شارح الدرس: قابلية الدالة للاشتقاق الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نحدِّد إذا ما كانت دالة قابلة للاشتقاق، كما نبحث العلاقة بين اشتقاق الدالة واتصالها.

الاشتقاق مهم للغاية، والقدرة على تحديد ما إذا كانت دالة قابلة للاشتقاق، هي مهارة ذات أهمية كبيرة. عندما نتعلم عن المشتقات، نتعلم حقيقتين مهمتين: أولهما، أن المشتقة هي ميل مماس المنحنى عند أي نقطة، وثانيهما، أن المشتقة معرّفة بنهاية، وبالتالي، تكون موجودة فقط إذا كانت النهاية المعطاة موجودة. باستخدام هاتين الفكرتين المهمتين عن المشتقات، يمكننا تحديد إذا ما كانت مشتقات معينة موجودة. نبدأ بتلخيص تعريف المشتقة.

تعريف المشتقة

تكون مشتقة أي دالة عند نقطة 𞸎٠ معرّفة على الصورة ـــــ𞸓٠󰎨(𞸎+𞸓)󰎨(𞸎)𞸓.

هناك تعريف آخر للمشتقة، ولكنه مكافئ لها وهو ـــــ𞸎𞸎١١١󰎨󰁓𞸎󰁒󰎨(𞸎)𞸎𞸎.

هناك طريقتان شائعتان للدلالة على المشتقات: ترميز ليبنتز ورمز الشرطة (يشار إليه أحيانًا بترميز لاجرانج). للحصول على دالة 𞸑=󰎨(𞸎)، يُكتب ترميز ليبنتز للمشتقة باستخدام متناهيات الصغر 𞸃𞸑 و𞸃𞸎 على الصورة 𞸃𞸑𞸃𞸎، التي نقرأها «مشتقة 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎» أو «𞸃𞸑 بواسطة 𞸃𞸎.»

باستخدام رمز الشرطة، مشتقة 󰎨(𞸎) بالنسبة إلى 𞸎 يُرمز لها 󰎨(𞸎)󰍱، التي نقرأها «󰎨 شرطة لـ 𞸎»

في التعريف أعلاه، ذكرنا أن المشتقة تعرّف على أنها نهاية، إذا كانت النهاية موجودة، وهو ما يشير إلى أنه من الممكن أن تكون النهاية غير موجودة. في مثل هذه الحالات، نقول إن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة. في هذا الشارح، سنستعرض العلاقة بين اتصال دالة وقابليتها للاشتقاق، وسنتناول الطرق المختلفة التي يمكن أن تكون عندها الدالة غير قابلة للاشتقاق.

بما أن المشتقة عند نقطة تمثل ميل مماس المنحنى عند تلك النقطة، فهذا يعني أننا إذا لم نتمكن من تعريف مماس منحنى، فلن تكون المشتقة موجودة. الحالة الأولى التي سنتناولها هي الحالة التي تكون فيها الدالة غير متصلة. إذا كان هناك عدم اتصال قفزي للدالة، لن نتمكن من تعريف مماس المنحنى عند هذه النقطة. ومن ثم نتوقع أن تكون المشتقة غير معرّفة عند هذه النقطة.

مثال ١: قابلية اشتقاق الدالة مع وجود عدم اتصال قفزي

افترض أن 󰎨(𞸎)=󰃳٦𞸎٤𞸎١،٣𞸎𞸎>١.٢

ماذا يمكن أن يُقال عن قابلية اشتقاق 󰎨 عند 𞸎=١؟

الحل

لدينا هنا دالة متعددة التعريف مكونة من دالتين بسيطتين. بوجهٍ عام، في مواقف كهذه، تتكون مشتقة الدالة من مشتقة الدوال التي تعرِّف كل جزء. لكن، علينا أيضًا أن نفكر فيما إذا كانت الدوال تتوافق عند النقاط التي تكون عندها الدوال متصلة معًا. إذا طبقنا هذه الطريقة، فيمكننا اشتقاق كل جزء من هذه الدالة باستخدام قاعدة القوة كما يلي: 󰎨(𞸎)=󰃇٦𞸎<١،٦𞸎𞸎>١.󰍱

