في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نحدِّد إذا ما كانت دالة قابلة للاشتقاق، ونبحث العلاقة بين قابلية الدالة للاشتقاق واتصالها.
الاشتقاق مهم للغاية، والقدرة على تحديد ما إذا كانت دالة قابلة للاشتقاق، هي مهارة ذات أهمية كبيرة. تقيس مشتقة الدالة معدَّل التغير في قيمة الدالة بالنسبة إلى قيمتها المُدخَلة، وهي توصف عادة بأنها «معدل التغيُّر اللحظي».
عندما ندرس المشتقات، نتعلَّم حقيقتين مهمتين؛ أولاهما: أن المشتقة هي ميل مُماس منحنى الدالة عند أي نقطة، وثانيتهما: أن المشتقة تُعرَّف بنهاية، وعليه، فإنها تكون موجودة فقط إذا كانت النهاية المُعطاة موجودة. باستخدام هاتين الفكرتين المهمتين حول المشتقات، يمكننا تحديد ما إذا كانت مشتقات معينة موجودة. سنبدأ بتلخيص تعريف المشتقة بدلالة نهاية.
تعريف: مشتقة الدالة
تكون مشتقة أي دالة عند نقطة ما معرَّفة على الصورة:
هناك تعريف آخر مكافئ للمشتقة، وهو أن:
نقول إن الدالة قابلة للاشتقاق عند إذا كانت هاتين النهايتين موجودتين. وإذا كانت النهاية الموجودة هي فقط النهاية اليمنى أو النهاية اليسرى، نقول إن الدالة قابلة للاشتقاق عند من الجهة اليمنى أو الجهة اليسرى.
نلاحظ أنه لأي دالة ، يمكننا كتابة مشتقتها على الصورة: والتي نقرأها «مشتقة بالنسبة إلى » أو « على ».
أيُّ دالة قابلة للاشتقاق هي دالة تكون مشتقتها موجودة عند كل نقطة تقع ضمن مجالها. بعبارة أخرى، إذا كانت نقطة تقع ضمن المجال، فإن دالة قابلة للاشتقاق عند فقط وفقط إذا كانت المشتقة موجودة، ومنحنى الدالة له مستقيم مُماسي غير رأسي عند النقطة .
يمكننا أن نفكِّر أيضًا في قابلية الاشتقاق عندما تكون الدالة معرَّفة على فترة ما. إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة ، فإن هذا يعني أن الدالة قابلة للاشتقاق عند جميع النقاط حيث . لأي فترة مغلقة ، لا يمكن أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق عند حيث إن النهاية لا تكون موجودة إلا عندما تكون الدالة معرفة على فترة مفتوحة حول ، لكن، من الممكن أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المغلقة عندما تكون قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة وقابلة للاشتقاق من الجهة اليمنى عند ومن الجهة اليسرى عند .
في التعريف بالأعلى، ذكرنا أن المشتقة تعرَّف بأنها نهاية، إذا كانت النهاية موجودة، وهذا يعني أنه من الممكن أن تكون النهاية غير موجودة. وفي مثل هذه الحالات، نقول إن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة. في هذا الشارح، سوف نستعرض العلاقة بين اتِّصال دالة وقابليتها للاشتقاق، وسوف نتناول الطرق المختلفة التي يمكن أن تكون عندها الدالة غير قابلة للاشتقاق.
بما أن المشتقة عند نقطة تمثل ميل مُماس المنحنى عند تلك النقطة، فهذا يعني أننا إذا لم نتمكن من تعريف مُماس المنحنى، فلن تكون المشتقة موجودة. الحالة الأولى التي سوف نتناولها هي الحالة التي تكون فيها الدالة غيرَ متَّصلة. إذا كان هناك عدم اتصال قفزي للدالة، فلن نتمكَّن من تعريف مُماس المنحنى عند هذه النقطة. ومن ثَمَّ، نتوقع أن تكون المشتقة غير معرَّفة عند هذه النقطة.
في المثال الأول، سنفكِّر في قابلية الاشتقاق لدالة متعدِّدة التعريف في وجود عدم اتصال قفزي.
مثال ١: قابلية اشتقاق الدالة مع وجود عدم اتصال قفزي
افترض أن:
ماذا يمكن أن يُقال عن قابلية الدالة للاشتقاق عند ؟
الحل
في هذا المثال، نريد معرفة قابلية دالة متعددة التعريف للاشتقاق عند نقطة محددة.
