نسخة الفيديو النصية
ابحث قابلية اشتقاق الدالة ﺩ عند ﺱ يساوي واحدًا، علمًا بأن ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ زائد ثمانية عند ﺱ أقل من واحد، وﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع زائد تسعة عند ﺱ أكبر من أو يساوي واحدًا.
حسنًا، لدينا هنا دالة متعددة التعريف؛ ﺩﺱ. وعلينا تحديد إذا ما كانت الدالة ﺩ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي واحدًا. هناك بعض الطرق المختلفة لفعل ذلك. على سبيل المثال، يمكننا أولًا التحقق مما إذا كانت الدالة ﺩﺱ متصلة عند ﺱ يساوي واحدًا. بعد ذلك، إذا كانت الدالة ﺩﺱ متصلة عند ﺱ يساوي واحدًا، يمكننا التحقق من الميل من جهة اليسار والميل من جهة اليمين عند ﺱ يساوي واحدًا من خلال اشتقاق جزأي الدالة. وإذا تطابق هذان الميلان، فيمكننا قول إن ﺩﺱ دالة متصلة عند ﺱ يساوي واحدًا.
لكن في هذا الفيديو، سنحدد ذلك مباشرة باستخدام تعريف المشتقة. دعونا نبدأ باسترجاع ما نعنيه بمشتقة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ عند النقطة ﺱ صفر. هذا يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺩﺱ صفر زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ صفر، الكل مقسوم على ﻫ. وهذا يعني أن هذه النهاية موجودة. وإذا لم تكن هذه النهاية موجودة، فسنقول إن الدالة ﺩﺱ غير قابلة للاشتقاق عند النقطة ﺱ صفر. وفي الحالة لدينا هنا، نجد أن لدينا الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ. ونريد أن نعرف إذا ما كانت قابلة للاشتقاق عند النقطة ﺱ يساوي واحدًا. ومن ثم، سنجعل ﺱ صفرًا يساوي واحدًا.
يمكننا بعد ذلك التعويض عن ﺱ صفر بواحد في تعريف المشتقة. إذن، تحديد إذا ما كانت ﺩﺱ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي واحدًا هو نفسه تحديد إذا ما كانت هذه النهاية موجودة أم لا. لكن في الحالة لدينا لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرة؛ لأن الدالة ﺩﺱ معطاة في صورة دالة متعددة التعريف، وﺱ واحد يمثل نقطة طرفية لكل من هاتين الفترتين.
لذا علينا تذكر إحدى الحقائق عن النهايات. بدلًا من إيجاد نهاية هذا التعبير عندما يقترب ﻫ من صفر، سنوجد قيمة النهاية لهذا التعبير عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليمين، والنهاية لهذا التعبير عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليسار. إذا كانت هاتان النهايتان موجودتين ومتساويتين، فإننا بذلك نعلم أن الدالة ﺩﺱ قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة. أما إذا لم تكن هاتان النهايتان موجودتين أو كانتا غير متساويتين، فإننا نعلم عندئذ أن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي واحدًا.
دعونا نبدأ بإيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من اليسار لـ ﺩ لواحد زائد ﻫ ناقص ﺩ لواحد، الكل مقسوم على ﻫ. لإيجاد قيمة هذه النهاية، علينا أولًا أن ننتبه إلى أن ﻫ يقترب من صفر من جهة اليسار. هذا يعني أن جميع قيم ﻫ ستكون أقل من صفر. وإذا كان ﻫ أصغر من صفر، فإن واحدًا زائد ﻫ سيكون أقل من واحد. ونحن نعلم من تعريف الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ أنه عند ﺱ أقل من واحد، فإن الدالة ﺩﺱ تساوي الدالة الخطية اثنين ﺱ زائد ثمانية. إذن، في هذه الحالة، لإيجاد قيمة ﺩ عند واحد زائد ﻫ، كل ما علينا فعله هو التعويض عن ﺱ بواحد زائد ﻫ في الدالة الخطية اثنين ﺱ زائد ثمانية. هذا يعطينا اثنين في واحد زائد ﻫ زائد ثمانية.
قد نفكر في التعويض بواحد في هذه الدالة الخطية. لكن تذكر أن علينا استخدام تعريف الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ. عند ﺱ يساوي واحدًا، فإن الدالة ﺩﺱ تساوي تمامًا الدالة التربيعية ﺱ تربيع زائد تسعة. وبالتعويض عن ﺱ بواحد في الدالة التربيعية لدينا، نحصل على واحد تربيع زائد تسعة. والآن علينا إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من اليسار لاثنين في واحد زائد ﻫ زائد ثمانية ناقص واحد تربيع زائد تسعة الكل مقسوم على ﻫ.
لفعل ذلك، علينا تبسيط التعبير داخل النهاية. سنبدأ بالحد الأول في البسط. سنوزع اثنين على ما بين القوسين. هذا يعطينا اثنين زائد اثنين ﻫ زائد ثمانية. وبالطبع يمكننا تبسيط ذلك؛ لأن اثنين زائد ثمانية يساوي ١٠. بعد ذلك، سنوجد قيمة الحد الثاني في البسط. لدينا واحد تربيع زائد تسعة يساوي واحدًا زائد تسعة. وبالطبع يمكننا تبسيط واحد زائد تسعة، ما يجعلنا نحصل على ١٠.
