شارح الدرس: تحديد فترات تزايد وتناقص الدالة باستخدام المشتقات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحدِّد فترات تزايد وتناقص الدوال باستخدام المشتقة الأولى للدالة.

المشتقات هي أداة أساسية في التفاضل والتكامل. يمكن أن تخبرنا المشتقات بمعلومات عن الدالة تتجاوز معرفتنا بقيمة الميل عند نقطة معطاة، أو مواقع النقاط الحرجة لهذه الدالة. للمشتقة أيضًا تطبيقات في الميكانيكا الكلاسيكية، على سبيل المثال، وهو ما يمكِّننا من تحديد معلومات عن سرعة جسم ما أو عجلته إذا كانت لدينا دالة قابلة للاشتقاق لإزاحته.

قبل أن نحدِّد كيف يمكننا استخدام المشتقة لإيجاد فترات التزايد والتناقص، دعونا نبدأ باسترجاع تعريفَي الدوال التزايدية والتناقصية.

تعريف: الدوال التزايدية والتناقصية على فترة

تكون الدالة 󰎨 تزايدية على الفترة 𞸐 إذا كانت: 󰎨󰁓𞸎󰁒>󰎨󰁓𞸎󰁒𞸎<𞸎𞸐.٢١١٢

تكون الدالة تناقصية على 𞸐 إذا كانت: 󰎨󰁓𞸎󰁒<󰎨󰁓𞸎󰁒𞸎<𞸎𞸐.٢١١٢

لا بد أن يتحقَّق هذان التعريفان لكل نقطتين 𞸎١، 𞸎٢ في 𞸐؛ حيث 𞸎<𞸎١٢.

ملاحظة

بما أننا استخدمنا علامتَي «>» و«<» بدلًا من «» و«» فيمكننا القول إن الدالة تكون تزايدية تمامًا أو تناقصية تمامًا على 𞸐. لكنَّنا لن نستخدم هذا المصطلح في هذا الشارح.

دعونا ننظر إلى التمثيل البياني لـ 𞸑=󰎨(𞸎) الموضَّح أدناه:

نلاحظ أن الدالة لها فترات تزايد وتناقص. ونرى أن المنحنى يتزايد (أي إن الميل يكون لأعلى) لقيم 𞸎<٥٫٢ وقيم 𞸎>١، ويتناقص (أي إن الميل يكون لأسفل) لقيم 𞸎؛ حيث ٥٫٢<𞸎<١. إذن، تكون الدالة تزايدية على الفترتين: ]،٥٫٢[ و]١،[، وتناقصية على الفترة: ]٥٫٢،١[.

إذا نظرنا إلى تعريف مشتقة الدالة يمكننا تعريف الدوال التزايدية والتناقصية بطريقة بديلة. يمكننا إيجاد ميل مماس المنحنى عند نقطة معينة من خلال مشتقة الدالة عند هذه النقطة. لهذا السبب يمكننا استخدام التفاضل والتكامل لتحديد ما إذا كانت الدالة تزايدية أم تناقصية على 𞸐.

نظرية: الدوال التزايدية والتناقصية باستخدام المشتقات

دعونا ننظر إلى الدالة 𞸑=󰎨(𞸎) القابلة للاشتقاق على الفترة ]󰏡،𞸁[.

إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠ لكل 𞸎]󰏡،𞸁[ فإن الدالة 󰎨 تكون تزايدية على الفترة ]󰏡،𞸁[.

إذا كانت 󰎨(𞸎)<٠ لكل 𞸎]󰏡،𞸁[ فإن الدالة 󰎨 تكون تناقصية على الفترة ]󰏡،𞸁[.

لإثبات هذه النظرية سنفترض أن 𞸎١، 𞸎]󰏡،𞸁[٢ مع العلم أن 𞸎<𞸎١٢. وبذلك، تكون الدالة 󰎨(𞸎) قابلة للاشتقاق على الفترة 󰁕𞸎،𞸎󰁖١٢. وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة يوجد عدد 𞸢󰁕𞸎،𞸎󰁖١٢؛ بحيث: 󰎨󰁓𞸎󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨(𞸢)󰁓𞸎𞸎󰁒.٢١٢١

بالنسبة إلى العبارة الأولى؛ إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠ لكل 𞸎󰁕𞸎،𞸎󰁖١٢ فإن 󰎨(𞸢)>٠ لأن 𞸢 ينتمي للفترة 󰁕𞸎،𞸎󰁖١٢.