تتكون الدالة المتعدِّدة التعريف المعطاة لنا من دالتين ملساويتين (قابلتين للاشتقاق). بوجه عامٍّ، في مثل هذه الحالات، تتكون مشتقة الدالة من مشتقة الدوال التي تعرِّف كل جزء. لكن علينا أيضًا أن نفكر فيما إذا كانت الدوال تتوافق عند النقاط التي تلتقي عندها الدوال. إذا طبقنا هذه الطريقة، يمكننا اشتقاق كل جزء من هذه الدالة باستخدام قاعدة القوة كما يلي:
إذن، يمكننا التفكير في النقاط التي تلتقي عندها هاتان الدالتان، وعليه، نجد أن المشتقة على جانبي هي . بناءً على ذلك، قد نظن أن الدالة قابلة للاشتقاق. لكن، هذه ليست الإجابة الصحيحة. ولرؤية ذلك، سنستخدم تعريف المشتقة: ونوضح أن هذه النهاية غير موجودة عند . وبما أن الدالة معرَّفة بشكل مختلف على جانبي النقطة ، سنتناول النهايتين اليسرى واليمنى. عندما نبدأ بالنهاية اليسرى، نجد أن:
وباستخدام تعريف الدالة ، يصبح لدينا ويمكننا إعادة كتابة النهاية على الصورة:
بما أن ، يمكننا حذف هذا العامل المشترك من البسط والمقام لنحصل على:
يمكننا الآن التفكير في النهاية اليمنى:
باستخدام تعريف الدالة المعطاة، نجد أن:
يمكننا تقسيم هذا الكسر وإعادة كتابته على الصورة:
في هذه الحالة، بما أن ، فإن النهاية تكون غير موجودة. وسبب هذا هو حقيقة أن الدالة غير متصلة بالفعل عند هذه النقطة، كما هو موضح على تمثيلها البياني.
وبما أن النهاية غير موجودة، فإن المشتقة غير معرفة. ومن ثَمَّ يمكننا القول إن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند .
أوضح المثال السابق أن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند نقطة عدم الاتصال. وهذه في الواقع نتيجة عامة، حيث إنه عند النقاط حيث تكون الدالة غير متصلة، تكون الدالة غير قابلة للاشتقاق. لذلك، كانت أفضل طريقة للحل في المثال السابق هي التأكد أولًا من أن الدالة غير متصلة، وعليه، استنتاج إنها غير قابلة للاشتقاق.
والآن، دعونا نتناول مثالًا نبحث فيه قابلية دالة للاشتقاق من تمثيلها البياني الذي يتضمن ركنًا عند نقطة.
مثال ٢: تحديد قابلية اشتقاق دالة من تمثيلها البياني
يوضح الشكل التمثيل البياني للدالة . ماذا يمكن أن نقول عن قابلية للاشتقاق عند ؟
الحل
في هذا المثال، نريد تحديد قابلية دالة للاشتقاق عند نقطة محددة من تمثيلها البياني.
يتضمَّن التمثيل البياني للدالة ركنًا عند النقطة حيث . هذا يعني أن ميل المُماس يسار لا يساوي ميل المُماس يمين . ومن ثَمَّ، سيكون لمشتقة الدالة عدم اتصال قفزي ولن تكون معرَّفة عند هذه النقطة؛ وذلك لأن النهايتين اليمنى واليسرى لن تتوافقان. بذلك، يمكننا القول إن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند وذلك لأن معدَّل تغير الدالة مختلف على جانبي هذه النقطة.
يوجد العديد من الأمثلة على الدوال التي تحتوي تمثيلاتها البيانية على أركان. هناك نوعان شائعان من الدوال التي يمكن أن يكون لها أركان وهما؛ الدوال المتعدِّدة التعريف، أو الدوال المعرفة بدلالة القيمة المطلقة. في المثال التالي، سنتناول مثالًا آخر تكون فيه المشتقة غير معرَّفة.
مثال ٣: وجود مشتقة عند أحد الأنياب
يوضح الشكل التمثيل البياني للدالة . أيُّ النقاط تكون عندها مشتقة الدالة غير معرَّفة؟
الحل
في هذا المثال، سنبحث وجود مشتقة دالة تتضمَّن أنيابًا.
يوضح التمثيل البياني دالة تحتوي على نابين؛ أحدهما عند النقطة حيث والآخر عند النقطة حيث . عند هذين النابين، يكون مُماس المنحنى رأسيًّا. وعندما يكون المماس رأسيًّا، يكون ميله لا نهائيًّا، وعليه، نستنتج أن النهاية: غير موجودة. وبهذا، تكون مشتقة هذه الدالة غير معرَّفة عند النقطتين ، .
أوضح لنا المثال السابق أن المشتقة تكون غير معرَّفة عند ناب دالة ذات قيمة حقيقية. وبوجه عام، إذا كان مُماس المنحنى رأسيًّا، فإن المشتقة تكون غير معرَّفة. ويوضح المثال التالي إحدى هذه الدوال.
