فيديو الدرس: السرعة المتجهة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نفرق بين السرعة المتجهة والسرعة، وكيف نحل المسائل التي تتضمن السرعة المتجهة المتوسطة والسرعة المتوسطة.

السرعة مقياس لمعدل حركة الجسم. على سبيل المثال، إذا كنا نقود سيارة، فسيخبرنا عداد السرعة بمعدل حركة السيارة في أي زمن محدد. السرعة هي المعدل الذي تقطع به السيارة مسافة معينة. وهي كمية قياسية. وتقاس بالمسافة لكل وحدة من الزمن، على سبيل المثال، الكيلومتر لكل ساعة. لكن بما أنها كمية قياسية، فإن السرعة لا تحدد الاتجاه الذي يتحرك فيه الجسم. وإذا أردنا معرفة الاتجاه، فعلينا استخدام السرعة المتجهة؛ لأن السرعة المتجهة كمية متجهة تحدد سرعة الحركة واتجاهها.

على سبيل المثال، إذا كانت سيارة تتحرك بسرعة ٨٠ كيلومترًا لكل ساعة، فإن سرعتها تساوي ٨٠ كيلومترًا لكل ساعة. لكن إذا قلنا إن السيارة تتحرك في اتجاه شمال الشرق بسرعة ٨٠ كيلومترًا لكل ساعة، فهذه هي السرعة المتجهة؛ لأن لدينا سرعة السيارة واتجاه حركتها.

دعونا نتناول جسمًا يتحرك بين نقطتين، وليكن هذه السمكة مثلًا. يوجد عدد لا نهائي من المسارات ذات الأطوال المختلفة يمكن أن يتخذها الجسم. طول المسار بين نقطتين هو المسافة التي يقطعها الجسم بين هاتين النقطتين. وهو في هذا المثال المسافة التي تقطعها السمكة. لكن عند التفكير في السرعة المتجهة لجسم ما، فإننا نفكر في إزاحته. إن الإزاحة تقيس المسافة التي تبعدها النقطة الثانية عن النقطة الأولى، وتحدد الاتجاه.

دعونا نتناول مثالًا آخر، وهو هذه المرة طائر محلق. لنفترض أنه يحلق مسافة ٣٠ كيلومترًا في اتجاه الشرق ثم مسافة ٤٠ كيلومترًا في اتجاه الشمال. إذا أردنا إيجاد المسافة الكلية التي يقطعها الطائر، فسنجمع كلتا المسافتين معًا. المسافة من ﺃ إلى ﺏ تساوي ٣٠ كيلومترًا، والمسافة من ﺏ إلى ﺟ تساوي ٤٠ كيلومترًا، ومجموعهما يعطينا مسافة مقدارها ٧٠ كيلومترًا. وإذا أردنا إيجاد الإزاحة بدلًا من ذلك، فستكون هي القطعة المستقيمة الموجهة بين ﺃ وﺟ.

يمكننا إيجاد مقدار هذه القطعة المستقيمة من خلال ملاحظة أن ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية. يمكننا إذن تطبيق نظرية فيثاغورس. هذا يعطينا مقدار الإزاحة، وهو ٥٠ كيلومترًا. لإيجاد الاتجاه، يمكننا تعريف الزاوية ﺏﺃﺟ على أنها تساوي 𝜃 درجة. ومن ثم، نلاحظ أن ظا 𝜃 يساوي ٤٠ على ٣٠. إذن 𝜃 تساوي ٥٣٫١٣٠ درجة. بعد ذلك، يمكننا تحويل هذا إلى درجات ودقائق وثوان، لنجد أن إزاحة الطائر تساوي ٥٠ كيلومترًا و٥٣ درجة وسبع دقائق و٤٨ ثانية في اتجاه شمال الشرق. لاحظ أن هذه الإزاحة لها مقدار واتجاه.