وبالمثل، بما أن 𞸎>𞸎٢١ يمكننا القول إن 𞸎𞸎>٠٢١.

حاصل ضرب عددين موجبين يكون موجبًا؛ لذا يكون الطرف الأيسر من المعادلة موجبًا أيضًا.

هذا يعني أن 󰎨󰁓𞸎󰁒󰎨󰁓𞸎󰁒>٠٢١؛ أي إن 󰎨󰁓𞸎󰁒>󰎨󰁓𞸎󰁒٢١.

وفقًا لتعريف الدوال التزايدية والتناقصية يمكننا القول إنه إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠ على الفترة 󰁕𞸎،𞸎󰁖١٢ فإن الدالة 󰎨 تزايدية على الفترة 󰁕𞸎،𞸎󰁖١٢.

ويمكننا إثبات الجزء الثاني من هذه النظرية بطريقة مشابهة.

بعد أن أصبحت لدينا النظرية يمكننا الآن أن نتناول مثالين يتضمَّنان إيجاد فترات التزايد والتناقص للدوال الكثيرات الحدود.

مثال ١: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة كثيرة الحدود

أوجد الفترات التي تكون فيها 󰎨(𞸎)=𞸎٢٤𞸎+٢٤٢ تزايدية أو تناقصية.

الحل

نحن نعلم أنه بالنسبة للدالة القابلة للاشتقاق 𞸑=󰎨(𞸎) تكون الدالة 󰎨 تزايدية في الفترات التي تكون فيها 󰎨(𞸎)>٠، وتناقصية في الفترات التي تكون فيها 󰎨(𞸎)<٠.

بما أن الدالة 󰎨 كثيرة الحدود فإنها تكون قابلة للاشتقاق عند جميع النقاط. وهذا يعني أنه يمكننا تحديد فترات تزايدها وتناقصها من خلال مشتقتها. باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق نجد أن: 󰎨(𞸎)=٤𞸎٢٢×٤𞸎+٠=٢𞸎٨𞸎.٤١(٢١)٣

ومن ثَمَّ، تكون الدالة تناقصية لقيم 𞸎 التي تكون عندها 󰎨(𞸎)<٠، وتزايدية لقيم 𞸎 التي تكون عندها 󰎨(𞸎)>٠.

لإيجاد قيم 𞸎 هذه علينا أن نبدأ بإيجاد قيم 𞸎؛ حيث 󰎨(𞸎)=٠، عن طريق حلِّ المعادلة: ٢𞸎󰁓𞸎٤󰁒=٠٢. وهذا يعطينا 𞸎=٠، 𞸎=٢، 𞸎=٢. نحدِّد بعد ذلك إشارة المشتقة الأولى على الفترات: ]،٢[، ]٢،٠[، ]٠،٢[، ]٢،[ عن طريق التعويض بقيمة اختبارية من كل فترة من هذه الفترات في المقدار: ٢𞸎󰁓𞸎٤󰁒٢. سنختار: 𞸎=٣، 𞸎=١، 𞸎=١، 𞸎=٣.

𞸎٣١١٣
٢𞸎󰁓𞸎٤󰁒٢٠٣٦٦٣٠
تزايدية أم تناقصيةتناقصيةتزايديةتناقصيةتزايدية

لا بد أن تكون الدالة تناقصية على أيِّ فترات تكون فيها 󰎨(𞸎)<٠. وفقًا للجدول هاتان الفترتان هما: ]،٢[، و]٠،٢[.

وبالمثل، تكون الدالة 󰎨(𞸎) تزايدية لقيم 𞸎 التي تكون عندها 󰎨(𞸎)>٠. هاتان الفترتان هما: ]٢،٠[، و]٢،[.

إذن، الدالة تناقصية على الفترتين: ]،٢[ و]٠،٢[، وتزايدية على الفترتين: ]٢،٠[ و]٢،[.

في المثال الأول عرفنا كيف يمكننا استخدام جدول لحساب قيم اختبارية عند 𞸎 في كل فترة لتحديد إشارة المشتقة. نظرًا لأن طرفَي كل فترة هما من قيم 𞸎 التي تكون عندها 󰎨(𞸎)=٠ فإن هذا الاختبار يخبرنا بما يحدث لمنحنى الدالة بين كل نقطة توقُّف. في المثال الثاني سنستخدم المشتقة لإيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة تربيعية.

