فيديو السؤال: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة كثيرة الحدود الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد الفترات التي تكون عليها الدالة د ﺱ تساوي ثلاثة ﺱ تكعيب ناقص تسعة ﺱ تربيع ناقص أربعة تزايدية والفترات التي تكون عليها تناقصية.

باستخدام التعريف، تكون الدالة تزايدية على الفترة ﻑ إذا كان د ﺱ واحد أقل من د ﺱ اثنين، عندما يكون ﺱ واحد أقل من ﺱ اثنين حيث إن ﺱ واحد وﺱ اثنين يقعان في الفترة ﻑ. وتكون الدالة تناقصية على الفترة ﻑ إذا كان د ﺱ واحد أكبر من د ﺱ اثنين، عندما يكون ﺱ واحد أقل من ﺱ اثنين حيث إن ﺱ واحد وﺱ اثنين يقعان في الفترة ﻑ. هذا هو التعريف المنهجي. لكن أفضل طريقة، في الواقع، لتناول الدوال التزايدية والتناقصية تتمثل في استخدام تمثيلاتها البيانية.

يبدو التمثيل البياني للدالة التزايدية هكذا: تزداد قيمة ﺹ كلما ازدادت قيمة ﺱ. لكن ليس بالمعدل نفسه دائمًا. والتمثيل البياني للدالة التناقصية على الفترة يبدو هكذا. لنتناول الآن المسألة المعطاة. علينا تحديد الفترات التي تكون فيها الدالة تزايدية، والفترات التي تكون فيها تناقصية. يمكننا محاولة تمثيل هذه الدالة بيانيًّا باستخدام الآلة الحاسبة الرسومية أو برنامج للتمثيل البياني. وهذا في الواقع ما يمكن أن نفعله.

لكننا سنحل هذا السؤال باستخدام أحد الاختبارات. إذا كانت قيمة مشتقة د، أي د شرطة ﺱ، أكبر من صفر في الفترة ﻑ، فإن د تزايدية على الفترة ﻑ. إذا كانت قيمة مشتقة د، د شرطة ﺱ، أقل من صفر في الفترة ﻑ، فإن د تناقصية على الفترة ﻑ. وهذا الاختبار منطقي بالنظر إلى التفسير البياني أعلاه. مماس الدالة التزايدية يكون له ميل موجب دائمًا؛ ولذلك قيمة د شرطة تكون موجبة. لكن مماس الدالة التناقصية يكون له ميل سالب؛ ومن ثم تكون قيمة د شرطة سالبة في هذه الفترة للدالة التناقصية.

سنمسح التعريف والتفسير البياني لإفراغ بعض المساحة لتطبيق الاختبار. يتضمن الاختبار د شرطة، وهي مشتقة الدالة. علينا إذن إيجاد د شرطة. عند اشتقاق الدالة كثيرة الحدود، نشتق كل حد على حدة، باستخدام حقيقة أن مشتقة ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ في ﻥ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. لاشتقاق ثلاثة ﺱ أس ثلاثة نضرب الأس والمعامل فنحصل على تسعة، ثم نطرح واحدًا من الأس فنحصل على ﺱ تربيع.

بالمثل، مشتقة تسعة ﺱ تربيع تساوي ١٨ﺱ، ومشتقة أربعة تساوي صفرًا. إذن، د شرطة ﺱ تساوي تسعة ﺱ تربيع ناقص ١٨ﺱ. تكون الدالة د تزايدية على الفترات التي تكون فيها قيمة هذه المشتقة أكبر من صفر، وتكون تناقصية على الفترات التي تكون فيها قيمة المشتقة أقل من صفر. إذن، علينا تحديد إشارة د شرطة. ويتسنى لنا ذلك من خلال تحليل د شرطة، ونكتبها على الصورة تسعة ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين.

وبناء على هذه الصورة المحللة، نلاحظ على الفور أن قيمة د شرطة تساوي صفرًا عند ﺱ يساوي صفرًا وﺱ يساوي اثنين. يسمى هذان العددان بالقيم الحرجة للدالة د. ولكي تتغير إشارة د شرطة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب، يجب أن تمر قيمتها بالصفر. وبذلك نعرف أن قيم د شرطة يجب أن تكون لها الإشارة نفسها على الفترة ﺱ أقل من صفر. إذا تغيرت إشارة د شرطة عند قيم أقل من صفر، لأنها دالة متصلة، فستكون هناك قيمة لـ ﺱ أقل من صفر تكون عندها قيمة د شرطة تساوي صفرًا. ولاحظنا أن قيمة د شرطة تساوي صفرًا فقط عند ﺱ يساوي صفرًا وﺱ يساوي اثنين.