يمكننا بعد ذلك كتابة بعض الملاحظات حول السرعة والسرعة المتجهة. إن السرعة، التي تعد كمية قياسية، هي المعدل الذي يقطع به الجسم مسافة معينة. وتحسب باستخدام الصيغة: السرعة تساوي المسافة على الزمن. أما السرعة المتجهة فهي كمية متجهة. وهي مقدار واتجاه التغير في موضع الجسم. وتحسب باستخدام الصيغة: السرعة المتجهة تساوي الإزاحة على الزمن. لكننا عادة ما نحتاج إلى حساب السرعة المتوسطة. وهي تساوي المسافة الكلية المقطوعة على الزمن الكلي المستغرق.

إذا أردنا حساب السرعة المتجهة المتوسطة، فإنها تساوي الإزاحة الكلية مقسومة على الزمن الكلي. والإزاحة الكلية هي الإزاحة التي تقاس مباشرة من الموضع الابتدائي للجسم إلى موضعه النهائي. وبما أن الإزاحة كمية متجهة، فإن السرعة المتجهة المتوسطة كمية متجهة أيضًا. وقد تكون قيمتها موجبة أو سالبة. ولكن يقاس المقدار، وهو كمية قياسية، بالمسافة لكل وحدة من الزمن. وتكون قيمته موجبة دائمًا. سنعرف الآن كيف يمكننا تطبيق هاتين الصيغتين في الأمثلة الآتية.

يتحرك جسم باتجاه الشمال بسرعة ١٢ مترًا لكل ثانية لمدة زمنية قدرها ١٠ ثوان ثم يتوقف، ويظل ساكنًا لمدة ١٠ ثوان قبل أن يتحرك باتجاه الشمال بسرعة ١٢ مترًا لكل ثانية لمدة ١٠ ثوان أخرى. ما السرعة المتجهة المتوسطة للجسم باتجاه الشمال؟

دعونا نتناول المراحل الثلاث المختلفة لحركة هذا الجسم. في المرحلة الأولى، يتحرك الجسم باتجاه الشمال بسرعة ١٢ مترًا لكل ثانية لمدة ١٠ ثوان. وعلمنا بعد ذلك أن الجسم يتوقف ويظل ساكنًا لمدة ١٠ ثوان. وأخيرًا، يتحرك الجسم باتجاه الشمال بسرعة ١٢ مترًا لكل ثانية لمدة ١٠ ثوان أخرى. مطلوب منا حساب السرعة المتجهة المتوسطة باتجاه الشمال. إذن نتذكر أن السرعة المتجهة المتوسطة تساوي الإزاحة الكلية مقسومة على الزمن الكلي.

بما أنه ليس لدينا أي تغير في الاتجاه، فسيكون مقدار هذه الإزاحة الكلية هو المسافة الكلية المقطوعة نفسها. يمكننا بعد ذلك إيجاد المسافة في كل مرحلة. نتذكر أن المسافة تحسب باستخدام الصيغة: السرعة في الزمن. إذن في المرحلة الأولى، السرعة تساوي ١٢، والزمن يساوي ١٠ ثوان. بضربهما معًا، نحصل على المسافة ١٢٠ مترًا. في المرحلة الثانية، عندما يكون الجسم في حالة سكون، فإن السرعة تساوي صفرًا، والزمن يساوي ١٠ ثوان. ومن ثم، فإن المسافة المقطوعة تساوي صفرًا متر. وأخيرًا، لدينا المسافة في المرحلة الثالثة تساوي المسافة في المرحلة الأولى. وهي تساوي ١٢ في ١٠، وهو ما يعطينا ١٢٠ مترًا.

