فيديو الدرس: تحديد فترات تزايد وتناقص الدالة باستخدام المشتقات الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم ما المقصود بتزايد أو تناقص دالة على فترة معينة. كما سنرى كيف نحدد إذا ما كانت دالة ما تتزايد أو تتناقص على فترة معينة باستخدام المشتقات. يجب أن تكون على دراية بكيفية اشتقاق الدوال الكثيرة الحدود والمثلثية والأسية واللوغاريتمية، وكذلك كيفية اشتقاق تركيبات من هذه الدوال باستخدام قاعدة حاصل الضرب وقاعدة القسمة وقاعدة السلسلة.

لنر أولًا ما المقصود بالمصطلحين «تزايد» و«تناقص» فيما يتعلق بالدوال. فيما يلي التعريف المنهجي لمعنى أن تكون الدالة تناقصية على فترة معينة. تكون الدالة تناقصية على الفترة ﻑ إذا كان ﺩ(ﺱ) واحد أكبر من ﺩ(ﺱ) اثنين، عندما يكون ﺱ واحد أصغر من ﺱ اثنين لأي نقطتين ﺱ واحد وﺱ اثنين في الفترة ﻑ. وبالنظر إلى الجزء الأيسر للتمثيل البياني الذي رسمته لدالة تربيعية، نجد النقطتين ﺱ واحد وﺱ اثنين، حيث ﺱ واحد أصغر من ﺱ اثنين. نلاحظ أن ﺩ(ﺱ) واحد أكبر من ﺩ(ﺱ) اثنين. ومن ثم، تكون الدالة هنا تناقصية على هذه الفترة.

وبلغة عملية أكثر، معنى هذا أن ميل منحنى الدالة سالب، وهذا منطقي. إذا كانت قيمة الدالة تتناقص، أي تقل، فلا بد أن التمثيل البياني للدالة ينحدر للأسفل. لنتذكر أننا نحصل على ميل الدالة من مشتقتها الأولى، وعلى ذلك يمكن أن نصوغ تعريفًا بديلًا. تكون الدالة تناقصية على الفترة ﻑ إذا كانت قيمة مشتقتها الأولى ﺩ شرطة ﺱ أصغر من صفر، أي سالبة، لكل قيم ﺱ في الفترة ﻑ.

هنا، نلاحظ ارتباط ذلك بالمشتقات. إذا حصلنا على المشتقة الأولى لدالة ﺩ شرطة ﺱ، فيمكن أن نحدد أين تكون قيمة هذه المشتقة سالبة لكي نحدد الفترات حيث تكون الدالة تناقصية. وبالمثل، يمكن أن نعبر عن تعريف الدالة التزايدية بنفس الطريقة. أولًا، ينص التعريف المنهجي على أن الدالة تكون تزايدية على الفترة ﻑ إذا كان ﺩ(ﺱ) واحد أصغر من ﺩ(ﺱ) اثنين، عندما يكون ﺱ واحد أصغر من ﺱ اثنين لكل قيم ﺱ واحد وﺱ اثنين في الفترة ﻑ. نلاحظ هذه المرة أنه كلما كانت قيم ﺱ أكبر، زادت قيم الدالة نفسها. إذن، تكون الدالة تزايدية كلما زادت قيم ﺱ.

وبلغة عملية أكثر، معنى هذا أن ميل منحنى الدالة سيكون موجبًا. ومن ثم، سينحدر التمثيل البياني للدالة للأعلى. مرة أخرى، بتذكر أننا نحصل على ميل الدالة من مشتقتها الأولى، نجد أن الدالة تكون تزايدية على الفترة ﻑ إذا كانت قيمة المشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ أكبر من صفر لكل قيم ﺱ في الفترة ﻑ. لنر الآن كيف يمكن أن نطبق تعريف الدوال التزايدية والتناقصية بدلالة مشتقاتها الأولى في بعض المسائل.

إذا كان ﺩ(ﺱ) يساوي خمسة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، فأوجد الفترات التي تكون خلالها الدالة ﺩ تزايدية أو تناقصية.

أولًا، نتذكر أن الدالة تكون تزايدية عندما تكون قيمة مشتقتها الأولى ﺩ شرطة ﺱ أكبر من صفر وتكون الدالة تناقصية عندما تكون قيمة مشتقتها الأولى ﺩ شرطة ﺱ أصغر من صفر. علينا إذن إيجاد تعبير للمشتقة الأولى لهذه الدالة. يمكن أن نشتق الحدود الواحد تلو الآخر. مشتقة خمسة ﺱ تربيع تساوي خمسة في اثنين ﺱ، وهو ما يساوي ١٠ﺱ. ومشتقة سالب ثلاثة ﺱ تساوي سالب ثلاثة. ومشتقة سالب اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تساوي سالب واحد على ﺱ. وبذلك، لدينا المشتقة الأولى. ‏ﺩ شرطة ﺱ تساوي ١٠ﺱ ناقص ثلاثة ناقص واحد على ﺱ.