مثال ٤: مجال المشتقة
انظر الدالة .
- ما مجال ؟
- أوجد مقدارًا يعبر عن مشتقة .
- ما مجال المشتقة ؟
الحل
في هذا المثال، سوف نفكِّر في مجال المشتقة، أو النقاط حيث تكون المشتقة تامة التعريف، لدالة جذر تكعيبي.
الجزء الأول
الجذر التكعيبي الحقيقي لأي عدد حقيقي يكون تام التعريف. ومن ثَمَّ، فإن مجال الدالة هو كل الأعداد الحقيقية .
الجزء الثاني
يمكننا إيجاد تعبير عن مشتقة باستخدام قاعدة القوة، التي تنص على أن:
ومن ثَمَّ، فإن:
الجزء الثالث
لإيجاد مجال المشتقة، علينا التفكير في النقاط التي تكون عندها غير معرفة. النقطة الوحيدة التي تكون عندها المشتقة غير معرَّفة هي عندما يكون المقام يساوي صفرًا. وهذا يحدث عند . إذن، مجال هو جميع القيم الحقيقية ، وهو ما يمكِننا كتابته على الصورة .
يوضح المثال السابق أن مشتقة أي دالة متصلة قد تكون غير موجودة عند نقاط معينة في المجال. على وجه التحديد، إذا كان خط المماس لدالة رأسيًّا، فستكون المشتقة غير موجودة عند هذه النقطة.
والآن، دعونا نتناول مثالًا تكون فيه الدالة غير قابلة للاشتقاق عند نقطة ما نتيجة لتذبذبات متناهية الصغر.
مثال ٥: الدوال المتذبذبة والمشتقات
هل الدالة: قابلة للاشتقاق عند ؟
الحل
في هذا المثال، نريد إيجاد مشتقة دالة متذبذبة متعدِّدة التعريف عند نقطة محدَّدة.
لتحديد قابلية اشتقاق هذه الدالة عند ، سوف نفكر في وجود النهاية الآتية:
باستخدام تعريف الدالة ، نحصل على:
وبما أن ، يمكننا حذفه من كل من البسط والمقام لنحصل على:
يُعَدُّ هذا مثالًا على نهاية غير موجودة بسبب السلوك المتذبذب للدالة. ولذلك، فإن النهاية غير موجودة. إذن، يمكننا القول إن غير قابلة للاشتقاق عند . يوضح التمثيل البياني لـ أن الدالة تظهر مستوى عاليًا من السلوك المتذبذب بالقرب من نقطة الأصل، وهذا هو سبب عدم وجود المشتقة.
لقد تناولنا عدة أمثلة عرفنا من خلالها كيف يمكن أن تكون الدوال غير قابلة للاشتقاق. وفي كثير من الحالات، كانت هذه الدوال دوالَّ متصلة. هكذا، عرفنا أنه من الممكن أن يكون لدينا دوال متصلة غير قابلة للاشتقاق. في الحقيقة، من الممكن أن تكون لدينا دوال متصلة عند كل النقاط، ولكن لا يمكن اشتقاقها عند أي نقطة. وأول مثال معلوم لمثل هذه الدوال هو دالة فايرشتراس. على الرغم من أن الدوال مثل دالة فايرشتراس تبدو غير مألوفة، يمكننا التوضيح رياضيًّا أن الغالبية العظمى من الدوال المتصلة غير قابلة للاشتقاق! على سبيل المثال، قد تكون الدالة التي لها ركن، أو ناب، أو مُماس رأسي متصلةً، ولكنها غير قابلة للاشتقاق عند موضع الشذوذ.
وعلى الرغم من أنه من الممكن (وعلى الأرجح من الشائع للغاية) أن تكون لدينا دوالُّ متصلة غير قابلة للاشتقاق، فإن العكس ليس صحيحًا؛ حيث إن جميع الدوال القابلة للاشتقاق متصلة كما سنرى بالأسفل.
سنفترض أن دالة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما . إذن، حسب التعريف:
سنوضِّح أن متصلة عن طريق إثبات أن:
نبدأ بالنظر إلى النهاية:
وبالضرب والقسمة على ، نحصل على:
باستخدام قواعد النهايات المحددة، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:
وباستخدام تعريف المشتقة بالأعلى، نجد أن:
نعلم أيضًا أن . ومن ثَمَّ، فإن:
مرة أخرى، يمكننا استخدام قواعد النهايات المحددة للحصول على:
وبذلك، يكون:
بما أن مستقلة عن ، فإن النهاية على الطرف الأيسر هي وعليه فإن:
بهذا نكون قد أوضحنا أن الدالة تكون متصلة عند جميع النقاط حيث تكون قابلة للاشتقاق، وأن قابلية الدالة للاشتقاق تستلزم الاتصال.