مثال ٢: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة تربيعية

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة 󰎨(𞸎)=(٣𞸎٢١)٢ تزايدية، والفترات التي تكون فيها تناقصية.

الحل

نحن نعلم أنه بالنسبة للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) القابلة للاشتقاق على الفترة ]󰏡،𞸁[ يتحقَّق ما يلي:

  • إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠ لكل 𞸎]󰏡،𞸁[ فإن الدالة 󰎨 تكون تزايدية على الفترة ]󰏡،𞸁[.
  • إذا كانت 󰎨(𞸎)<٠ لكل 𞸎]󰏡،𞸁[ فإن الدالة 󰎨 تكون تناقصية على الفترة ]󰏡،𞸁[.

بما أن الدالة 󰎨(𞸎) كثيرة الحدود فإنها تكون قابلة للاشتقاق عند جميع النقاط؛ لذا يمكننا تحديد فترات التزايد والتناقص بالنظر إلى إشارة مشتقتها الأولى. علاوة على ذلك، بما أن 󰎨(𞸎) دالة قابلة للاشتقاق مرفوعة لقوة فإنه يمكننا تطبيق قاعدة القوة العامة لإيجاد مشتقتها.

تخبرنا هذه القاعدة بأنه إذا كانت 𞸑=[𞸓(𞸎)]𞸍 لدالة قابلة للاشتقاق 𞸓، وثابت حقيقي 𞸍؛ فإن 𞸑=𞸍[𞸓(𞸎)]𞸓(𞸎)𞸍١. بتطبيق هذه القاعدة على الدالة 󰎨(𞸎) نحصل على: 󰎨(𞸎)=٢(٣𞸎٢١)×(٣)=٦(٣𞸎٢١)=٨١𞸎+٢٧.٢١١

تكون الدالة تناقصية على أيِّ فترات تكون فيها 󰎨(𞸎)<٠. ونحصل على ذلك من خلال المتباينة التالية: ٨١𞸎+٢٧<٠𞸎<٤.

وبالمثل، تكون الدالة تزايدية لقيم 𞸎 التي تكون عندها 󰎨(𞸎)>٠: ٨١𞸎+٢٧>٠𞸎>٤.

إذن، تكون الدالة تناقصية على الفترة: ]،٤[، وتزايدية على الفترة: ]٤،[.

لاحظ أن هناك تعريفين رياضيين بشأن ما يجب فعله بطرفَي الفترة (بعبارة أخرى، ما إذا كان علينا تضمين ميل يساوي صفرًا في تعريف الدوال التزايدية والتناقصية أم لا). يُعدُّ تضمين طرفَي الفترة في التعريف مسألةَ تفضيل شخصي إلى حدٍّ كبير. في هذا الشارح، سنستبعد طرفَي الفترة من الفترات التي لدينا.

في أول مثالين حسبنا فترات التزايد والتناقص لدالتين كثيرتَي الحدود. ومن المهم معرفة أن هذه العملية تنطبق أيضًا على الدوال التي ليست من كثيرات الحدود؛ مثل: الدوال اللوغاريتمية، والدوال الأسية، والدوال المثلثية، والدوال التي تتضمَّن مقياسًا كما هو موضَّح في المثال التالي.

مثال ٣: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة مقياس

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة 󰎨(𞸎)=(𞸎+٣)|𞸎+٣| تزايدية، والفترات التي تكون فيها تناقصية.

الحل

لتحديد فترات التزايد والتناقص لدالة سنبدأ بحساب مشتقتها 󰎨(𞸎). إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠ على فترة ما فإن الدالة تكون تزايدية على هذه الفترة. وإذا كانت 󰎨(𞸎)<٠ على فترة ما فإن الدالة تكون تناقصية على هذه الفترة.

الدالة التي لدينا هنا هي حاصل ضرب دالة خطية ومقياس دالة خطية؛ لذا علينا الانتباه إلى كيفية إيجاد مشتقتها. دعونا ننظر إلى الدالة |𞸎+٣| على أنها دالة متعدِّدة التعريف؛ حيث: |𞸎+٣|=󰃇(𞸎+٣)𞸎<٣،𞸎+٣𞸎٣.

