فيديو الدرس: قابلية الدالة للاشتقاق الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

قابلية الدالة للاشتقاق

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد إذا ما كانت دالة قابلة للاشتقاق. وسنبحث العلاقة بين قابلية الدالة للاشتقاق واتصالها. عملية إيجاد المشتقة تسمى الاشتقاق. بما أن المشتقات هي إحدى المكونات الأساسية في حساب التفاضل والتكامل، إذن فالاشتقاق أداة مهمة للغاية أيضًا. وبناء على ذلك فإن القدرة على تحديد قابلية دالة ما للاشتقاق من عدمها يمكن أن تفيدنا كثيرًا. نتذكر أن المشتقة تقيس المعدل الذي تتغير عنده القيمة المخرجة لدالة ما ﺩ بالنسبة لتغير في قيمتها المدخلة ﺱ.

بطريقة منهجية يمكن تعريف المشتقة باستخدام النهايات. مشتقة دالة ما ﺩ عند النقطة حيث ﺱ يساوي ﺱ صفر تعرف بأنها النهاية عندما يقترب ﻕ من صفر لـ ﺩﺱ صفر زائد ﻕ ناقص ﺩﺱ صفر الكل مقسوم على ﻕ. ربما يساعدك التفكير في النصف السفلي من هذا الكسر باعتباره ﺱ صفر زائد ﻕ ناقص ﺱ صفر، وهو ما يساوي بالطبع ﻕ. بهذه الطريقة، نرى أن الصيغة تشبه كثيرًا صيغة التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ، حيث تصبح قيم التغير متناهية في الصغر. وهناك تعريف مكافئ للمشتقة، وهو النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺱ صفر لـ ﺩﺱ ناقص ﺩﺱ صفر الكل مقسوم على ﺱ ناقص ﺱ صفر. كلا التعريفين من الشائع استخدامه، ولكن لتحقيق الغرض من هذا الفيديو سنستخدم التعريف الأول بصورة رئيسية.

النقطة الأساسية التي سنرجع إليها طوال هذا الفيديو هي أن المشتقة لا تكون موجودة إلا إذا وجدت النهاية التي تعرفها. إذا كانت النهاية، وبالتالي المشتقة، موجودة بالفعل عند نقطة، نقول إن الدالة قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة. قبل المتابعة، يجب أن نعرف أنه يوجد صورتان مختلفتان لترميز المشتقات. إذا قلنا إن ﺹ يساوي الدالة ﺩﺱ، فإن المشتقة يمكن التعبير عنها كما يلي. الطريقة الأولى هي ﺩﺹ على ﺩﺱ، وهي ما يسمى بترميز ليبنز. ويستخدم هذا الترميز قيم التغير المتناهية الصغر التي نراها هنا؛ ﺩﺹ وﺩﺱ.

الطريقة الثانية هي ﺩ شرطة لـ ﺱ. وتسمى ترميز لاجرانج. والترميزان من الشائع للغاية استخدامهما. وستراهما في هذا الفيديو. بالعودة إلى النظرية، إذا تخيلنا أن ﺩﺱ منحنى، فإن مشتقة ﺩﺱ ستمثل خط مماس لذلك المنحنى. لذا سيكون من المنطقي أنه إذا لم نتمكن من تعريف خط مماس المنحنى، إذن فالمشتقة غير موجودة. رؤية التمثيل البياني لدالة ما، تعطينا فهمًا بصريًا لحالات قابلية الدالة أو عدم قابليتها للاشتقاق، كما سنرى في المثال التالي.

يوضح الشكل التمثيل البياني للدالة ﺩ. ماذا يمكن أن نقول عن قابلية ﺩ للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب أربعة؟

لدينا هنا تمثيل بياني معرف على الفترة من سالب سبعة إلى سالب واحد. وخلال هذه الفترة، نرى أن المنحنى أملس عند جميع النقاط، ما عدا النقطة التي عندها ﺱ يساوي سالب أربعة. عند هذه النقطة التي إحداثياها سالب أربعة، وخمسة، لدينا ركن حاد. وهذا يعني أن ميل المماس، على يسار ﺱ يساوي سالب أربعة مباشرة، سيكون مختلفًا عن ميل المماس على يمين ﺱ يساوي سالب أربعة مباشرة. ويمكننا الذهاب لأبعد من ذلك بالقول إن أحد الميلين سيكون موجبًا والآخر سيكون سالبًا. وبما أن لدينا مماسين مختلفين على الجانبين، فلن نتمكن من تعريف خط مماس عند ﺱ يساوي سالب أربعة. وبالتالي لن نتمكن أيضًا من تعريف المشتقة.

