فيديو السؤال: إيجاد معاملات مجهولة في دالة متعددة التعريف بمعلومية أن الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة معطاة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة كل ﺃ وﺏ إذا كانت الدالة ﺩ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب واحد؛ حيث ﺩﺱ يساوي تسعة ﺱ زائد خمسة عند ﺱ أقل من سالب واحد، وﺩﺱ يساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ ناقص أربعة عند ﺱ أكبر من أو يساوي سالب واحد.

حسنًا، لدينا هنا دالة متعددة التعريف؛ ﺩﺱ. وعلمنا أن هذه الدالة المتعددة التعريف قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب واحد. وعلينا استخدام هذا المعطى لإيجاد قيمة كل من ﺃ وﺏ. هناك بعض الطرق المختلفة لفعل ذلك. يمكننا فعل ذلك مباشرة باستخدام تعريف مشتقة الدالة عند ﺱ يساوي سالب واحد. لكن ثمة طريقة أبسط؛ وهي استخدام تعريف الدالة ﺩﺱ. في الحالة لدينا، نلاحظ أن الدالة ﺩﺱ متعددة التعريف. ونلاحظ أيضًا أن الجزء الأول منها هو تسعة ﺱ زائد خمسة، والجزء الثاني هو ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ ناقص أربعة.

بعبارة أخرى، في كلتا الحالتين، الدالة ﺩﺱ معرفة بكثيرتي حدود، ونحن نعلم أنها متصلة لجميع قيم ﺱ الحقيقية. وعندما تعرف دالة متعددة التعريف بواسطة دالة متصلة، فإننا نسميها دالة متصلة متعددة التعريف. وفي الواقع، هناك أمر أكثر فائدة. نحن نعلم كيفية اشتقاق الدوال الكثيرات الحدود باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. ويمكننا استخدام هذه القاعدة لإيجاد تعبير لـ ﺩ شرطة ﺱ، عند جميع النقاط باستثناء عند ﺱ يساوي سالب واحد. بعد ذلك، يمكننا استخدام ذلك باعتباره طريقة أسهل للتحقق من أن الدالة ﺩﺱ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب واحد.

حسنًا، كل ما علينا فعله هو التحقق من أن الدالة متصلة عند ﺱ يساوي سالب واحد، وأن الميل عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من جهة اليسار لـ ﺩﺱ يساوي الميل عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من جهة اليمين لـ ﺩﺱ. لكن في الحالة لدينا، نحن نعلم بالفعل أن الدالة ﺩ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب واحد. وهذا يخبرنا بمعلومتين عن الدالة ﺩ. أولًا، إذا كانت ﺩ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب واحد، فلا بد أنها متصلة أيضًا عند ﺱ يساوي سالب واحد. ثانيًا، سنستخدم أيضًا المعلومة التي تفيد بأن ﺩ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب واحد.

دعونا نبدأ بالمعلومة الأولى؛ وهي أن ﺩ دالة متصلة عند ﺱ يساوي سالب واحد. نحن نعلم أن ﺩ دالة متصلة متعددة التعريف. وفي الواقع، نلاحظ أن ﺱ يساوي سالب واحد هو طرف الفترة لدينا. ولا يمكن لدالة متعددة التعريف أن تكون متصلة عند طرفي فترتها إلا إذا تطابق الطرفان. إذن، بالنسبة إلى الدالة ﺩ، لا بد أن يتطابق الطرفان. يمكننا فعل ذلك بأسلوب منهجي باستخدام النهاية من الجهة اليسرى والنهاية من الجهة اليمنى. بعبارة أخرى، يمكننا التحقق من أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من جهة اليسار لـ ﺩﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من جهة اليمين لـ ﺩﺱ.

لكن تذكر أننا قلنا بالفعل إن ﺩﺱ دالة متصلة متعددة التعريف. إذن، يمكننا إيجاد قيمتي هاتين النهايتين مباشرة بالتعويض عن ﺱ بسالب واحد في كلتا الدالتين. وبما أن هاتين الدالتين متصلتان، يمكننا إيجاد قيمتيهما بالتعويض المباشر. وهذا يعطينا تسعة في سالب واحد زائد خمسة يساوي ﺃ في سالب واحد الكل تربيع زائد ﺏ في سالب واحد ناقص أربعة. ويمكننا تبسيط هذا التعبير.

تسعة في سالب واحد زائد خمسة يساوي سالب أربعة، وﺃ في سالب واحد تربيع زائد ﺏ في سالب واحد ناقص أربعة يساوي ﺃ ناقص ﺏ ناقص أربعة. يمكننا بعد ذلك إضافة أربعة إلى طرفي هذه المعادلة، وهذا يعطينا صفرًا يساوي ﺃ ناقص ﺏ. وإذا أضفنا ﺏ إلى طرفي هذه المعادلة، فسنجد أن ﺃ لا بد أن يساوي ﺏ. إذن، بما أن ﺩ لا بد أن تكون متصلة عند سالب واحد، فإن ﺃ يساوي ﺏ.

