تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: التحويلات الهندسية للدوال: التمدُّد الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نحدِّد التحويلات الهندسية للدوال التي تتضمَّن التمدُّد أو الانكماش الأفقي والرأسي.

عند التعامل مع الدوال، غالبًا ما يعنينا الحصول على التمثيل البياني كوسيلة لتصور السلوك العام وفهمه. إلى جانب معرفة معلومات محددة مثل الجذور، والجزء المقطوع من المحور 𞸑، وأي قيم عظمى أو قيم صغرى، يمكن أن يوفر التمثيل البياني للدالة صورة كاملة عن السلوك المعروف الدقيق ويوفر كذلك فهمًا نوعيًّا عامًّا بدرجة أكبر. بمجرد أن نحصل على مقدار يعبر عن دالة أو يكون لدينا، غالبًا ما نهتم بكيفية كتابة هذه الدالة جبريًّا عندما يُجرى عليها تحويلات هندسية مثل: الدوران، والانعكاس، والانتقال، والتمدد.

في هذا الشارح، سنستكشف مفهوم التمدد، وهو مصطلح شامل لتمدد دالة أو انكماشها (في هذه الحالة في الاتجاه الأفقي أو الاتجاه الرأسي) باستخدام معامل قياس ثابت. هندسيًّا، قد يكون تصوُّر هذه التحويلات بديهيًّا إلى حد ما أحيانًا، على الرغم من أن تفسيرها الجبري قد يبدو غير بديهي إلى حدٍّ ما، خاصة عند تمددها في الاتجاه الأفقي. وبناء على ذلك، سنبدأ بدراسة التمدد في الاتجاه الرأسي قبل أن نضيف إلى ذلك صورة من التمدد أصعب قليلًا.

تعريف: التمدد في الاتجاه الرأسي

افترض دالةً ما 𞸑=󰎨(𞸎) مرسومة في المستوى 𞸎𞸑. نمددها في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس 󰏡، مما يتسبب في التحويل 󰎨(𞸎)󰏡󰎨(𞸎). علاوة على ذلك، لا تتغير جذور الدالة، وكذلك الإحداثيات 𞸎 لنقاط التحول. ويتم ضرب قيمة الجزء المقطوع من المحور 𞸑، وكذلك الإحداثيات 𞸑 لنقطة التحول في معامل القياس.

سنوضِّح هذا التعريف بتناول الدالة التربيعية 󰎨(𞸎)=𞸎𞸎٢٢. لن نوضح السبب هنا، لكن هذه الدالة لها جذران، أحدهما عند 𞸎=١ والآخر عند 𞸎=٢، ولها الجزء المقطوع من المحور 𞸑 يساوي ٢، كما لها قيمة صغرى عند النقطة 󰂔١٢،٩٤󰂓. التمثيل البياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) موضح بالأسفل.

والآن سنمدد الدالة في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس يساوي ٣. وفقًا للتعريف، هذا يعني أن علينا تطبيق التحويل 󰎨(𞸎)٣󰎨(𞸎) ومن ثم نرسم الدالة: 𞸑=٣󰎨(𞸎)=٣󰁓𞸎𞸎٢󰁒=٣𞸎٣𞸎٦.٢٢

يمكننا التحقق من هذه الدالة الجديدة، وسنجد أن موقع الجذرين لم يتغير. لكن، كلٌّ من الجزء المقطوع من المحور 𞸑، ونقطة القيمة الصغرى تغير موقعهما. فقد تم ضرب قيمة الجزء المقطوع من المحور 𞸑 في معامل القياس الذي يساوي ٣، وأصبحت قيمته ٦. على الرغم من أننا لن نعرض الحل هنا، فإن الإحداثي 𞸎 لم يتغير أيضًا، على الرغم من أن الإحداثي 𞸑 الجديد يساوي ثلاثة أمثال القيمة السابقة، وهو ما يعني أن موقع نقطة القيمة الصغرى الجديدة هو 󰂔١٢،٧٢٤󰂓. ملخص هذه المعلومات معروض على الشكل بالأسفل، حيث الدالة الأصلية مرسومة باللون الأزرق، والدالة الجديدة مرسومة باللون الأرجواني.