عند جمع هذه القيم الثلاث معًا، نجد أن المسافة الكلية تساوي ٢٤٠ مترًا. ولتطبيق صيغة السرعة المتجهة المتوسطة، علينا حساب الزمن الكلي. لدينا ١٠ ثوان، و١٠ ثوان، و١٠ ثوان، وهو ما يعطينا زمنًا كليًّا يساوي ٣٠ ثانية. يمكننا بعد ذلك كتابة هذه القيم في الصيغة، علمًا بأنه يمكننا استخدام المسافة في هذه الحالة؛ لأنه لا يوجد تغير في الاتجاه. ومن ثم، فإن مقدار هذه الإزاحة هو المسافة المقطوعة نفسها. إذن ٢٤٠ على ٣٠ يساوي ثمانية. والوحدة هنا هي المتر لكل ثانية. وعليه، يمكننا الإجابة بأن السرعة المتجهة المتوسطة باتجاه الشمال تساوي ثمانية أمتار لكل ثانية.

إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها حل هذه المسألة هي استخدام منحنى الإزاحة-الزمن. تذكر أنه في المرحلة الأولى عندما تحرك الجسم لمدة ١٠ ثوان، وجدنا أن هذه الإزاحة تساوي ١٢٠ مترًا. بعد ذلك، ظل الجسم ساكنًا لمدة ١٠ ثوان. وأخيرًا، تحرك الجسم ١٢ مترًا لكل ثانية لمدة ١٠ ثوان. في المقطعين الأول والثالث، لدينا حركة موجبة. ومن ثم، يكون ميل الخط موجبًا. وفي المقطع الأوسط، كان الجسم في حالة سكون. إذن الميل يساوي صفرًا. إذا أردنا حساب السرعة المتجهة في أي مرحلة، يمكننا إيجاد ميل هذا المقطع أو انحداره. وإذا أردنا إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة، يمكننا رسم قطعة مستقيمة بين إحداثيات نقطتي البداية والنهاية.

نتذكر أنه إذا كان لدينا زوجان من الإحداثيات، وهما ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنان، ﺹ اثنان؛ فيمكننا حساب الميل على النحو الآتي: ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. إذن بالنسبة إلى زوجي الإحداثيات ٣٠، ٢٤٠، وصفر، صفر، يحسب الميل على النحو: ٢٤٠ ناقص صفر على ٣٠ ناقص صفر. ويمكن تبسيط ذلك إلى ٢٤٠ على ٣٠، وهو ما يساوي ثمانية أمتار لكل ثانية. بذلك نكون قد تأكدنا من الإجابة الأصلية باستخدام منحنى الإزاحة-الزمن.

هيا نتناول مثالًا آخر.

تأخر شخص عن موعد في مكتب يقع في الجهة الأخرى من طريق مستقيم يؤدي إلى منزله. غادر الشخص منزله وجرى متجهًا إلى مكتبه لمدة ٤٥ ثانية قبل أن يدرك أنه يجب أن يعود إلى منزله ليحضر بعض المستندات التي يحتاج إليها في الموعد. جرى الشخص عائدًا إلى المنزل بنفس السرعة التي جرى بها من قبل، واستغرق ١٨٥ ثانية في البحث عن المستندات، ثم جرى متجهًا إلى مكتبه مرة أخرى. في هذه المرة، جرى الشخص بسرعة ٥٫٥ أمتار لكل ثانية لمدة ٢٦٠ ثانية، ثم وصل إلى المكتب.

حسنًا، لدينا ثلاثة أسئلة مختلفة. لنبدأ بالسؤال الأول. ما الوقت المستغرق منذ مغادرة الشخص منزله في المرة الأولى حتى وصوله إلى موعده؟

قد يكون من المفيد أن نبدأ الحل بتصور ما يحدث في كل مرحلة من رحلة هذا الشخص. تبدأ الرحلة بالجري لمدة ٤٥ ثانية في اتجاه المكتب. بعد ذلك، يدرك الشخص أنه قد نسي شيئًا يحتاج إليه؛ ومن ثم يعود إلى المنزل بالسرعة نفسها التي كان يجري بها من قبل. وهذا يعني أن الزمن سيكون ٤٥ ثانية أيضًا. بعد ذلك، يستغرق الشخص ١٨٥ ثانية في البحث عن هذه المستندات، لكنه لم ينتقل إلى أي مكان. وأخيرًا، يجري باتجاه المكتب بسرعة ٥٫٥ أمتار لكل ثانية لمدة ٢٦٠ ثانية.

