شارح الدرس: التمثيل البياني لمعكوس الدالة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: تحديد التمثيل البياني لمعكوس دالة ما

فيما يأتي التمثيل البياني للدالة .

أيُّ تمثيل بياني يعبِّر عن الدالة العكسية ؟

الحل

تذكَّر أنه إذا كانت لدينا الدالة ، نحصل على التمثيل البياني للدالة عن طريق إجراء انعكاس للتمثيل البياني للدالة حول الخط المستقيم . وهذا يُكافئ تبديل قيمتَي الإحداثيين ، لكلِّ نقطة تقع على الخط المستقيم .

لنبدأ بتحديد أيِّ ثلاث نقاط على المستقيم . سنختار ، ، .

لإيجاد النقاط المُناظِرة على التمثيل البياني لمعكوس الدالة ، نبدِّل قيمتَي الإحداثيين ، . ومن ثَمَّ، فإن صُوَر النقاط تكون ، ، ، على الترتيب. وبإضافة خطٍّ مستقيم يمرُّ بهذه النقاط، نحصل على التمثيل البياني للدالة العكسية . نلاحِظ من الرسم الآتي أن هذا انعكاسٌ للتمثيل البياني للدالة حول الخط المتقطِّع .

إذن الإجابة الصحيحة هي ().

مثال ٢: ربط التمثيل البياني لدالة ما بالتمثيل البياني للدالة العكسية لها

فيما يأتي التمثيل البياني للدالة . أوجد تقاطع الدالة العكسية مع المحور .

الحل

تذكَّر أنه يُمكننا إيجاد التمثيل البياني لدالة عكسية ما عن طريق إجراء انعكاس للتمثيل البياني للدالة الأصلية حول الخط المستقيم . وبذلك نكون قد بدَّلنا كلًّا من ، بالآخَر. وهذا يعني أنه إذا كانت النقطة التي يقع عندها الجزء المقطوع من المحور لمنحنى الدالة هي ؛ حيث عدد حقيقي، تكون صورة هذه النقطة على منحنى هي . هذه هي قيمة الجزء المقطوع من المحور . إذن لإيجاد تقاطع منحنى الدالة العكسية مع المحور ، سنُوجِد نقاط تقاطع منحنى مع المحور ، ونبدِّل قيمة كلٍّ من ، بالأخرى.

منحنى يمرُّ بالمحور عند . وهذا يعني أن منحنى الدالة يمرُّ بالمحور عند .

لنوضِّح ذلك بيانيًّا. منحنى الدالة ينعكس حول الخط المتقطِّع ، كما هو موضَّح. ويكون الجزء المقطوع من المحور هو ٦، كما هو متوقَّع.

مثال ٣: استخدام العلاقة بين دالة ما والدالة العكسية لها لإيجاد قيم المجاهيل

التمثيلان البيانيان للدالة ، ودالتها العكسية يتقاطعان في ثلاث نقاط؛ حيث إحداهما .

1. أوجد قيمة .
2. أوجد قيمة الإحداثي للنقطة الموجودة بالشكل.
3. أوجد قيمة الإحداثي للنقطة الموجودة بالشكل.

الحل

الجزء الأول

بما أن منحنى الدالة يمرُّ بالنقطة ، يُمكننا التعويض بـ ، في المعادلة ، لإيجاد قيمة :

بالحلِّ لإيجاد قيمة :

الجزء الثاني

يوضِّح الشكل منحنى الدالة ومنحنى دالتها العكسية. وبما أن قيمة الجزء المقطوع من المحور لمنحنى هي ، إذن يمثِّل المنحنى الأحمر . وهذا يعني أن المنحنى الأزرق يمثِّل . ومن ثَمَّ، يُمكننا إيجاد إحداثيَّي النقطة ؛ حيث يقع الجزء المقطوع من المحور للدالة العكسية، عن طريق إيجاد النقطة التي يقع عندها الجزء المقطوع من المحور للدالة الأصلية وتبديل كلٍّ من ، بالآخَر. وهذا يُكافئ إجراء انعكاس لهذه النقطة حول الخط المستقيم .

وبذلك، يكون الجزء المقطوع من المحور لـ عند . من ثَمَّ، يكون الجزء المقطوع من المحور للدالة عند

وبذلك، تكون قيمة الإحداثي للنقطة هي .

الجزء الثالث

تذكَّر أن منحنى الدالة يتحوَّل إلى منحنى الدالة من خلال إجراء انعكاس حول الخط المستقيم . وبما أن النقطة هي نقطة تقاطع منحنى ، ومنحنى ، إذن لا بدَّ أنها تقع على الخط المستقيم .

ومن ثَمَّ، يُمكن إيجاد نقطة التقاطع بحلِّ نظام المعادلتين:

بالتعويض بـ في المعادلة الأولى وإعادة ترتيبها، يكون لدينا:

وبما أن إحدى نقاط التقاطع بها ، نعلم أن هو أحد عوامل المقدار .