وعلى الرغم من أننا رأينا أن العكس ليس صحيحًا (أي إن الدالة المتصلة يجب ألَّا تكون قابلة للاشتقاق)، ما يزال بإمكاننا استخدام هذه النتيجة لاستنتاج أنه إذا كانت الدالة غير متصلة عند نقطة، فإنها غير قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة.
في الأمثلة القليلة الأخيرة، سنطبق ما تعلمناه عن وجود المشتقات والعلاقة بين قابلية الدالة للاشتقاق واتصالها.
في المثال التالي، سنستخدم حقيقة قابلية الاشتقاق لاستنتاج نهاية معينة.
مثال ٦: الدوال والمشتقات
انظر الدالة ، . ما قيمة ؟
الحل
في هذا المثال، سوف نوجد قيمة النهاية المعطاة لدالة باستخدام العلاقة بين قابلية الدالة للاشتقاق واتصالها.
علمنا من السؤال أن ومن ثَمَّ، فإننا نعلم أن قابلة للاشتقاق عند . وبما أن القابلية للاشتقاق تعني الاتصال، فإننا نعرف أن:
ومن ثَمَّ، .
في المثالين الأخيرين، سنتناول دوالَّ متعددة التعريف. وعند التعامل مع مثل هذه الدوال، من المهم التحقُّق من اتصالها، بعد ذلك، يمكننا اشتقاق كل جزء على حِدة والتفكير في النقاط التي تتلاقى عندها الأجزاء.
في المثال التالي، سنحدد قابلية دالة متعددة التعريف للاشتقاق عند نقطة محددة.
مثال ٧: تحديد قابلية دالة للاشتقاق
افترض أن:
ماذا يمكن أن يُقال عن قابلية الدالة للاشتقاق عند ؟
الحل
في هذا المثال، سنحدِّد قابلية الاشتقاق للدالة المتعددة التعريف المعطاة عند نقطة محددة.
سنبدأ بالتأكُّد من أن الدالة متصلة عند . من خلال التعريف، يمكننا ملاحظة أن: ، وبجانب ذلك، يمكننا ملاحظة أن:
وعليه، تكون الدالة متصلة عند . يمكننا الآن تطبيق قاعدة القوة لاشتقاق كل جزء من الدالة كما يلي:
علينا الآن التفكير في النهايتين اليسرى واليمنى للتأكُّد من توافقهما. من تعريف يمكننا ملاحظة أن:
ولذلك، يمكننا استنتاج أن النهاية موجودة وأن . ومن ثَمَّ الدالة قابلة للاشتقاق عند .
في المثال الأخير، سنوجد القيم الناقصة للبارامترات في دالة متعدِّدة التعريف متصلة، ونحدد قابلية الدالة للاشتقاق عند نقطة معطاة.
مثال ٨: تحديد قابلية دالة للاشتقاق
أوجد قيمة كل من ، ، وابحث قابلية اشتقاق الدالة عند إذا كانت متصِلة، وكانت:
الحل
في هذا المثال، سنحدِّد قابلية الاشتقاق للدالة المتعددة التعريف المعطاة عند نقطة محددة.
بما أن متصلة، فهذا يعني أنها متصلة عند ، وعليه، فإن:
وبهذا، تكون:
وعليه، فإن . بجانب هذا:
لذا، . ومن ثَمَّ:
يمكننا الآن التفكير في المشتقة على جانبي باستخدام قاعدة القوة كما يلي:
علينا الآن إيجاد النهايتين اليسرى واليمنى عند . وبِناءً على تعريف ، يمكننا الملاحظة أن:
إذن، النهايتان اليسرى واليمنى غير متوافقتين، والدالة غير قابلة للاشتقاق عند .
سنختتم هذا الشارح الآن باسترجاع بعض المفاهيم المهمة.
النقاط الرئيسية
- تكون مشتقة أي دالة عند النقطة معرَّفة على الصورة: وهناك تعريف آخر مكافئ للمشتقة هو:
- تكون الدالة غير قابلة للاشتقاق عندما تكون هذه النهاية غير موجودة. وقد يحدث هذا بطرق مختلفة تشمل ما يلي.
- إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق، فإنها تكون متصلة. وتنص عبارة المعاكس الإيجابي (والمكافئة منطقيًّا وبالتالي صحيحة أيضًا) على أن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند النقاط حيث تكون غير متصلة.
- يوجد العديد من الدوال المتصلة التي تكون غير قابلة للاشتقاق.
