نسخة الفيديو النصية
ميل المماس للمنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ عند النقطة ﺱ، ﺹ هو ثلاثة ﺱﻫ أس اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين ﺱ زائد واحد تربيع. أوجد ﺩﺱ، إذا كانت النقطة واحد، خمسة ﻫ تربيع تقع على المنحنى.
يخبرنا السؤال أن ميل المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ عند النقطة ﺱ، ﺹ هو ثلاثة ﺱﻫ أس اثنين ﺱ الكل مقسوم على اثنين ﺱ زائد واحد تربيع. بعبارة أخرى، نعلم أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ثلاثة ﺱﻫ أس اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين ﺱ زائد واحد تربيع. حسنًا، في هذا السؤال، المطلوب هو إيجاد الدالة ﺩﺱ بمعلومية أن النقطة واحدًا، خمسة ﻫ تربيع تقع على المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ.
لفعل ذلك، سنلاحظ أن ﺩﺱ هي مشتقة عكسية لدالة ميلها؛ أي ﺩ شرطة ﺱ. بعبارة أخرى، الدالة ﺩﺱ تساوي تكامل ﺩ شرطة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ مع إضافة ثابت التكامل ﺙ. إذن، علينا إيجاد تكامل ثلاثة ﺱﻫ أس اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين ﺱ زائد واحد تربيع بالنسبة إلى ﺱ. لكن، نلاحظ أن الدالة التي سيجرى عليها التكامل ليست في الصورة القياسية التي تمكننا من إيجاد تكاملها. لذا علينا إجراء بعض العمليات الجبرية.
يمكننا أن نجرب التعويض بـ ﻉ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد. لكن هذا بمفرده لا يسهل خطوات الحل. ولذلك، سنستخدم التكامل بالتجزيء. نتذكر أن التكامل بالتجزيء ينص على أن تكامل ﻉﻕ شرطة بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻉﻕ ناقص تكامل ﻉ شرطة ﻕ بالنسبة إلى ﺱ. في هذه المرحلة، قد نرغب في مساواة الدالة ﻉ بدالة جبرية من أي نوع. لكننا سنجعل الدالة ﻉ تساوي بسط الكسر الذي لدينا، وهو ثلاثة ﺱ مضروبًا في ﻫ أس اثنين ﺱ.
نجعل أيضًا ﻕ شرطة تساوي واحدًا مقسومًا على مقام الكسر. وسنكتب ذلك على الصورة اثنين ﺱ زائد واحد الكل أس سالب اثنين. لحساب ﻉ شرطة، سنستخدم قاعدة الضرب. أولًا: نشتق ثلاثة ﺱ فنحصل على ثلاثة. ثم نضرب هذا العدد في ﻫ أس اثنين ﺱ. ونضيف إلى ذلك مشتقة ﻫ أس اثنين ﺱ. وهي اثنان ﻫ أس اثنين ﺱ. ونضرب ذلك في ثلاثة ﺱ.
يمكننا أن نلاحظ الآن وجود عامل مشترك بين حدي تعبير ﻉ شرطة؛ وهو ثلاثة ﻫ أس اثنين ﺱ. ومن ثم يمكننا إخراجه، فنحصل على ثلاثة ﻫ أس اثنين ﺱ مضروبًا في واحد زائد اثنين ﺱ. لإيجاد المشتقة العكسية للدالة ﻕ شرطة، سنستخدم التكامل بالتعويض. سنستخدم التعويض ﻝ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد. باشتقاق طرفي هذه المعادلة بالنسبة إلى ﺱ، نجد أن مشتقة ﻝ بالنسبة إلى ﺱ تساوي اثنين.
على الرغم من أن ﺩﻝ على ﺩﺱ ليس كسرًا، فإن سلوكه يشبه سلوك الكسر عند استخدام التكامل بالتعويض. هذا يعطينا صيغة مكافئة وهي نصف ﺩﻝ يساوي ﺩﺱ. إذن، بالتعويض عن ﻝ باثنين ﺱ زائد واحد، نجد أن ﻕ يساوي تكامل ﻝ أس سالب اثنين مضروبًا في نصف بالنسبة إلى ﻝ. يمكننا إيجاد هذا التكامل عن طريق إضافة واحد إلى الأس ثم القسمة على الأس الجديد. هذا يعطينا ﻕ يساوي سالب ﻝ أس سالب واحد مقسومًا على اثنين.
