فيديو الدرس: التحويلات الهندسية للدوال: التمدد الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد التحويلات الهندسية للدوال التي تتضمن التمدد أو الانكماش الأفقي والرأسي. بعد مشاهدة هذا الفيديو، ستتمكن من تحديد التمثيلات البيانية للتمدد أو التكبير الأفقي والرأسي، ووصف هذه التحويلات باستخدام ترميز الدالة.

سنبدأ بتذكر ما نقصده بالدالة. الدالة تشبه الآلة. إنها تحتوي على قيمة مدخلة وقيمة مخرجة. وتتحقق هذه القيمة المخرجة من خلال إجراء عملية واحدة أو سلسلة من العمليات على القيمة المدخلة. على سبيل المثال، دعونا ننظر إلى الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد خمسة. القيمة المدخلة هي ﺱ ، والقيمة المخرجة هي اثنان ﺱ زائد خمسة. العمليتان اللتان أجرتهما الآلة هما الضرب في اثنين، ثم إضافة خمسة. ونريد الآن أن نتناول كيفية تحقيق نوعين من التحويلات. وهما التمدد أو التكبير الأفقي، أي التكبير الموازي للمحور ﺱ ، والتمدد الرأسي. ويكون التمدد الرأسي موازيًا للمحور ﺹ.

دعونا نتناول الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ . في هذه الدالة، نأخذ قيمة ﺱ ، ونعوض بها في الدالة، ومن ثم فإننا نحصل على قيمة مخرجة، وهي قيمة ﺹ. بعد ذلك، تخيل أننا نضرب الدالة بأكملها والقيم المخرجة بأكملها في اثنين. هذا يعطينا ﺹ يساوي اثنين في ﺩﺱ . ما التأثير الناتج عن ضرب الدالة بأكملها في اثنين؟ حسنًا، في هذه الحالة، نعوض بقيمة ﺱ كالمعتاد. لكننا نضرب القيمة المخرجة، بعد ذلك، في اثنين. وهذا يؤدي إلى مضاعفة جميع المخرجات أو جميع قيم ﺹ. إذن، كيف سيبدو ذلك على التمثيل البياني؟ حسنًا، ستكون القيمة المخرجة لكل قيمة من قيم ﺱ أكبر مرتين. لذا، إذا نظرنا إلى هذه النقطة على المنحنى الأصلي، فسنجد أن قيمة ﺹ ستكون أكبر مرتين. وستكون هنا في مكان ما بالأعلى.

يمكن قول الشيء نفسه عن هذه القيمة على المنحنى الأصلي؛ حيث إن القيمة المخرجة ستكون أكبر مرتين. لذا، ستكون هنا في مكان ما بالأسفل. وبالتالي، فإن التمثيل البياني سيبدو بهذا الشكل نوعًا ما. لاحظ أن النقاط التي يتقاطع عندها التمثيل البياني مع المحور ﺱ تظل كما هي. وذلك لأن القيمة المخرجة ﺹ عند هذه النقاط تساوي صفرًا. فإذا ضاعفنا الصفر، فسنحصل على صفر. التحويل الهندسي الذي يحول الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ إلى الدالة ﺹ يساوي اثنين ﺩﺱ هو تمدد رأسي. لكننا نسمي هذا تمددًا موازيًا للمحور ﺹ بمعامل قياس يساوي اثنين.

بصفة عامة، نقول إنه بالنسبة إلى الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ ، نجد أن ﺹ يساوي ﺃ في ﺩﺱ للثابت الحقيقي ﺃ هو تمدد مواز للمحور ﺹ بمعامل قياس يساوي ﺃ. بعبارة أخرى، هو تمدد رأسي بمعامل قياس يساوي ﺃ. لكن ماذا عن تحويل بديل؟ دعونا نتخيل الآن أن لدينا ﺹ يساوي ﺩ لاثنين ﺱ . هذه المرة، نضرب كل قيمة لـ ﺱ في اثنين، ثم نعوض بها في الصيغة. سنعوض بقيمة ضعف القيمة الأصلية في الدالة، ومن ثم نحصل على القيمة المخرجة ذات الصلة. يبدو من ذلك أن قيم الدالة تزداد بصورة أسرع؛ فهي تصل إلى تلك القيم بضعف المعدل.