يمكننا بعد ذلك التفكير في النقاط التي تجتمع عندها هاتين الدالتين، وإيجاد أن المشتقة على جانبي 𞸎=١ هي ٦. عند هذه النقطة، يمكننا أن نستنتج بسذاجة أن الدالة قابلة للاشتقاق. لكن، هذه ليست الإجابة الصحيحة. لرؤية ذلك، سنستخدم تعريف المشتقة، ـــــ𞸓٠٠٠󰎨󰁓𞸎+𞸓󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓، وسنوضح أن هذه النهاية غير موجودة عند 𞸎=١. بما أن الدالة معرّفة بوضوح على جانبي النقطة 𞸎=١، سنتناول النهايتين اليسرى واليمنى. لنبدأ بالنهاية اليسرى، لدينا ـــــ𞸓٠󰎨(١+𞸓)󰎨(١)𞸓.

باستخدام تعريف الدالة 󰎨، لدينا 󰎨(١)=٢ ويمكن إعادة كتابة النهاية على الصورة ـــــــــــــــ𞸓٠𞸓٠𞸓٠󰎨(١+𞸓)󰎨(١)𞸓=٦(١+𞸓)٤٢𞸓=٦𞸓𞸓.

وبما أن 𞸓٠، يمكننا حذف هذا العامل المشترك من البسط والمقام لنحصل على ــــــــــ𞸓٠𞸓٠󰎨(١+𞸓)󰎨(١)𞸓=٦=٦.

يمكننا الآن التفكير في النهاية اليمنى، ـــــ𞸓٠+󰎨(١+𞸓)󰎨(١)𞸓.

باستخدام تعريف الدالة المعطى، لدينا ــــــــــــــــــــ𞸓٠𞸓٠٢𞸓٠٢𞸓٠٢++++󰎨(١+𞸓)󰎨(١)𞸓=٣(١+𞸓)٢𞸓=٣󰁓١٢𞸓+𞸓󰁒٢𞸓=١٦𞸓+٣𞸓𞸓.

يمكننا تقسيم هذا الكسر وإعادة كتابته على النحو التالي ــــــــــ𞸓٠𞸓٠++󰎨(١+𞸓)󰎨(١)𞸓=󰂔١𞸓٦+٣𞸓󰂓.

في هذه الحالة، بما أن ـــــ𞸓٠+١𞸓= تكون النهاية غير موجودة. والسبب في أن النهاية غير موجودة هو حقيقة أن الدالة غير متصلة بالفعل عند هذه النقطة، كما نرى من تمثيلها البياني.

بما أن النهاية غير موجودة، فإن المشتقة غير معرّفة. ومن ثم، يمكننا القول إن الدالة 󰎨 غير قابلة للاشتقاق عند 𞸎=١.

أوضح المثال الأخير أن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند نقطة عدم الاتصال. وهذا في الواقع نتيجة عامة، حيث إنها عند النقاط التي تكون فيها الدالة غير متصلة، تكون غير قابلة للاشتقاق. لذا، في المثال الأخير، الحل الأكثر فاعلية هو التأكد أولًا من أن الدالة غير متصلة، ومن ثم فهي غير قابلة للاشتقاق.

وهناك طرق أخرى قد تكون الدالة فيها غير قابلة للاشتقاق. على سبيل المثال، إذا كان التمثيل البياني لدالة يحتوي على ركن، ففي هذه الحالة، لن تكون النهاية التي تعرّف المشتقة موجودة لأن النهايتين اليسرى واليمنى ستكونان مختلفتين.