وبالمثل، كان بإمكاننا اختيار إجراء انكماش للدالة 󰎨(𞸎) بتمددها في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس يساوي عددًا بين صفر وواحد. على سبيل المثال، افترض أننا اخترنا تمددًا في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس يساوي ١٣ بتطبيق التحويل 󰎨(𞸎)١٣󰎨(𞸎). ومن ثم، نرسم الدالة: 𞸑=١٣󰎨(𞸎)=١٣󰁓𞸎𞸎٢󰁒=١٣𞸎١٣𞸎٢٣.٢٢

هذه الدالة الجديدة لها نفس جذور الدالة 󰎨(𞸎) لكن الجزء المقطوع من المحور 𞸑 هو الآن ٢٣. علاوة على ذلك، موقع نقطة القيمة الصغرى هو󰂔١٢،٣٤󰂓. هذه الدالة الجديدة موضحة بالأسفل باللون الذهبي، ومركَّبة على الرسم السابق.

ومن الجدير بالملاحظة هنا أننا قمنا بتمدد الدالة في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس موجب فقط. لو كنا اخترنا معامل قياس سالبًا، لكُنا أجرينا انعكاسًا للدالة حول المحور الأفقي. وهذا منطقي؛ لأنه من المعروف جيدًا أنه يمكن أن تنعكس دالة 󰎨(𞸎) حول المحور الأفقي بتطبيق التحويل 󰎨(𞸎)󰎨(𞸎). على سبيل المثال، يمكن اعتبار تمدد الدالة في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس يساوي ٢ على أنه أولًا تمدد للدالة من خلال التحويل 󰎨(𞸎)٢󰎨(𞸎)، ثم إجراء انعكاس لها، وذلك بأن نجعل أيضًا 󰎨(𞸎)󰎨(𞸎). يجعلنا ذلك نفكر في أن انعكاس الدالة حول المحور الأفقي باعتباره تمددًا في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس يساوي ١.

افترض أننا قررنا أن نقوم بتمدد الدالة المعطاة 󰎨(𞸎) بمعامل قياس يساوي ٢ في الاتجاه الأفقي باستخدام التحويل 󰎨(𞸎)٢󰎨(𞸎). حينئذٍ، كنا سنرسم الدالة: 𞸑=٢󰎨(𞸎)=٢󰁓𞸎𞸎٢󰁒=٢𞸎+٢𞸎+٤.٢٢

مرة أخرى، جذور هذه الدالة لا تتغير، لكن الجزء المقطوع من المحور 𞸑 تم ضربه في معامل قياس يساوي ٢ والآن أصبحت قيمته ٤. لم يتغير الإحداثي 𞸎 لنقطة القيمة الصغرى، لكن الإحداثي 𞸑 تم ضربه في معامل القياس. نقطة التحول الجديدة هي 󰂔١٢،٩٢󰂓، ولكنها أصبحت قيمة عظمى محلية بدلًا من قيمة صغرى محلية. الدالة الجديدة موضحة بالأسفل باللون الأخضر، ومركَّبة على المخطط السابق. يمكننا أن نلاحظ أن الدالة الجديدة هي انعكاس للدالة 𞸑=٢󰎨(𞸎) حول المحور الأفقي.

مثال ١: التعبير عن التمددات الرأسية باستخدام ترميز الدالة

تمدَّدت الدالة 𞸑=󰎨(𞸎) في الاتجاه الرأسي بمُعامِل قياس ١٢. اكتب معادلة المُتحوِّلة هندسيًّا بدلالة 󰎨(𞸎).