وبالتالي، ستكتمل هذه النقطة على الدالة الأصلية خلال نصف الوقت. وستكون هنا في مكان ما. وبالمثل، ستكتمل هذه النقطة هنا خلال نصف الوقت. إنها هنا في مكان ما. يمكننا فعل الأمر نفسه مع النقاط المتبقية، وسنحصل على هذا التمثيل البياني الموضح. ويعد ذلك تمددًا أو تكبيرًا أفقيًّا، ولكن هذه المرة يكون موازيًا للمحور ﺱ بمعامل قياس يساوي نصفًا. يمكننا القول عامة إنه بالنسبة للدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ ، نجد أن ﺹ يساوي ﺩﺏ في ﺱ للثابت الحقيقي ﺏ، هو تمدد مواز للمحور ﺱ بمعامل قياس يساوي واحدًا على ﺏ. بعبارة أخرى، هو انكماش أفقي. والآن، بعد أن أصبح لدينا هذان التعريفان، دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

تمددت الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس يساوي نصفًا. اكتب معادلة الدالة المتحولة هندسيًّا، بدلالة ﺩﺱ .

هناك طريقة أخرى للتعبير عن التمدد، وهي قول إن الدالة قد حدث لها تكبير، وذلك حسب المكان الذي تعيش فيه. ونتذكر أنه بالنسبة إلى الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ ، نجد أن ﺹ يساوي ﺃ في ﺩﺱ يعطينا تمددًا رأسيًّا، ومعامل القياس هو ﺃ. حسنًا، دعونا نقارن هذا التعريف بالسؤال الذي لدينا. تمددت الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس يساوي نصفًا.

بمقارنة ذلك بالتعريف الذي لدينا، سنجد أننا سنفترض أن ﺃ يساوي نصفًا. بما أن ﺹ يساوي ﺃ في ﺩﺱ يعطينا تمددًا رأسيًّا بمعامل قياس يساوي ﺃ، فإننا نحصل على تمدد رأسي بمعامل قياس يساوي نصفًا بكتابة ﺹ يساوي نصف ﺩﺱ . الضرب في نصف هو نفسه القسمة على اثنين. لذا، يمكننا بدلًا من ذلك القول إن معادلة الدالة المتحولة هندسيًّا بدلالة الدالة ﺩﺱ هي ﺹ يساوي ﺩﺱ على اثنين.

دعونا نتناول مثالًا مشابهًا.

تتمدد الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ في الاتجاه الأفقي بمعامل قياس يساوي اثنين. اكتب معادلة الدالة المتحولة بدلالة ﺩﺱ .

دعونا نتذكر كيف نحصل على تمدد للدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ . نحن نعرف أنه بالنسبة إلى الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ ، نجد أن ﺹ يساوي ﺩﺏ في ﺱ يعطينا تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس يساوي واحدًا على ﺏ. لذا، دعونا نقارن هذا التعريف بالسؤال الذي لدينا. تتمدد الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ في الاتجاه الأفقي. ومعامل قياس هذا التمدد أو التكبير هو اثنان. بمقارنة هذه المعطيات بالتعريف الذي لدينا، نجد أن معامل القياس يساوي واحدًا على ﺏ، ومن ثم سنفترض أن واحدًا على ﺏ يساوي اثنين.

دعونا نحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺏ بضرب كلا الطرفين في ﺏ أولًا. هذا يعطينا واحدًا يساوي اثنين ﺏ. بعد ذلك، سنقسم طرفي هذه المعادلة على اثنين، ومن ثم نحصل على نصف يساوي ﺏ أو ﺏ يساوي نصفًا. وهذا يعني أنه عند حدوث تمدد أفقي بمعامل قياس يساوي اثنين، تصبح الدالة التي لدينا هي ﺹ يساوي ﺩ لنصف ﺱ . وبما أن الضرب في نصف هو نفسه القسمة على اثنين، إذن يمكننا كتابة نصف ﺱ في صورة ﺱ على اثنين. وهذا يعني أن معادلة الدالة المتحولة التي لدينا هي ﺹ يساوي ﺩﺱ على اثنين.

دعونا الآن نتناول كيفية تحديد التمثيل البياني بمعلومية معادلة الدالة المتحولة.