إذا كنا سنتخيل التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩ شرطة ﺱ، المشتقة الأولى، فمن المتوقع أن نرى تغيرًا حادًا في قيمة ﺹ عند ﺱ يساوي سالب أربعة. بناء على ملاحظاتنا، نستنتج أن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب أربعة لأن معدل تغير الدالة مختلف على جانبي هذه النقطة. وبهذه العبارة نكون قد أجبنا عن السؤال.

من الجدير بالملاحظة هنا أنه كان بإمكاننا تقديم برهان أكثر دقة بناء على النهايات التي تعرف المشتقة. ولكن هذا المثال يثبت أنه يمكننا أحيانًا أن نحدد بسرعة قابلية دالة للاشتقاق بناء على تمثيلها البياني.

إلى جانب الركن الحاد الذي رأيناه في المثال السابق، هناك الكثير من الأسباب المختلفة التي تجعل دالة ﺩ غير قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة حيث ﺱ يساوي ﺱ صفر. ويمكن فهم جميع هذه الحالات بالرجوع إلى تعريف المشتقة والتفكير في حالات وجود أو عدم وجود هذه النهاية. رسمنا هنا عددًا من التمثيلات البيانية وسنستعرض دلالات كل منها تباعًا. في أول حالتين، لدينا مثال لعدم الاتصال ومثال لركن. وفي هاتين الحالتين، ستختلف النهاية من الجهة اليمنى عن النهاية من الجهة اليسرى عندما يقترب ﻕ من الصفر. وبما أنهما مختلفتان، نستنتج من ذلك أن النهاية العادية التي تعرف المشتقة غير موجودة. وبالتالي، لن تكون الدالتان قابلتين للاشتقاق عند ﺱ صفر.

في الحالتين التاليتين، لدينا نتوء وخط مماس رأسي. ونعرف أنه، في التمثيل البياني، الخطوط الرأسية أو الخطوط التي تميل إلى الاتجاه الرأسي ميلها يساوي موجب أو سالب ما لا نهاية. وهذا يعني أن النهايتين من الجهتين اليسرى واليمنى عندما يقترب ﻕ من الصفر ستساويان أيضًا موجب أو سالب ما لا نهاية. في حالة النتوء، ستختلف النهاية من الجهة اليسرى عن النهاية من الجهة اليمنى، حيث تساويان ما لا نهاية ولكن بإشارتين متعاكستين، بينما في حالة خط المماس الرأسي، فستتفق النهايتان. نعرف بالفعل السبب وراء اختلاف النهايتين على الجانبين. ومع ذلك، حتى لو كانت النهايتان متفقتين، وقيمة كل منهما مثلًا ما لا نهاية، وكانت النهاية العادية تساوي أيضًا موجب ما لا نهاية. فستظل هذه طريقة أخرى للتعبير عن عدم وجود النهاية، لأن ما لا نهاية ليس عددًا بل مفهوم.

وأخيرًا، في حالة السلوك المتذبذب، نلاحظ زيادة التذبذبات أكثر فأكثر عندما تقترب قيمة ﺱ من ﺱ صفر. بهذا يكون من الواضح أيضًا أن ميل التمثيل البياني الذي يمثل المشتقة يزداد أيضًا تذبذبه بسرعة أكبر فأكبر عندما تقترب قيمة ﺱ من ﺱ صفر أو عندما يقترب ﻕ من صفر. وهذا يعني أنه من غير المنطقي تعيين قيمة للنهاية عندما يقترب ﻕ من الصفر. لذا نقول إن النهاية غير موجودة. في هذه الحالات كلها، النهاية غير موجودة. ومن ثم فالمشتقة غير موجودة. ومن ثم يمكننا القول إن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند ﺱ صفر.

