجزء المقطوع من المحور 𞸎 على منحنى الدالة 𞸑=󰎨(𞸎) هي (𞸁،٠)؛ حيث 𞸁 عدد حقيقي، تكون صورة هذه النقطة على منحنى 𞸑=󰎨(𞸎)١ هي (٠،𞸁).

في الحقيقة، يُمكننا استنتاج المزيد من المعلومات حول مجال ومدى الدوال ودوالها العكسية. وبما أن مُخرَجات 󰎨 هي مُدخَلات 󰎨١، يكون مدى 󰎨 هو مجال 󰎨١ أيضًا. وبالمثل، بما أن مُدخَلات 󰎨 هي مُخرَجات 󰎨١ يكون مجال 󰎨 هو مدى 󰎨١. وعلاوة على ذلك، إذا لم يكن للدالة دالة عكسية، فقد يكون من المُمكِن تقييد مجال تلك الدالة بحيث يكون لهذه الدالة الجديدة معكوس.

على سبيل المثال، انظر الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٢ الموضَّح منحناها فيما يأتي. هذه الدالة تفشل في اختبار الخط الأفقي، كما هو موضَّح بالأسفل؛ ومن ثَمَّ لا تكون أحادية.

وهذا يعني أنه إذا عكسنا منحنى حول الخط المستقيم 𞸑=𞸎، يفشل المنحنى الناتِج في اختبار الخط الرأسي؛ فذلك يمثِّل تحويلًا من متعدِّد إلى واحد؛ ومن ثَمَّ، فإنه ليس تمثيلًا بيانيًّا لدالة. ومن ثَمَّ، الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٢ ليس لها معكوس.

ومع ذلك، بتقييد مجال الدالة 󰎨 إلى [٠،[؛ سيجتاز منحنى الدالة اختبار الخط الأفقي، وتُصبح الآن قابلة للعكس. ويُمكن إيجاد منحنى معكوس الدالة بإجراء انعكاس لمنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) حول الخط المستقيم 𞸑=𞸎؛ حيث يكون مدى 󰎨١ هو مجال 󰎨؛ أيِ الفترة [٠،[.

خاصية: مجال ومدى الدوال العكسية

مدى الدالة الأحادية 󰎨(𞸎) هو مجال الدالة العكسية 󰎨(𞸎)١.

ومجال الدالة 󰎨(𞸎) هو مدى 󰎨(𞸎)١.

في المثال الآتي، سنستعرض كيف نطبِّق العلاقة بين التمثيل البياني لدالة والتمثيل البياني للدالة العكسية لها لإيجاد نقاط تقاطعهما.

مثال ٣: استخدام العلاقة بين دالة ما والدالة العكسية لها لإيجاد قيم المجاهيل

التمثيلان البيانيان للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+𞸢٣، ودالتها العكسية 󰎨(𞸎)١ يتقاطعان في ثلاث نقاط؛ حيث إحداهما 󰂔٤٥،٤٥󰂓.

  1. أوجد قيمة 𞸢.
  2. أوجد قيمة الإحداثي 𞸎 للنقطة 󰏡 الموجودة بالشكل.
  3. أوجد قيمة الإحداثي 𞸎 للنقطة 𞸁 الموجودة بالشكل.

الحل

الجزء الأول

بما أن منحنى الدالة 𞸑=󰎨(𞸎) يمرُّ بالنقطة 󰂔٤٥،٤٥󰂓، يُمكننا التعويض بـ 𞸎=٤٥، 󰎨(𞸎)=٤٥ في المعادلة 󰎨(𞸎)=𞸎+𞸢٣، لإيجاد قيمة 𞸢: 󰎨(𞸎)=𞸎+𞸢٤٥=󰂔٤٥󰂓+𞸢٤٥=٤٦٥٢١+𞸢.٣٣

بالحلِّ لإيجاد قيمة 𞸢: 𞸢=٤٥٤٦٥٢١𞸢=٦٣٥٢١.

