شارح الدرس: تحديد فترات تزايد وتناقص الدالة باستخدام المشتقات الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة كثيرة الحدود

أوجد الفترات التي تكون فيها تزايدية أو تناقصية.

الحل

نحن نعلم أنه بالنسبة للدالة القابلة للاشتقاق تكون الدالة تزايدية في الفترات التي تكون فيها ، وتناقصية في الفترات التي تكون فيها .

بما أن الدالة كثيرة الحدود فإنها تكون قابلة للاشتقاق عند جميع النقاط. وهذا يعني أنه يمكننا تحديد فترات تزايدها وتناقصها من خلال مشتقتها. باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق نجد أن:

ومن ثَمَّ، تكون الدالة تناقصية لقيم التي تكون عندها ، وتزايدية لقيم التي تكون عندها .

لإيجاد قيم هذه علينا أن نبدأ بإيجاد قيم ؛ حيث ، عن طريق حلِّ المعادلة: . وهذا يعطينا ، ، . نحدِّد بعد ذلك إشارة المشتقة الأولى على الفترات: ، ، ، عن طريق التعويض بقيمة اختبارية من كل فترة من هذه الفترات في المقدار: . سنختار: ، ، ، .

لا بد أن تكون الدالة تناقصية على أيِّ فترات تكون فيها . وفقًا للجدول هاتان الفترتان هما: ، و.

وبالمثل، تكون الدالة تزايدية لقيم التي تكون عندها . هاتان الفترتان هما: ، و.

إذن، الدالة تناقصية على الفترتين: و، وتزايدية على الفترتين: و.

مثال ٢: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة تربيعية

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة تزايدية، والفترات التي تكون فيها تناقصية.

الحل

نحن نعلم أنه بالنسبة للدالة القابلة للاشتقاق على الفترة يتحقَّق ما يلي:

• إذا كانت لكل فإن الدالة تكون تزايدية على الفترة .
• إذا كانت لكل فإن الدالة تكون تناقصية على الفترة .

بما أن الدالة كثيرة الحدود فإنها تكون قابلة للاشتقاق عند جميع النقاط؛ لذا يمكننا تحديد فترات التزايد والتناقص بالنظر إلى إشارة مشتقتها الأولى. علاوة على ذلك، بما أن دالة قابلة للاشتقاق مرفوعة لقوة فإنه يمكننا تطبيق قاعدة القوة العامة لإيجاد مشتقتها.

تخبرنا هذه القاعدة بأنه إذا كانت لدالة قابلة للاشتقاق ، وثابت حقيقي ؛ فإن . بتطبيق هذه القاعدة على الدالة نحصل على:

تكون الدالة تناقصية على أيِّ فترات تكون فيها . ونحصل على ذلك من خلال المتباينة التالية:

وبالمثل، تكون الدالة تزايدية لقيم التي تكون عندها :

إذن، تكون الدالة تناقصية على الفترة: ، وتزايدية على الفترة: .

لاحظ أن هناك تعريفين رياضيين بشأن ما يجب فعله بطرفَي الفترة (بعبارة أخرى، ما إذا كان علينا تضمين ميل يساوي صفرًا في تعريف الدوال التزايدية والتناقصية أم لا). يُعدُّ تضمين طرفَي الفترة في التعريف مسألةَ تفضيل شخصي إلى حدٍّ كبير. في هذا الشارح، سنستبعد طرفَي الفترة من الفترات التي لدينا.

مثال ٣: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة مقياس

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة تزايدية، والفترات التي تكون فيها تناقصية.

الحل

لتحديد فترات التزايد والتناقص لدالة سنبدأ بحساب مشتقتها . إذا كانت على فترة ما فإن الدالة تكون تزايدية على هذه الفترة. وإذا كانت على فترة ما فإن الدالة تكون تناقصية على هذه الفترة.

الدالة التي لدينا هنا هي حاصل ضرب دالة خطية ومقياس دالة خطية؛ لذا علينا الانتباه إلى كيفية إيجاد مشتقتها. دعونا ننظر إلى الدالة على أنها دالة متعدِّدة التعريف؛ حيث:

يمكننا استخدام هذا التعريف لإعادة كتابة الدالة على الصورة:

بعد ذلك، نستخدم قاعدة القوة العامة للاشتقاق لنحصل على:

ملاحظة

يمكننا استخدام هذه الطريقة لأن الدالة متصلة عند ، ولأن المشتقتين اليسرى واليمنى موجودتان وتساويان صفرًا عند .