إلى جانب إيجاد قيمة نهاية، يوجد أيضًا عدد من الأدوات الأخرى التي يمكن أن تساعدنا عند اشتقاق دالة ما. ومن أمثلة ذلك قاعدة القوى، التي تنص على أنه إذا كانت دالة ما ﺩﺱ على الصورة ﺱ أس ﻥ، فإن مشتقة هذه الدالة ستساوي ﻥ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نلاحظ هنا أن الخطوات تبدأ بالضرب في القوة التي كان ﺱ مرفوعًا لها. وبعد ذلك نقلل هذه القوة بمقدار واحد. هيا نلق نظرة على أحد الأمثلة التي تستخدم قاعدة القوى.

لدينا الدالة ﺩﺱ تساوي الجذر التكعيبي لـ ﺱ. الجزء (أ) ما مجال الدالة ﺩ؟

بالنسبة للجزء (أ)، يمكننا على الفور أن نتذكر أن الجذر التكعيبي لأي عدد حقيقي معرف على مجموعة الأعداد الحقيقية. أما إذا كان لدينا جذر تربيعي، فسنعرف أن هذه العبارة لن تكون صحيحة، لأن الجذر التربيعي للأعداد السالبة غير معرف على مجموعة الأعداد الحقيقية. ومع ذلك ففي هذه الحالة، يمكننا الإجابة عن الجزء (أ) بطريقة مباشرة تمامًا بأن نقول إن مجال ﺩ هو ﺡ، مجموعة الأعداد الحقيقية.

ننتقل إلى الجزء (ب)، إيجاد مشتقة ﺩ. إحدى الأدوات التي يمكننا استخدامها هي قاعدة القوى. تنص هذه القاعدة على أنه لدالة ما ﺩﺱ على الصورة ﺱ أس ﻥ، فإن مشتقة هذه الدالة ستساوي ﻥ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. لتطبيق هذه القاعدة على السؤال، سيساعدنا أن نعبر عن الجذر التكعيبي لـ ﺱ بالصورة ﺱ أس واحد على ثلاثة. يمكننا بعد ذلك تطبيق قاعدة القوى، بضرب ﺱ في واحد على ثلاثة، وهو القوة، ثم طرح واحد من القوة وهو ما يعطينا سالب اثنين على ثلاثة. وهناك طريقة مكافئة للتعبير عن ذلك وهي واحد على ثلاثة في الجذر التكعيبي لـ ﺱ تربيع. وبهذا نكون طبقنا قاعدة القوى بنجاح. وحللنا الجزء (ب) بإيجاد مقدار يعبر عن مشتقة الدالة ﺩ.

وأخيرًا، الجزء (ج)، إيجاد مجال هذه المشتقة، سنستخدم المقدار الذي أوجدناه للتو. في هذا الجزء من السؤال، يجب علينا التفكير في جميع النقاط التي تكون ﺩ شرطة ﺱ غير معرفة عندها. بما أن لدينا ﺩ شرطة ﺱ على صورة دالة كسرية، يمكننا القول إنها ستكون غير معرفة إذا كان مقام الدالة الكسرية يساوي صفرًا. لذا نحتاج لإيجاد قيمة ﺱ التي تجعل ثلاثة في الجذر التكعيبي لـ ﺱ تربيع يساوي صفرًا. والقيمة الوحيدة التي تحقق ذلك هي ﺱ يساوي صفرًا. بما أن ﺱ يساوي صفرًا هي النقطة الوحيدة التي عندها تكون الدالة ﺩ شرطة ﺱ غير معرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية، يمكننا استنتاج ما يلي. مجال مشتقة الدالة، ﺩ شرطة، هو مجموعة الأعداد الحقيقية ﺡ ناقص المجموعة التي تحتوي الصفر.

ها قد حللنا أجزاء السؤال الثلاثة.