علينا الآن أن نستخدم حقيقة أن الدالة ﺩﺱ لا بد أن تكون قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب واحد. يمكننا فعل ذلك باستخدام تعريف المشتقة مباشرة عند ﺱ يساوي سالب واحد. لكن ﺩﺱ معرفة بكثيرتي حدود، ونحن نعلم كيف نشتق كثيرات الحدود باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. إذن، بدلًا من استخدام تعريف المشتقة مباشرة عند ﺱ يساوي سالب واحد، يمكننا استخدام الحقيقة التي توضح أنه بما أن ﺩ لا بد أن تكون قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب واحد، فلا بد أن الميل عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من جهة اليسار يساوي الميل عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من جهة اليمين.

ويمكننا في الواقع إيجاد قيمتي هذين الميلين باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. لذا سنستخدم هذه القاعدة لإيجاد تعبير لـ ﺩ شرطة ﺱ. سيكون لدينا ﺩ شرطة ﺱ يساوي مشتقة تسعة ﺱ زائد خمسة بالنسبة إلى ﺱ عند ﺱ أقل من سالب واحد، وﺩ شرطة ﺱ يساوي مشتقة ﺃﺱ تربيع زائد ﺃﺱ ناقص أربعة بالنسبة إلى ﺱ عند ﺱ أكبر من سالب واحد. ومن المهم أن نوضح أننا لا نعلم ماذا يحدث عند ﺱ يساوي سالب واحد.

من المهم أيضًا توضيح أنه نظرًا لأن ﺃ يساوي ﺏ، استطعنا هنا التعويض بذلك مباشرة في التعبير لدينا. علينا بعد ذلك إيجاد قيمتي هاتين المشتقتين باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. علينا الضرب في أس ﺱ، ثم طرح واحدًا من هذا الأس. في الحقيقة، الدالة الأولى لدينا هي دالة خطية. وهذا يعني أن ميلها يساوي معامل ﺱ فقط؛ أي تسعة. وباشتقاق الجزء الثاني من الدالة حدًّا تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، نحصل على اثنين ﺃﺱ زائد ﺃ عند ﺱ أكبر من سالب واحد.

والآن أصبح بإمكاننا استخدام ذلك لإيجاد ميل ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من جهة اليسار، وإيجاد ميل ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من جهة اليمين. دعونا نبدأ بميل ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من جهة اليسار. قيم ﺱ تقترب من سالب واحد من جهة اليسار. وهذا يخبرنا أن قيم ﺱ أقل من سالب واحد. إذن، الميل يساوي الثابت تسعة. ومن ثم، يبسط التعبير الأول ونحصل بذلك على تسعة. يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد الميل عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من جهة اليمين.

بما أن ﺱ يقترب من سالب واحد من جهة اليمين، فإن قيم ﺱ ستكون أكبر من سالب واحد. ونحن نعلم أن ميل الدالة عند ﺱ أكبر من سالب واحد يساوي اثنين ﺃﺱ زائد ﺃ. وبالطبع، اثنان ﺃﺱ زائد ﺃ دالة خطية. ومن ثم، يمكننا إيجاد قيمة النهاية باستخدام التعويض المباشر. سنعوض عن ﺱ بسالب واحد في هذا التعبير. هذا يعطينا اثنين ﺃ في سالب واحد زائد ﺃ، وهو ما يمكننا تبسيطه لنحصل على سالب اثنين ﺃ زائد ﺃ، وهذا يساوي سالب ﺃ. لكن تذكر أن الدالة ﺩ قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب واحد.

إذن، الميل عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من جهة اليسار للدالة ﺩﺱ لا بد أن يساوي الميل عندما يقترب ﺱ من سالب واحد من جهة اليمين لـ ﺩﺱ. إذن، يمكننا مساواة هاتين القيمتين. ونحصل بذلك على سالب ﺃ يساوي تسعة. وإذا ضربنا طرفي المعادلة في سالب واحد، فسنجد أن ﺃ يساوي سالب تسعة. ولاستكمال الحل، تذكر أننا أوضحنا أن ﺃ لا بد أن يساوي ﺏ. ومن ثم، يمكننا أيضًا قول إن ﺏ لا بد أن يساوي سالب تسعة.

إذن، إذا كانت ﺩﺱ تساوي تسعة ﺱ زائد خمسة عند ﺱ أقل من سالب واحد، وكانت ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ ناقص أربعة عند ﺱ أكبر من أو يساوي سالب واحد، قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي سالب واحد، فإن قيمة ﺃ لا بد أن تساوي سالب تسعة، وقيمة ﺏ لا بد أن تساوي سالب تسعة أيضًا.