مثال ٢: تحديد قابلية اشتقاق الدالة من تمثيلها البياني

يوضح الشكل التمثيل البياني لـ 󰎨. ماذا يمكن أن يُقال عن قابلية اشتقاق 󰎨 عند 𞸎=٤؟

الحل

التمثيل البياني للدالة 󰎨 يحتوي على ركن عند النقطة حيث 𞸎=٤. وهذا يعني أن ميل المماس على يسار 𞸎=٤ لا يساوي ميل المماس على يمين 𞸎=٤. ومن ثم، سيكون للمشتقة عدم اتصال قفزي، ولن تكون معرّفة عند هذه النقطة؛ لأن النهايتين اليمنى واليسرى لن تتوافقان. ومن ثم، تكون الدالة غير قابلة للاشتقاق عند 𞸎=٤ وذلك لأن معدل تغير الدالة مختلف في كلا طرفي هذه النقطة.

يوجد العديد من الأمثلة على الدوال التي تحتوي تمثيلاتها البيانية على أركان. هناك نوعان شائعان من الدوال التي يمكن أن يكون لها أركان: الدوال متعددة التعريف، أو الدوال المعرّفة بدلالة القيمة المطلقة. في المثال التالي، سنتناول حالة أخرى تكون فيها المشتقة غير معرّفة.

مثال ٣: وجود مشتقة عند النتوءات

يوضح الشكل التمثيل البياني لـ 󰎨. عند أي النقاط تكون مشتقة الدالة غير معرّفة؟

الحل

يوضح التمثيل البياني دالة تحتوي على نتوءين، واحد عند 𞸎=١ وواحد عند 𞸎=١. عند هذين النتوءين، يكون مماس المنحنى رأسيًّا. وعندما يكون المماس رأسيًّا، يكون ميله غير منتهي، وهو ما يقتضي أيضًا أن النهاية ـــــ𞸓٠٠٠󰎨󰁓𞸎+𞸓󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓 غير موجودة. ومن ثم، فإن مشتقة هذه الدالة غير معرّفة عند النقاط 𞸎=١ و𞸎=١.

أوضح لنا المثال الأخير أن المشتقة غير معرّفة عند نتوء دالة ذات قيمة حقيقية. وبشكلٍ أكثر تعميمًا، إذا كان مماس المنحنى رأسيًّا، فإن المشتقة تكون غير معرّفة. يوضح المثال التالي إحدى هذه الدوال.

مثال ٤: مجال المشتقة

انظر إلى الدالة 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎٣.

  1. ما مجال 󰎨؟
  2. أوجد مقدار يعبر عن المشتقة 󰎨.
  3. ما مجال المشتقة 󰎨󰍱؟

الحل

الجزء الأول

الجذر التكعيبي الحقيقي لأي عدد حقيقي يكون معرّف جيدًا. ومن ثم، مجال 󰎨 هو كل الأعداد الحقيقية 𞸇.

الجزء الثاني

يمكننا إيجاد مقدار للمشتقة 󰎨 باستخدام قاعدة القوة، التي تنص على أن 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒=𞸍𞸎.𞸍𞸍١

ومن ثم، 󰎨(𞸎)=𞸃𞸃𞸎󰂔𞸎󰂓=١٣𞸎=١٣󰋴𞸎.󰍱٢١٣٢٣٣

الجزء الثالث

لإيجاد مجال المشتقة، علينا التفكير في النقاط 𞸎 التي تكون لها 󰎨(𞸎)=١٣󰋴𞸎󰍱٢٣ غير معرّفة. النقطة الوحيدة التي تكون عندها هذه الدالة غير معرّفة هي عندما يكون المقام صفرًا. وهذا يحدث عند 𞸎=٠. ومن ثم، مجال 󰎨󰍱 هو جميع أعداد 𞸎٠ الصحيحة وهو ما يمكننا كتابته على الصورة 𞸇٠.