ويمكننا ملاحظة حقيقة أن مجال دالة ما ﺩ ليس من الضروري أن يكون هو نفسه مجال مشتقتها. في المثال الذي رأيناه، بدلًا من حساب قيمة النهاية لإيجاد المشتقة، استخدمنا قاعدة القوى لتسريع العملية. ولكن في بعض الأمثلة قد لا توفر لنا قاعدة القوى فهمًا كاملًا للدالة. لنلق نظرة على أحد هذه الأمثلة لتوضيح ذلك.

افترض أن الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ستة ﺱ ناقص أربعة، لكل ﺱ أقل من أو يساوي سالب واحد، وتساوي ثلاثة ﺱ تربيع لكل ﺱ أكبر من سالب واحد. ماذا يمكن أن يقال عن قابلية الدالة ﺩ للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب واحد؟

لدينا هنا دالة متعددة التعريف مكونة من دالتين فرعيتين، إحداهما ذات حدين والأخرى وحيدة الحد. كلتا هاتين الدالتين الفرعيتين مستقلة أو تعرف بأنها دالة ملساء ومعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية كلها. في الحقيقة، يمكننا القول إن جميع الدوال الكثيرات الحدود ملساء، وهو ما يعني أنها قابلة للاشتقاق على مجموعة الأعداد الحقيقية. ولكن في الدوال المتعددة التعريف، يجب أن نبحث عن النقطة التي تلتقي عندها الدالتان الفرعيتان. وهي في هذه الحالة ﺱ يساوي سالب واحد. لكي نبدأ العملية، دعونا أولًا نشتق الدالتين الفرعيتين باستخدام قاعدة القوى.

مشتقة سالب ستة ﺱ ناقص أربعة تساوي سالب ستة في ﺱ أس صفر، وهو ما يساوي، بالطبع، سالب ستة فحسب. مشتقة ثلاثة ﺱ تربيع تساوي اثنين في ثلاثة ﺱ، وهو ما يساوي بالطبع ستة ﺱ. يمكننا تمثيل ذلك باختصار أكبر بأن نقول إن ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب ستة إذا كان ﺱ أقل من سالب واحد، وتساوي ستة ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من سالب واحد. من الجدير بالملاحظة أنه بالرغم من أننا نرى هنا رمز التباين أقل من أو يساوي، فلن نضع أي افتراضات حول قيمة المشتقة عند ﺱ يساوي سالب واحد، لأن هذا هو ما نحاول إيجاده الآن.

بالنسبة للمشتقة على جانبي النقطة التي تلتقي عندها الدالتان الفرعيتان، يمكننا متابعة الحل بالتعويض بالقيمة ﺱ يساوي سالب واحد في الدالتين الفرعيتين اللتين أوجدناهما لـ ﺩ شرطة ﺱ. وبذلك سنجد أن قيمة كل منهما هي سالب ستة. من هنا يمكننا استنتاج أنه بما أن هاتين القيمتين متساويتان، فستكون الدالة قابلة للاشتقاق عند النقطة حيث ﺱ يساوي سالب واحد. ولكن مع الأسف فهذا ليس صحيحًا. وسنعرف السبب. هيا نتذكر تعريف المشتقة بوصفها نهاية.

وضحنا هنا النهاية التي تعرف المشتقة. للمضي قدمًا، نعرف أنه بما أن الدالة معرفة تعريفين مختلفين على جانبي النقطة حيث ﺱ يساوي سالب واحد، إذن سيختلف المقداران المعبران عن النهاية من الجهتين اليسرى واليمنى. إذا تذكرنا أن ﺱ صفر يساوي سالب واحد، يمكننا البدء بالتعبير عن النهاية اليسرى كما يلي. من الواضح أنه لا يمكننا التعويض بـ ﻕ يساوي صفرًا في هذا المقدار. وإلا فلن يتبقى لنا سوى الصيغة غير المعينة صفر على صفر. بدلًا من ذلك، نعرف أنه عندما يكون ﺱ أقل من سالب واحد، فإن ﺩﺱ تساوي سالب ستة ﺱ ناقص أربعة. إذن فقيمة ﺩ لسالب واحد زائد ﻕ ستكون اثنين ناقص ستة ﻕ.