الحل

إن تمدد دالةٍ ما في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس 󰏡 سيعطينا التحويل 󰎨(𞸎)󰏡󰎨(𞸎). بما أن معامل القياس يساوي ١٢، إذن الدالة الجديدة هي 𞸑=󰎨(𞸎)٢.

في البداية، قد يبدو التعامل مع التمدد في الاتجاه الأفقي غير بديهي. وعلى الرغم من أن هذا هو الحال، سنتناول كيفية التعامل مع التمدد في الاتجاه الأفقي من خلال نفس إطار التعامل مع التمدد في الاتجاه الرأسي إلى حد كبير، وذلك بمناقشة تأثيراته على النقاط المميزة مثل الجذور والأجزاء المقطوعة من المحور 𞸑، ونقاط تحول الدالة التي تعنينا. سنبدأ بتعريفٍ ذي صلة، ثم سنشرح هذه التغييرات بالرجوع إلى الدالة التربيعية نفسها التي استخدمناها سابقًا.

تعريف: التمدد في الاتجاه الأفقي

افترض أن لدينا دالةً ما 𞸑=󰎨(𞸎) مرسومة في المستوى 𞸎𞸑. ثم، نقوم بتمددها في الاتجاه الأفقي بمعامل قياس مقداره 󰏡 عن طريق تعريف الدالة الجديدة 󰎨(𞸎)󰎨󰂔١󰏡𞸎󰂓. لن تتغير قيمة الجزء المقطوع من المحور 𞸑، وكذلك الإحداثي 𞸑 لأي نقطة تحول. ويتم ضرب جذور الدالة في معامل القياس، وكذلك الإحداثيات 𞸎 لأي نقطة تحول.

سوف نستخدم الدالة نفسها التي استخدمناها سابقًا لفهم التمدد في الاتجاه الأفقي. للتذكير، كان لدينا الدالة التربيعية 󰎨(𞸎)=𞸎𞸎٢٢، وفيما يلي التمثيل البياني لها. نحن نعلم أن هذه الدالة لها جذران عند 𞸎=١، 𞸎=٢، والجزء المقطوع من المحور 𞸑 لها يساوي ٢، ونقطة القيمة الصغرى على المستوى 𞸎𞸑 لها الإحداثيات 󰂔١٢،٩٤󰂓.

سنوضح أولًا تأثير التمدد في الاتجاه الأفقي. سنختار معامل قياس اختياريًّا يساوي ٢ باستخدام التحويل 󰎨(𞸎)󰎨󰂔١٢𞸎󰂓، يتضمن التعريف أن علينا بعد ذلك رسم الدالة: 𞸑=󰎨󰂔١٢𞸎󰂓=󰂔𞸎٢󰂓󰂔𞸎٢󰂓٢=١٤𞸎١٢𞸎٢.٢٢

إذا أردنا تحليل هذه الدالة، فسنجد أن الجزء المقطوع من المحور 𞸑 لا يتغير، وأن الإحداثي 𞸑 لنقطة القيمة الصغرى لا يتأثر أيضًا. كان جذرا الدالة الأصلية عند 𞸎=١، 𞸎=٢، ويمكننا أن نلاحظ أن جذرَي الدالة الجديدة تم ضربهما في معامل القياس ووُجد أنهما عند 𞸎=٢، 𞸎=٤، على الترتيب. لكن من الصعب أن نعرف ذلك من الشكل، لكن الإحداثي 𞸎 لنقطة القيمة الصغرى أيضًا تم ضربه في معامل القياس، وهو ما يعني أن نقطة القيمة الصغرى الآن لها الإحداثيات 󰂔١،٩٤󰂓، بينما كانت إحداثياتها للدالة الأصلية 󰂔١٢،٩٤󰂓. ملخص هذه المعلومات مُوضح في الشكل التالي، حيث الدالة الأصلية مرسومة باللون الأزرق، والدالة بعد التمدد مرسومة باللون الأرجواني.