يوضح المثال السابق أن مشتقة دالة متصلة قد تكون غير موجودة عند نقاط معينة في المجال. على وجه التحديد، إذا كان خط مماس الدالة رأسيًّا، فلن تكون المشتقة موجودة عند هذه النقطة.

هناك طريقة أخرى يمكن ألا تحصل فيها الدالة على مشتقة، وهي نتيجة التذبذبات متناهية الصغر.

مثال ٥: الدوال والمشتقات المتذبذبة

هل الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎󰃁١𞸎󰃀𞸎٠،٠𞸎=٠ قابلة للاشتقاق عند 𞸎=٠؟

الحل

لإيجاد قابلية اشتقاق هذه الدالة عند 𞸎=٠، سنتناول وجود النهاية التالية: ـــــ𞸓٠󰎨(٠+𞸓)󰎨(٠)𞸓.

باستخدام تعريف الدالة 󰎨، لدينا ـــــــــــــــ𞸓٠𞸓٠١𞸓𞸓٠١𞸓󰎨(٠+𞸓)󰎨(٠)𞸓=𞸓󰂔󰂓٠𞸓=𞸓󰂔󰂓𞸓.

بما أن، 𞸓٠، يمكننا حذفها من البسط والمقام لنحصل على ــــــــــ𞸓٠𞸓٠󰎨(٠+𞸓)󰎨(٠)𞸓=󰂔١𞸓󰂓.

يعد هذا مثالًا لنهاية غير موجودة بسبب السلوك المتذبذب للدالة. ولذلك، فإن النهاية غير موجودة. ومن ثم، 󰎨 غير قابلة للاشتقاق عند 𞸎=٠. يوضح التمثيل البياني لـ 󰎨 أن الدالة تُظهر مستوى عال من السلوك المتذبذب بالقرب من نقطة الأصل، وهذا هو سبب عدم وجود المشتقة.

لقد تناولنا عدة أمثلة حول كيف يمكن أن تكون الدوال غير قابلة للاشتقاق. في كثير من الحالات، كانت هذه الدوال دوال متصلة. ومن ثم رأينا أنه يمكن أن يكون لدينا دوال متصلة غير قابلة للاشتقاق. في الحقيقة، من الممكن أن تكون لدينا دوال متصلة في كل مكان ولكنها غير قابلة للاشتقاق في أي مكان. أول مثال معلوم لمثل هذه الدوال هو دالة فايرشتراس. بالرغم من أن الدوال مثل دالة فايرشتراس تبدو غير معتادة، يمكننا إثباتها رياضيًّا حيث إن الغالبية العظمى من الدوال المتصلة لا تكون في الواقع قابلة للاشتقاق في أي مكان!

على الرغم من أنه من الممكن (ويكون من الشائع للغاية حدسيًّا) أن تكون لدينا دوال متصلة غير قابلة للاشتقاق، فإن العكس ليس صحيحًا، فجميع الدوال القابلة للاشتقاق متصلة أيضًا كما سنرى بالأسفل.

إذا كانت 󰎨 دالة قابلة للاشتقاق عند نقطة 𞸎=𞸎٠. إذن، بحكم التعريف،

󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨(𞸎)󰎨󰁓𞸎󰁒𞸎𞸎.󰍱٠𞸎𞸎٠٠ـــــ٠()

سنوضح أن 󰎨 متصلة وذلك من خلال توضيح أن ـــــ𞸎𞸎٠٠󰎨(𞸎)=󰎨󰁓𞸎󰁒.

نبدأ بالنظر إلى النهاية ـــــ𞸎𞸎٠٠󰁓󰎨(𞸎)󰎨󰁓𞸎󰁒󰁒.

بالضرب والقسمة على 𞸎𞸎٠، نحصل على ــــــــــ𞸎𞸎٠𞸎𞸎٠٠٠٠٠󰁓󰎨(𞸎)󰎨󰁓𞸎󰁒󰁒=󰃭󰁓𞸎𞸎󰁒󰎨(𞸎)󰎨󰁓𞸎󰁒𞸎𞸎󰃬.