يمكننا استخدام هذا التعريف لإعادة كتابة الدالة 󰎨(𞸎) على الصورة: 󰎨(𞸎)=󰃳(𞸎+٣)𞸎<٣،(𞸎+٣)𞸎٣.٢٢

بعد ذلك، نستخدم قاعدة القوة العامة للاشتقاق لنحصل على: 󰎨(𞸎)=󰃇٢(𞸎+٣)𞸎<٣،٢(𞸎+٣)𞸎٣.

ملاحظة

يمكننا استخدام هذه الطريقة لأن الدالة 󰎨 متصلة عند ٣، ولأن المشتقتين اليسرى واليمنى موجودتان وتساويان صفرًا عند 𞸎=٣.

بما أن قيمة 󰎨(𞸎) موجبة لجميع القيم الحقيقية؛ حيث 𞸎٣، فإن الدالة 󰎨 تزايدية على 𞹇{٣}. وبما أن 󰎨(٣)=٠ فإنه يمكننا أيضًا تضمين هذه القيمة في فترة التزايد إذا أردنا. إذن، نستنتج أن الدالة 󰎨(𞸎) تزايدية على 𞹇.

بالإضافة إلى كثيرات الحدود والدوال التي تتضمَّن مقياسًا يمكننا تطبيق هذه العملية على الدوال اللوغاريتمية. سنوضِّح ذلك في المثال التالي.

مثال ٤: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدوال تتضمَّن دوال لوغاريتمية

إذا كان 󰎨(𞸎)=٥𞸎٣𞸎𞸎٢𞸤، فأوجد الفترات التي تكون خلالها الدالة 󰎨 تزايدية أو تناقصية.

الحل

تذكَّر أنه إذا كانت الدالة 󰎨 قابلة للاشتقاق على فترة مفتوحة فإن 󰎨 تكون تزايدية على الفترات التي تكون فيها 󰎨(𞸎)>٠، وتناقصية على الفترات التي تكون فيها 󰎨(𞸎)<٠. وعليه، سنبدأ بإيجاد 󰎨(𞸎) مع مراعاة أن مجال 󰎨(𞸎) الأعداد الحقيقية الموجبة: 󰎨(𞸎)=٠١𞸎٣١𞸎.

لتحديد إشارة هذه الدالة نبدأ بإيجاد قيم الأجزاء المقطوعة من المحور 𞸎 عن طريق حلِّ 󰎨(𞸎)=٠ على النحو التالي: ٠١𞸎٣١𞸎=٠٠١𞸎٣𞸎١=٠(٥𞸎+١)(٢𞸎١)=٠𞸎=١٥𞸎=١٢.٢أو

بما أن القيمة ١٥ تقع خارج مجال 󰎨(𞸎) فسنحدِّد الآن إشارة 󰎨(𞸎) على الفترتين: 󰂖٠،١٢󰂗، و󰂖١٢،󰂗. لنفعل ذلك فإننا نعوِّض بقيمة اختبارية من كل فترة في المقدار الذي يعبِّر عن 󰎨(𞸎). فلنختر: 𞸎=١٠١، 𞸎=١.

𞸎١٠١١
٠١𞸎٣١𞸎٢١٦
تزايدية أم تناقصيةتناقصيةتزايدية

بما أن 󰎨(𞸎)<٠ عند ١٠١ فإنها تناقصية هنا. وبالمثل، تكون تزايدية عند 𞸎=١.

󰎨 تزايدية على الفترة: 󰂖١٢،󰂗، وتناقصية على الفترة: 󰂖٠،١٢󰂗.

دعونا نوضِّح الآن هذه العملية باستخدام دالة تتكوَّن من حاصل ضرب دالة كثيرة حدود ودالة أسية.

مثال ٥: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة باستخدام قاعدة الضرب مع الدوال الأسية

افترض أن 󰎨(𞸎)=٣𞸎𞸤٤٤𞸎. أوجد الفترات التي تكون الدالة تزايدية عليها، والفترات التي تكون الدالة تناقصية عليها.

الحل

نحن نعلم أنه بالنسبة للدالة القابلة للاشتقاق 𞸑=󰎨(𞸎) تكون الدالة 󰎨 تزايدية على الفترات التي تكون فيها 󰎨(𞸎)>٠، وتناقصية على الفترات التي تكون فيها 󰎨(𞸎)<٠.