أولًا، طبقًا لتعريف الدالة التزايدية، تكون ﺩ دالة تزايدية إذا كانت قيمة مشتقتها الأولى ١٠ﺱ ناقص ثلاثة ناقص واحد على ﺱ أكبر من صفر. وبذلك، نحصل على متباينة في ﺱ علينا حلها. نظرًا لوجود ﺱ في مقام هذا الكسر كما نرى، فإن الخطوة الأولى التي علينا اتخاذها هي أن نضرب في ﺱ لنتخلص من هذا الكسر. لكن علينا أن ننتبه هنا لأن هذه متباينة ونحن غير متأكدين من أن قيمة ﺱ موجبة. إذا ضربنا في سالب قيمة ﺱ، فعلينا أن نعكس اتجاه المتباينة.

لكن إذا نظرنا إلى الدالة الأصلية، نجد أنها تتضمن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. واللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ غير معرف لقيم ﺱ التي هي أصغر من أو تساوي صفرًا. معنى هذا أن مجال الدالة ﺩ(ﺱ) هو ﺱ أكبر من صفر. نحن نتعامل مع قيم ﺱ الموجبة فقط. وبذلك، يمكن أن نضرب المتباينة في ﺱ دون أن نقلق بشأن تغيير علامة المتباينة.

بالضرب في ﺱ نحصل على ١٠ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص واحد أكبر من صفر. وبذلك تكون لدينا متباينة تربيعية علينا حلها. ثمة طرق مختلفة يمكن أن نستخدمها، لكن بالتأكيد علينا أن نبدأ بتحليل المتباينة. باستخدام الطريقة المنهجية في التحليل عن طريق التجميع، أي من خلال التجربة والخطأ لإيجاد المعامل الذي يقبل القسمة، نجد أن هذه المتباينة التربيعية تحلل إلى خمسة ﺱ زائد واحد مضروبًا في اثنين ﺱ ناقص واحد.

بعد ذلك، علينا إيجاد القيم الحرجة لهذا التعبير التربيعي، وذلك بأن نساوي كلا القوسين بصفر، وليس أكبر من صفر. ثم نحل كل معادلة خطية على حدة، فنحصل على ﺱ يساوي سالب خمس وﺱ يساوي نصفًا. إذن، هاتان هما النقطتان الحرجتان لهذا التعبير التربيعي للمتباينة. والآن، يمكن أن نتابع الحل بطريقتين. الأولى هي أن نستخدم جدولًا للقيم لنتحقق من إشارة التعبير التربيعي على كلا جانبي النقاط الحرجة وبينها. والطريقة الثانية هي أن نرسم تمثيلًا بيانيًا. وسأختار هذه الطريقة الثانية لشرح هذا.

نعلم أن لدينا تعبيرًا تربيعيًا بمعامل رئيسي موجب. إذن، التمثيل البياني سيكون عبارة عن قطع مكافئ. ونعلم قيمتي النقطتين الحرجتين، وهما القيمتان اللتان عندهما يقطع التمثيل البياني المحور ﺱ، وهما سالب خمس ونصف. إذن، سيبدو التمثيل البياني هكذا. تذكر أن هذا هو التمثيل البياني للمشتقة الأولى، ١٠ﺱ ناقص ثلاثة ناقص واحد على ﺱ. ذكرنا سابقًا أن الدالة ﺩ ستكون تزايدية عندما تكون قيمة مشتقتها الأولى ﺩ شرطة ﺱ أكبر من صفر. ويحدث هذا عندما يكون التمثيل البياني لمشتقتها ﺩ شرطة ﺱ أعلى المحور ﺱ.

هذا ينطبق على جزأين في التمثيل البياني، الجزء الذي فيه قيم ﺱ أصغر من سالب خمس، والجزء الذي فيه قيم ﺱ أكبر من نصف. لكن تذكر أننا قلنا سابقًا أن مجال الدالة ﺩ(ﺱ) هو ﺱ أكبر من صفر فقط. وبذلك، يمكن أن نتجاهل نصف التمثيل البياني تمامًا. يمكننا القول إن الدالة ﺩ تزايدية على الفترة المفتوحة من نصف إلى ما لا نهاية. أي كل قيم ﺱ التي تكون أكبر من نصف.