باستخدام قواعد النهايات المحددة، يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة ـــــــــــــــ𞸎𞸎٠𞸎𞸎٠𞸎𞸎٠٠٠٠٠󰁓󰎨(𞸎)󰎨󰁓𞸎󰁒󰁒=󰁓𞸎𞸎󰁒󰃭󰎨(𞸎)󰎨󰁓𞸎󰁒𞸎𞸎󰃬.

باستخدام المعادلة (١)، نحصل على ــــــــــ𞸎𞸎٠󰍱٠𞸎𞸎٠٠٠󰁓󰎨(𞸎)󰎨󰁓𞸎󰁒󰁒=󰎨󰁓𞸎󰁒󰁓𞸎𞸎󰁒.

علاوةً على ذلك، نحن نعلم أن ـــــ𞸎𞸎٠٠󰁓𞸎𞸎󰁒=٠. إذن، ـــــ𞸎𞸎٠٠󰁓󰎨(𞸎)󰎨󰁓𞸎󰁒󰁒=٠.

مرةً أخرى، يمكننا استخدام قواعد النهايات المحددة للحصول على ــــــــــ𞸎𞸎𞸎𞸎٠٠٠󰎨(𞸎)󰎨󰁓𞸎󰁒=٠.

إذن، ــــــــــ𞸎𞸎𞸎𞸎٠٠٠󰎨(𞸎)=󰎨󰁓𞸎󰁒 كما هو مطلوب. ومن ثم، نكون قد أوضحنا أن الدالة متصلة عند جميع النقاط التي تكون فيها الدالة قابلة للاشتقاق.

في الأمثلة القليلة الأخيرة، سنطبق ما تعلمناه عن وجود المشتقات والعلاقة بين قابلية الاشتقاق والاتصال.

مثال ٦: الدوال والمشتقات

إذا كانت دالة 󰎨(٨)=٣ و󰎨(٨)=٧󰍱. ما ـــــ𞸎٨󰎨(𞸎)؟

الحل

لقد قيل لنا أن 󰎨(٨)=٧󰍱، ومن ثم، فإننا نعرف أن 󰎨 قابلة للاشتقاق عند 𞸎=٨. وبما أن قابلية الاشتقاق تعني الاتصال، فإننا نعرف أن ـــــ𞸎𞸎٠٠󰎨(𞸎)=󰎨󰁓𞸎󰁒.

ومن ثم، ـــــ𞸎٨󰎨(𞸎)=٣.

في المثالين الأخيرين، سنتناول الدوال متعددة التعريف. عند التعامل مع مثل هذه الدوال، من المهم التحقق من الاتصال، ومن ثم يمكننا اشتقاق كل جزء على حدة والتفكير في النقاط التي تتقابل عندها الأجزاء.

مثال ٧: تحديد قابلية اشتقاق الدالة

افترض أن 󰎨(𞸎)=١+٣𞸎𞸎١،𞸎+٣𞸎>١.٣

ماذا يمكن أن يُقال عن قابلية اشتقاق 󰎨 عند 𞸎=١؟

الحل

سنبدأ بتأكيد أن الدالة متصلة عند 𞸎=١. من خلال التعريف، يمكننا ملاحظة أن 󰎨(١)=٢، وعلاوةً على ذلك، يمكننا ملاحظة أن ــــــــــ𞸎١𞸎١+󰎨(𞸎)=٢،󰎨(𞸎)=٢.

ومن ثم، فإن الدالة متصلة عند 𞸎=١. يمكننا الآن تطبيق قاعدة القوة لاشتقاق كل جزء من الدالة كما يلي: 󰎨(𞸎)=٣𞸎𞸎<١،٣𞸎𞸎>١.󰍱٢٢

علينا الآن فهم النهايتين اليسرى واليمنى للتأكد من توافقهما. من تعريف 󰎨󰍱، نرى أن ــــــــــ𞸎١󰍱𞸎١󰍱+󰎨(𞸎)=٣،󰎨(𞸎)=٣.