وأخيرًا، بالتعويض عن ﻝ باثنين ﺱ زائد واحد وكتابة ﻝ في المقام، نجد أن ﻕ يساوي سالب واحد مقسومًا على اثنين في اثنين ﺱ زائد واحد. وهكذا، باستخدام التكامل بالتجزيء، وجدنا أن الدالة ﺩﺱ تساوي ﻉ مضروبًا في ﻕ، أي ثلاثة ﺱﻫ أس اثنين ﺱ مضروبًا في سالب واحد مقسومًا على اثنين مضروبًا في اثنين ﺱ زائد واحد. ونطرح من ذلك تكامل ﻉ شرطة في ﻕ بالنسبة إلى ﺱ، وهو تكامل سالب واحد مقسومًا على اثنين مضروبًا في اثنين ﺱ زائد واحد الكل مضروب في ثلاثة ﻫ أس اثنين ﺱ مضروبًا في واحد زائد اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
قد يبدو في البداية أن هذا التكامل ليس أبسط من التكامل الأصلي. ولكن، يمكننا أن نلاحظ وجود عامل مشترك بين بسط الدالة التي سيجرى عليها التكامل ومقامها، وهو واحد زائد اثنين ﺱ. إذن، يمكننا تبسيط ذلك؛ ومن ثم يصبح لدينا سالب ثلاثة ﺱﻫ أس اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين في اثنين ﺱ زائد واحد ناقص تكامل سالب ثلاثة ﻫ أس اثنين ﺱ على اثنين بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا الآن إيجاد هذا التكامل بتذكر أنه لأي ثابتين ﺃ، ﻥ، فإن تكامل ﺃﻫ أس ﻥﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃﻫ أس ﻥﺱ مقسومًا على ﻥ زائد ثابت التكامل ﺙ.
ومن ثم، بإيجاد سالب هذا التكامل، نحصل على ثلاثة ﻫ أس اثنين ﺱ مقسومًا على أربعة زائد ثابت التكامل ﺙ. يمكننا تبسيط ذلك أكثر بأخذ العامل المشترك ثلاثة أرباع ﻫ أس اثنين ﺱ من الحدين الأول والثاني. هذا يعطينا ثلاثة أرباع ﻫ أس اثنين ﺱ مضروبًا في سالب اثنين ﺱ على اثنين ﺱ زائد واحد زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ.
يمكننا بعد ذلك جمع الحدين داخل القوسين بملاحظة أن واحدًا يساوي اثنين ﺱ زائد واحد على اثنين ﺱ زائد واحد. الآن، نلاحظ أن سالب اثنين ﺱ واثنين ﺱ يحذفان من البسط. وبذلك نكون قد أوضحنا أن الدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة أرباع ﻫ أس اثنين ﺱ مضروبًا في واحد على اثنين ﺱ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ.
وأخيرًا، نتذكر أن السؤال يخبرنا بأن النقطة واحدًا، خمسة ﻫ تربيع تقع على المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ. حسنًا، إذا كانت النقطة واحد، خمسة ﻫ تربيع تقع على المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ، فهذا يعني أنه عند ﺱ يساوي واحدًا، يجب أن يكون ﺹ مساويًا لخمسة ﻫ تربيع. ومن ثم نعوض عن ﺱ بواحد وعن ﺹ بخمسة ﻫ تربيع في المعادلة التي لدينا. هذا يعطينا خمسة ﻫ تربيع يساوي ثلاثة أرباع ﻫ أس اثنين في واحد الكل مضروب في واحد على اثنين في واحد زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ.
يبسط الطرف الأيسر من المعادلة، فيصبح لدينا ثلاثة أرباع ﻫ تربيع مضروبًا في ثلث زائد ﺙ. يمكننا الآن حذف العامل المشترك ثلاثة من البسط والمقام، فنحصل على خمسة ﻫ تربيع يساوي ﻫ تربيع على أربعة زائد ﺙ. وأخيرًا، نطرح ﻫ تربيع على أربعة من كلا طرفي هذه المعادلة، فنحصل على ﺙ يساوي ١٩ﻫ تربيع على أربعة.
إذن، بإعادة الترتيب، نكون قد أوضحنا أنه إذا كان ميل المماس للمنحنى ﺩﺱ عند النقطة ﺱ، ﺹ هو ثلاثة ﺱﻫ أس اثنين ﺱ على اثنين ﺱ زائد واحد تربيع، وكان المنحنى يمر بالنقطة واحد، خمسة ﻫ تربيع، فإن الدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة ﻫ أس اثنين ﺱ على أربعة مضروبًا في اثنين ﺱ زائد واحد زائد ١٩ﻫ تربيع على أربعة.