بالمنطق نفسه، عندما يكون ﺱ يساوي سالب واحد تكون ﺩﺱ هي الدالة الفرعية نفسها. ولذلك فإن قيمة ﺩ لسالب واحد تساوي اثنين، وبالتعويض بهاتين القيمتين سنجد أن المقدار المعبر عن النهاية اليسرى يساوي اثنين ناقص ستة ﻕ ناقص اثنين الكل على ﻕ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب ستة ﻕ على ﻕ. عند هذه المرحلة، وبما أننا نعرف أن ﻕ يقترب من صفر ولا يساوي صفرًا، يمكننا أن نحذف العامل المشترك بين بسط ومقام هذه الدالة الكسرية. يتبقى لنا إذن النهاية عندما يقترب ﻕ من صفر من اليسار لسالب ستة، وهو ما يساوي سالب ستة بالطبع.

أما بالنسبة للنهاية من الجهة اليمنى، فبنفس المنطق المذكور سابقًا، نعرف أنه عندما يكون ﺱ أكبر من سالب واحد، فإن ﺩﺱ تعرف بالدالة الفرعية ثلاثة ﺱ تربيع. ومن هنا ففي هذه الحالة، فإن قيمة ﺩ لسالب واحد زائد ﻕ ستكون ثلاثة ناقص ستة ﻕ زائد ثلاثة ﻕ تربيع. بالنسبة لـ ﺩ لسالب واحد، يجب أن نحرص على عدم استخدام ثلاثة ﺱ تربيع مرة أخرى. حيث إنه عندما يكون ﺱ يساوي سالب واحد، فإن ﺩ تكون معرفة بالدالة الفرعية الأخرى. وقد وجدنا بالفعل سابقًا أن قيمتها هي اثنان. مرة أخرى، نجري العملية نفسها بالتعويض بهاتين القيمتين وتبسيط المقدار المعبر عن النهاية. ولكننا نصل إلى ناتج مختلف هذه المرة. بالنظر إلى الحد الأول في هذه النهاية، سيكون لدينا النهاية عندما يقترب ﻕ من الصفر من الاتجاه الموجب لواحد على ﻕ، وهو ما يساوي ما لا نهاية. وبالتبعية، فهذا يعني أن النهاية اليمنى ككل تساوي ما لا نهاية أيضًا.

نحن نعرف أن هذه هي إحدى طرق التعبير عن عدم وجود النهاية. إذا كانت النهاية اليمنى غير موجودة، فهذا يعني أيضًا أن النهاية العادية غير موجودة. ومن ثم تكون المشتقة غير معرفة. والسبب وراء ذلك هو عدم اتصال التمثيل البياني عند ﺱ يساوي سالب واحد. وكنا سنرى ذلك لو أننا رسمنا التمثيل البياني. بما أننا استنتجنا أن المشتقة غير معرفة عند ﺱ يساوي سالب واحد، يمكننا القول أيضًا إن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب واحد. وهذه في الواقع هي إجابة سؤالنا.

كما رأينا في المثال، للتحقق من قابلية دالة للاشتقاق عند نقطة ما، لا يكفي بالضرورة أن نتحقق من اتفاق النهايتين اليمنى واليسرى لمشتقة الدالة عند تلك النقطة. بدلًا من ذلك، فعند قيمة ما ﺱ صفر، علينا أيضًا أن نتحقق من أن النهايتين اليسرى واليمنى للدالة نفسها عندما يقترب ﺱ من ﺱ صفر موجودتان ومتفقتان ومساويتان لقيمة الدالة عند ﺱ صفر. ويمكننا الحصول على صورة مألوفة أكثر للتعبير عن ذلك، إذا تذكرنا أنه عند استيفاء هذين الشرطين، عندئذ تكون النهاية العادية موجودة ولها القيمة نفسها. في الواقع، هذا هو شرط الاتصال.