لكي نرى أين تكون الدالة تناقصية، ننظر إلى المنطقة التي تكون فيها قيمة المشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ أصغر من صفر، مما يعني أننا نظر إلى ذلك الجزء من التمثيل البياني الذي يقع أسفل المحور ﺱ. لكن في التمثيل البياني الأصلي، كان ذلك سيصبح في كل مكان بين القيمتين الحرجتين. لكن بما أننا حذفنا جزءًا من التمثيل البياني واحتفظنا فقط بقيم ﺱ من صفر، وهذا لكل قيم ﺱ التي أكبر من صفر وأصغر من نصف. إذن، تكون ﺩ دالة تناقصية على الفترة المفتوحة من صفر إلى نصف.

وبذلك نكون أكملنا حل المسألة. لقد قمنا باشتقاق الدالة ﺩ(ﺱ) لنوجد المشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ، ثم طبقنا ما نعرفه عن المتباينات التربيعية لنعرف أين تكون قيمة ﺩ شرطة ﺱ أكبر من صفر وأين تكون قيمة ﺩ شرطة ﺱ أصغر من صفر.

والآن، يمكن أن نحتاج أيضًا إلى تطبيق القواعد الرئيسية للاشتقاق، مثل قاعدة السلسلة أو قاعدة حاصل الضرب أو قاعدة القسمة، لكي نجيب عن الأسئلة التي تتضمن دوال أكثر تعقيدًا. لنر مثالًا على ذلك.

عين فترات تزايد وتناقص الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي سبعة ﺱ على ﺱ تربيع زائد تسعة.

علينا أن نتذكر أولًا أنه يمكننا تحديد إذا ما كانت الدالة تزايدية أو تناقصية بالنظر إلى مشتقتها. تكون الدالة تزايدية عندما تكون قيمة مشتقتها الأولى موجبة، وتكون تناقصية عندما تكون قيمة مشتقتها الأولى سالبة. إذن، علينا إيجاد تعبير لـ ﺩ شرطة ﺱ. بداية، نلاحظ أن ﺩ عبارة عن خارج قسمة. إذن، لكي نوجد قيمة هذه المشتقة، علينا أن نطبق قاعدة القسمة.

وتنص قاعدة القسمة على أنه بالنسبة إلى دالتين قابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ، فإن مشتقة خارج قسمة ﻉ على ﻕ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻕ في 𝑑ﻉ على 𝑑ﺱ ناقص ﻉ في 𝑑ﻕ على 𝑑ﺱ الكل على ﻕ تربيع. بعد ذلك، نفترض أن ﻉ يساوي بسط خارج القسمة، وهو سبعة ﺱ، وأن ﻕ يساوي المقام، وهو ﺱ تربيع زائد تسعة. ويمكن أن نوجد ﺩﻉ على ﺩﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق. ‏‏ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي سبعة، وﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ.

وبالتعويض في صيغة قاعدة القسمة، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد تسعة مضروبًا في سبعة ناقص سبعة ﺱ مضروبًا في اثنين ﺱ الكل على ﺱ تربيع زائد تسعة الكل تربيع. وبتوزيع الأقواس في البسط، نحصل على سبعة ﺱ تربيع زائد ٦٣ ناقص ١٤ﺱ تربيع الكل على ﺱ تربيع زائد تسعة الكل تربيع. وهو ما يبسط بعد ذلك إلى ٦٣ ناقص سبعة ﺱ تربيع على ﺱ تربيع زائد تسعة الكل تربيع. وهكذا أصبح لدينا تعبير للمشتقة الأولى.

تكون الدالة ﺩ تزايدية عندما تكون قيمة مشتقتها الأولى أكبر من صفر. لدينا الآن متباينة في ﺱ وعلينا حلها. في الواقع يمكننا الآن تبسيط هذا قليلًا. لاحظ أن مقام هذا البسط عبارة عن مربع، ﺱ تربيع زائد تسعة الكل تربيع. وبذلك، سيكون المقام أكبر من صفر دائمًا. لكي يكون الكسر بالكامل أكبر من صفر، علينا أن نتأكد أن البسط أكبر من صفر؛ لأنه عندما نقسم مقدارًا موجبًا على مقدار موجب، فسنحصل على ناتج موجب.