يوضح هذا الشكل تمثيل ﺹ يساوي ﺩﺱ بيانيًّا. أي التمثيلات البيانية الآتية هو تمثيل ﺹ يساوي نصف ﺩﺱ بيانيًّا؟

دعونا نبدأ بالنظر إلى معادلة الدالة المتحولة. عندما نضرب في كمية قياسية، أي في ثابت حقيقي، فإن هذا يمثل تمددًا أو تكبيرًا بوصف محدد. في الحقيقة، عندما نضرب الدالة ﺩﺱ بأكملها في كمية قياسية، فإننا نحصل على تمدد أو تكبير رأسي بمعامل قياس يساوي هذا العدد. ومن ثم، فإننا سنمد التمثيل البياني الأصلي رأسيًّا بمعامل قياس يساوي نصفًا. وسيكون هذا التمدد على شكل انكماش رأسي. لتحديد التمثيل البياني الصحيح، سنحدد بعض النقاط الرئيسية على التمثيل البياني.

أولًا، دعونا ننظر إلى هذه النقطة هنا. تمر هذه النقطة بالمحور ﺹ عند اثنين. عندما يحدث انكماش أو تمدد رأسي للتمثيل البياني بمعامل قياس يساوي نصفًا، فإن القيمة التي ستمر عندها هذه النقطة بالمحور ﺹ ستقل إلى النصف. وبالتالي، فإنها ستمر بالمحور ﺹ عند صفر، واحد. وبالمثل، دعونا ننظر إلى النقطة التي تقع عند ١٫٥، سالب ٠٫٦. سنقسم قيمة الإحداثي ﺹ على اثنين. ويظل الإحداثي ﺱ كما هو، لذا ستقع النقطة عند ١٫٥، سالب ٠٫٣. بذلك، سيبدو التمثيل البياني بهذا الشكل إلى حد ما. إذا قارنا ذلك بالتمثيلات البيانية المعطاة، فسنجد أن التمثيل البياني الوحيد الذي يطابق هذه الشروط والذي يمر بالمحور ﺹ عند واحد هو (ب). إذن، (ب) هو التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي نصف ﺩﺱ .

دعونا نرى ما إذا كنا نستطيع تحديد معادلات التمثيلات البيانية الأخرى. بالنظر إلى التمثيل البياني (أ)، يمكننا أن نرى أنه قد تمدد بمعامل قياس يساوي اثنين. ومن ثم، فإن معادلة هذا التمثيل البياني يجب أن تكون ﺹ يساوي اثنين في ﺩﺱ . انكمش التمثيل البياني (ج) بمعامل قياس يساوي نصفًا. ولكن هذه المرة، كان هذا الانكماش في الاتجاه الأفقي. لإجراء تمدد أفقي بمعامل قياس يساوي نصفًا، علينا ضرب قيم ﺱ في اثنين. لذا، فإن معادلة هذا التمثيل البياني هي ﺹ يساوي ﺩ لاثنين ﺱ .

بعد ذلك، إذا نظرنا إلى التمثيل البياني (د)، فسنلاحظ حدوث أمر مشابه. هذه المرة، تمدد التمثيل البياني في اتجاه أفقي، ولكن بمعامل قياس يساوي اثنين. ولإجراء هذا التمدد، علينا ضرب كل قيم ﺱ في نصف. إذن، معادلة التمثيل البياني (د) هي ﺹ يساوي ﺩ لنصف ﺱ . يختلف التمثيل البياني (هـ) تمامًا عن التمثيلات البيانية الأخرى. وذلك لأنه يمثل مجموعة من عمليات التمدد. فقد تمدد هذا التمثيل البياني رأسيًّا بمعامل قياس يساوي اثنين، وأفقيًّا بمعامل قياس يساوي اثنين. وبالتالي، فإن معادلته تجمع بين (أ) و(د). وهي ﺹ يساوي اثنين في ﺩ لنصف ﺱ . إذن، الإجابة الصحيحة هنا هي (ب).

سنتناول الآن مثالًا آخر يتضمن التعرف على تمدد الدوال بيانيًّا.

يوضح التمثيل البياني الأحمر في الشكل المعادلة ﺹ يساوي ﺩﺱ ، ويوضح التمثيل البياني الأخضر المعادلة ﺹ يساوي ﺭﺱ. اكتب ﺭﺱ في صورة تحويل للدالة ﺩﺱ .