من القواعد المهمة التي يمكننا الاستفادة منها هي أنه إذا كانت دالة ما قابلة للاشتقاق عند نقطة ﺱ صفر، فإنها تكون أيضًا متصلة عند هذه النقطة. وهناك عبارة مكافئة منطقيًا لهذه القاعدة، وهي أنه إذا كانت الدالة غير متصلة عند نقطة ﺱ صفر، فإنها أيضًا غير قابلة للاشتقاق عند ﺱ صفر. يجب أن نكون حريصين بعض الشيء على عدم التوسع في استخدام هذه القاعدة حتى لا ينتهي الأمر باستنتاج خطأ، وهو أنه إذا كانت الدالة متصلة عند ﺱ صفر، فستكون قابلة للاشتقاق أيضًا عند ﺱ صفر. وهذا في الواقع خطأ. وقد يساعدنا الرسم التالي في فهم ذلك.

افترض أن الدائرة البرتقالية تمثل جميع الدوال المتصلة. والدائرة الوردية تمثل جميع الدوال القابلة للاشتقاق. كما نرى، دائرة الدوال القابلة للاشتقاق تقع ضمن دائرة جميع الدوال المتصلة. إذا كان لدينا دالة ﺩﺱ تقع داخل دائرة الدوال القابلة للاشتقاق، فسنعرف أنها بالتأكيد تقع أيضًا داخل دائرة الدوال المتصلة. والآن، افترض وجود دالة أخرى ﺭﺱ، لا تقع داخل دائرة الدوال المتصلة. بالنظر إليها، سنعرف بالتأكيد أنها أيضًا لا تقع داخل دائرة الدوال القابلة للاشتقاق.

ولكن إذا افترضنا وجود دالة ثالثة ﻕﺱ، فمن الممكن أن تقع داخل دائرة الدوال المتصلة دون أن تقع بالضرورة داخل دائرة الدوال القابلة للاشتقاق. هذا يعني أنه إذا كانت ﻕﺱ متصلة، فقد تكون قابلة أو غير قابلة للاشتقاق. ولا يمكننا الوصول لاستنتاجات بناء على اتصال الدالة فقط. في الحقيقة، يوجد الكثير من الأمثلة لدوال متصلة ولكنها غير قابلة للاشتقاق. ورأينا هذا بالفعل في الركن الذي تناولناه في السؤال الأول. عند تحديد إذا ما كانت دالة قابلة للاشتقاق عند ﺱ صفر أو لا، يمكننا عندئذ اتباع الخطوات التالية.

نتحقق أولًا من اتصال الدالة ﺩ عند ﺱ صفر. إذا لم تكن متصلة، نستنتج أن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند ﺱ صفر. أما إذا كانت متصلة، فعلينا عندئذ التحقق من أن النهايتين اليسرى واليمنى للمشتقة ﺩ شرطة عندما يقترب ﺱ من ﺱ صفر موجودتان ومتفقتان. ومرة أخرى، إذا لم يتحقق ذلك، نستنتج أن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند ﺱ صفر. ولكن إذا تحقق ذلك ننتقل إلى الخطوة التالية. نستنتج أن الدالة ﺩ قابلة للاشتقاق عند ﺱ صفر. دعونا نر مثالًا أخيرًا لتوضيح هذه العملية.

افترض أن ﺩﺱ تساوي سالب واحد زائد ثلاثة على ﺱ لكل ﺱ أقل من أو يساوي واحدًا، وسالب ﺱ تكعيب زائد ثلاثة لكل ﺱ أكبر من واحد. ماذا يمكن أن يقال عن قابلية الدالة ﺩ للاشتقاق عند ﺱ يساوي واحدًا؟

لدينا هنا دالة متعددة التعريف والمطلوب هو التحقق من قابليتها للاشتقاق. إذا سمينا القيمة واحدًا بـ ﺱ صفر، فسنبدأ العملية العامة لحل هذا النوع من الأسئلة بالتحقق أولًا من اتصال الدالة عند ﺱ صفر. ثم إذا تحقق هذا الشرط، فسنتحقق من أن نهاية المشتقة عندما يقترب ﺱ من ﺱ صفر موجودة، وهو ما يعني التحقق من أن كلا النهايتين اليسرى واليمنى موجودتان ومتفقتان. نبدأ أولًا بشرط اتصال الدالة الموضح هنا. بما أن هذه الدالة متعددة التعريف، فسيكون علينا التحقق من أن النهايتين اليسرى واليمنى لـ ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من واحد موجودتان ومتفقتان. عندما يكون ﺱ أقل من واحد، فإن الدالة تساوي سالب واحد زائد ثلاثة على ﺱ. وبالتعويض المباشر، نجد أن قيمة النهاية من الجهة اليسرى هي اثنان. عندما يكون ﺱ أكبر من واحد، فإن الدالة تساوي سالب ﺱ تكعيب زائد ثلاثة. وباتباع النهج نفسه، نجد أن قيمة النهاية من الجهة اليمنى تساوي اثنين أيضًا.