بما أن قيمة موجبة لجميع القيم الحقيقية؛ حيث ، فإن الدالة تزايدية على . وبما أن فإنه يمكننا أيضًا تضمين هذه القيمة في فترة التزايد إذا أردنا. إذن، نستنتج أن الدالة تزايدية على .

مثال ٤: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدوال تتضمَّن دوال لوغاريتمية

إذا كان ، فأوجد الفترات التي تكون خلالها الدالة تزايدية أو تناقصية.

الحل

تذكَّر أنه إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق على فترة مفتوحة فإن تكون تزايدية على الفترات التي تكون فيها ، وتناقصية على الفترات التي تكون فيها . وعليه، سنبدأ بإيجاد مع مراعاة أن مجال الأعداد الحقيقية الموجبة:

لتحديد إشارة هذه الدالة نبدأ بإيجاد قيم الأجزاء المقطوعة من المحور عن طريق حلِّ على النحو التالي:

بما أن القيمة تقع خارج مجال فسنحدِّد الآن إشارة على الفترتين: ، و. لنفعل ذلك فإننا نعوِّض بقيمة اختبارية من كل فترة في المقدار الذي يعبِّر عن . فلنختر: ، .

بما أن عند فإنها تناقصية هنا. وبالمثل، تكون تزايدية عند .

تزايدية على الفترة: ، وتناقصية على الفترة: .

مثال ٥: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة باستخدام قاعدة الضرب مع الدوال الأسية

افترض أن . أوجد الفترات التي تكون الدالة تزايدية عليها، والفترات التي تكون الدالة تناقصية عليها.

الحل

نحن نعلم أنه بالنسبة للدالة القابلة للاشتقاق تكون الدالة تزايدية على الفترات التي تكون فيها ، وتناقصية على الفترات التي تكون فيها .

دعونا نبدأ بالتأكُّد من أن الدالة قابلة للاشتقاق. نحن نعلم أن حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق يكون أيضًا دالة قابلة للاشتقاق. دالة كثيرة الحدود؛ لذا فهي قابلة للاشتقاق على مجالها. وبالمثل، فإن الدالة الأسية للثابت الحقيقي قابلة للاشتقاق أيضًا على مجالها. هذا يعني أن الدالة قابلة للاشتقاق بالفعل، ومن ثَمَّ يمكننا إيجاد فترات التزايد والتناقص من مشتقتها.

تنصُّ قاعدة الضرب على أنه إذا كانت لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق ، فإن:

دعونا نفترض أن ، لنحصل على:

بالتعويض بهاتين القيمتين في صيغة قاعدة الضرب نحصل على:

وبذلك، تكون الدالة تناقصية لقيم على الفترات التي يكون فيها ، وتزايدية على الفترات التي يكون فيها . بما أن لكل قيم فإن فترات التزايد والتناقص ستعتمد بالكامل على إشارة .

دعونا نحسب نقطتَي توقُّف من خلال حلِّ: . هذا يعطينا: ، . ومن ثَمَّ، نعوِّض بقيم من الفترات: ، ، في المقدار: لتحديد إشارة الدالة عند هذه القيم. سنختار: ، ، .

تكون الدالة تزايدية عندما تكون ، وتناقصية عندما تكون . إذن، تزايدية على الفترة: وتناقصية على الفترتين: ، و.

مثال ٦: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة تتضمَّن دالة جذرية

أوجد الفترات التي تكون خلالها الدالة تزايدية وتناقصية.

الحل

لتحديد فترات التزايد والتناقص لدالة يمكننا النظر إلى مشتقتها . إذا كانت قابلة للاشتقاق على فترة مفتوحة فإن تكون تزايدية على الفترات التي تكون فيها ، وتناقصية على الفترات التي تكون فيها .

فلنبدأ بالتأكُّد من أن الدالة قابلة للاشتقاق. نحن نعلم أن حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق يكون دالة قابلة للاشتقاق أيضًا. كثيرة حدود؛ لذا لا بد أن تكون قابلة للاشتقاق لجميع الأعداد الحقيقية، ولكنَّ الدالة أكثر تعقيدًا. يمكننا اشتقاق هذه الدالة بتطبيق قاعدة القوة العامة، لكنَّ علينا التأكُّد أولًا من أن أيَّ قيم داخل الجذر التربيعي غير سالبة:

علينا ملاحظة أن الدالة لا تكون قابلة للاشتقاق فعليًّا عند ؛ لأننا لا يمكننا حساب النهاية اليمنى لمشتقتها عند هذه النقطة.

لا يمكن أن تكون الدالة تزايدية وتناقصية إلا على مجالها؛ لذا سننظر فقط إلى قيم .