دعونا نبدأ بالتأكُّد من أن الدالة 󰎨(𞸎) قابلة للاشتقاق. نحن نعلم أن حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق يكون أيضًا دالة قابلة للاشتقاق. ٣𞸎٤ دالة كثيرة الحدود؛ لذا فهي قابلة للاشتقاق على مجالها. وبالمثل، فإن الدالة الأسية 𞸤󰏡𞸎 للثابت الحقيقي 󰏡 قابلة للاشتقاق أيضًا على مجالها. هذا يعني أن الدالة 󰎨(𞸎) قابلة للاشتقاق بالفعل، ومن ثَمَّ يمكننا إيجاد فترات التزايد والتناقص من مشتقتها.

تنصُّ قاعدة الضرب على أنه إذا كانت لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق 𞸏، 𞸒 فإن: 𞸃𞸃𞸎(𞸏𞸒)=𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎+𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎.

دعونا نفترض أن 𞸏=٣𞸎٤، 𞸒=𞸤٤𞸎 لنحصل على: 𞸃𞸏𞸃𞸎=٢١𞸎𞸃𞸒𞸃𞸎=٤𞸤.٣٤𞸎،

بالتعويض بهاتين القيمتين في صيغة قاعدة الضرب نحصل على: 󰎨(𞸎)=٣𞸎×󰁓٤𞸤󰁒+𞸤×٢١𞸎=٢١𞸎𞸤+٢١𞸎𞸤=٢١𞸎𞸤(𞸎+١).٤٤𞸎٤𞸎٣٤٤𞸎٣٤𞸎٣٤𞸎

وبذلك، تكون الدالة تناقصية لقيم 𞸎 على الفترات التي يكون فيها ٢١𞸎𞸤(𞸎+١)<٠٣٤𞸎، وتزايدية على الفترات التي يكون فيها ٢١𞸎𞸤(𞸎+١)>٠٣٤𞸎. بما أن 𞸤>٠٤𞸎 لكل قيم 𞸎 فإن فترات التزايد والتناقص ستعتمد بالكامل على إشارة ٢١𞸎(𞸎+١)٣.

دعونا نحسب نقطتَي توقُّف 󰎨(𞸎) من خلال حلِّ: ٢١𞸎(𞸎+١)=٠٣. هذا يعطينا: 𞸎=٠، 𞸎=١. ومن ثَمَّ، نعوِّض بقيم من الفترات: ]،٠[، ]٠،١[، ]١،[ في المقدار: ٢١𞸎(𞸎+١)٣ لتحديد إشارة الدالة عند هذه القيم. سنختار: 𞸎=١، 𞸎=٥٫٠، 𞸎=٢.

𞸎١٠٫٥٢
٢١𞸎(𞸎+١)٣٤٢٠٫٧٥٦٩
تزايدية أم تناقصيةتناقصيةتزايديةتناقصية

تكون الدالة 󰎨 تزايدية عندما تكون 󰎨(𞸎)>٠، وتناقصية عندما تكون 󰎨(𞸎)<٠. إذن، 󰎨 تزايدية على الفترة: ]٠،١[ وتناقصية على الفترتين: ]،٠[، و]١،[.

في الأمثلة السابقة تناولنا دوال قابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل. ولكن ليست كل الدوال هكذا؛ لذا علينا الانتباه جيدًا إلى مجال الدوال عند إيجاد فترات التزايد والتناقص.

مثال ٦: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة تتضمَّن دالة جذرية

أوجد الفترات التي تكون خلالها الدالة 󰎨(𞸎)=٥𞸎󰋴٥𞸎+٣ تزايدية وتناقصية.

الحل

لتحديد فترات التزايد والتناقص لدالة يمكننا النظر إلى مشتقتها 󰎨(𞸎). إذا كانت 󰎨 قابلة للاشتقاق على فترة مفتوحة فإن 󰎨 تكون تزايدية على الفترات التي تكون فيها 󰎨(𞸎)>٠، وتناقصية على الفترات التي تكون فيها 󰎨(𞸎)<٠.

فلنبدأ بالتأكُّد من أن الدالة 󰎨(𞸎) قابلة للاشتقاق. نحن نعلم أن حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق يكون دالة قابلة للاشتقاق أيضًا. ٥𞸎 كثيرة حدود؛ لذا لا بد أن تكون قابلة للاشتقاق لجميع الأعداد الحقيقية، ولكنَّ الدالة 󰋴٥𞸎+٣ أكثر تعقيدًا. يمكننا اشتقاق هذه الدالة بتطبيق قاعدة القوة العامة، لكنَّ علينا التأكُّد أولًا من أن أيَّ قيم داخل الجذر التربيعي غير سالبة: ٥𞸎+٣٠٥𞸎٣𞸎٣٥.