والآن، سنتعرف أكثر على التعريف بالأعلى بإجراء تمدد للدالة بمعامل قياس بين صفر و١، في هذه الحالة سنختار معامل القياس ١٢. لإجراء تأثير التمدد هذا على الدالة الأصلية، نستخدم التحويل 󰎨(𞸎)󰎨󰃭١𞸎󰃬١٢، وهو ما يعني أن علينا رسم الدالة: 𞸑=󰎨󰃭١𞸎󰃬=󰎨(٢𞸎)=(٢𞸎)(٢𞸎)٢=٤𞸎٢𞸎٢.١٢٢٢

في هذه الدالة الجديدة، لا يتأثر الجزء المقطوع من المحور 𞸑 والإحداثي 𞸑 لنقطة التحول. لكن يمكننا استنتاج أن قيمة كل جذر تمَّت قسمتها على نصف، وهكذا أصبح الجذران الآن عند 𞸎=١٢، 𞸎=١. بالإضافة إلى ذلك، تمت قسمة الإحداثي 𞸎 لنقطة التحول؛ وهو ما يعني أن الموقع الجديد لها هو 󰂔١٤،٩٤󰂓. وملخص ذلك موضح في المخطط التالي، وإن لم يكن بأكبر قدر من الوضوح، حيث الدالة الجديدة مرسومة باللون الذهبي ومُركَّبة على المخطط السابق.

في العرض التوضيحي الأخير، سنعرض تأثير التمدد في الاتجاه الأفقي بمعامل سالب. وكما هو الحال في التمدد الرأسي، نتوقع أن يكون هناك انعكاس، لكن هذه المرة يكون حول المحور الأفقي بدلًا من كونه حول المحور الرأسي. وسنختار تمدد الدالة في الاتجاه الأفقي بمعامل قياس يساوي ٢، وهو ما سيتطلب التحويل 󰎨(𞸎)󰎨󰂔١٢𞸎󰂓. ثم نرسم الدالة التالية: 𞸑=󰎨󰂔١٢𞸎󰂓=󰎨󰂔١٢𞸎󰂓=󰂔١٢𞸎󰂓󰂔١٢𞸎󰂓٢=١٤𞸎+١٢𞸎٢.٢٢

هذه الدالة الجديدة لها نفس الجزء المقطوع من المحور 𞸑 مثل الدالة 󰎨(𞸎)، والإحداثي 𞸑 لنقطة التحول لا يتغير نتيجة لهذا التمدد. لكن جذور الدالة الجديدة مضروبة في ٢ وموقعها الآن عند 𞸎=٢، 𞸎=٤، في حين كانت جذروها في السابق عند 𞸎=١، 𞸎=٢ على الترتيب. تم ضرب الإحداثي 𞸎 لنقطة التحول في معامل القياس، والموقع الجديد لنقطة التحول عند 󰂔١،٩٤󰂓. لقد رسمنا التمثيل البياني للدالة التي حدث لها تمدد بالأسفل، حيث يمكننا ملاحظة تأثير الانعكاس حول المحور الرأسي مع تأثير التمدد. لم نرسم سوى الدالة الأصلية 󰎨(𞸎) باللون الأزرق والدالة الجديدة باللون الأرجواني، وذلك بغرض الإيضاح.

مثال ٢: التعبير عن التمددات الأفقية باستخدام ترميز الدالة

تتمدد الدالة 𞸑=󰎨(𞸎) في الاتجاه الأفقي بمعامل قياس يساوي ٢. اكتب معادلة الدالة المتحولة بدلالة 󰎨(𞸎).

الحل

إنَّ تمدد دالة في الاتجاه الأفقي بمعامل قياس 󰏡 سيعطينا التحويل 󰎨(𞸎)󰎨󰂔١󰏡𞸎󰂓. وبما أن معامل القياس المعطى يساوي ٢، فإن التحويل يكون 󰎨(𞸎)󰎨󰂔١٢𞸎󰂓 ومن ثم، فإن الدالة الجديدة هي 𞸑=󰎨󰂔𞸎٢󰂓.