بما أن هاتين النهايتين موجودتان ومتفقتان، يمكننا أيضًا استنتاج أن النهاية العادية موجودة وتساوي اثنين. أما بالنسبة إلى ﺩ لواحد، فإن الدالة نفسها معرفة بالدالة الفرعية الأولى بما أن ﺱ يساوي واحدًا. وفي الواقع، عوضنا بالفعل بواحد في الدالة الفرعية الأولى هنا، وهو ما أعطانا إجابة هي اثنان. هذا يعني أنه يمكننا القول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺩﺱ وﺩ لواحد كلتاهما تساوي اثنين. وبهذا نكون قد تحققنا من شرط الاتصال وعرفنا أن الدالة متصلة عند ﺱ يساوي واحدًا. والآن لنتابع ونفكر في مشتقة الدالة.

بما أن الدالة متعددة التعريف، فستكون مشتقة الدالة أيضًا متعددة التعريف. وسيكون علينا اشتقاق كلا الدالتين الفرعيتين. ومن الجدير بالملاحظة هنا أننا لم نضع حتى الآن أي افتراضات حول المشتقة عندما يكون ﺱ يساوي واحدًا، حيث إن هذا هو في الحقيقة ما نحاول معرفته الآن. إحدى الأدوات التي يمكننا استخدامها لمساعدتنا في اشتقاق الدالة الفرعية هي قاعدة القوى الموضحة هنا. لمساعدتنا في تطبيق هذه القاعدة بسهولة أكبر، يمكننا إعادة كتابة ثلاثة على ﺱ ليصبح ثلاثة ﺱ أس سالب واحد. وبتطبيق القاعدة، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب ثلاثة على ﺱ تربيع إذا كان ﺱ أقل من واحد، وسالب ثلاثة ﺱ تربيع إذا كان ﺱ أكبر من واحد.

علينا التفكير الآن في النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺩ شرطة ﺱ. وسنقوم بذلك عبر اختبار النهايتين اليسرى واليمنى في عملية تشبه تلك التي أجريناها توًا للتحقق من شرط الاتصال. بالتعويض المباشر بواحد، نجد أن النهايتين متساويتان وقيمة كل منهما سالب ثلاثة. وبما أنهما موجودتان ومتفقتان، فستكون النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب ثلاثة أيضًا. وبما أن هذه النهاية موجودة، نعرف أن المشتقة أيضًا موجودة عند ﺱ يساوي واحدًا. وبهذا نكون قد أكملنا جميع خطوات العملية. ومن هنا، يمكننا استنتاج أن الدالة ﺩ قابلة للاشتقاق عند النقطة حيث ﺱ يساوي واحدًا.

في هذا المثال، وضحنا عملية تحديد قابلية دالة للاشتقاق عند نقطة ما. وقمنا بذلك باستخدام العلاقة بين قابلية الدالة للاشتقاق واتصالها، إلى جانب أدوات الاشتقاق، مثل قاعدة القوى. للتلخيص، لنراجع بضع نقاط أساسية. يمكن تمثيل المشتقة باستخدام ترميز ليبنز أو ترميز لاجرانج. ولدينا تعريفان مختلفان للمشتقة، ولكنهما متكافئان، وكلاهما يستخدم النهايات. عندما تكون النهاية غير موجودة، فإن الدالة نفسها تكون غير قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة. وهناك حالات مختلفة يمكن أن يحدث فيها ذلك. وأخيرًا، يمكننا التوصل إلى استنتاجات حول الدالة بناء على العلاقة بين القابلية للاشتقاق وبين الاتصال.