علينا ملاحظة أن الدالة 󰎨 لا تكون قابلة للاشتقاق فعليًّا عند 𞸎=٣٥؛ لأننا لا يمكننا حساب النهاية اليمنى لمشتقتها عند هذه النقطة.

لا يمكن أن تكون الدالة تزايدية وتناقصية إلا على مجالها؛ لذا سننظر فقط إلى قيم 𞸎٣٥.

لإيجاد مقدار يعبِّر عن 󰎨(𞸎) يمكننا تطبيق قاعدة الضرب التي تخبرنا بأنه إذا كانت لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق 𞸏، 𞸒 فإن: 𞸃𞸃𞸎(𞸏𞸒)=𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎+𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎.

سنفترض أن 𞸏=٥𞸎، ومن ثَمَّ فإن 𞸃𞸏𞸃𞸎=٥.

بالمثل، سنفترض أن 𞸒=󰋴٥𞸎+٣=(٥𞸎+٣)١٢. بعد ذلك، نطبِّق قاعدة القوة العامة لإيجاد مشتقة الدالة.

تخبرنا هذه القاعدة بأنه إذا كانت 𞸑=[𞸓(𞸎)]𞸍 للدالة القابلة للاشتقاق 𞸓(𞸎)، فإن 𞸑=𞸍[𞸓(𞸎)]𞸓(𞸎)𞸍١؛ حيث 𞸍 ثابت حقيقي.

إذن: 𞸃𞸒𞸃𞸎=١٢(٥𞸎+٣)×(٥)=٥٢(٥𞸎+٣).١٢١٢

وفقًا لقاعدة الضرب نجد أن: 󰎨(𞸎)=٥𞸎×󰂔٥٢(٥𞸎+٣)󰂓+(٥𞸎+٣)×٥=٥٢٢𞸎(٥𞸎+٣)+٥(٥𞸎+٣).١٢١٢١٢١٢

يمكننا أن نجعل هذا المقدار أسهل عند التعامل معه من خلال استخدام المقام المشترَك ٢(٥𞸎+٣)١٢، ثم جمع المقدارين على النحو التالي: 󰎨(𞸎)=٥٢𞸎٢(٥𞸎+٣)+٥(٥𞸎+٣)×٢(٥𞸎+٣)٢(٥𞸎+٣)=٥٢𞸎+٠١(٥𞸎+٣)٢(٥𞸎+٣)=٥٧𞸎+٠٣٢(٥𞸎+٣)𞸎<٣٥.١٢١٢١٢١٢١٢١٢

وبذلك، تكون الدالة تناقصية عندما يكون ٥٧𞸎+٠٣٢(٥𞸎+٣)<٠١٢، وتزايدية عندما يكون ٥٧𞸎+٠٣٢(٥𞸎+٣)>٠١٢؛ لقيم 𞸎<٣٥.

مقام الكسر موجب لقيم 𞸎<٣٥؛ لذا فإن إشارة المشتقة تتحدَّد بالكامل حسب إشارة ٥٧𞸎+٠٣. ومن ثَمَّ، يكون الميل سالبًا لجميع قيم 𞸎 في مجال 󰎨؛ حيث تتحقَّق المتباينة التالية: ٥٧𞸎+٠٣<٠٥٧𞸎>٠٣𞸎>٢٥.

وهكذا، نستنتج أن الدالة تكون تناقصية عند ٢٥<𞸎<٣٥.

وبالمثل، تكون الدالة تزايدية عندما يكون ٥٧𞸎+٠٣>٠، 𞸎<٣٥: ٥٧𞸎+٠٣>٠٥٧𞸎<٣𞸎<٢٥.

الدالة تزايدية على: 󰂖،٢٥󰂗، وتناقصية على: 󰂖٢٥،٣٥󰂗.

كما رأينا في المثال السابق يجب الانتباه عند اشتقاق الدوال التي تتضمَّن جذرًا. ينطبق هذا أيضًا على الدوال الكسرية التي علينا فيها التأكُّد من أن مقام الدالة لا يساوي صفرًا. في بعض الحالات لا يمكن أن يكون المقام مساويًا لصفر لأيِّ قيم حقيقية للمتغيِّر، وفي هذه الحالة يمكننا إجراء العمليات الحسابية بدون قلق كما سنرى في المثال التالي.