كما ذكرنا من قبل، قد يكون من المفيد أن نفهم التمدد بدلالة التأثيرات التي تطرأ على النقاط المُمَيِّزة للدالة، مثل: الجزء المقطوع من المحور 𞸑، والجذور، ومواقع أي نقاط تحول. إذا كانت هذه المعلومات معروفة تمامًا، فستكون عادةً كافية لاستنتاج التمدد المحدد دون إجراء مزيد من التحقق. فإذا كنا نتعامل فقط مع تمدد في الاتجاه الرأسي، فإن الإحداثيات 𞸎 للنقاط المُمَيِّزة للدالة لن تتأثر. وبالمثل، إذا كنا نتعامل فقط مع تمدد في الاتجاه الأفقي، فإن الإحداثيات 𞸑 لن تتأثر. سنستخدم هذه الطريقة في بقية الأمثلة الموجودة في هذا الشارح، حيث لن يحدث التمدد إلا في الاتجاه الرأسي فقط أو الاتجاه الأفقي فقط.

مثال ٣: تحديد التمثيل البياني لدالة معطاة بعد تمددها

يوضِّح هذا الشكل تمثيل 𞸑=󰎨(𞸎) بيانيًّا.

أيُّ التمثيلات البيانية الآتية هو تمثيل 𞸑=١٢󰎨(𞸎) بيانيًّا؟

الحل

الدالة 𞸑=١٢󰎨(𞸎) تمثل تمددًا في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس ١٢، بمعنى أنه قد حدث لها انكماش. بمعلومية أن الدالة تتمدد في الاتجاه الرأسي، فإن إحداثيات 𞸎 لأيٍّ من النقاط المميزة بالتمثيل البياني لن تتأثر، ولهذا سنركز على الإحداثيات 𞸑 بدلًا من ذلك.

هذا يعني أنه يمكننا تجاهل جذور الدالة، وسنركز بدلًا من ذلك على الجزء المقطوع من المحور 𞸑 للدالة 󰎨(𞸎)، والذي يظهر أنه عند النقطة (٠،٢). إذا أردنا أن نرسم الدالة 𞸑=١٢󰎨(𞸎)، فإننا سنقسم قيمة الجزء المقطوع من المحور 𞸑 على اثنين، وبهذا نحصل على الجزء المقطوع من المحور 𞸑 الجديد عند النقطة (٠،١). من التمثيلات البيانية المعطاة، يكون التمثيل البياني الوحيد الذي تنطبق عليه هذه الخاصية هو الخيار (هـ)، وهو ما يعني أن هذا هو الخيار الصحيح. لاحظ أن جذور هذا التمثيل البياني لا تتأثر بالتمدد المعطى، وهو ما يوضح أننا اخترنا الاختيار الصحيح.

يقدم السؤال التالي مثالًا نموذجيًّا إلى حد ما على تحويلات التمثيلات البيانية، حيث التمدد المعطى موضح بالتمثيل البياني، ثم يطلب منا السؤال تحديد التحويل الجبري الدقيق الذي يمثل ذلك. على الرغم من أن نمط السؤال أكثر تعقيدًا نوعًا ما عن المثال السابق، فإن الطريقة الأساسية لا تتغير إلى حد كبير. وبالنظر إلى سلوك النقاط المميزة للدالة، سنلاحظ أنه يمكننا سريعًا استنتاج هذه المعلومات بقليل من الاستقصاء.

مثال ٤: التعبير عن تمدد باستخدام ترميز الدالة حيث يكون التمدد موضحًا بيانيًّا

يوضِّح التمثيل البياني الأحمر في الشكل المعادلة 𞸑=󰎨(𞸎)، ويوضِّح التمثيل البياني الأخضر المعادلة 𞸑=𞸓(𞸎). اكتب 𞸓(𞸎) في صورة تحويل للدالة 󰎨(𞸎).