بقسمة على ، يكون لدينا العامل . ومن ثَمَّ، يُمكن كتابة المعادلة السابقة على الصورة:

وأخيرًا، بتطبيق الصيغة التربيعية على المعادلة ، نجد أن الحلَّين هما:

وبما أن نقطة التقاطع تقع في الربع الأول، فلا بدَّ أن تكون قيمة الإحداثي لها موجبة.

ومن ثَمَّ، تكون قيمة الإحداثي للنقطة هي .

مثال ٤: إيجاد التمثيل البياني لدالة تمثِّل الدالة العكسية لنفسها

من خلال رسم التمثيلات البيانية للدوال الآتية، أيُّها تُمثِّل الدالة العكسية لنفسها؟

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، سنرسم التمثيل البياني لكلِّ دالة على حِدَةٍ، ونبدأ بالتمثيل البياني للدالة . هذه دالة مقلوب، وخطَّا التقارب لها هما ، .

بما أن إيجاد الدالة العكسية يُكافئ تبديل كلٍّ من ، بالآخَر في الدالة، سيكون خطَّا التقارب لمعكوس الدالة هما ، . لرسم التمثيل البياني للدالة العكسية، نعكس التمثيل البياني للدالة الأصلية حول الخط المستقيم .

ويحوِّل هذا الانعكاس منحنى الدالة إلى المنحنى نفسه، إذن الإجابة هي (أ).

سنتحقَّق من ذلك عن طريق التحقُّق من الدوال الثلاث الأخرى، وسنبدأ بالدالة . الدالة دالة متعدِّد إلى واحد؛ ومن ثَمَّ فهي غير قابلة للعكس، دون وضْع بعض القيود على مجالها. وبالمثل دالة متعدِّد إلى واحد، وليس لها دالة عكسية.

الدالة التالية هي . وهذه دالة تكعيبية تمرُّ بنقطة الأصل.

بإجراء انعكاس لمنحنى الدالة حول الخط المستقيم ، يكون لدينا الشكل الآتي:

وبما أن منحنى الدالة لا يتحوَّل ليصبح هو نفس منحنى الدالة العكسية، فلا يُمكن أن تكون الإجابة (جـ)

إذن الإجابة الصحيحة هي (أ)؛ أيْ .

مثال ٥: رسم التمثيل البياني للدوال لتحديد إذا ما كانت دوال عكسية

بعد رسم التمثيلين البيانيين للدالتين ، ؛ حيث ، حدِّد إذا ما كانت هاتان الدالتان عكسيتين.

الحل

الدالة دالة متعدِّد إلى واحد؛ أيْ إن عدَّة مُدخَلات لهذه الدالة ستكون لها القيمة المُخرَجة نفسها. وهذا يعني أنها ليست دالة قابلة للعكس. وعلى الرغم من ذلك، عند تقييد مجالها ليصبح ، نتجت دالة أحادية لها دالة عكسية.

وبما أن الدالة دالة تربيعية ومعاملها الرئيسي موجب، تكون عبارة عن قطع مكافئ على شكل حرف U يمرُّ بنقطة الأصل. وبتقييد منحناها على الفترة التي تكون فيها قيم ، يكون لدينا الشكل الآتي.

سنرسم الآن التمثيل البياني للدالة على نفس المحورين. هذا تحويل لمنحنى الدالة ، ويمثِّل تمدُّدًا أفقيًّا بمعامل قياس مقداره ٢. وفيما يأتي التمثيل البياني له.

يبدو أن هاتين الدالتين عكسيتان إحداهما للأخرى؛ لأنه يبدو أن منحنى كلٍّ منهما انعكس حول الخط المستقيم . وسنتحقَّق من خلال النظر إلى نقطة تقاطعهما. إذا كانت نقطة التقاطع تقع على الخط المستقيم ، فستكون قيمتا الإحداثيين ، لها متساويتين.

لإيجاد هذه النقطة، سنحلُّ :

ويكون حلَّا هذه المعادلة هما: ، أو .

التعويض بـ في أيِّ دالة من الدالتين يُعطينا . وبما أن قيمتَيْ ، متساويتان، نعلم أن نقطة تقاطع المنحنيين تقع على الخط المستقيم .

وبالمثل، التعويض بـ في أيِّ دالة من الدالتين، يُعطينا . النقطة أيضًا تقع على الخط المستقيم ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

ويُمكننا أيضًا التحقُّق إذا ما كانت هاتان الدالتان تمثِّلان معكوسًا إحداهما للأخرى من خلال النظر إلى بعض النقاط على كلِّ منحنًى.

النقطة تقع على المنحنى . وصورة هذه النقطة بعد الانعكاس حول هي . وإذا كانت تقع على المنحنى ، فالتعويض بـ في هذه المعادلة سيُعطينا :

صورة النقطة بعد الانعكاس حول تقع على المنحنى . ومن ثَمَّ، يتَّضِح أن الدالة ، والدالة ؛ حيث تمثِّلان معكوسًا إحداهما للأخرى.

وبالطبع، على الرغم من أننا تناولنا عددًا من النقاط، فهذا ليس كافيًا. يُمكننا التحقُّق من ذلك باستخدام برنامج للتمثيل البياني لرسم منحنى كلٍّ منهما وانعكاسه حول .