مثال ٧: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة كسرية

عَيِّن فترات تزايد وتناقص الدالة 󰎨(𞸎)=٧𞸎𞸎+٩٢.

الحل

لتحديد فترات التزايد والتناقص لدالة يمكننا النظر إلى مشتقتها 󰎨(𞸎). إذا كانت الدالة 󰎨 قابلة للاشتقاق على فترة مفتوحة فإن 󰎨 تكون تزايدية على الفترات التي تكون فيها 󰎨(𞸎)>٠، وتناقصية على الفترات التي تكون فيها 󰎨(𞸎)<٠.

الدالة 󰎨(𞸎) هي خارج قسمة دالتين قابلتين للاشتقاق، ومن ثَمَّ فهي قابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل. نلاحظ أنه لا توجد قيم حقيقية لـ 𞸎 تجعل المقام 𞸎+٩٢ يساوي صفرًا؛ لذا فإن المجال هو 𞹇.

لإيجاد المشتقة نستخدم قاعدة القسمة التي تنصُّ على أنه إذا كانت لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق 𞸏، 𞸒 فإن: 𞸃(𞸏𞸒)𞸃𞸎=𞸒𞸃𞸃𞸏𞸃𞸃𞸒.𞸏𞸎𞸒𞸎٢

سنفترض أن 𞸏=٧𞸎، ومن ثَمَّ 𞸃𞸏𞸃𞸎=٧. بالمثل 𞸒=𞸎+٩٢، ومن ثَمَّ 𞸃𞸒𞸃𞸎=٢𞸎. إذن: 󰎨(𞸎)=٧󰁓𞸎+٩󰁒٧𞸎(٢𞸎)(𞸎+٩)=٧𞸎+٣٦(𞸎+٩).٢٢٢٢٢٢

نلاحظ الآن أن مقام الدالة 󰎨(𞸎) هو: 󰁓𞸎+٩󰁒٢٢، وهو موجب لجميع قيم 𞸎 الحقيقية. هذا يعني أن إشارة 󰎨(𞸎) تعتمد كليًّا على إشارة البسط.

لتحديد إشارة ٧𞸎+٣٦٢ فإننا نحلُّ: ٧𞸎+٣٦=٠٢، ثم نوجد إشارة الدالة لقيم اختبارية في الفترات التي تقع حول هذه النقاط: ٧𞸎+٣٦=٠٧𞸎=٣٦𞸎=٩𞸎=±٣.٢٢٢

سنختار الآن قيمًا اختبارية لـ 𞸎 من الفترات: ]،٣[، ]٣،٣[، ]٣،[، وسنحدِّد إشارة ٧𞸎+٣٦٢ باستخدام هذه القيم مع تذكُّر أن الدالة تكون تزايدية على فترات 𞸎 التي تكون فيها 󰎨(𞸎)>٠، وتناقصية على الفترات التي تكون فيها 󰎨(𞸎)<٠. دعونا نختر: 𞸎=٤، 𞸎=٠، 𞸎=٤.

𞸎٤٠٤
٧𞸎+٣٦٢٩٤٦٣٩٤
تزايدية أم تناقصيةتناقصيةتزايديةتناقصية

إذن، الدالة تناقصية على الفترتين: ]،٣[، و]٣،[، وتزايدية على الفترة: ]٣،٣[.

في المثال الأخير، سنشرح كيف نطبِّق العملية لإيجاد فترات التزايد والتناقص لدوال مثلثية.

مثال ٨: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة تتضمَّن دوال مثلثية

لكل ٠<𞸎<٢𝜋٥ أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة 󰎨(𞸎)=٥𞸎+٣٥𞸎٢ تزايدية أو تناقصية.

الحل

يمكننا تحديد فترات التزايد والتناقص لدالة قابلة للاشتقاق عن طريق التحقُّق من إشارة مشتقتها الأولى.

بما أن الدالة 󰎨(𞸎) هي مجموع دالتَي جيب تمام، وبما أن دالة جيب التمام قابلة للاشتقاق على 𞹇؛ نستنتج أن 󰎨(𞸎) قابلة للاشتقاق على 𞹇.