الحل

سنبدأ بملاحظة النقاط المميزة للدالة 󰎨(𞸎)، المرسومة باللون الأحمر. في البداية، الجزء المقطوع من المحور 𞸑 يقع عند نقطة الأصل، إذن فهو عند النقطة (٠،٠)، وهو ما يعني أنه أيضًا جذر للدالة 󰎨(𞸎). ولن يكون للتمدد في الاتجاه الرأسي أو الاتجاه الأفقي أي تأثير على هذه النقطة، لذا سنتجاهلها من الآن فصاعدًا.

وبالنظر فقط إلى التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن الدالة حدث لها تمدد في الاتجاه الأفقي، وهو ما يشير إلى أن الدالة قد تمددت بالفعل في الاتجاه الأفقي. لجعل هذه الفرضية أكثر تحديدًا، نلاحظ أنه بالإضافة إلى الجذر عند نقطة الأصل، يوجد أيضًا جذران للدالة 󰎨(𞸎) عند 𞸎=٢، 𞸎=١، ومن ثم يكونان عند النقطتين (٢،٠)، (١،٠). ولكن، في الدالة الجديدة 𞸓(𞸎) المرسومة باللون الأخضر، يمكننا ملاحظة أنه يوجد أيضًا جذران عند 𞸎=٤، 𞸎=٢، أي إنهما عند النقطتين (٤،٠)، (٢،٠). وهذا يشير إلى أنه قد حدث تمدد بالفعل بمعامل قياس يساوي ٢. فقد تضاعفت المسافة من الجذرين إلى نقطة الأصل، وهو ما يعني أن الدالة تمددت بالفعل في الاتجاه الأفقي بمعامل ٢.

علينا أن نتحقق ثانية من أن التغير في أيٍّ من نقاط التحول متسق مع هذا المفهوم. يمكننا ملاحظة أن هناك نقطة قيمة عظمى محلية للدالة 󰎨(𞸎)، والتي تقع على يسار المحور الرأسي، وأن لدينا نقطة قيمة صغرى محلية إلى يمين المحور الرأسي. والآن، بالمقارنة مع 𞸓(𞸎)، يمكننا أن نرى أن الإحداثي 𞸎 لنقاط التحول هذه ازداد بمقدار الضعف، بينما الإحداثي 𞸑 لم يتغير. وعلى الرغم من أن هذا لا يؤكد بالكامل ما توصلنا إليه، لأنه لا يمكن أن نكون دقيقين مع نقاط التحول على التمثيل البياني، فإن ذلك يبدو بالتأكيد كما لو أنه يوافق الحل. ومن ثم، نحصل على العلاقة 𞸓(𞸎)=󰎨󰂔𞸎٢󰂓.

مثال ٥: إيجاد إحداثيات نقطةٍ ما على منحنًى بعد تمدد الدالة الأصلية

يوضِّح الشكل تمثيل 𞸑=󰎨(𞸎) بيانيًّا والنقطة 󰏡. النقطة 󰏡 هي نقطة القيمة العظمى المحلية. حدِّد نقطة القيمة العظمى المحلية المناظرة لها للتحويل 𞸑=󰎨(٢𞸎).

الحل

يمثل التحويل 𞸑=󰎨(٢𞸎) تمددًا في الاتجاه الأفقي بمعامل قياس ١٢. سيؤدي ذلك إلى قسمة قيم الإحداثيات 𞸎 للنقاط المميزة للدالة، دون التأثير على الإحداثيات 𞸑. وبالأخص، جذرا الدالة 󰎨(𞸎) عند 𞸎=١، 𞸎=٣، على الترتيب، اللذان لهما الإحداثيات (١،٠)، (٣،٠)، سيكونان أيضًا نقطتَي القيمتين الصغريين المحليتين للدالة. عندما نتناول الدالة 𞸑=󰎨(٢𞸎)، فإن إحداثيات 𞸎 ستتغير، ومن ثم سنحصل على الجذرين الجديدين عند 𞸎=١٢، 𞸎=٣٢، وهما ما سيكون لهما الإحداثيات 󰂔١٢،٠󰂓، 󰂔٣٢،٠󰂓 على الترتيب. فيما يتعلق بالقيمة العظمى المحلية عند النقطة (٢،١)، ستتم قسمة 𞸎 على اثنين ولن يتغير الإحداثي 𞸑، وهو ما يعني أن تكون القيمة العظمى المحلية للدالة 𞸑=󰎨(٢𞸎) عند النقطة (١،١).