مطلوب منا حساب الوقت المستغرق بين مغادرة الشخص منزله في المرة الأولى حتى وصوله إلى الموعد. وهذا يعني جمع الفترات الزمنية الأربع، وهي ٤٥ ثانية، و٤٥ ثانية، و١٨٥ ثانية، و٢٦٠ ثانية. وبجمعها معًا، نحصل على ٥٣٥ ثانية. وهذه هي إجابة السؤال الأول.

السؤال الثاني هو: ما المسافة بين منزل الشخص ومكتبه؟

لحساب المسافة، يمكننا استخدام هذه المعطيات عن المرحلة الأخيرة من الرحلة؛ حيث يكون لدينا السرعة والزمن المستغرق. لعلنا نتذكر أن المسافة تساوي السرعة مضروبة في الزمن. إذن نكتب هاتين القيمتين. السرعة هي ٥٫٥، والزمن هو٢٦٠. من المفيد دائمًا التحقق من أن لدينا الوحدات المكافئة نفسها. وفي كل مرحلة، وحدة الزمن معطاة بالثواني؛ لذا يمكننا ببساطة ضرب هاتين القيمتين. وبذلك، نحصل على القيمة ١٤٣٠. الوحدة هنا ستكون وحدة قياس المسافة بالمتر. وهذه هي إجابة السؤال الثاني.

السؤال الثالث هو: ما السرعة المتجهة المتوسطة للشخص منذ مغادرته منزله في المرة الأولى حتى وصوله إلى المكتب؟ قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

نتذكر الصيغة التي تنص على أن السرعة المتجهة المتوسطة تساوي الإزاحة الكلية على الزمن الكلي. في هذه المسألة، ستكون الإزاحة الكلية هي المسافة المباشرة بين منزل الرجل والمكتب. ولقد حسبنا بالفعل هذه المسافة في الجزء الخاص بإجابة السؤال الثاني. وهي تساوي ١٤٣٠. الزمن الكلي المستغرق في الرحلة بأكملها يساوي ٥٣٥ ثانية. وهذا يعطينا ٢٫٦٧٢، وهكذا مع توالي الأرقام. عند تقريب ذلك لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ٢٫٦٧ متر لكل ثانية. إذن إذا كان الاتجاه من المنزل إلى المكتب موجبًا، فإن السرعة المتجهة المتوسطة للشخص تساوي ٢٫٦٧ متر لكل ثانية.

تجدر الإشارة إلى أنه إذا كان مطلوبًا منا إيجاد السرعة المتوسطة بدلًا من ذلك، فسيتعين علينا معرفة المسافتين في أول مرحلتين من الرحلة، بالإضافة إلى المسافة المقطوعة في المرحلة الأخيرة من الرحلة. وعندئذ، يمكن حساب السرعة المتوسطة بقسمة المسافة الكلية على الزمن الكلي. لكن بما أن السرعة المتجهة المتوسطة تستخدم الإزاحة، فستكون لدينا القيمة ٢٫٦٧ متر لكل ثانية.

في السؤال الأخير، سنتناول مثالًا نوجد فيه السرعة المتجهة المتوسطة عند حدوث تغير في اتجاه الحركة.

مشى رجل ستة كيلومترات في اتجاه الشرق لمدة ١٫٢ ساعة. ومشى بعدها ثمانية كيلومترات في اتجاه الشمال لمدة ساعتين. احسب مقدار السرعة المتجهة المتوسطة للرجل.