دعونا نبدأ بالمقارنة بين التمثيل البياني الأحمر والتمثيل البياني الأخضر في الشكل الذي لدينا. يمر كل من التمثيلين البيانيين بنقطة الأصل، وهي النقطة صفر، صفر. لذا، دعونا نقارن هذه النقطة، وهي قيمة عظمى محلية، على التمثيل البياني الأحمر بالقيمة العظمى المحلية على التمثيل البياني الأخضر. لم تتغير قيمة الإحداثي ﺹ. ولكن قيمة الإحداثي ﺱ قد تضاعفت. فقد تحولت هذه القيمة من سالب ١٫٢٥ تقريبًا إلى سالب ٢٫٥. دعونا ننظر الآن إلى نقطة القيمة الصغرى المحلية هذه، ونقارنها بنقطة القيمة الصغرى المحلية على التمثيل البياني الأخضر. مرة أخرى، تظل قيمة الإحداثي ﺹ كما هي. لكن جزء الإحداثي ﺱ قد تضاعف. وذلك لأنه قد انتقل من ٠٫٥ على التمثيل البياني الأحمر إلى واحد تقريبًا على التمثيل البياني الأخضر.

حسنًا، ما التحويل الهندسي الذي يحول المنحنى الأحمر إلى المنحنى الأخضر؟ نحن نلاحظ أنه قد تمدد بالتوازي مع المحور ﺱ . لذا، نسمي ذلك تمددًا أو تكبيرًا أفقيًّا. وبما أن جميع القيم في اتجاه المحور ﺱ قد تضاعفت، فيمكننا القول إن معامل قياس هذا التمدد الأفقي هو اثنان. ولكن كيف يمكننا تمثيل ذلك باستخدام ترميز الدالة؟ حسنًا، نحن نتذكر أنه بالنسبة إلى الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ ، نجد أن ﺹ يساوي ﺩﺏ في ﺱ للثابت الحقيقي ﺏ يمثل تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس يساوي واحدًا على ﺏ. لذا، دعونا نقارن معامل القياس الذي لدينا بمعامل القياس في التعريف العام.

عند مقارنتهما، نجد أننا سنفترض أن واحدًا على ﺏ يساوي اثنين. ولإيجاد قيمة ﺏ، دعونا نضرب طرفي هذه المعادلة في ﺏ ثم نقسم الطرفين على اثنين، ومن ثم نحصل على نصف يساوي ﺏ أو ﺏ يساوي نصفًا. بذلك، يمكننا القول إن معادلة التمثيل البياني الأخضر هي ﺹ يساوي ﺩ لنصف ﺱ . لكننا ذكرنا من قبل أن معادلة التمثيل البياني الأخضر هي ﺹ يساوي ﺭﺱ. لذا، يمكننا القول إن ﺭﺱ يجب أن يساوي ﺩ لنصف ﺱ . ويمكننا تبسيط المعادلة قليلًا بكتابة نصف ﺱ على الصورة ﺱ على اثنين. بذلك، نجد أن ﺭﺱ في صورة تحويل للدالة ﺩﺱ هو ﺭﺱ يساوي ﺩﺱ على اثنين.

في المثال التالي، سنتناول كيفية إيجاد إحداثيي نقطة على تمثيل بياني بعد حدوث تمدد أو تكبير.

يوضح الشكل تمثيل ﺹ يساوي ﺩﺱ بيانيًّا والنقطة ﺃ. النقطة ﺃ هي القيمة العظمى المحلية. حدد القيمة العظمى المحلية المناظرة لها للتحويل الهندسي ﺹ يساوي ﺩ لاثنين ﺱ .

دعونا نبدأ بتذكر التحويل الهندسي الذي يحول التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩﺱ إلى التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩ لاثنين ﺱ . نحن نعلم أنه بالنسبة إلى الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ ، نجد أن ﺹ يساوي ﺩﺏ في ﺱ هو تمدد أفقي بمعامل قياس يساوي واحدًا على ﺏ. ومن ثم، إذا قارنا المعادلة التي لدينا، وهي ﺹ يساوي ﺩ لاثنين ﺱ ، بالمعادلة العامة، وهي ﺹ يساوي ﺩﺏﺱ ، نلاحظ أن لدينا تمددًا أفقيًّا. دعونا نوجد قيمة معامل القياس بافتراض أن ﺏ يساوي اثنين.