الجزء الثاني

يوضِّح الشكل منحنى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+٦٣٥٢١٣ ومنحنى دالتها العكسية. وبما أن قيمة الجزء المقطوع من المحور 𞸑 لمنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) هي ٦٣٥٢١>٠، إذن يمثِّل المنحنى الأحمر 𞸑=󰎨(𞸎). وهذا يعني أن المنحنى الأزرق يمثِّل 𞸑=󰎨(𞸎)١. ومن ثَمَّ، يُمكننا إيجاد إحداثيَّي النقطة 󰏡؛ حيث يقع الجزء المقطوع من المحور 𞸎 للدالة العكسية، عن طريق إيجاد النقطة التي يقع عندها الجزء المقطوع من المحور 𞸑 للدالة الأصلية وتبديل كلٍّ من 𞸎، 𞸑 بالآخَر. وهذا يُكافئ إجراء انعكاس لهذه النقطة حول الخط المستقيم 𞸑=𞸎.

وبذلك، يكون الجزء المقطوع من المحور 𞸑 لـ 󰎨(𞸎) عند 󰂔٠،٦٣٥٢١󰂓. من ثَمَّ، يكون الجزء المقطوع من المحور 𞸎 للدالة 󰎨(𞸎)١ عند 󰂔٦٣٥٢١،٠󰂓

وبذلك، تكون قيمة الإحداثي 𞸎 للنقطة 󰏡 هي ٦٣٥٢١.

الجزء الثالث

تذكَّر أن منحنى الدالة 𞸑=󰎨(𞸎) يتحوَّل إلى منحنى الدالة 𞸑=󰎨(𞸎)١ من خلال إجراء انعكاس حول الخط المستقيم 𞸑=𞸎. وبما أن النقطة 𞸁 هي نقطة تقاطع منحنى 𞸑=󰎨(𞸎)، ومنحنى 𞸑=󰎨(𞸎)١، إذن لا بدَّ أنها تقع على الخط المستقيم 𞸑=𞸎.

ومن ثَمَّ، يُمكن إيجاد نقطة التقاطع بحلِّ نظام المعادلتين: 𞸑=𞸎+٦٣٥٢١،𞸑=𞸎.٣

بالتعويض بـ 𞸑=𞸎 في المعادلة الأولى وإعادة ترتيبها، يكون لدينا: 𞸎=𞸎+٦٣٥٢١𞸎𞸎+٦٣٥٢١=٠.٣٣

وبما أن إحدى نقاط التقاطع بها 𞸎=٤٥، نعلم أن (٥𞸎٤) هو أحد عوامل المقدار 𞸎𞸎+٦٣٥٢١٣.

بقسمة 𞸎𞸎+٦٣٥٢١٣ على ٥𞸎٤، يكون لدينا العامل ١٥٢١󰁓٥٢𞸎+٠٢𞸎٩󰁒٢. ومن ثَمَّ، يُمكن كتابة المعادلة السابقة على الصورة: ١٥٢١(٥𞸎٤)󰁓٥٢𞸎+٠٢𞸎٩󰁒=٠.٢

وأخيرًا، بتطبيق الصيغة التربيعية على المعادلة ٥٢𞸎+٠٢𞸎٩=٠٢، نجد أن الحلَّين هما: 𞸎=󰋴٣١٢٥،𞸎=󰋴٣١٢٥.

وبما أن نقطة التقاطع تقع في الربع الأول، فلا بدَّ أن تكون قيمة الإحداثي 𞸎 لها موجبة.

ومن ثَمَّ، تكون قيمة الإحداثي 𞸎 للنقطة 𞸁 هي 𞸎=󰋴٣١٢٥.

لنوضِّح الآن كيف نطبِّق خواص التمثيلات البيانية للدوال العكسية لنرسم دالة ومعكوسها.

مثال ٤: إيجاد التمثيل البياني لدالة تمثِّل الدالة العكسية لنفسها

من خلال رسم التمثيلات البيانية للدوال الآتية، أيُّها تُمثِّل الدالة العكسية لنفسها؟

  1. ١𞸎
  2. 𞸎٢
  3. 𞸎٣
  4. ١𞸎٢

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، سنرسم التمثيل البياني لكلِّ دالة على حِدَةٍ، ونبدأ بالتمثيل البياني للدالة 𞸑=١𞸎. هذه دالة مقلوب، وخطَّا التقارب لها هما 𞸑=٠، 𞸎=٠.