نحن نعرف أنه بالنسبة للثابت الحقيقي 󰏡 فإن 𞸃𞸃𞸎󰏡𞸎=󰏡󰏡𞸎. ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام هذه الصيغة وقاعدة القوة العامة معًا لاشتقاق كل جزء من الدالة: 󰎨(𞸎)=٢((٥𞸎))×(٥(٥𞸎))+٥(٣(٥𞸎))=٠١(٥𞸎)(٥𞸎)+٥١(٥𞸎)=٥(٥𞸎)(٢(٥𞸎)٣).٢١

بذلك، تكون الدالة تناقصية على الفترات التي يكون فيها ٥(٥𞸎)(٢(٥𞸎)+٣)<٠، وتزايدية على الفترات التي يكون فيها ٥(٥𞸎)(٢(٥𞸎)+٣)>٠.

هذا يعني أنه علينا تحديد إشارة ٥(٥𞸎)(٢(٥𞸎)+٣) عند نقاط مختلفة. ولنفعل ذلك سنوجد الأجزاء المقطوعة من المحور 𞸎 لمنحنى 󰎨(𞸎)=٥(٥𞸎)(٢(٥𞸎)+٣) من خلال حلِّ: ٥(٥𞸎)(٢(٥𞸎)+٣)=٠.

ونحصل على ذلك عندما يكون ٥(٥𞸎)=٠، أو ٢(٥𞸎)+٣=٠.

إذن: ٥(٥𞸎)=٠(٥𞸎)=٠٥𞸎=٠+٢𝜋𞸍𝜋+٢𝜋𞸍𞸍𞹑𞸎=٠+٢٥𝜋𞸍𝜋٥+٢٥𝜋𞸍𞸍𞹑.أوأو

في الفترة ٠<𞸎<٢𝜋٥ الحل الوحيد هو عندما يكون 𞸍=٠: 𞸎=𝜋٥.

الخطوات التي يمكننا بها حل ٢(٥𞸎)+٣=٠ هي كالتالي: ٢(٥𞸎)+٣=٠٢(٥𞸎)=٣(٥𞸎)=٣٢.

لا توجد حلول حقيقية لهذه المعادلة؛ لذا فإن الجزء المقطوع الوحيد من المحور 𞸎 لمنحنى 󰎨(𞸎)=٥(٥𞸎)(٢(٥𞸎)+٣) هو: 𞸎=𝜋٥. وعليه، سنختار قيمتين اختباريتين من الفترتين: 󰂖٠،𝜋٥󰂗، و󰂖𝜋٥،٢𝜋٥󰂗، ثم سنتحقَّق من إشارة المشتقة عند هاتين النقطتين. فلنختر: 𞸎=𝜋٠١، 𞸎=٣𝜋٠١.

𞸎𝜋٠١٣𝜋٠١
٥(٥𞸎)(٢(٥𞸎)+٣)٥١١٥
تزايدية أم تناقصيةتناقصيةتزايدية

بما أن المشتقة تكون سالبة على الفترة 󰂖٠،𝜋٥󰂗، وموجبة على الفترة 󰂖𝜋٥،٢𝜋٥󰂗؛ فهذا يعني أن الدالة تناقصية على: 󰂖٠،𝜋٥󰂗، وتزايدية على: 󰂖𝜋٥،٢𝜋٥󰂗.

سنلخِّص الآن المفاهيم الرئيسية في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • تكون الدالة 󰎨 تزايدية على الفترة 𞸐 إذا كانت: 󰎨󰁓𞸎󰁒<󰎨󰁓𞸎󰁒𞸎<𞸎𞸐١٢١٢، وتكون تناقصية على الفترة 𞸐 إذا كانت: 󰎨󰁓𞸎󰁒>󰎨󰁓𞸎󰁒𞸎<𞸎𞸐.١٢١٢
  • يمكننا تحديد فترات التزايد والتناقص للدوال القابلة للاشتقاق بالنظر إلى إشارة المشتقة.
    بالنسبة للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) القابلة للاشتقاق على الفترة ]󰏡،𞸁[ يتحقَّق ما يلي:
    • إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠؛ حيث 𞸎]󰏡،𞸁[، فإن الدالة 󰎨 تكون تزايدية تمامًا على الفترة ]󰏡،𞸁[.
    • إذا كانت 󰎨(𞸎)<٠؛ حيث 𞸎]󰏡،𞸁[، فإن الدالة 󰎨 تكون تناقصية تمامًا على الفترة ]󰏡،𞸁[.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.