إذن، لدينا الآن النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من اليسار لاثنين ﻫ زائد ١٠ ناقص ١٠ الكل مقسوم على ﻫ. وبالطبع، يمكننا مواصلة تبسيط ذلك. في البسط، ١٠ ناقص ١٠ يساوي صفرًا. حسنًا، في الواقع، لقد بسطنا هذه النهاية بالكامل لنحصل فقط على النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من اليسار لاثنين ﻫ مقسومًا على ﻫ. وبالطبع، نحن نعلم أن ﻫ يقترب من صفر من اليسار. وهذا يعني تحديدًا أن ﻫ لا يساوي صفرًا. ولكنه يقترب أكثر فأكثر من صفر. ومن ثم، يمكننا حذف العامل المشترك ﻫ من البسط والمقام، ما يعني أنه لن يتبقى لدينا سوى النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من يسار الثابت اثنين. لكن اثنين ثابت، ومن ثم، فإن هذه النهاية تساوي اثنين.
إذن، عندما يقترب ﺱ من واحد من جهة اليسار، فإن ميل الدالة ﺩﺱ يساوي اثنين. والآن، علينا فعل الأمر نفسه تمامًا من جهة اليمين. دعونا إذن نفرغ بعض المساحة ونوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من اليمين لـ ﺩ لواحد زائد ﻫ ناقص ﺩ لواحد، الكل مقسوم على ﻫ. هذه المرة، ﻫ يقترب من صفر من جهة اليمين. وهذا يعني أننا نعلم أن جميع قيم ﻫ ستكون أكبر من صفر. وإذا كان ﻫ أكبر من صفر، فهذا يعني أن واحدًا زائد ﻫ سيكون أكبر من واحد.
إذن، مرة أخرى، علينا استخدام تعريف الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ لإيجاد ﺩ لواحد زائد ﻫ. إننا نعلم أنه عند ﺱ أكبر من أو يساوي واحدًا، فإن ﺩﺱ تساوي تمامًا الدالة التربيعية ﺱ تربيع زائد تسعة. إذن، بما أن واحدًا زائد ﻫ أكبر من واحد، فلإيجاد قيمة ﺩ عند واحد زائد ﻫ، نعوض عن ﺱ بواحد زائد ﻫ في هذه الدالة التربيعية. هذا يعطينا واحدًا زائد ﻫ الكل تربيع زائد تسعة. وقد أوجدنا بالفعل قيمة ﺩ عند واحد في النهاية السابقة. ولإيجاد ذلك، نستخدم تعريف الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ.
ليس علينا الآن سوى التعويض عن ﺱ بواحد في الدالة التربيعية ﺱ تربيع زائد تسعة. هذا يعطينا واحد تربيع زائد تسعة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ١٠. والآن، علينا إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من اليمين لواحد زائد ﻫ الكل تربيع زائد تسعة ناقص ١٠ الكل مقسومًا على ﻫ. لفعل ذلك، يمكننا البدء بالتبسيط. إننا نعلم أولًا أن تسعة ناقص ١٠ يساوي سالب واحد. علينا بعد ذلك توزيع التربيع على ما بين القوسين.
بفعل ذلك باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني أو باستخدام مفكوك ذات الحدين، نحصل على واحد زائد اثنين ﻫ زائد ﻫ تربيع. علينا بعد ذلك طرح واحد من هذا المقدار وقسمة الطرفين على ﻫ. وفي الواقع، نلاحظ أنه يمكننا مواصلة التبسيط. في البسط، لدينا واحد ناقص واحد، وهذا يبسط إلى صفر. إذن، هذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من اليمين لاثنين ﻫ زائد ﻫ تربيع، الكل مقسوم على ﻫ. ومرة أخرى، هذه هي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليمين. يقترب ﻫ من صفر أكثر فأكثر، لكن ﻫ لن يساوي صفرًا أبدًا.
هذا يعني أنه يمكننا حذف العامل المشترك ﻫ من البسط والمقام. وبذلك تتبقى لنا النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من اليمين لاثنين زائد ﻫ. وبالطبع، عندما يقترب ﻫ من صفر من جهة اليمين، فإن قيمة ﻫ تقترب من صفر، والثابت اثنين يظل ثابتًا. ومن ثم، فإن قيمة هذه النهاية تساوي اثنين. والآن نستنتج مباشرة من تعريف الميل أن هذين الميلين متساويان. وبما أن هاتين القيمتين متساويتان، نستنتج إذن أن الدالة ﺩﺱ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي واحدًا.
تجدر الإشارة هنا أيضًا إلى أننا لم نتمكن من استخدام غير هذه الطريقة؛ لأننا تعاملنا مباشرة مع تعريف قابلية الاشتقاق عند نقطة. وإذا أردنا بدلًا من ذلك استخدام قواعد أخرى للاشتقاق، مثل قاعدة القوة للاشتقاق، مع الدالة ﺩﺱ، فسنحتاج أيضًا إلى إثبات أن الدالة ﺩﺱ متصلة عند ﺱ يساوي واحدًا. لكن كما رأينا، ليس من الضروري استخدام هذه الطريقة. يمكننا فعل ذلك مباشرة باستخدام تعريف المشتقة. وبذلك نكون قد استطعنا توضيح أن الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد ثمانية عند ﺱ أقل من واحد، وﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد تسعة عند ﺱ أكبر من أو يساوي واحدًا؛ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي واحدًا.