بما أن إيجاد الدالة العكسية يُكافئ تبديل كلٍّ من 𞸎، 𞸑 بالآخَر في الدالة، سيكون خطَّا التقارب لمعكوس الدالة ١𞸎 هما 𞸎=٠، 𞸑=٠. لرسم التمثيل البياني للدالة العكسية، نعكس التمثيل البياني للدالة الأصلية حول الخط المستقيم 𞸑=𞸎.

ويحوِّل هذا الانعكاس منحنى الدالة 𞸑=١𞸎 إلى المنحنى نفسه، إذن الإجابة هي (أ).

سنتحقَّق من ذلك عن طريق التحقُّق من الدوال الثلاث الأخرى، وسنبدأ بالدالة 𞸎٢. الدالة 𞸎٢ دالة متعدِّد إلى واحد؛ ومن ثَمَّ فهي غير قابلة للعكس، دون وضْع بعض القيود على مجالها. وبالمثل ١𞸎٢ دالة متعدِّد إلى واحد، وليس لها دالة عكسية.

الدالة التالية هي 𞸎٣. وهذه دالة تكعيبية تمرُّ بنقطة الأصل.

بإجراء انعكاس لمنحنى الدالة حول الخط المستقيم 𞸑=𞸎، يكون لدينا الشكل الآتي:

وبما أن منحنى الدالة لا يتحوَّل ليصبح هو نفس منحنى الدالة العكسية، فلا يُمكن أن تكون الإجابة (جـ)

إذن الإجابة الصحيحة هي (أ)؛ أيْ ١𞸎.

في المثال الأخير، سنوضِّح كيف أن تقييد مجال الدالة يُمكن أن يجعلها قابلة للعكس.

مثال ٥: رسم التمثيل البياني للدوال لتحديد إذا ما كانت دوال عكسية

بعد رسم التمثيلين البيانيين للدالتين 󰎨(𞸎)=٢𞸎٢، 𞸓(𞸎)=󰋺𞸎٢؛ حيث 𞸎٠، حدِّد إذا ما كانت هاتان الدالتان عكسيتين.

الحل

الدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎٢ دالة متعدِّد إلى واحد؛ أيْ إن عدَّة مُدخَلات لهذه الدالة ستكون لها القيمة المُخرَجة نفسها. وهذا يعني أنها ليست دالة قابلة للعكس. وعلى الرغم من ذلك، عند تقييد مجالها ليصبح 𞸎٠، نتجت دالة أحادية لها دالة عكسية.

وبما أن الدالة ٢𞸎٢ دالة تربيعية ومعاملها الرئيسي موجب، تكون عبارة عن قطع مكافئ على شكل حرف U يمرُّ بنقطة الأصل. وبتقييد منحناها على الفترة التي تكون فيها قيم 𞸎٠، يكون لدينا الشكل الآتي.

سنرسم الآن التمثيل البياني للدالة 𞸑=󰋺𞸎٢ على نفس المحورين. هذا تحويل لمنحنى الدالة 𞸑=󰋴𞸎، ويمثِّل تمدُّدًا أفقيًّا بمعامل قياس مقداره ٢. وفيما يأتي التمثيل البياني له.

يبدو أن هاتين الدالتين عكسيتان إحداهما للأخرى؛ لأنه يبدو أن منحنى كلٍّ منهما انعكس حول الخط المستقيم 𞸑=𞸎. وسنتحقَّق من خلال النظر إلى نقطة تقاطعهما. إذا كانت نقطة التقاطع تقع على الخط المستقيم 𞸑=𞸎، فستكون قيمتا الإحداثيين 𞸎، 𞸑 لها متساويتين.

لإيجاد هذه النقطة، سنحلُّ ٢𞸎=󰋺𞸎٢٢: ٤𞸎=𞸎٢٨𞸎𞸎=٠𞸎󰁓٨𞸎١󰁒=٠.٤٤٣

ويكون حلَّا هذه المعادلة هما: 𞸎=٠، أو 𞸎=󰋺١٨=١٢٣.

التعويض بـ 𞸎=١٢ في أيِّ دالة من الدالتين يُعطينا 𞸑=٢×󰂔١٢󰂓=١٢٢. وبما أن قيمتَيْ 𞸎، 𞸑 متساويتان، نعلم أن نقطة تقاطع المنحنيين تقع على الخط المستقيم 𞸑=𞸎.