عندما نفعل ذلك، فإننا نلاحظ أنه بالنسبة إلى الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ ، نجد أن ﺹ يساوي ﺩ لاثنين ﺱ هو تمدد أفقي بمعامل قياس يساوي نصفًا. بعبارة أخرى، سينكمش التمثيل البياني الذي لدينا حول المحور ﺹ. عند حدوث الانكماش، سيبدو التمثيل البياني بهذا الشكل إلى حد ما. سنسمي إحداثيي نقطة القيمة العظمي المحلية التي تقع على التحويل الذي لدينا ﺃ شرطة، كما هو موضح. ونلاحظ أن الإحداثي ﺹ لها يظل كما هو، بينما تقل قيمة الإحداثي ﺱ إلى النصف. إذن، ﺃ شرطة هي اثنان على اثنين، وهو ما يساوي واحدًا؛ أي واحد، واحد. بذلك، نستنتج أن نقطة القيمة العظمى المحلية للتحويل الهندسي ﺹ يساوي ﺩ لاثنين ﺱ هي واحد، واحد.

في المثال الأخير، سنتناول كيف يمكن أن تساعدنا هذه العمليات في رسم تحويل كامل عن طريق التمدد.

يوضح الشكل التالي التمثيل البياني للدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ لقيم ﺱ الأكبر من أو المساوية لسالب ثلاثة والأصغر من أو المساوية لثلاثة. ارسم التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ثلث ﺩﺱ على مجموعة المحاور نفسها.

دعونا نبدأ بتذكر التحويل الذي يحول ﺹ يساوي ﺩﺱ إلى ﺹ يساوي ثلث ﺩﺱ . نحن نعلم أنه بالنسبة إلى الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ ، نجد أن ﺹ يساوي ﺃ في ﺩﺱ يعطينا تمددًا رأسيًّا بمعامل قياس يساوي ﺃ. بمقارنة هذا التعريف بالدالة التي لدينا في السؤال، نرى أن لدينا تمددًا رأسيًّا، ولكننا سنفترض أن ﺃ يساوي واحدًا على ثلاثة. ومن ثم، بالنسبة إلى الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ ، نجد أن ﺹ يساوي ثلث ﺩﺱ هو تمدد رأسي بمعامل قياس يساوي ثلثًا. دعونا نجري هذا التمدد نقطة تلو الأخرى.

سنبدأ بالنقطة التي تقع على الجانب الأيسر من الشكل. هذه النقطة لها الإحداثيان سالب ثلاثة، ثلاثة. بإجراء التمدد الرأسي، فإننا نوجد قيمة ثلث الإحداثي ﺹ. ثلث العدد ثلاثة يساوي واحدًا، وبالتالي فإن الإحداثيين المناظرين على التمثيل البياني المتحول هما سالب ثلاثة، واحد. وبما أن التمثيل البياني قد تمدد رأسيًّا، فسيظل يمر بالمحور ﺱ عند المكان نفسه. ماذا عن النقطة التي لها الإحداثيان صفر، سالب ثلاثة؟ مرة أخرى، يبقى الإحداثي ﺱ كما هو، ونقسم الإحداثي ﺹ على ثلاثة للحصول على صفر، سالب واحد.

يمكننا إجراء العملية نفسها على النقطة واحد، سالب ثلاثة، ومن ثم ستتحول إلى النقطة التي إحداثياها هما واحد، سالب واحد. لذا، سيمر التمثيل البياني بالمحور ﺱ عند المكان نفسه مرة أخرى. وأخيرًا، سنحول النقطة التي إحداثياها هما ثلاثة، واحد. سنقسم الإحداثي ﺹ على ثلاثة، وعليه سنجد أن هذه النقطة أصبح لها الإحداثيان ثلاثة، ثلث. بذلك، نجد أن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ثلث ﺩﺱ يبدو كما هو موضح. إنه تمدد رأسي بمعامل قياس يساوي ثلثًا.

في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا إجراء التمدد أو التكبير بإحدى الطريقتين الآتيتين. بالنسبة إلى الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ ، نجد أن ﺹ يساوي ﺃ في ﺩﺱ للثابت الحقيقي ﺃ يعطينا تمددًا رأسيًّا بمعامل قياس يساوي ﺃ. وبالمثل، فإن ﺹ يساوي ﺩﺏﺱ يمثل تمددًا أفقيًّا موازيًا للمحور ﺱ . ولكن هذه المرة، معامل القياس هو واحد على ﺏ.