وبذلك، تبسط المتباينة لتصبح ٦٣ ناقص سبعة ﺱ تربيع أكبر من صفر. يمكن أن نقسم كلا الطرفين على سبعة ثم نضيف ﺱ تربيع لكل طرف، لنحصل بذلك على تسعة أكبر من ﺱ تربيع. أو نكتبها بالعكس، ﺱ تربيع أصغر من تسعة. وهكذا، تكون لدينا متباينة تربيعية مباشرة إلى حد ما ويسهل حلها. إذا كان ﺱ تربيع أصغر من تسعة، أي أصغر من تسعة ولا يساويها، فإن قيمة ﺱ تقع بين سالب ثلاثة وثلاثة، لكن دون أن تشمل هاتين القيمتين. وبذلك، يكون حل هذه المتباينة التربيعية هو ﺱ أكبر من سالب ثلاثة وأصغر من ثلاثة، أو الفترة المفتوحة من سالب ثلاثة إلى ثلاثة.

وهكذا وجدنا الفترة الوحيدة التي تكون خلالها الدالة ﺩ(ﺱ) تزايدية. لكي نحدد أين تكون الدالة تناقصية، يجب أن تكون قيمة مشتقتها الأولى أصغر من صفر، ومن ثم فإن ٦٣ ناقص سبعة ﺱ تربيع أصغر من صفر. إذن، سنعكس اتجاه جميع علامات المتباينة في كل ما قمنا به سابقًا، لنجد أن ﺱ تربيع أكبر من تسعة. هذا لا ينطبق إلا على قيم ﺱ التي أصغر من سالب ثلاثة وقيم ﺱ التي أكبر من موجب ثلاثة. وهكذا، نجد أن الدالة تكون تناقصية على فترتين. الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى سالب ثلاثة، ومن ثلاثة إلى ما لا نهاية.

إذن، باستخدام قاعدة القسمة لإيجاد المشتقة الأولى للدالة ﺩ(ﺱ)، وحل متباينة تربيعية سهلة ومباشرة إلى حد ما. نجد أن الدالة ﺩ(ﺱ) تكون تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب ثلاثة إلى ثلاثة، وتكون تناقصية على الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى سالب ثلاثة، ومن ثلاثة إلى ما لا نهاية.

في المثال التالي، سنتناول مسألة تتضمن دوال مثلثية.

لكل ﺱ أكبر من صفر وأصغر من اثنين ‏𝜋‏ على خمسة، أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي جتا تربيع خمسة ﺱ زائد ثلاثة جتا خمسة ﺱ تزايدية أو تناقصية.

نتذكر أولًا أن الدالة تكون تزايدية عندما تكون قيمة مشتقتها الأولى ﺩ شرطة ﺱ أكبر من صفر. وتكون نفس الدالة تناقصية عندما تكون قيمة مشتقتها الأولى ﺩ شرطة ﺱ أصغر من صفر. علينا إذن إيجاد تعبير للمشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ لهذه الدالة المثلثية. ونتذكر أيضًا أن الناتج القياسي لاشتقاق جتا ﺃﺱ، وهو مشتقتها بالنسبة لـ ﺱ، يساوي سالب 𝑎 sin 𝑎ﺱ. هذا يساعدنا على اشتقاق الحد الثاني. مشتقة ثلاثة جتا خمسة ﺱ تساوي ثلاثة في سالب خمسة جا خمسة ﺱ. لكن ماذا عن الحد الأول؟

يمكن أن نعتبره جتا خمسة ﺱ الكل تربيع ثم نستخدم القاعدة العامة للقوى. وتنص على أنه إذا كانت لدينا دالة مرفوعة لقوة ما، فإن مشتقة هذه الدالة تساوي هذه القوة، أي تساوي اثنين، مضروبًا في مشتقة الدالة نفسها، أي سالب خمسة جا خمسة ﺱ، مضروبًا في هذه الدالة مرفوعة لقوة أقل بمقدار واحد. إذن، سنقلل القوة من اثنين إلى واحد.

وبذلك نجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي اثنين في سالب خمسة جا خمسة جتا ﺱ خمسة ﺱ زائد ثلاثة في سالب خمسة جا خمسة ﺱ. يمكن أن نأخذ سالب خمسة جا خمسة ﺱ عاملًا مشتركًا لنحصل على ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب خمسة جا خمسة ﺱ مضروبًا في اثنين جتا خمسة ﺱ زائد ثلاثة. وبذلك، تكون الدالة ﺩ تزايدية عندما تكون قيمة مشتقتها الأولى أكبر من صفر. والآن لنفكر كيف سنحل هذه المتباينة. وسنبدأ أولًا بالنظر إلى القوس الثاني.