بالمثل، د شرطة لا يمكن أن تتغير إشارتها بين صفر واثنين. كذلك د شرطة لا يمكن أن تتغير إشارتها عند ﺱ أكبر من اثنين. إذا تغيرت إشارة د شرطة بالفعل في أي قيمة، فلا بد أن تكون هذه القيمة هي صفر أو اثنين. نريد تحديد إشارة د شرطة على هذه الفترات. ويمكننا فعل ذلك بالنظر إلى إشارات عواملها. بالجزء العلوي من الجدول، لدينا عاملان لـ د شرطة، وهما تسعة ﺱ وﺱ ناقص اثنين، ثم د شرطة نفسه.

هيا نشرع في استكمال الجدول. ما إشارة تسعة ﺱ عندما يكون ﺱ أقل من صفر؟ تسعة ﺱ يكون سالبًا عند ﺱ أقل من صفر. نلاحظ ذلك بضرب كلا طرفي المتباينة، التي تحدد هذه الفترة، في تسعة. وماذا عن إشارة تسعة ﺱ عندما يقع ﺱ بين صفر واثنين؟ بالمثل، نلاحظ أن قيمة تسعة ﺱ تقع بين صفر و ١٨؛ أي إنها موجبة على وجه التحديد. وأخيرًا بالنسبة إلى الفترة الثالثة، نجد أن تسعة ﺱ أكبر من ١٨، وبالتالي تكون الإشارة موجبة.

نطبق الخطوات نفسها على العامل ﺱ ناقص اثنين. في المنطقة الأولى، تكون القيمة أقل من سالب اثنين؛ ومن ثم تكون الإشارة سالبة. وفي المنطقة الثانية، تكون القيمة بين سالب اثنين وصفر؛ ومن ثم فالإشارة سالبة هنا أيضًا. أخيرًا بالنسبة إلى المنطقة الثالثة، تكون الإشارة موجبة. بذلك نكون قد حددنا إشارات عاملي د شرطة. كل ما علينا فعله الآن هو تحديد إشارة د شرطة نفسها في كل منطقة من هذه المناطق. في المنطقة الأولى، قيمة ﺱ أقل من صفر، والعاملان سالبان. من ثم، إشارة د شرطة تساوي سالب في سالب، وهو ما يساوي موجب.

بالمثل، في المنطقة الثانية، إشارة د شرطة تساوي قيمة موجبة في قيمة سالبة، وهو ما يعطينا قيمة سالبة. وأخيرًا، في المنطقة الثالثة، إشارة د شرطة تساوي قيمة موجبة في قيمة موجبة؛ ومن ثم تساوي قيمة موجبة. بالرجوع إلى اختبار التزايد والتناقص، إذا كانت قيمة د شرطة موجبة في الفترة ﻑ، فإن د تكون تزايدية على الفترة ﻑ؛ أما إذا كانت قيمة د شرطة سالبة في الفترة ﻑ، فإند تكون تناقصية على الفترة ﻑ.

إذن، د تكون تزايدية على هاتين الفترتين، وتناقصية على هذه الفترة. لم يتبق لنا سوى كتابة الإجابة النهائية: د تزايدية على الفترتين اللتين يكون فيهما ﺱ أقل من صفر وﺱ أكبر من اثنين، وتناقصية على الفترة التي يقع فيها ﺱ بين صفر واثنين. هيا نكتب ذلك باستخدام ترميز الفترة. ‏ﺱ أقل من صفر يمثل الفترة المفتوحة بين سالب ما لا نهاية وصفر. ‏ﺱ أكبر من اثنين يمثل الفترة المفتوحة من اثنين إلى ما لا نهاية. وﺱ أقل من اثنين وأكبر من صفر يمثل الفترة المفتوحة من صفر إلى اثنين.

إذن، الإجابة هي: د تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى صفر، وتزايدية أيضًا على الفترة المفتوحة من اثنين إلى ما لا نهاية؛ وتناقصية على الفترة المفتوحة من صفر إلى اثنين. بذلك، نكون قد حللنا هذه المسألة باستخدام اختبار التزايد والتناقص، الذي يستخدم إشارة د شرطة لمعرفة فترات تزايد د وفترات تناقصها.