لإيجاد مقدار يعبِّر عن يمكننا تطبيق قاعدة الضرب التي تخبرنا بأنه إذا كانت لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق ، فإن:

سنفترض أن ، ومن ثَمَّ فإن .

بالمثل، سنفترض أن . بعد ذلك، نطبِّق قاعدة القوة العامة لإيجاد مشتقة الدالة.

تخبرنا هذه القاعدة بأنه إذا كانت للدالة القابلة للاشتقاق ، فإن ؛ حيث ثابت حقيقي.

إذن:

وفقًا لقاعدة الضرب نجد أن:

يمكننا أن نجعل هذا المقدار أسهل عند التعامل معه من خلال استخدام المقام المشترَك ، ثم جمع المقدارين على النحو التالي:

وبذلك، تكون الدالة تناقصية عندما يكون ، وتزايدية عندما يكون ؛ لقيم .

مقام الكسر موجب لقيم ؛ لذا فإن إشارة المشتقة تتحدَّد بالكامل حسب إشارة . ومن ثَمَّ، يكون الميل سالبًا لجميع قيم في مجال ؛ حيث تتحقَّق المتباينة التالية:

وهكذا، نستنتج أن الدالة تكون تناقصية عند .

وبالمثل، تكون الدالة تزايدية عندما يكون ، :

الدالة تزايدية على: ، وتناقصية على: .

مثال ٧: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة كسرية

عَيِّن فترات تزايد وتناقص الدالة .

الحل

لتحديد فترات التزايد والتناقص لدالة يمكننا النظر إلى مشتقتها . إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق على فترة مفتوحة فإن تكون تزايدية على الفترات التي تكون فيها ، وتناقصية على الفترات التي تكون فيها .

الدالة هي خارج قسمة دالتين قابلتين للاشتقاق، ومن ثَمَّ فهي قابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل. نلاحظ أنه لا توجد قيم حقيقية لـ تجعل المقام يساوي صفرًا؛ لذا فإن المجال هو .

لإيجاد المشتقة نستخدم قاعدة القسمة التي تنصُّ على أنه إذا كانت لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق ، فإن:

سنفترض أن ، ومن ثَمَّ . بالمثل ، ومن ثَمَّ . إذن:

نلاحظ الآن أن مقام الدالة هو: ، وهو موجب لجميع قيم الحقيقية. هذا يعني أن إشارة تعتمد كليًّا على إشارة البسط.

لتحديد إشارة فإننا نحلُّ: ، ثم نوجد إشارة الدالة لقيم اختبارية في الفترات التي تقع حول هذه النقاط:

سنختار الآن قيمًا اختبارية لـ من الفترات: ، ، ، وسنحدِّد إشارة باستخدام هذه القيم مع تذكُّر أن الدالة تكون تزايدية على فترات التي تكون فيها ، وتناقصية على الفترات التي تكون فيها . دعونا نختر: ، ، .

إذن، الدالة تناقصية على الفترتين: ، و، وتزايدية على الفترة: .

مثال ٨: إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة تتضمَّن دوال مثلثية

لكل أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة تزايدية أو تناقصية.

الحل

يمكننا تحديد فترات التزايد والتناقص لدالة قابلة للاشتقاق عن طريق التحقُّق من إشارة مشتقتها الأولى.

بما أن الدالة هي مجموع دالتَي جيب تمام، وبما أن دالة جيب التمام قابلة للاشتقاق على ؛ نستنتج أن قابلة للاشتقاق على .

نحن نعرف أنه بالنسبة للثابت الحقيقي فإن . ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام هذه الصيغة وقاعدة القوة العامة معًا لاشتقاق كل جزء من الدالة:

بذلك، تكون الدالة تناقصية على الفترات التي يكون فيها ، وتزايدية على الفترات التي يكون فيها .

هذا يعني أنه علينا تحديد إشارة عند نقاط مختلفة. ولنفعل ذلك سنوجد الأجزاء المقطوعة من المحور لمنحنى من خلال حلِّ: .

ونحصل على ذلك عندما يكون ، أو .

إذن:

في الفترة الحل الوحيد هو عندما يكون : .

الخطوات التي يمكننا بها حل هي كالتالي:

لا توجد حلول حقيقية لهذه المعادلة؛ لذا فإن الجزء المقطوع الوحيد من المحور لمنحنى هو: . وعليه، سنختار قيمتين اختباريتين من الفترتين: ، و، ثم سنتحقَّق من إشارة المشتقة عند هاتين النقطتين. فلنختر: ، .

بما أن المشتقة تكون سالبة على الفترة ، وموجبة على الفترة ؛ فهذا يعني أن الدالة تناقصية على: ، وتزايدية على: .