تناول هذا الشارح حتى الآن الدوال التي كانت متصلة عند تعريفها على المحور الحقيقي، بحيث تكون جميع سلوكياتها «ملساء»، حتى وإن كانت معقدة. لا يكون ذلك هو الحال دائمًا، ويمكننا بدلًا من ذلك التعامل مع دالة غير متصلة أو يمكن وصفها باستخدام ترميز الدالة المتعددة التعريف. وفي هذه الحالات، لا يكون من المناسب تمامًا استخدام المصطلحات مثل «الجزء المقطوع» أو «الجذر»؛ حيث إن هذه المصطلحات عادةً ما يقتصر استخدامها على الدوال المتصلة. ولكن، تظل التعريفات الأساسية قابلة للتطبيق، ويمكننا متابعة حل هذه المسائل بالرجوع إلى بعض النقاط الأساسية والتأثيرات التي ستتأثر بها هذه النقاط بفعل التمددات الرأسية أو الأفقية.

مثال ٦: تحديد التمثيل البياني لدالة معطاة بعد حدوث تمدد لها

يوضح الشكل التمثيل البياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) لكل ٣𞸎٣.

أيٌّ من الآتي يوضح التمثيل البياني للدالة 𞸑=١٣󰎨(𞸎)؟

الحل

نلاحظ أن الدالة تتقاطع مع المحور 𞸑 عند النقطة (٠،٣) وأن الدالة يبدو أنها تقطع المحور 𞸎 عند النقطتين 󰂔٣٢،٠󰂓، 󰂔٥٢،٠󰂓. وهناك نقاط أخرى يسهل التعرف عليها وكتابتها في الصورة الإحداثية. على سبيل المثال، النقاط (٣،٣)،(١،٣)، (٣،١).

التمدد 𞸑=١٣󰎨(𞸎) يناظر الانكماش في الاتجاه الرأسي بمعامل يساوي ٣. هذا يعني أن الدالة يجب أن تكون «مضغوطة» بمقدار العامل ٣ بالتوازي مع المحور 𞸑. وبالنسبة إلى التأثيرات على الإحداثيات المعروفة للدالة، لن يتأثر الإحداثي 𞸎 لأي نقطة وستتم قسمة الإحداثي 𞸑 على ٣. بالرجوع إلى النقاط الواردة في الفقرة السابقة، فإن هذه النقاط ستتحول إلى ما يلي، على الترتيب: 󰂔٣٢،٠󰂓، 󰂔٥٢،٠󰂓، (٣،١)، (١،١)، 󰂔٣،١٣󰂓.

التمثيل البياني الوحيد الذي تمر فيه الدالة بهذه الإحداثيات هو الخيار (ج). يمكننا التأكد بصريًّا أن هذه الدالة يبدو أنها تم ضغطها في الاتجاه الرأسي بمعامل ٣.

في هذا الشارح، تعاملنا فقط مع التمددات التي كانت إما في المحور الرأسي فقط وإما في المحور الأفقي فقط؛ ولم نتناول التمدد الذي يحدث في الاتجاهين في آن واحد. ومثل هذه التحويلات قد يصعب تصورها، حتى بمساعدة أدوات التمثيل البياني الدقيقة، لا سيما إذا كان أيٌّ من معاملات القياس سالبًا (بمعنى أن يتضمن أيٌّ منها انعكاسًا حول المحور). لكن النتيجة من السهل جدًّا صياغتها. افترض أن لدينا الدالة 𞸑=󰎨(𞸎) ونريد إجراء تمدد لها بمعامل قياس مقداره 󰏡 في الاتجاه الرأسي وبمعامل قياس مقداره 𞸁 في الاتجاه الأفقي. حينئذٍ، نحصل على الدالة الجديدة التالية نتيجة لهذا التحويل. 󰎨(𞸎)󰏡󰎨󰃁١𞸁𞸎󰃀.