لنبدأ بالتفكير في رحلة هذا الرجل. ولكي نتمكن من ذلك، يجب أن نكون على دراية باتجاهات البوصلة. في الجزء الأول من الرحلة، يمشي الرجل مسافة ستة كيلومترات في اتجاه الشرق. ويستغرق في ذلك ١٫٢ ساعة. بعد ذلك، يمشي مسافة ثمانية كيلومترات في اتجاه الشمال لمدة ساعتين. ولكي نحسب السرعة المتجهة المتوسطة، نتذكر الصيغة التي تنص على أن السرعة المتجهة المتوسطة تساوي الإزاحة الكلية على الزمن الكلي. نجد أن حساب الزمن الكلي هنا سهل نسبيًّا؛ فهو يساوي ببساطة ١٫٢ زائد اثنين، وهو ما يعطينا ٣٫٢ ساعات. لكن علينا أن نفكر في الإزاحة الكلية.

حسنًا، الإزاحة الكلية هي الإزاحة بين الموضع الابتدائي والموضع النهائي. نعلم أن الرجل قطع مسافة ستة كيلومترات في اتجاه الشرق، وثمانية كيلومترات في اتجاه الشمال. ولحساب هذه الإزاحة، نلاحظ أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية. ومن ثم، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس. إذن الإزاحة الكلية تساوي الجذر التربيعي لستة تربيع زائد ثمانية تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ١٠٠. وهو١٠ كيلومترات. ربما لاحظت بالفعل أن هذه هي ثلاثية فيثاغورس، لمثلث أضلاعه ثلاثة وأربعة وخمسة.

من الجدير بالذكر أنه بما أن الإزاحة عادة ما تكون كمية متجهة، فعلينا تحديد اتجاهها. ونفعل ذلك بحساب قياس الزاوية المحصورة بين الأفقي واتجاه الإزاحة. ويمكننا بدلًا من ذلك ملاحظة أن الإزاحة تقع تقريبًا في اتجاه شمال الشرق. لكن، بما أنه مطلوب منا حساب مقدار السرعة المتجهة المتوسطة، فلسنا بحاجة إلى فعل ذلك هنا. وهكذا، يمكننا ببساطة كتابة قيمة الإزاحة الكلية في الصيغة لحساب السرعة المتجهة المتوسطة. ‏١٠ مقسومًا على ٣٫٢ يساوي ٣٫١٢٥، وهو ما يمكن تقريبه لأقرب منزلة عشرية إلى ٣٫١.

الوحدة هنا هي كيلومتر لكل ساعة؛ لأن الإزاحة بالكيلومتر، والزمن بالساعات. وبذلك نجد أن مقدار السرعة المتجهة المتوسطة يساوي ٣٫١ كيلومترات لكل ساعة.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. السرعة كمية قياسية، وهي المعدل الذي يقطع به الجسم مسافة معينة؛ حيث تكون المسافة هي طول المسار بين نقطتين. تحسب السرعة بقسمة المسافة على الزمن. وتقاس السرعة بالمسافة لكل وحدة من الزمن. السرعة المتجهة كمية متجهة تحدد مقدار واتجاه التغير في موضع الجسم. تحسب السرعة المتجهة بقسمة الإزاحة على الزمن. وتقاس السرعة المتجهة بالمسافة لكل وحدة من الزمن، ويكون لها اتجاه.

عرفنا صيغتي السرعة المتوسطة والسرعة المتجهة المتوسطة. تحسب السرعة المتوسطة بقسمة المسافة الكلية على الزمن الكلي. وتحسب السرعة المتجهة المتوسطة بقسمة الإزاحة الكلية على الزمن الكلي. وأخيرًا، عرفنا أنه في منحنى الإزاحة-الزمن، تكون السرعة المتجهة المتوسطة لحركة جسم هي ميل الخط المستقيم أو انحداره بين الموضع الابتدائي للجسم وموضعه النهائي.