ولذلك، يمكننا استنتاج أن النهاية موجودة و󰎨(١)=٣󰍱. ومن ثم، الدالة 󰎨(𞸎) قابلة للاشتقاق عند 𞸎=١.

مثال ٨: تحديد قابلية اشتقاق الدالة

أوجد قيم 󰏡 و𞸁 وابحث قابلية اشتقاق الدالة 󰎨 عند 𞸎=١ إذا كانت 󰎨 متصلة و󰎨(𞸎)=٩𞸎+󰏡𞸎+٤𞸎<١،١١𞸎=١،󰏡+𞸁𞸎𞸎>١.٢

الحل

بما أن 󰎨 متصلة، فهي متصلة عند 𞸎=١، ولذا، ــــــــــ𞸎١𞸎١+󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎)=󰎨(١)=١١.

إذن، ١١=٩𞸎+󰏡𞸎+٤=٣١󰏡.ـــــ𞸎١٢

ومن ثم، 󰏡=٢. علاوةً على ذلك، ١١=󰏡+𞸁𞸎=٢𞸁.ـــــ𞸎١+

إذن، 𞸁=٩. ومن ثم، 󰎨(𞸎)=٩𞸎+٢𞸎+٤𞸎<١،١١𞸎=١،٢٩𞸎𞸎>١.٢

يمكننا الآن التفكير في المشتقة على كلا طرفي 𞸎=١ باستخدام قاعدة القوة كما يلي: 󰎨(𞸎)=󰃇٨١𞸎+٢𞸎<١،٩𞸎>١.󰍱

فعلينا الآن إيجاد النهايتين اليسرى واليمنى عند 𞸎=١. من تعريف 󰎨󰍱، نرى أن ــــــــــ𞸎١󰍱𞸎١󰍱󰎨(𞸎)=٦١،󰎨(𞸎)=٩.

ومن ثم، فإن النهايتين اليسرى واليمنى غير متوافقتين، والدالة غير قابلة للاشتقاق عند 𞸎=١.

النقاط الرئيسية

  • تكون مشتقة أي دالة عند نقطة 𞸎٠ معرّفة على الصورة ـــــ𞸓٠󰎨(𞸎+𞸓)󰎨(𞸎)𞸓. هناك تعريف آخر للمشتقة، وهو تعريف مكافئ لها، ـــــ𞸎𞸎١١١󰎨󰁓𞸎󰁒󰎨(𞸎)𞸎𞸎. هناك طريقتان شائعتان للدلالة على المشتقات: ترميز ليبنتز ورمز الشرطة (يشار إليه أحيانًا بترميز لاجرانج).للحصول على دالة 𞸑=󰎨(𞸎) يُكتب ترميز ليبنتز للمشتقة باستخدام متناهيات الصغر 𞸃𞸑 و𞸃𞸎 على الصورة 𞸃𞸑𞸃𞸎، التي نقرأها «مشتقة 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎» أو «𞸃𞸑 بواسطة 𞸃𞸎.»
    باستخدام رمز الشرطة، يُرمز لمشتقة 󰎨(𞸎) بالنسبة إلى 𞸎 بـ 󰎨(𞸎)󰍱، التي نقرأها 󰎨 شرطة لـ 𞸎.»
  • الدالة لا تكون قابلة للاشتقاق عندما تكون هذه النهاية غير موجودة.يمكن أن يحدث هذا بطرقٍ مختلفة بما في ذلك ما يلي.
  • إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق، فهي متصلة.والمعاكس الإيجابي لهذه العبارة (الذي يكون مكافئًا منطقيًا وبالتالي صحيحًا) هو أن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند النقاط التي تكون غير متصلة فيها.
  • يوجد العديد من الدوال المتصلة التي تكون غير قابلة للاشتقاق.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.