يمكن إلى حد كبير تلخيص ما تناولناه حتى الآن في هذا الشارح باستخدام النتيجة التالية، التي تصف تأثير التمدد في كلا المحورين في الوقت ذاته. افترض أننا أخذنا أي إحداثيات على التمثيل البياني لهذه الدالة الجديدة، والتي سنسميها 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠. والآن، لنأخذ الدالة الأصلية ونجري عليها تمددًا بمعامل قياس يساوي 󰏡 في الاتجاه الرأسي ومعامل قياس يساوي 𞸁 في الاتجاه الأفقي لنحصل على الدالة الجديدة 𞸓(𞸎)=󰏡󰎨󰃁١𞸁𞸎󰃀. إذن، ستقع النقطة 󰁓𞸁𞸎،󰏡𞸑󰁒٠٠ على التمثيل البياني للدالة 𞸓(𞸎). تعمم هذه النتيجة النتائج السابقة حول النقاط الخاصة، مثل الأجزاء المقطوعة، والجذور، ونقاط التحول.

النقاط الرئيسية

  • يمكن أن تتمدد الدالة 󰎨(𞸎) في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس يساوي 󰏡 عن طريق تعريف الدالة الجديدة 󰎨(𞸎)󰏡󰎨(𞸎).
  • وعند تمدد الدالة في الاتجاه الرأسي، لا تتغير جذور الدالة وكذلك الإحداثيات 𞸎 لأيٍّ من نقاط التحول.
  • وعند التمدد في الاتجاه الرأسي، تُضرب قيمة الجزء المقطوع من المحور 𞸑 وكذلك الإحداثيات 𞸑 لأي نقطة تحول، في معامل القياس.
  • وعند التمدد في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس سالب، تنعكس الدالة حول المحور الأفقي، بالإضافة إلى تأثير التمدد/الانكماش الذي يحدث عندما يكون معامل القياس لا يساوي سالب واحد. سيؤدي هذا التحويل إلى أن تتحول نقاط القيم الصغرى المحلية إلى نقاط القيم العظمى المحلية، والعكس صحيح.
  • يمكن أن تتمدد الدالة 󰎨(𞸎) في الاتجاه الأفقي بمعامل قياس يساوي 󰏡 عن طريق تعريف الدالة الجديدة 󰎨(𞸎)󰎨󰂔١󰏡𞸎󰂓.
  • وعند التمدد في الاتجاه الأفقي، لا يتغير الجزء المقطوع من المحور 𞸑 وكذلك الإحداثي 𞸑 لأي نقطة تحول.
  • وعند التمدد في الاتجاه الأفقي، تُضرب جذور الدالة في معامل القياس، وكذلك الإحداثي 𞸎 لأيٍّ من نقاط التحول.
  • وعند التمدد في الاتجاه الأفقي بمعامل قياس سالب، تنعكس الدالة حول المحور الرأسي، بالإضافة إلى تأثير التمدد/الانكماش الذي يحدث عندما يكون معامل القياس لا يساوي سالب واحد. هذا التحويل لا يؤثر على تصنيف نقاط التحول.
  • يمكن التمدد في الاتجاهين بمعامل قياس يساوي 󰏡 في الاتجاه الرأسي وبمعامل قياس يساوي 𞸁 في الاتجاه الأفقي، باستخدام التحويل 󰎨(𞸎)󰏡󰎨󰃁١𞸁𞸎󰃀.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.