التمثيل البياني لـ جتا خمسة ﺱ عبارة عن تمدد أفقي للتمثيل البياني لـ جتا ﺱ. وبذلك، تظل القيمة الصغرى سالب واحد والقيمة العظمى واحدًا. والتمثيل البياني لاثنين جتا خمسة ﺱ عبارة عن تمدد رأسي لهذا التمثيل البياني بمعامل قياس يساوي اثنين. وبذلك تكون القيمة الصغرى سالب اثنين والعظمى اثنين. وبإضافة ثلاثة، سيحدث انتقال رأسي لهذا التمثيل البياني، مما يعني أن القيمة الصغرى لاثنين جتا خمسة ﺱ زائد ثلاثة ستكون واحدًا، والقيمة العظمى ستكون خمسة.

وهذا يعني أن اثنين جتا خمسة ﺱ زائد ثلاثة سيكون أكبر من صفر دائمًا؛ لأن قيمته الصغرى ستكون واحدًا. وهكذا يكون أحد عوامل حاصل الضرب موجبًا دائمًا. ولكي يكون حاصل ضرب عاملين موجبًا، يجب أن تكون لهما نفس الإشارة. والأمر نفسه ينطبق على الدالة ﺩ حيث تكون تزايدية عندما يكون المعامل الأول، سالب خمسة جا خمسة ﺱ، موجبًا. وبذلك، أصبحت المسألة أسهل قليلًا. فنحن الآن نبحث فقط عن المنطقة التي يكون فيها سالب خمسة جا خمسة ﺱ أكبر من صفر.

يمكننا التبسيط بقسمة كلا الطرفين على سالب خمسة. وبما أننا نقسم على عدد سالب، فيجب أن نعكس علامة المتباينة ليصبح جا خمسة ﺱ أصغر من صفر. والآن، تذكر أن المجال المعطى لدينا لهذه الدالة هو ﺱ أكبر من صفر وأصغر من اثنين ‏𝜋‏ على خمسة. بافتراض أن ﻉ يساوي خمسة ﺱ، إذن إذا كان ﺱ يقع بين صفر واثنين ‏𝜋‏ على خمسة، فإن ﻉ سيقع بين صفر واثنين ‏𝜋‏. والآن نحن نبحث عن المنطقة التي تكون فيها قيمة جا ﻉ أصغر من صفر لقيم ﻉ التي تقع بين صفر واثنين ‏𝜋‏.

يمكن أن نجيب عن هذا برسم تمثيل بياني لـ ﻉ يعبر عن جا ﻉ لقيم ﻉ التي تقع بين صفر واثنين ‏𝜋‏. ونلاحظ أن قيمة جا ﻉ تكون أصغر من صفر لقيم ﻉ التي تقع بين ‏𝜋‏ واثنين ‏𝜋‏. لكن تذكر أن ﻉ يساوي خمسة ﺱ، إذن لنحول ذلك مرة أخرى إلى متباينة في ﺱ، علينا أن نقسم على خمسة، فنحصل على ﺱ أكبر من ‏𝜋‏ على خمسة وأصغر من اثنين ‏𝜋‏ على خمسة. هذه هي فترة تزايد الدالة ﺩ.

وبتطبيق المنطق نفسه، نجد أن الدالة ﺩ تكون تناقصية عندما تكون قيمة مشتقتها الأولى أصغر من صفر، ومن ثم يكون جا ﻉ أكبر من صفر. وذلك عندما يقع ﻉ بين صفر و‏𝜋‏، ومن ثم ﺱ يقع بين صفر و‏𝜋‏ على خمسة. وبذلك نكون أكملنا حل المسألة. تكون الدالة ﺩ(ﺱ) تزايدية على الفترة المفتوحة من ‏𝜋‏ على خمسة إلى اثنين ‏𝜋‏ على خمسة، وتكون تناقصية على الفترة المفتوحة من صفر إلى ‏𝜋‏ على خمسة.

ولنلخص ما سبق، رأينا أن الدالة ﺩ تكون تزايدية عندما تكون قيمة مشتقتها الأولى ﺩ شرطة ﺱ أكبر من صفر. وتكون الدالة ﺩ تناقصية عندما تكون قيمة مشتقتها الأولى ﺩ شرطة ﺱ أصغر من صفر. يمكن أن نستخدم الاشتقاق وقواعد الاشتقاق، مثل قاعدة القسمة وقاعدة حاصل الضرب وقاعدة السلسلة، لإيجاد المشتقات الأولى للدوال. ثم نحل المتباينات الناتجة لكي نحدد فترات تزايد أو تناقص الدوال.