وبالمثل، التعويض بـ 𞸎=٠ في أيِّ دالة من الدالتين، يُعطينا 𞸑=٠. النقطة (٠،٠) أيضًا تقع على الخط المستقيم 𞸑=𞸎، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

ويُمكننا أيضًا التحقُّق إذا ما كانت هاتان الدالتان تمثِّلان معكوسًا إحداهما للأخرى من خلال النظر إلى بعض النقاط على كلِّ منحنًى.

النقطة (١،٢) تقع على المنحنى 𞸑=٢𞸎٢. وصورة هذه النقطة بعد الانعكاس حول 𞸑=𞸎 هي (٢،١). وإذا كانت تقع على المنحنى 𞸑=󰋺𞸎٢، فالتعويض بـ 𞸎=٢ في هذه المعادلة سيُعطينا 𞸑=١: 𞸑=󰋺𞸎٢=󰋺٢٢=󰋴١=١.

صورة النقطة (١،٢) بعد الانعكاس حول 𞸑=𞸎 تقع على المنحنى 𞸑=󰋺𞸎٢. ومن ثَمَّ، يتَّضِح أن الدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎٢، والدالة 𞸓(𞸎)=󰋺𞸎٢؛ حيث 𞸎٠ تمثِّلان معكوسًا إحداهما للأخرى.

وبالطبع، على الرغم من أننا تناولنا عددًا من النقاط، فهذا ليس كافيًا. يُمكننا التحقُّق من ذلك باستخدام برنامج للتمثيل البياني لرسم منحنى كلٍّ منهما وانعكاسه حول 𞸑=𞸎.

في المثال السابق، أوضحنا كيف نحدِّد سلسلة من النقاط بعد انعكاسها حول الخط المستقيم 𞸑=𞸎، ونستخدم هذه المعلومات لتحديد إذا ما كانت الدالتان عكسيتين إحداهما للأخرى.

يُمكننا التحقُّق من إجابتنا بطريقة أكثر منهجية عن طريق استخدام تعريف الدالة العكسية؛ إذا كانت 󰎨 دالة، مجالها هو المجموعة 𞹎، ومداها هو المجموعة 𞹑، تكون 󰎨١ هي الدالة العكسية للدالة 󰎨، ويكون مجالها هو المجموعة 𞹑، ومداها هو المجموعة 𞹎، إذا كان: 󰎨(󰎨(𞸎))=𞸎𞸎𞹎،󰎨󰁓󰎨(𞸑)󰁒=𞸑𞸑𞹑.١١ََِِ

بإيجاد الدالة المركَّبة 󰎨(𞸓(𞸎))، يكون لدينا: 󰎨(𞸓(𞸎))=󰎨󰃭󰋺𞸎٢󰃬=٢󰃭󰋺𞸎٢󰃬=٢󰂔𞸎٢󰂓=𞸎.٢

وبالمثل: 𞸓(󰎨(𞸎))=𞸓󰁓٢𞸎󰁒=󰋺٢𞸎٢=𞸎.٢٢

إذن فهما دالتان عكسيتان.

دعونا نختم بتلخيص المفاهيم الرئيسية لهذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • إذا كانت 󰎨 دالة، مجالها هو المجموعة 𞹎، ومداها هو المجموعة 𞹑، تكون 󰎨١ هي الدالة العكسية للدالة 󰎨، ويكون مجالها هو المجموعة 𞹑، ومداها هو المجموعة 𞹎، إذا كان: 󰎨(󰎨(𞸎))=𞸎𞸎𞹎،󰎨󰁓󰎨(𞸑)󰁒=𞸑𞸑𞹑.١١ََِِ
  • إذا كانت 󰎨 دالة قابلة للعكس، فإن التمثيل البياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎)١ يكون هو التمثيل البياني نفسه للمعادلة 𞸎=󰎨(𞸑). ويُمكن الحصول على هذا عن طريق إجراء انعكاس للتمثيل البياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) حول الخط المستقيم 𞸑=𞸎.
  • مدى الدالة الأحادية 󰎨(𞸎) هو مجال الدالة العكسية 󰎨(𞸎)١، أمَّا مجال الدالة 󰎨(𞸎) فهو مدى الدالة 󰎨(𞸎)١.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.